2019届湖南师大附中高三上学期摸底数学试卷(文科)Word版含解析
- 格式：doc
- 大小：783.89 KB
- 文档页数：26
2019届湖南师大附中高三上学期摸底数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．M）∪N=（）1．设全集U={1，2，3，4，5}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁UA．{1} B．[1，5} C．{4，5} D．{1，4，5}2．若复数z满足z+2﹣3i=﹣1+5i，则=（）A．3﹣8i B．﹣3﹣8i C．3+8i D．﹣3+8i3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=3，b=，A=，则角B等于（）A．B．C．或D．以上都不对5．己知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则|k|=（）A．B．C． D．6．要得到函数y=cos（2x﹣）图象，只需将函数y=sin（+2x）图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，则此几何体的表面积是（）A ．24πB ．C ．D ．32π8．设a=7，b=（），c=log 7，则下列关系中正确的是（ ）A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a 9．函数y=xsinx+cosx 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．运行图所示的程度框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是（ ）A ．k ＞5B ．k ＞6C ．k ＞7D ．k ＞811．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都相等，则异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知a，b∈R，直线y=ax+b+与函数f（x）=tanx的图象在x=﹣处相切，设g（x）=e x+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m（）A．有最小值﹣e B．有最小值e C．有最大值e D．有最大值e+1二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知向量，向量，若，则t= ．14．若sin（﹣α）=，则cos（+2α）的值为．15．已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是．16．若不等式组所表示的平面区域存在点（x0，y），使x+ay+2≤0成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）数列{an }的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn．18．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．19．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．20．（12分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数 f（x）=ln（e x+a）（a为常数，e为自然对数的底数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sin x在区间[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的值；（2）若在x∈上恒成立，求实数t的取值范围；（3）讨论关于x的方程=x2﹣2ex+m的根的个数．选做题(请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时请写清题号)(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离，并求出此时点P的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2019届湖南师大附中高三上学期摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁M）∪N=（）UA．{1} B．[1，5} C．{4，5} D．{1，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与并集的定义，进行运算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，M={2，3，4}，M={1，5}；∴∁U又N={4，5}，∴（∁M）∪N={1，4，5}．U故选：D．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．2．若复数z满足z+2﹣3i=﹣1+5i，则=（）A．3﹣8i B．﹣3﹣8i C．3+8i D．﹣3+8i【考点】复数相等的充要条件．【分析】直接由已知得到z，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：由z+2﹣3i=﹣1+5i，得z=﹣1+5i﹣2+3i=﹣3+8i，∴，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的加减运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用．4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=3，b=，A=，则角B等于（）A．B．C．或D．以上都不对【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理、三角形边角大小关系即可得出．【解答】解：由正弦定理可得： =，解得sinB=．∵a＞b，∴A＞B，因此B为锐角．∴B=．故选：A．【点评】本题考查了正弦定理、三角形边角大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．己知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则|k|=（）A．B．C． D．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设出直线方程，把直线方程和抛物线方程联立后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，由代入坐标整理后得到直线的斜率与截距间的关系，由两个向量的模相等，结合抛物线定义可求出两个交点横坐标的具体值，代入两根和的关系式得到直线的斜率与截距的另一关系式，解方程组可求解k的值．【解答】解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），与抛物线y2=4x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0．所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=16﹣16km＞0，即km＜1．，．由y2=4x得其焦点F（1，0）．由，得（1﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣1，y2）．所以，由①得，x1+2x2=3 ③由②得，．所以m=﹣k．再由，得，所以x1+1=2（x2+1），即x1﹣2x2=1④联立③④得．所以=．把m=﹣k代入得，解得，满足mk=﹣8＜1．所以．故选A ．【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答的关键是利用向量关系得到两个交点A ，B 的坐标的关系，同时灵活运用了抛物线的定义，属中高档题．6．要得到函数y=cos （2x ﹣）图象，只需将函数y=sin （+2x ）图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位 D ．向右平移个单位【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的图象关系进行化简求解即可．【解答】解： =cos2x ，∵=cos2（x ﹣），∴需将函数图象向右平移个单位即可得到，故选：D【点评】本题主要考查三角函数图象关系的判断，比较基础．7．若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，则此几何体的表面积是（ ）A ．24πB ．C ．D ．32π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体的表面积是圆柱的侧面积与半个求的表面积、圆锥的侧面积的和．【解答】解：圆柱的侧面积为S 1=2π×2×4=16π，半球的表面积为，圆锥的侧面积为，所以几何体的表面积为；故选C．【点评】本题考查了几何体的三视图以及表面积的计算．属于基础题．8．设a=7，b=（），c=log7，则下列关系中正确的是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数和指数函数的性质分别比较三个数与0或1的大小得答案．【解答】解：∵0＜a=7＜70=1，b=（）=，c=log7＜log71=0，∴c＜a＜b．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查指数函数与对数函数的性质，是基础题．9．函数y=xsinx+cosx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法排除A，C选项，再根据单调性得出选项D．【解答】解：∵f（0）=1，排除A，C；f'（x）=xcosx，显然在（0，）上，f'（x）＞0，∴函数为递增，故选：D．【点评】考查了抽象函数图象问题，可选用排除法和局部单调性法得出选项．对选择题的图象问题特殊法的应用，应熟练掌握．10．运行图所示的程度框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是（）A．k＞5 B．k＞6 C．k＞7 D．k＞8【考点】程序框图．【分析】本题根据当型循环结构输出的结果求判断框中的条件，由框图知算法执行的是求1+的和，列项求和后，求出对应的k值．【解答】解：由分析知，算法是求1+的和，由数列中的拆项求和得，1+=1+1﹣=2﹣，由2﹣=，得k=6，从判断框下面的执行框看，k=6还是要执行的，k＞6时结束循环，输出s．故选B．【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等，解决本题的关键是思考k的范围．11．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都相等，则异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，以AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小． 【解答】解：以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，以AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长为2，则A （0，0，0），B 1（，1，2），A 1（0，0，2），C （0，2，0），=（），=（0，2，﹣2），设异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值为θ，则cos θ===．∴异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小为． 故选：A ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．已知a，b∈R，直线y=ax+b+与函数f（x）=tanx的图象在x=﹣处相切，设g（x）=e x+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m（）A．有最小值﹣e B．有最小值e C．有最大值e D．有最大值e+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得b=﹣1，a=2，求出g（x）的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到m的最值．【解答】解：∵，∴，∴，又点在直线上，∴，∴b=﹣1，∴g（x）=e x﹣x2+2，g'（x）=e x﹣2x，g''（x）=e x﹣2，当x∈[1，2]时，g''（x）≥g''（1）=e﹣2＞0，∴g'（x）在[1，2]上单调递增，∴g'（x）≥g（1）=e﹣2＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，∴或e≤m≤e+1，∴m的最大值为e+1，无最小值，故选：D．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知向量，向量，若，则t= ﹣3 ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】直接利用向量共线的充要条件，列出方程化简求解即可．【解答】解：因为向量，向量，所以，又∥，所以3（1+t）﹣2t=0，解得t=﹣3，所以t=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．14．若sin（﹣α）=，则cos（+2α）的值为．【考点】二倍角的余弦；角的变换、收缩变换．【分析】利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为2﹣1，再利用诱导公式化为2﹣1，将条件代入运算求得结果．【解答】解：∵ =cos2（+α）=2﹣1=2﹣1=2×﹣1=，故答案为：．【点评】本题考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，把要求的式子化为2﹣1=2﹣1，是解题的关键．15．已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是x=﹣4和4x+3y+25=0 ．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可．【解答】解：圆心（﹣1，﹣2），半径r=5，弦长m=8设弦心距是d则由勾股定理r2=d2+（）2d=3若l斜率不存在，是x=﹣4圆心和他距离是﹣3，符合y+3=k（x+4）kx﹣y+4k﹣3=0则d==39k2﹣6k+1=9k2+9k=﹣所以x+4=0和4x+3y+25=0故答案为：x=﹣4和4x+3y+25=0【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查圆心到直线的距离公式的应用，注意直线的斜率不存在的情况，容易疏忽，产生错误．16．若不等式组所表示的平面区域存在点（x0，y），使x+ay+2≤0成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若a=0，则不等式x+ay+2≤0等价为x≤﹣2，此时不满足条件，若a＞0，则不等式等价为y≤﹣x﹣，直线y=﹣x﹣的斜率k=﹣＜0，此时区域都在直线y=﹣x﹣的上方，不满足条件．若a＜0，则不等式等价为y≥﹣x﹣，直线y=﹣x﹣的斜率k=﹣＞0，若平面区域存在点（x0，y），使x+ay+2≤0成立，则只要满足点A（0，2）满足条件不等式此时区域都在直线y=﹣x﹣的上方即可．即0+2a+2≤0，解得a≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及分类讨论的数学思想是解决本题的关键．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）数列{an }的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn．【考点】数列递推式．【分析】（1）利用递推关系可得an+1=3an，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得an+1﹣an=2an，an+1=3an，又a2=2S1+1=3，∴a2=3a1，故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．∴an=3n﹣1．（2）Sn==．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、递推公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2014•石景山区一模）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；茎叶图．【分析】（Ⅰ）先由频率分布直方图求出[50，60）的频率，结合茎叶图中得分在[50，60）的人数即可求得本次考试的总人数；（Ⅱ）根据茎叶图的数据，利用（Ⅰ）中的总人数减去[50，80）外的人数，即可得到[50，80）内的人数，从而可计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果．【解答】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，∴全班人数为．（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b 1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．【点评】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题．19．（12分）（2016•株洲一模）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP∥DE，且FP=，而AB∥DE，且AB=则ABPF为平行四边形，则AF∥BP，AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；（2）根据AB⊥平面ACD，DE∥AB，则DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，根据线面垂直的性质可知DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，满足线面垂直的判定定理，证得AF⊥平面CDE，又BP∥AF，则BP⊥平面CDE，BP⊂平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据可求出所求．【解答】（1）证：取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…（2分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．…（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．…又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．…（8分）（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，则C（0，﹣1，0），．…（9分）设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则令z=1，则n=（0，﹣1，1）．…（10分）显然，m=（0，0，1）为平面ACD的法向量．设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，则．α=45°，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．…（12分）【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及面面垂直的判定和利用空间向量定理二面角的平面角，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题．20．（12分）（2016•池州一模）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）求得圆O的方程，由直线和圆相切的条件：d=r，可得a的值，再由离心率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，可得b，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线y=k（x﹣2）和椭圆方程，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使•为定值，定点为（，0）．【解答】解：（1）由离心率为，得=，即c=a，①又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，且与直线相切，所以，代入①得c=2，所以b2=a2﹣c2=2．所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）由，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）＞0，即为6+6k2＞0恒成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=，x1x2=，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，则有=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）•（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+（4k2+m2）=（k2+1）•﹣（2k2+m）•+（4k2+m2）=，要使上式为定值，即与k无关，则应3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），即，此时=为定值，定点E为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．21．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）已知函数 f（x）=ln（e x+a）（a为常数，e为自然对数的底数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sin x在区间[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的值；（2）若在x∈上恒成立，求实数t的取值范围；（3）讨论关于x的方程=x2﹣2ex+m的根的个数．【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用f（﹣x）=﹣f（x），即ln（e﹣x+a）=﹣ln（e x+a）恒成立，即可求得实数a的值；（2）要使g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，只需﹣λ﹣sin 1≤t2+λt+1在λ≤﹣1时恒成立即可，令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin 1+1≥0（λ≤﹣1），解相应的不等式组即求实数t的取值范围；（3）对方程=x2﹣2ex+m的等号两端分别构造函数f1（x）=，f2（x）=x2﹣2ex+m，利用导数可分别求得二函数的最大值与最小值，对二最值的大小关系分类讨论，即可确定关于x的方程=x 2﹣2ex+m 的根的个数．【解答】解：（1）∵f （x ）=ln （e x +a ）是奇函数，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），即ln （e ﹣x +a ）=﹣ln （e x +a ）恒成立，∴（e ﹣x +a ）（e x +a ）=1，∴1+ae ﹣x +ae x +a 2=1．即a （e x +e ﹣x +a ）=0恒成立， 故a=0．（2分）（2）由（1）知g （x ）=λf （x ）+sin x=λx+sin x ，∴g ′（x ）=λ+cos x ，x ∈[﹣1，1]， ∴要使g （x ）=λf （x ）+sinx 是区间[﹣1，1]上的减函数，则有g ′（x ）≤0恒成立，∴λ≤﹣1．又∵g （x ）max =g （﹣1）=﹣λ﹣sin 1，∴要使g （x ）≤t 2+λt+1在x ∈[﹣1，1]上恒成立， 只需﹣λ﹣sin 1≤t 2+λt+1在λ≤﹣1时恒成立即可． ∴（t+1）λ+t 2+sin 1+1≥0（其中λ≤﹣1）恒成立．令h （λ）=（t+1）λ+t 2+sin 1+1≥0（λ≤﹣1），则即，而t 2﹣t+sin 1≥0恒成立， ∴t ≤﹣1．（7分）（3）由（1）知方程=x 2﹣2ex+m ，即=x 2﹣2ex+m ，令f 1（x ）=，f 2（x ）=x 2﹣2ex+m ．∵f ′1（x ）=，当x ∈（0，e]时，f ′（x ）≥0，∴f 1（x ）在区间（0，e]上为增函数； 当x ∈[e ，+∞）时，f ′1（x ）≤0，∴f 1（x ）在[e ，+∞）上为减函数；当x=e 时，f 1（x ）max =．而f 2（x ）=x 2﹣2ex+m=（x ﹣e ）2+m ﹣e 2 当x ∈（0，e]时f 2（x ）是减函数， 当x ∈[e ，+∞）时，f 2（x ）是增函数，∴当x=e 时，f 2（x ）取得极小值，也是最小值，即f 2（e ）=m ﹣e 2，故当m ﹣e 2＞，即m ＞e 2+时，方程无实根；当m﹣e2=，即m=e2+时，方程有一个根；当m﹣e2＜，即m＜e2+时，方程有两个根．（12分）【点评】本题考查函数恒成立问题，考查根的存在性与根的个数判断，考查等价转化思想与函数方程思想的综合运用，突出考查导数的应用，属于难题．选做题(请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时请写清题号)(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（2015•长春四模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离，并求出此时点P的坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（α是参数），x=2cos2α=1+cos2α，利用cos22α+sin22α=1即可得出．曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，利用即可得出．（2）设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t，代入圆的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，利用△=0，解得t．利用平行线之间的距离公式可得最小距离，进而得出点P．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α是参数），x=2cos2α=1+cos2α，∴（x﹣1）2+y2=1．曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，∴y﹣x=1，即x﹣y+1=0．（2）设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t，代入圆的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，∵△=4（t﹣1）2﹣8t2=0，化为t2+2t﹣1=0，解得．上的任意取t=﹣1，直线y=x+1与切线的距离d==﹣1，即为曲线C1的最小距离．一点P到曲线C2此时2x2+2（t﹣1）x+t2=0，化为=0，解得x==，y=，∴P．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切转化为△=0、平行线之间的距离公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•湖南模拟）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值；（2）由题意可得|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，将函数y=|2n﹣1|+|2n+1|+2，写成分段形式，求得y 的最小值，从而求得m的范围．【解答】解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|2n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2=，=4，∴ymin由存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，∴m≥4，即m的范围是[4，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．。
