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人教中考数学二次函数的综合热点考点难点含答案解析

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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.2．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA ＝1，tan ∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，得到△EFC∽△EMP，根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO OB OA==3，∴OB＝3OA＝3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为09303a b ca b cc++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴对称轴为l2ba=-=-1，∴E点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴13EM EF ODMP CF CO===，∴MP＝3ME．∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：t1＝﹣2，t2＝3（与t＜0矛盾，舍去）．当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．综上所述：当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．3．如图，直线y ＝-12x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】 【分析】（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m)×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m+3)2+274，∵a ＝﹣34＜0，∴抛物线开口向下，∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274， 又∵当m ＝﹣3时，14m 2+m ﹣3＝﹣154，∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)， 直线AD′的解析式为y ＝32x+9， 由2392134y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩，此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.4．如图，在平面直角坐标系中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，抛物线24y ax ax c =-+经过点A 和点B ，与x 轴的另一个交点为C ，动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向O 点运动，同时动点E 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向A 点运动，设运动的时间为t 秒，0﹤t ﹤5.（1）求抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△AOB 相似； （3）当△ADE 为等腰三角形时，求t 的值；（4）抛物线上是否存在一点F ，使得以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F 点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）抛物线的解析式为228833y x x =-++； （2）t 的值为3011或5013； （3）t 的值为103或6017或258； （4）符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(227F +，-8）.【解析】（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE ∽△AOB 和△AED ∽△AOB 即可求出t 的值；（3）过E 作EH ⊥x 轴于点H ，过D 作DM ⊥AB 于点M 即可求出t 的值；（4）分当AD 为边时，当AD 为对角线时符合条件的点F 的坐标.解：(1)A （6,0），B （0,8），依题意知36240{8a a c c -+==，解得2{38a c =-=， ∴228833y x x =-++. (2)∵ A （6,0），B （0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t ，AE=10-2t ， ①当△ADE ∽△AOB 时，AD AE AO AB =，∴102610t t -=，∴3011t =； ②当△AED ∽△AOB 时，AE AD AO AB =，∴102610t t -=，∴5013t =； 综上所述，t 的值为3011或5013. (3) ①当AD=AE 时，t=10-2t ，∴103t =； ②当AE=DE 时，过E 作EH ⊥x 轴于点H ，则AD=2AH ，由△AEH ∽△ABO 得，AH=()31025t -，∴()61025t t -=，∴6017t =； ③当AD=DE 时，过D 作DM ⊥AB 于点M ，则AE=2AM ，由△AMD ∽△AOB 得，AM=35t ，∴61025t t -=，∴258t =； 综上所述，t 的值为103或6017或258. (4) ①当AD 为边时，则BF ∥x 轴，∴8F B y y ==，求得x=4，∴F （4，8）； ②当AD 为对角线时，则8F B y y =-=-，∴2288833x x -++=-，解得2x =±∵x ﹥0，∴2x =+∴()28+-.综上所述，符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(2F +，-8）.“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．5．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =34S △AOC ，得到S △BCD =92，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案. 【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)， ∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6， ∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=，设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154，当点N 的纵坐标为154时，如点N 2， 此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-，415(114,)4N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，∵115(1,)4N -，D(3，154)，∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(14(14M M M M -，，，，，，，.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．【答案】（1）y=38x2﹣34x﹣3（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是9 10（3）K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）【解析】【详解】试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910（t ﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =94．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣34m 2+3m=94．易求得K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）． 解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得 423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以该抛物线的解析式为：y=38x 2﹣34x ﹣3； （2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ．∴PB=6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．在Rt △BOC 中，BC=2234+=5．如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．∴QH ∥CO ，∴△BHQ ∽△BOC ，∴HB OC BG BC =，即Hb 35t =， ∴HQ=35t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+95t=﹣910（t ﹣1）2+910． 当△PBQ 存在时，0＜t ＜2∴当t=1时， S △PBQ 最大=910． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）．把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得403k c c +=⎧⎨=-⎩， 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．∴设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，34m ﹣3）．∴EK=34m ﹣3﹣（38m 2﹣34m ﹣3）=﹣38m 2+32m ． 当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =910．∴S △CBK =94． S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ） =12×4•EK =2（﹣38m 2+32m ） =﹣34m 2+3m ． 即：﹣34m 2+3m=94． 解得 m 1=1，m 2=3． ∴K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）． 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．7．如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，已知ABC ∆的面积为6.(1)求a 的值；(2)求ABC ∆外接圆圆心的坐标；(3)如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ∆的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q ()4,1-.【解析】【分析】（1）利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a ；（2）利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标，求出AC 解析式，找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式联立，解出x 、y 即为圆心坐标；（3）过点P 做PD ⊥x 轴，PD =d ，发现△ABP 与△QBP 的面积相等，得到A 、D 两点到PB 得距离相等，可得AQ PB ∥，求出PB 解析式，与二次函数解析式联立得到P 点坐标，又易证ABQ QPA ∆∆≌，得到BQ =AP =26，设出Q 点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q 点坐标即可【详解】(1)解：由题意得()()1y x x a =---由图知：0a ＜所以A (,0a )，()10B ,,()0,C a - ()()112ABC S a a ∆=-⋅-=6 34()a a =-=或舍∴3a =-(2)由(1)得A (-3,0)，()10B ,,()0,3C ∴直线AC 得解析式为：3yx AC 中点坐标为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭∴AC 的垂直平分线为：y x =-又∵AB 的垂直平分线为：1x =-∴1y x x =-⎧⎨=-⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩ABC ∆外接圆圆心的坐标(-1，1).(3)解：过点P 做PD ⊥x 轴由题意得：PD =d ，∴12ABP S PD AB ∆=⋅ =2d∵QPB ∆的面积为2d∴ABP BPQ S S ∆∆=，即A 、D 两点到PB 得距离相等∴AQ PB ∥设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B∴1y x =-∴2123y x y x x =-⎧⎨=--+⎩易得45x y =-⎧⎨=⎩ 1()0x y =⎧⎨=⎩舍 所以P (-4,-5),由题意及PAQ AQB ∠=∠易得：ABQ QPA ∆∆≌∴BQ =AP =26设Q (m ，-1)(0m ＜)∴()221126m -+= 4m =-∴Q ()4,1-.【点睛】本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a 表示出A 、B 、C 三点坐标；第二问关键在于找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB 的解析式8．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或2或②点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以，接着根据平行四边形的性质得到，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-15x+b，把E（12，-52）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255y xy x-⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+62x，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得253005a cc++=⎧⎨=-⎩，解得15ab=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），∵B（5，0），C（0，﹣5），∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM⊥BC，∴△AMB为等腰直角三角形，∴AM=22AB=22×4=22，∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，∴PQ=AM=22，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，∴PD=2PQ=2×22=4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），当P点在直线BC上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+41，m2=5-41，综上所述，P点的横坐标为4或5+41或5-41；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+ 62x∴x=236，∴M2（236，﹣76）.综上所述，点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．9．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或【解析】试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴对称轴为y=2；∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；∴a=或；考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换10．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t （），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（1，2）．【解析】试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即；（2）当时，＞0，∴NP===，∴S=AB•PN==；（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．。

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2023安徽中考数学专题《二次函数综合》含答案解析

2023安徽中考数学专题《二次函数综合》含答案解析

热点05 二次函数综合安徽中考数学中二次函数部分主要考向分为三类：一、二次函数的图象与性质；二、二次函数中求动点坐标（与图形面积相关）；三、二次函数的实际运用（近几年主要考察利润相关为题）；需要注意的是综合运用的题型，难度系数较大，考察的内容较多，特别是动点，还是计算利润时由于数值比较大需细心。

考点一：利用对称轴解决问题抛物线的开口向下，对称轴x = −b2a =−2A，当x1 +x2 >2时，x1< x2，点A离对称轴的距离比点B，当x1+x2< 2时，x1< x2，点A离对称轴的距离比点确，考点二：最值问题【答案】 8 43a2），则点B坐标为【分析】设点A（a，18由AC2＝（xc﹣xA）2+（yC﹣yA）2可得求解．a2），则点B 【详解】解：设点A（a，18∴OB＝|a|，AB＝1a2，想解答即可．【详解】解：二次函数y=2(x−1)2+1的图像如图：所以函数有最小值1，当x=0时，y=3，当x=3时，y=9，当0≤x≤3时，x=1在范围内，故函数值能取到最小值，故1≤y≤9．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，最值，增减性，数形结合思想，熟练掌握抛物线的性质和数形结合思想是解题的关键．考点三：二次函数与不等式【例6】．（2022秋·安徽淮南）二次函数y＝x2，当1 ≤y ≤ 9时，自变量x的取值范围是（）A．1≤x≤3B．-3≤x≤3C．-3≤x≤-1或1≤x≤3D．-3≤x≤1或1≤x≤3【答案】C【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当1≤y ≤9时，自变量x 的取值范围．【详解】解：∵y＝x2，∴该函数图像开口向上，对称轴为直线x＝0，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，∵当y＝1时，x＝±1；当y＝9时，x＝±3，∴ 当1≤y ≤9时，自变量x 的取值范围是-3≤x ≤-1或1≤x ≤3，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【例7】． （2022秋·安徽合肥）在平面直角坐标系中，已知点A (4,2)，B (4,4)，抛物线L ：()()20y x t t t =--+≥，当L 与线段AB 有公共点时，t 的取值范围是（ ）A ．3≤t ≤4B ．5≤t ≤6C ．3≤t ≤4，t =6D ．3≤t ≤4或5≤t ≤6【答案】D【分析】根据题意知线段AB 平行于y 轴，故根据二次函数与线段交点的情况列式()2244t t --+≤≤求解即可．【详解】根据题意知：∵点A (4,2)，B (4,4)，故对于二次函数()()20y x t t t =--+≥与线段AB 有公共点时，即当x=4时，2≤y ≤4，即()2244t t --+≤≤，解得：3≤t ≤4或5≤t ≤6；故选：D ．【点睛】此题考查二次函数与线段交点问题，主要理解函数图像与线段有交点的真实含义，难度一般，主要是计算．【例8】． （2022秋·安徽合肥）如图是二次函数y 1=ax 2+bx +c (a ≠0)和一次函数y 2=mx +n (m ≠0)的图象，当y 2>y 1，x 的取值范围是________．【答案】−2<x <1【分析】关键是从图像上找出两函数图像交点坐标，再根据两函数图像的上下位置关系，判断y 2＞y 1时，x 的取值范围．【详解】从图像上看出，两个交点坐标分别为(−2,0)，(1,3)【例10】． （2022秋·安徽芜湖·）如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为(2，0)，与y 轴交于点C ，抛物线对称轴为直线x =−1．连接AC ，BC ，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为点H ，交AC 于点Q ．过点P 作PG ⊥AC 于点G ．。

二次函数专题知识点常考（典型）题型重难点题型（含详细答案）

二次函数专题知识点常考（典型）题型重难点题型（含详细答案）

⼆次函数专题知识点常考（典型）题型重难点题型（含详细答案）⼆次函数和基本性质专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）⼀、⽬录⼀、⽬录 (1)⼆、基础知识点 (2)1.⼆次函数的概念 (2)2.⼆次函数y=的图像和性质 (2)3.⼆次函数y=a（）（）的性质 (4)4，⽤配⽅法求（） (6)5.⼆次函数图像性质总结 (7)6.⼆次函数解析式的求法 (7)7.⼆次函数图像的平移 (9)三、重难点题型 (11)1.由抛物线的位置确定系数的符号 (11)2.⽤待定系数法求⼆次函数的解析式 (13)3.运⽤抛物线的对称性解题 (17)4.⽤⼆次函数解决最值问题 (18)5.⼆次函数的图像 (20)6.⼆次函数与应⽤问题 (21)⼆、基础知识点1.⼆次函数的概念形如y=（a≠0）的函数叫作⼆次函数。

注：①a、b、c为常数，且a≠0，即⼆次项必须有，⼀次项和常数项可以没有②⼆次函数为函数的⼀种，满⾜函数的所有性质。

即在定义域内，⾃变量x有且仅有唯⼀应变量y与之对应例1.下列各项中，y是x的⼆次函数的有：①y=；②y=（）（m为常数）；③y=（m为常数）；④y=答案：①是⼆次函数，⼆次项系数不为0；②不应定，当m=1时，⼆次项为0，则不是⼆次函数；③是⼆次函数，⼆次项系数不为0；④化简得：－x－2，因此不是⼆次函数例2.已知y=（）是⼆次函数，求k的值。

答案：因为y=（）是⼆次函数所以解得：k=22.⼆次函数y=的图像和性质y=（a≠0，b=0，c=0，即⼀次项和常数项皆为0）的性质：①图形为抛物线形状②a>0，开⼝向上；a<0，开⼝向下③过原点（顶点），为最⼤值或最⼩值（由a的正负决定）④关于y轴对称，即关于x=0对称⑤越⼤，开⼝越⼩，即上升或下降越快注：关于y轴对称的前提条件是：函数定义域关于y轴对称例1.求等边三⾓形⾯积S与边长a的函数关系式。

答案：由等边三⾓形性质可知S=例2.根据抛物线y=（a≠0）的性质回答下列问题；（1）抛物线的开⼝向上，则a：（2）当x＜0时，抛物线y值随x的增⼤⽽减⼩，则a：（3）除顶点外，抛物线上的点都在x轴的下⽅，则a：（4）当x＞0且a＜0时，则抛物线的y值随x的增⼤⽽：答案：（1）因为抛物线开⼝向上所以a＞0（2）因为当x＜0时，抛物线y值随x的增⼤⽽减⼩所以抛物线开⼝向上所以a＞0（3）因为除顶点外，抛物线上的点都在x轴的下⽅。

专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题二二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 二次函数与线段最值问题1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的顶点记为A. 若点P是x 轴上一动点, 则的最小值是( )A. 8B.C. 9D.2.如图, 抛物线与x轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标;(2)点P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作轴, 垂足为C,PC交AB于点D, 求的最大值, 并求出此时点P的坐标;(3)将抛物线向左平移n个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n的值.3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y 轴于点C,.（1）求抛物线的解析式;（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标;（3）点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值?题型2 二次函数与图形面积问题4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.(1)求抛物线的函数表达式；(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛物线上(如图).①当点P在什么位置时，矩形周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线经过,两点. P是抛物线上一点, 且在直线AB的上方.(1)请直接写出抛物线的解析式.(2)若面积是面积的 2 倍, 求点P的坐标.(3)如图, OP交AB于点C,交AB于点D. 记,,的面积分别为,,. 判断是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.①如图1，过点P作轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD.设的面积为，的面积为，若，求S的最大值；②如图2，已知，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标.题型3 二次函数与图形判定问题7.如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).8.如图, 已知点, 以点D为顶点的抛物线经过点A, 且与直线交于点B,.(1)求抛物线的表达式和点D的坐标.(2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标.(3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q为顶点的四边形是菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.9.如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：D解析：，平移后抛物线的解析式为,点A的坐标为.如图, 作点A关于 x轴对称的点连接交x轴于点P则此时有最小值，最小值为的长，易知，，的最小值是.2.答案： (1)(2)(3)解析： (1)对于,令, 则, 解得，,.令, 则,.设直线AB的解析式为,则解得直线AB的解析式为.抛物线顶点坐标为.(2)如图, 过点D作轴于点E, 则.，,.设点P的坐标为,则点D的坐标为，.，又，当时, 的值最大, 最大值为,此时,此时点P 的坐标为.(3)设抛物线的解析式为. 令,整理, 得,3.答案：（1）（2）（3）解析:（1）当时,,解得,,,.,,,抛物线的解析式为;（2）如图,作于E,,,设,则,,,解得,,,;（3）如图,作轴,交BC于F,则,,,,,由,可知,直线BC的解析式为,设,则,,,时,PF的最大值为,的最大值为.4.答案：(1)(2)①Р在时，矩形的周长最大，最大值为10；②命题是假命题解析：(1)解：将、代入中得，解得，抛物线的函数表达式为，(2)解：抛物线的对称轴为，设点，则，①P，Q关于对称，，则，矩形的周长为，当时，l的值最大，最大值为10，即Р在时，矩形的周长最大，最大值为10.②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，当为正方形时，，解得，点Р的坐标为，点Q的坐标为，，正方形的面积；故命题是假命题.5.答案： (1)(2) 或(3) 存在，解析：(1)将，分别代入, 得解得所以抛物线的解析式为.(2)设直线AB的解析式为,将，分别代入, 得解得所以直线AB的解析式为.如图 (1), 过点P 作轴, 垂足为M,PM交AB于点N, 过点B 作, 垂足为E,所以因为，,所以.因为的面积是面积的 2 倍,所以, 所以.设,则,所以, 即,解得，,所以点P的坐标为或.(3) 存在.因为, 所以，, 所以,所以.因为，,所以.设直线AB交y轴于点F, 则.如图 (2), 过点P作轴, 垂足为H,PH交 AB于点G.因为, 所以.因为, 所以,所以,所以.设.由 (2) 可得,所以.又,所以当时, 的值最大, 最大值为.6.答案：(1)(2)见解析①6②或解析：(1)由题意，得，，此抛物线的解析式为：.(2)①由可得：设直线BC的解析式为：，则，，直线BC的解析式为：，设，则，，，当时，S的最大值为6.②在OB上截取，则，，又，，，，，运用待定系数法法可求：直线CF的解析式为：，直线BP的解析式为：，，解得或4，，，轴，ACPQ是以CP为边构成平行四边形，，点Q在x轴上，或.7.答案：(1)二次函数解析式为；点M的坐标为(2)(3)，，，解析：(1)把点，点代入二次函数得，，解得，二次函数解析式为，配方得，点M的坐标为；(2)设直线AC解析式为，把点，代入得，，解得，直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点E、点F.把代入直线AC解析式解得，则点E坐标为，点F坐标为，，解得；(3)连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为，，，，把代入解得，则点N坐标为，，，，，由此可知，若点P在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有，则有，，，，，，若点P在y轴右侧，作轴，，，，把代入，解得，；同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，；②若有，则有，，，若点P在y轴右侧，把代入，解得；若点P在y轴左侧，把代入，解得；；.所有符合题意得点P坐标有4个，分别为，，，.8.答案： (1)(2)(3)存在, 点P的坐标为，, ，或解析： (1) 将代入, 得,将，分别代入, 得解得故抛物线的表达式为.抛物线的顶点D的坐标为.(2)易知抛物线的对称轴为直线, 且点A,C 关于对称轴对称.作直线AB, 交直线于点M, 则点M即为所求.令,解得,,故.设直线AB 的表达式为,将，分别代入, 得解得故直线AB 的表达式为,当时, , 故.(3)设,易得，①当时,该四边形是以BC为对角线的菱形, 则, 即, 解得,点P 的坐标为.②当时,该四边形是以PC 为对角线的菱形, 则, 即,解得, 故点P的坐标为或.③当时,该四边形是以PB为对角线的菱形, 则, 即, 解得,故点P 的坐标为或.综上可知, 点P的坐标为，,，或9.答案：(1)(2)当时，四边形CQMD是平行四边形(3)点Q的坐标为或解析：(1)设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得抛物线的解析式为，即.(2)点D与点C关于x轴对称，点，，设直线BD的表达式为，把，代入得，，解得，直线BD的关系表达式为，设，，，，当时，四边形CQMD为平行四边形，，解得，(不合舍去)，故当时，四边形CQMD是平行四边形；(3)在中，，，，当以点B、M为顶点的三角形与相似时，分三种情况：①若时，，如图1所示，当时，，即，，，，，，解得，，(不合舍去)，，，，，点Q的坐标为；②若时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，，③由于点M在直线BD上，因此，这种情况不存在，综上所述，点Q的坐标为或.。

中考数学复习---二次函数之二次函数综合知识点总结与练习题(含答案解析)

中考数学复习---二次函数之二次函数综合知识点总结与练习题(含答案解析)

中考数学复习---二次函数之二次函数综合知识点总结与练习题（含答案解析） 知识点总结1. 二次函数与一元二次方程：①若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点⇔一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根⇔042＞ac b −=∆。

②若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴只有一个交点⇔一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根⇔042=−=∆ac b 。

③若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴没有交点⇔一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根⇔042＜ac b −=∆。

④若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与直线m y =相交，则一元二次方程为m c bx ax =++2。

交点情况与方程的解的情况同与x 轴相交时一样。

2. 二次函数与不等式（组）若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与一次函数()0≠+=k b kx y 存在交点，则不等式：b kx c bx ax +++＞2的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；b kx c bx ax +++＜2的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。

3. 二次函数的一些特殊的自变量的函数值：①当1=x 时所对应的函数值为c b a y ++=。

②当1−=x 时所对应的函数值为c b a y +−=。

③当2=x 时所对应的函数值为c b a y ++=24。

④当2−=x 时所对应的函数值为c b a y +−=24。

4. 对称轴的特殊值：①若对称轴为直线1=x 时，则02=+b a 。

②若对称轴为直线1−=x 时，则02=−b a 。

③判断b a +2与0的大小关系时，看对称轴与1=x 的位置关系。

④判断b a −2与0的大小关系时，看对称轴与1−=x 的位置关系。

练习题1、（2022•巴中）函数y ＝|ax 2+bx +c |（a ＞0，b 2﹣4ac ＞0）的图像是由函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0，b 2﹣4ac ＞0）的图像x 轴上方部分不变，下方部分沿x 轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）①2a +b ＝0；②c ＝3；③abc ＞0；④将图像向上平移1个单位后与直线y ＝5有3个交点．A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①③④【分析】根据函数图像与x 轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得2a +b ＝0，由图像可得抛物线y ＝ax 2+bx +c 与y 轴交点在x 轴下方，由抛物线y ＝ax 2+bx +c 的开口方向，对称轴位置和抛物线与y 轴交点位置可得abc 的符号，求出二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点式，可得图像向上平移1个单位后与直线y ＝5有3个交点【解答】解：∵图像经过（﹣1，0），（3，0），∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，∴﹣＝1，∴b ＝﹣2a ，即2a +b ＝0，①正确．由图像可得抛物线y ＝ax 2+bx +c 与y 轴交点在x 轴下方，∴c＜0，②错误．由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上可得a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，③正确．设抛物线y＝ax2+bx+c的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），∴将图像向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点，故④正确；故选：D．2、（2022•资阳）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图像，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】①：根据二次函数的对称轴，c＝1，即可判断出abc＞0；②：结合图像发现，当x＝﹣1时，函数值大于1，代入即可判断；③：结合图像发现，当x＝1时，函数值小于0，代入即可判断；④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图像，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1），∴，c＝1，∴ab＞0，∴abc＞0，故①正确；从图中可以看出，当x＝﹣1时，函数值大于1，因此将x＝﹣1代入得，（﹣1）2⋅a+（﹣1）⋅b+c＞1，即a﹣b+c＞1，故②正确；∵，∴b＝2a，从图中可以看出，当x＝1时，函数值小于0，∴a+b+c＜0，∴3a+c＜0，故③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，2），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+2，将（0，1）代入得，1＝a+2，解得a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+2，∴当x＝1时，y＝﹣2；∴根据二次函数的对称性，得到﹣3≤m≤﹣1，故④正确；综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，故选A．3、（2022•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图像经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c ﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x＝﹣1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），从而得到x1＝﹣3，x2＝1，则可对③进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，∴b ＝2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＜0，所以①正确；∵x ＝﹣1时，y 有最小值，∴a ﹣b +c ≤at 2+bt +c （t 为任意实数），即a ﹣bt ≤at 2+b ，所以②正确；∵图像经过点（1，3）时，得ax 2+bx +c ﹣3＝0的两根为x 1，x 2（x 1＜x 2），∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝3的一个交点为（1，3），∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝3的另一个交点为（﹣3，3），即x 1＝﹣3，x 2＝1，∴x 1+3x 2＝﹣3+3＝0，所以③正确．故选：D ．4、（2022•日照）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图像如图所示，对称轴为x ＝23，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a +b ＝0；②若点（21，y 1），（3，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；③10b ﹣3c ＝0；④若y ≤c ，则0≤x ≤3．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由对称轴为x＝即可判断①；根据点（，y1），（3，y2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点（﹣1，0），得出a﹣b+c＝0，对称轴x＝﹣＝，得出a＝﹣b，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④．【解答】解：∵对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣3a，∴3a+b＝0，①正确；∵抛物线开口向上，点（，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离，∴y1＜y2，故②正确；∵经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵对称轴x＝﹣＝，∴a＝﹣b，∴﹣b﹣b+c＝0，∴3c＝4b，∴4b﹣3c＝0，故③错误；∵对称轴x＝，∴点（0，c）的对称点为（3，c），∵开口向上，∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；故选：C．5、（2022•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，∴函数的最大值为4a﹣2b+c，∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，∴16a+c＞4b，故③正确；∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），∵抛物线开口向下，∴若﹣4＜x0＜0，则y0＞c，故④错误；故选：B．6、（2022•绵阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像关于直线x＝1对称，与x轴交于A （x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b ＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点以及x＝﹣1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a﹣b+c＜0，即可判断④．【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，﹣2＜x1＜﹣1，∴3＜x2＜4，①正确，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴3a+2b＝3a﹣4a＝﹣a，∵a＞0，∴3a+2b＜0，②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，由题意可知x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，∵a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∴a+c＜0，∴b2﹣4ac＞a+c，∴b2＞a+c+4ac，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c＜0，∴a＞c，∵a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，∴3a+c＜0，∴c＜﹣3a，∴b＝﹣2a，∴b＞c，所以④错误；故选：B．7、（2022•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x 轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c ＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据函数图像的开口方向、对称轴、图像与y轴的交点即可判断①；根据对称轴x ＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，点A（﹣5，0），点B（1，0），当x＝1时，y ＝0即可判断②；根据对称轴x＝﹣2，以及，a+b+c＝0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，即可判断④；【解答】解：①观察图像可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误；②∵对称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，∴点A（﹣5，0），点B（1，0），∴当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正确；③抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即﹣＝﹣2，∴b＝4a，∵a+b+c＝0，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a，∴9a+4c＝﹣11a，∵a ＞0，∴9a +4c ＜0，故③正确；④当x ＝﹣2时，函数有最小值y ＝4a ﹣2b +c ，由am 2+bm +c ≥4a ﹣2b +c ，可得am 2+bm +2b ≥4a ，∴若m 为任意实数，则am 2+bm +2b ≥4a ，故④正确；故选：C ．8、（2022•烟台）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图像如图所示，其对称轴为直线x ＝﹣21，且与x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc ＞0；②a ＝b ；③2a +c ＝0；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③【分析】根据对称轴、开口方向、与y 轴的交点位置即可判断a 、b 、c 与0的大小关系，然后将由对称轴可知a ＝b ．图像过（﹣2，0）代入二次函数中可得4a ﹣2b +c ＝0．再由二次函数最小值小于0，从而可判断ax 2+bx +c ＝1有两个不相同的解．【解答】解：①由图可知：a ＞0，c ＜0，＜0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝﹣，∴b ＝a ，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y ＝ax 2+bx +c ，∴4a ﹣2b +c ＝0，∵a ＝b ，∴2a +c ＝0，故③符合题意．④由图像可知：二次函数y ＝ax 2+bx +c 的最小值小于0，令y ＝1代入y ＝ax 2+bx +c ，∴ax 2+bx +c ＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D ．9、（2022•广安）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝1，与x 轴正半轴的交点为A （3，0），其部分图像如图所示，有下列结论：①abc ＞0； ②2c ﹣3b ＜0； ③5a +b +2c ＝0；④若B （34，y 1）、C （31，y 2）、D （﹣31，y 3）是抛物线上的三点，则y 1＜y 2＜y 3．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】①正确，根据抛物线的位置，判断出a ，b ，c 的符号，可得结论；②③错误，利用对称轴公式，抛物线经过A （3，0），求出b ，c 与a 的关系，判断即可； ④正确．利用图像法判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴1＝﹣，∴b＝﹣2a，∴b＜0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过（3，0），∴9a﹣6a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c﹣3b＝﹣6a+6a＝0，故②错误，5a+b+2c＝5a﹣2a﹣6a＝﹣3a＜0，故③错误，观察图像可知，y1＜y2＜y3，故④正确，故选：B．10、（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y 1）与（21，y 2）是抛物线上的两个点，则y 1＜y 2；④方程ax 2+bx +c ＝0的两根为x 1＝﹣3，x 2＝1；⑤当x ＝﹣1时，函数y ＝ax 2+（b ﹣k ）x 有最大值．其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】利用图像的信息与已知条件求得a ，b 的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a ＜0．∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b ＝2a ，b ＜0．∵a ＜0，b ＜0，∴ab ＞0，∴①的结论正确；∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（﹣3，0），∴9a ﹣3b +c ＝0，∴9a ﹣3×2a +c ＝0，∴3a +c ＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函数y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①④，故选：A．11、（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x＜3；④点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＝3＞0，故abc＜0，故①正确，符合题意；②∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴②正确，符合题意；③由图像知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，∴③错误，不符合题意；④从图像看，当x＝﹣2时，y1＜0，当x＝2时，y2＞0，∴有y1＜0＜y2，故④正确，符合题意；故选：C．12、（2022•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有.（填序号，多选、少选、错选都不得分）【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0）可判断⑤．【解答】解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，①正确；∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，②正确．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴另一个交点为（﹣3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，∴y2＞y1＞y3，④错误．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴a+b+c＝0，∵﹣＝﹣1，∴b ＝2a ，∴3a +c ＝0，⑤错误．故答案为：①②③．13、（2022•内江）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于两点（x 1，0）、（2，0），其中0＜x 1＜1．下列四个结论：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③2a ﹣c ＞0；④不等式ax 2+bx +c ＞﹣1x c x +c 的解集为0＜x ＜x 1．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】利用二次函数的图像和性质依次判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右边，与y 轴交于正半轴， ∴a ＞0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＜0，∴①正确．∵当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，∴②错误．∵抛物线过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，∴b＝﹣2a﹣，∵a+b+c＜0，∴a﹣2a﹣+c＜0，∴2a﹣c＞0，∴③正确．如图：设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，故④错误．故选：C．14、（2022•鄂州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；②∵抛物线的顶点为P（1，m），∴﹣＝1，b＝﹣2a，∵a＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故②错误；③∵抛物线经过点A（2，1），∴1＝a•22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；⑤∵a＜0，∴at2+bt﹣（a+b）＝at 2﹣2at ﹣a +2a＝at 2﹣2at +a＝a （t 2﹣2t +1）＝a （t ﹣1）2≤0，∴at 2+bt ≤a +b ，则⑤正确综上，正确的共有4个．故选：C ．15、（2022•达州）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图像如图所示，与y 轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x ＝1．下列结论：①abc ＞0；②a ＞31；③对于任意实数m ，都有m （am +b ）＞a +b 成立；④若（﹣2，y 1），（21，y 2），（2，y 3）在该函数图像上，则y 3＜y 2＜y 1；⑤方程|ax 2+bx +c |＝k （k ≥0，k 为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】①正确，判断出a ，b ，c 的正负，可得结论；②正确．利用对称轴公式可得，b ＝﹣2a ，当x ＝﹣1时，y ＞0，解不等式可得结论； ③错误．当m ＝1时，m （am +b ）＝a +b ；④错误．应该是y 2＜y 3＜y 1，；⑤错误．当有四个交点或3个时，方程|ax 2+bx +c |＝k （k ≥0，k 为常数）的所有根的和为4，当有两个交点时，方程|ax 2+bx +c |＝k （k ≥0，k 为常数）的所有根的和为2．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴抛物线与y轴交于点（0，﹣1），∴c＝﹣1，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵y＝ax2﹣2ax﹣1，当x＝﹣1时，y＞0，∴a+2a﹣1＞0，∴a＞，故②正确，当m＝1时，m（am+b）＝a+b，故③错误，∵点（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y1＞y3，∵点（，y2）到对称轴的距离小于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y3＞y2，∴y2＜y3＜y1，故④错误，∵方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的解，是抛物线与直线y＝±k的交点，当有3个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为3，当有4个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4，当有2个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为2，故⑤错误，故选：A．。