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20.3二次函数解析式的确定2

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三． 【学以致用】 1．如图所示，求二次函数的关系式。
2.二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1,9）和（2,4） ，且它与 x 轴只有一个交点，求二次函数解析式。
3.抛物线 y=(m-2)x2+(2m-5)x+m-6 与 x 轴交于 A、B 两点 （1）求当 m 是满足条件的最小偶数时，抛物线的解析式。 （2）如果（1）中的抛物线上有一点 C，使△ABC 的面积为
侧，即 x_____0 时,y 随着 x 的增大而减小；当 x= ，对称轴是 时，函数 y 最 ，当 x 值是___。 时， y 随着 x 的增大而增大；当 x
例 1. 已知二次函数 y ax 2 bx c 的图象如图所示，求这个二次函数的关系式。 （你能用几种方法）
例 2 抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的 x、y 的对应值如下表： x y … … -3 0 -2 3 -1 4 0 3 1 0 2 … …
一． 【复习旧知】
1、抛物线 y 2( x 4) 2 5 的顶点坐标是 y 随着 x 的增大而增大； 在 y最 值是___。 2 2、抛物线 y=2x -4x-1 顶点坐标是 随着 x 的增大而减小；当 x= 二． 【例题分析】
，对称轴是
，在
侧，即 x_____0 时， 时，函数 时，y
15 ，求 C 的坐标。 4
2
求抛物线的解析式并填表。
例 3 在平面直角坐标系中， AOB 的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点 A 的坐标为（－3,1） 。 （1）求点 B 的坐标。 （2）求过 A，O，B 三点学科导学案
（3）设点 B 关于抛物线的对称轴的对称点为 B1，求Δ AB1B 的面积。
主备人： 课 题
北京市房山区昊天学校 复备人： 审核人： 导 学 案
学科导学案 授课时间
20.3 二次函数解析式的确定 2
会用根据图象求二次函数的解析式。 会用根据图象求二次函数的解析式。 复习二次函数的图象和二元一次方程组的解法，预习书 P56-58 的内容，完成学案。
学习目标 教学重、难点 学法指导

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二次函数三种解析式的求法

二次函数三种解析式的求法

二次函数三种解析式的求法二次函数是高中数学中的重要概念，它的解析式有三种常见的求法。

本文将分别介绍这三种求法，并且给出相应的例题加以说明。

第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。

二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。

假设已知顶点坐标为(h,k)，另一个已知点的坐标为(x₁,y₁)，我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式，得到两个方程：k = a(x-h)²y₁ = a(x₁-h)² + k通过解方程组，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。

例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，我们可以代入上述方程组进行求解。

将顶点坐标代入第一个方程，可得：3 = a(2-(-1))²解得a = 1/3。

然后将a的值代入第二个方程，可得：5 = (1/3)(2-(-1))² + 3化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。

第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。

对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值，即|k|。

假设已知顶点坐标为(h,k)，对称轴与顶点的距离为|k|，我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式，得到方程：f(x) = a(x-h)² + k代入|k|，可得：f(x) = a(x-h)² + |k|通过解这个方程，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。

例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，对称轴与顶点的距离为3。

我们可以代入上述方程进行求解。

将顶点坐标代入方程，可得：5 = a(2-(-1))² + 3化简后得到a = 1/3。

然后将a的值代入方程，可得：f(x) = (1/3)(x+1)² + 3这就是二次函数的解析式。

二次函数解析式确定

二次函数解析式确定

25
小结：
y=- 1 x 2。 25
当知道抛物线的顶点坐标为原点， 且对称轴是 y 轴时， 要求二次函数的解析式，
思路如下：
通常的解题
2
①设二次函数的解析式为： y=ax （ a≠0）
②把已知点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于 ③解方程，求得 a 值；
a 的一元一次方程；
④把 a 的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
（2）请求出球飞行的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路
线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
解：
（1） y 1 (x 5
1 x2
8 x
55
4)2 16 5
所以，抛物线 y
1 x2 8 x 的开口向下，顶点为 55
4，16 ，对称轴为直线 x 4 。 5
2
4.2 二次函数关系式设为： y=ax +bx（ a≠ 0）
例 2、（ 2008 年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物
线y
1 x2 8 x ，其中 y （ m）是球的飞行高度， x （m）是球飞出的水平距离，结果球 55
离球洞的水平距离还有 2m，如图 2 所示。
（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．
。
小结： 当知道抛物线的顶点坐标： M（ h， 0）和抛物线上的一个点 要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
2
①设二次函数的解析式为： y=a（ x-h ） a≠ 0）
பைடு நூலகம்
A（ x1， y1）时，
②把点 A 的坐标代入所设的解析式中，转化成关于
a 的一元一次方程；
二次函数解析式的确定

二次函数解析式的确定

二次函数解析式的确定函数是数学学科中的一个基本概念，也是代数学里最重要的概念之一，同时也是数学学科中的一个重要模型，对于我们的生产生活有着重要的意义。

因此，我们有必要对其进行深入的研究。

众所周知，二次函数的几何图形是抛物线。

本节课我们重点研究确定二次函数解析式的三种重要的方法：【Ⅰ】、顶点式 2()y a x h k =-+ （a ≠0）当题目中给出抛物线的顶点坐标（h ，k ）以及抛物线上的任意一点的坐标时，即可利用此方法：例1：已知抛物线的顶点坐标为（1,2），且点（3,4）也在抛物线的图像之上，求抛物线的解析式。

解：设抛物线的解析式为 2(2)1y a x =-+ 把点（3,4）的坐标代入上式可得 a=3∴抛物线的解析式为23(2)1y x =-+练习：已知抛物线的顶点坐标为（2,2），且点（-3,-4）也在抛物线的图像之上，求抛物线的解析式。

【II 】、两点式（或交点式） 12()()y a x x x x =-- （a ≠0）当题目中给出抛物线与x 轴的两个交点坐标以及抛物线上的任意一点坐标时，即可利用此方法：例：已知抛物线与x 轴的两个交点坐标为（-1,0）（3,0），且点（5,6）也在抛物线的图像上，求抛物线的解析式。

解：设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-把点（5,6）代入上式可得 a=13 ∴抛物线的解析式为1(1)(3)3y x x =+-练习：已知抛物线与x 轴的两个交点坐标为（-5,0）（3,0），且点（8,9）也在抛物线的图像上，求抛物线的解析式。

【III 】、一般式 2y ax bx c =++ （a ≠0）当题目中给出抛物线上任意三点的坐标时，可利用此方法：例：已知抛物线上的三点（-1,2）、（1,6）、（3,18），求抛物线的解析式解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++把以上三点坐标代入可得4269318a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得：123a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =++练习：已知抛物线上的三点（1,2）、（-2,6）、（6,10），求抛物线的解析式以上即为本节课的重点内容，我们要看题目给出的条件选出适当的方法解题。

二次函数的解析式

二次函数的解析式

二次函数的解析式二次函数是一种以二次方项为主要组成的代数函数，其解析式可以通过一些特定的形式来表示。

在这篇文章中，我们将讨论二次函数的解析式以及如何确定它们。

一、二次函数的解析式定义二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a不等于0。

这种形式的函数图像通常为一个平滑的曲线，被称为抛物线。

二、二次函数的顶点式二次函数的顶点式是另一种常见的表示形式，它利用顶点坐标来描述函数。

顶点式的一般形式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(a, h, k)表示顶点的坐标。

1.确定顶点坐标要确定二次函数的顶点坐标，首先需要找到抛物线的对称轴。

对称轴的公式为x = -b/2a。

通过计算得到对称轴的x坐标，将其代入原始函数或者顶点式中，即可得到顶点的坐标。

2.分析顶点式形式顶点式中的a值决定了抛物线的开口方向和弯曲程度。

当a大于0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a小于0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。

顶点式中的h和k分别表示顶点的横坐标和纵坐标。

三、二次函数的标准式二次函数的标准式形式为y = ax^2 + bx + c，其中y表示函数的值。

标准式是一种简化形式，常用于计算与建模。

1.求解标准式要将二次函数转换为标准式，需要进行一些代数运算。

首先，可以使用配方法、完全平方和法等方法来将顶点式转换为标准式。

其次，可以通过因式分解或者使用求根公式等方法，将二次函数从其他形式转换为标准式。

2.分析标准式标准式中的a值决定了抛物线的开口方向和弯曲程度。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

标准式中的b 和c分别表示x的系数和常数项。

四、二次函数的解析式应用二次函数的解析式在数学和实际应用中扮演重要角色。

它们可以用于描述和分析各种现象和问题，如自然科学、工程学、物理学、经济学等领域的建模和预测。

1.函数图像与性质通过二次函数的解析式，我们可以绘制出函数的图像，进而分析其性质。