北师大版高中数学必修1期末测试题

北师大期末卷一、选择题（5分×12=60分）则C R（A∩B）=（）1．己知A=｛y|y=10x｝ B=｛∪（10，＋∞）选D【解析】A=｛y|y＞0｝ B=｛x|x≤10｝∴A∩B=｛x|0＜x≤10}∴C R（A∩B）=｛x|x≤0或x＞10｝.2．设f、g都是由A到A的映射,其对应法则如下表（以上到下）：表1 映射f的对应法则表2 映射g的对应法则则与f[g（2）]相同的是（）A．g[f（1）] B．g[f（2）] C．g[f（3）] D．g[f（4）]选B【解析】∵f[g（2）]=f（3）=2 而g[f（2）] =g（4）=2∴g[f（2）] = f[g（2）] 故选B3．函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的解析式为（）A．f（x）=（x＋1）2（2－x）B．f（x）=（x＋1）2（x＋2）C．f（x）=－（x＋1）2（x＋2D．f（x）=（x＋1）2（x－2）选A【解析】观图知x＞2时 f（x）＜0；－1＜x＜2时f（x）＞0；x＜－1时f（x）＞0验证,在A中，f（3）＜0，f（0）＞0，f（－2）＞0∴f（x）=（x＋1）2（2－x）4．己知a、b是异面直线,直线c∥a那c与b（）A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线选C5．与两条直线3x＋2y－4=0, 3x＋2y＋8=距离相等的点的集合是（）A．3x＋2y－2=0 B．3x＋2y＋2=0 C．3x＋2y±2=0 D．以上都不对答案：B【解析】设所求直线为3x ＋2y ＋C=0∴C=2 选B6．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm ）则该几何体的表面积及体积分别为（ ）A ．24πcm 212πcm 3B ．15πcm 212πcm 3C ．24πcm2 36πcm 3D ．以上都不正确 选A【解析】该几何体为圆锥,其直观图如图所示∵高 h=4∴S=21×2π·3·5＋π·32=24πV=31π·32·4=12π 7．在圆x 2＋y 2=4上与直线4x ＋3y －12=0距离最短的点是（ ）A ．（58，56） B ．（58，－56） C ．（－58，56） D ．（－58，－56）选Ah5 3【解析】过圆心（0,0）作直线4x ＋3y －12=0的垂线,垂线方程为y －0=43（x －0），即y=43x ①直线①与圆的交点就是所要求的点,解方程组223y=x 4x +y =4⎧⎪⎨⎪⎩，解得8x=x 56y=5⎧⎪⎨⎪⎩或8x=x 56y=5⎧-⎪⎨⎪-⎩点（－85，－65）是与直线4x ＋3y －12=0距离最远的点,而点（85，65）是与直线4x ＋3y －12=0距离最短的点,故应选A8．己知f （x ）=(){a3a 1x 4a,(x 1)log x,(x 1)-+＜≥是（－∞，＋∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，31） C ．[ 71，31） D ．[71，1）选C【解析】∵x ≥1时,f （x ）=log a x 单调递减，∴0＜a ＜1 x ＜1时,f （x ）=（3a －1）x ＋4a 单调递减，故a ＜13又函数在定义域上连续，故当x=1时（3a －1）x ＋4a ≥log a x 得a ≥17综上17≤a ＜13选C ．9．己知a ＞0且a ≠1函数y=a x与y=log a （－x ）的图象可能是（ ）答案：B【解析】y=log a （－x ）与y=log a x 的图象关于y 轴对称若a ＞1则B 符合条件，若0＜a ＜1则无选择项符合各条件, 故选B10．长方体的一个顶点上三条棱长分别为3，4，5且它的八个顶点都是在同一球面上的点,这个球的表面积是（ ） A ．202π B ．252π C ．50πD ．200π选C【解析】由题长方体的对角线正好是外接球的直径． ∵d=222543++=52 ∴R=2d =225∴S=4πR2=4π（225）2=50π11．己知二次函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ＞0）和一次函数g （x ）=kx ＋m 若f （－b 2a）＜g （－b 2a）则这两函数图象的交点个数为 个（ ）A ．0B ．1C ．2D ．0或1 选C【解析】∵f （－b 2a）＜g （－b 2a）；∴直线g （x ）=kx ＋m 上必有一点A 在抛物线 内部（如图）（1）若k=0，则显然g （x ）=m 与x 轴平行必交抛物线于两点（2）若k ≠0，由于“指数爆炸”的性质,直线与抛物线除了一个交点B 外,必有另一个交点,故选C12．直线y=x ＋b 与曲线1个公共点,则b的取值范围是（ ） A ．．－1＜b ≤1且b=C ．－1≤b ≤1D ．非A,B,C 的结论选B【解析】将曲线x 2＋y 2=1（x ≥0），当直线y=x＋b与曲线x 2＋y 2=1相切时,即b=±观察图形（如图）可得当b=1＜b ≤1时,直线与曲线且仅有1个公共点．二、填空题（4分×4=16分）13．己知f （x ＋y ）=f （x ）·f （y ）且f （1）=1则()()f 2f 1＋()()f 3f 2＋…… ()()f 2008f 2007= ．【答案】2007【解析】令y=1．则f （x ＋1）=f （x ）·f （1）=f （x ）∴()()f x 1f x +=1 ∴原式=1＋1＋1………＋1=200714．过点（3,5）的所有直线中距原点最远的直线方程是 ．【答案】3x ＋5y －34=0【解析】所求直线一定与OA 垂直,而OA 的斜率K OA=53，所以所求直线的斜率为－35，所以所求直线方程为y－5=－35（x －3），即3x ＋5y －34=015．方程a x ＋1=－x 2＋2x ＋2a （a ＞0,a ≠1）的解的个数为 ． 【答案】2【解析】设y 1=a x＋1，y 2=－x 2＋2x ＋2a=－（x －1）2＋2a ＋1当x=1时，y 1=a ＋1，y 2=2a ＋1，a ＋1＜2a ＋1（a ＞0）由图像（如图）知有2个交点,故方程有2个解．16．在下列五个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠能够围成正方体的是 ．(5)(2)(3)【答案】 ① ③ ④ 三、解答题（12×5＋14=74分） 17．（本题满分12分）判断函数f （x ）=x 1x 00x=0x 1x 0-⎧⎪⎨+⎪⎩（＜）（）（＞）的奇偶性．【解析】f （－x ）=x 1x 00x=0x 1x 0---⎧⎪-⎨-+-⎪⎩（＜）（）（＞）∴f （－x ）=x 1x 00x 0x 1x 0--⎧⎪=⎨-+⎪⎩（＞）（）（＜）………6分而－f （x ）=x 1x 00x 0x 1x 0-+<⎧⎪=⎨-->⎪⎩（）（）（）∴f （－x ）=－f （x ），f （x ）为奇函数………………12分 18．（本题满分12分）如图：以正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1相邻的三条棱为坐标轴建立空间直角坐标系，正方体的棱长为1（1）若P 点为对角线BD 1的中点，Q 点为CC 1的中点，求|PQ|的值．（2）当P 为对角线BD 1的中点，而Q 是棱CC 1上的动点时，求|PQ|的最小值．【解析】（1）B（1，1，0） D1（0，0，1），P为BD1中点∴P（12，12，12）又C（0，1，0）、 C1（0，1，1），Q为CC1的中点∴Q（0，1，21）（中点坐标公式）于是|PQ|==…………………………6分（2）设Q（0，1，z），由①知P（12，12，12）∴故当z=12时,即Q为CC1的中点时, |PQ|有最小值,最小值为|PQ|min……12分19．（本题满分12分）一片森林面积为a,计划每年砍伐一批木材,每年砍伐面积的百分比相等,则砍伐到面积的一半时,所用时间是T 年．为了保护生态环境,森林面积至少要保留到原面积的14．己知到今年为止,．（1）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?（2）今后最多还能砍伐多少年?【解析】设每年降低的百分比为x（0＜x＜1）（1）设经过M则a （1－x ）T=12a ⇒Tlg （1－x ）=lg 12①又a （1－x ）Ma ⇒Mlg （1－x ）=lg②以上两式相除得T M=2 ∴M=T 2所以到今年为止,已砍伐了T 2年 ………………………………………6分 （2）设从今年开始,以后砍伐了N 年.则再砍伐Na （1－x ）N（1－x ）N≥14a1－x ）N≥14由（1）知（1－x ）T=12∴1－x= 1T12⎛⎫⎪⎝⎭N T12⎛⎫⎪⎝⎭≥14化为N712⎛⎫⎪⎝⎭=3212⎛⎫⎪⎝⎭∴N T≤32∴N ≤32T所以最多还能砍伐32T年………………………………………………12分 20．（本题满分12分）曲线x 2＋y 2＋x －6y ＋3=0上两点P ，Q 满足：①关于直线kx －y ＋4=0对称；②OP ⊥OQ (其中点O 为坐标原点).求直线PQ 的方程.【解析】曲线方程可化为21x 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋（y －3）2=254，其圆心坐标为（－12，3）.由①得,直线kx －y ＋4=0过圆心, ∴k ·（－12）－3＋4=0, ∴k=2.………………………………………3分∴PQ 的斜率k PQ =－1k=－12故设直线PQ 方程为y=－12x ＋b ，代入圆方程消去y 得54x 2＋（4－b ）x ＋b 2－6b ＋3=0设P （x 1,y 1），Q （x 2,y 2），则x 1,x 2= 2b 6b 354-+，x 1＋x 2=b 454-…………6分 由于OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2=0 即x 1x 2＋（－12x 1＋b ）（－12x 2＋b ）=0∴54x 1x 2－12b （x 1＋x 2）＋b 2=0∴54·2b 6b+34-－12b ·b 454-＋b 2=0 即8b 2－22b ＋15=0 ∴b=32或b=54…………………………………9分从而直线PQ 方程为：y=－12x ＋32或y=－12x ＋54，即x ＋2y －3=0或2x ＋4y －5=0……………………………………………12分 21．（本题满分12分）设f （x ）为定义在R 上的增函数,令g （x ）=f （x ）－f（1）求证：g（x）+g（2008－x）是定值．（2）判断g（x）在R上的单调性并证明．（3）若g（x1）＋g（x2）＞0,求证：x1＋x2＞2008【解析】（1）证明：g（x）=f（x）－f（2008－x）① g（2008－x）=f（2008－x）－f（x）②①＋②得g（x）＋g（2008－x）=0（定值）．……………………………3分（2）g（x）在R上单调递增．证明：任取x1, x2∈R,且x1＜ x2，于是g（x1）－g（x2）=[f（x1）－f（2008－x1）]－[f（x2）－f（2008－x2）]=[ f（x1）－f（x2）]＋[f（2008－x2）－f（2008－x1）] （1）由 f（x）为R上的增函数可知．f（x1）＜f（x2）, 即f（x1）－f（x2）＜0 （2）又 x1＜ x2,知－x1＞－x2, 2008－x1＞2008－x2f（2008－x1）＞f（2008－x2）即f（2008－x2）－f（2008－x1）＜0（3）由（2）（3）可得（1）式＜0, 即g（x1）2∴ g（x1）＜g（x2）即g（x）在R上单调递增．……………………………………8分（3）由（1）知g（x2）=－g（2008－x2）由g（x1）＋g（x2）＞0 得 g（x1）－g（2008－x2）＞0即g（x1）＞g（2008－x2）由于 g（x）在R上为增函数∴x1＞2008－x2∴x1＋x2＞2008………………………………12分22．（本题满分14分）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,边长为1，又PD=1，求证：（1）PD⊥平面ABCD；（2）求证:直线PB与AC垂直；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值；（4）求二面角A-PB-C的大小；（5）求四棱锥外接球的半径R。

一、选择题1．已知函数321()232x f x ax bx c =+++的两个极值分别为1()f x 和2()f x ，若1x 和2x 分别在区间(0,1)与(1,2)内，则21b a --的取值范围是（ ） A ．(1,14)B ．1[,1]4C ．1(,)(1,)4-∞+∞D ．1(,][1,)4-∞+∞2．设函数3,()log ,x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩()0a >， 若函数()2y f x =-有且仅有两个零点，则a的取值范围是（ ） A ．. ()0,2B ．()0,9C ．()9,+∞D ．()()0,29,⋃+∞3．函数()211f x x x=-+的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．34．已知函数()2()ln1f x x x =+-，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 5．已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列命题中正确的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为(1,4)，则函数()2f x 的定义域为(2,1)(1,2)--⋃B ．1y x =+和2(1)y x =+C ．定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞和(,0)-∞上具有相反的单调性D ．若不等式220ax bx ++>恒成立，则280b a -<且0a > 8．已知函数()3221x f x x =-+，且()()20f a f b ++<，则（ ） A ．0a b +<B ．0a b +>C ．10a b -+>D ．20a b ++<9．如果()()211f x mx m x =+-+在区间(]1-∞，上为减函数，则m 的取值范围（ ） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．103⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．103⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，10．已知x ，y 都是非零实数，||||||x y xy z x y xy =++可能的取值组成的集合为A ，则下列判断正确的是（ ） A ．3A ∈，1A -∉B ．3A ∈，1A -∈C ．3A ∉，1A -∈D ．3A ∉，1A -∉11．已知{}lg M y y x ==，{}xN y y a ==，则MN =（ ）A ．0,B ．RC ．∅D ．,012．若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21xB x =>，则()R C A B =（ ）A ．{}|10x x -≤<B ．{}|06x x <≤C ．{}|20x x -≤<D ．{}|03x x <≤二、填空题13．若函数4y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是______． 14．若函数2()2ln f x x a x =-++在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.15．已知函数2()log x f x =，实数,a b 满足0a b <<，且()()f a f b =，若()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则1b a+=________. 16．关于下列命题：①若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤ ②若函数1y x =的定义域是{}|2x x >，则它的值域是12y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ ③若函数2yx 的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤④若函数2log y x =的值域是{}|3y y ≤，则它的定义域是{}|8x x ≤其中不正确的命题的序号是________.（注：把你认为不正确的命题的序号都填上） 17．已知对于任意实数x ，函数f （x ）都满足f （x ）+2f （2-x ）=x ，则f （x ）的解析式为______．18．对于函数()f x ，若在定义域内存在．．实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若()12423xx f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是______19．设集合{}24,,3A m m m =+中实数m 的取值集合为M ，则R C M =_____.20．对于任意集合X 与Y ，定义：①{|X Y x x X -=∈且}x Y ∉；②()X Y X Y ∆=-()Y X -，（X Y ∆称为X 与Y 的对称差）.已知{}{}221,R =90A y y x x B x x ==-∈-≤，，则A B ∆=_________.三、解答题21．尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+. (1)已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约1210焦耳，试确定该次地震的类型;(2)2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? (取10 3.2=)22．如图所示，已知1(,)A x m 、2(,2)B x m +、3(,4)C x m +（其中2m ≥）是指数函数()2x f x =图像上的三点．(1)当2m =时，求123()f x x x ++的值；(2)设ABC ∆的面积为S ，求S 关于m 的函数()S m 及其最大值.23．已知函数()21log 1xf x x-=+. （1）求函数()f x 的定义域； （2）讨论函数()f x 的奇偶性；（3）证明：函数()f x 在定义域上单调递减. 24．计算下列各式的值：（1）1100.753270.064()160.258---++;（2）53log 425log lg lg 452++-. 25．已知函数1f x x +=+ （1）求函数()f x 的解析式、定义域；（2）函数()()g x f x ax =-，[]2,4x ∈，求函数()g x 的最小值. 26．设集合{}|36A x x =≤<，集合{}|19B x x =<≤. 求：（1）AB ；（2）()R C A B ⋃.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由极值点的所在区间即可知()f x 的导函数2()2f x x ax b '=++的零点区间，应用根的分布可得1310a b ->>-⎧⎨>>⎩，结合目标式的几何意义即可求其范围.【详解】由题意知：2()2f x x ax b '=++，而()f x 两个极值点1x 和2x 分别在区间(0,1)与(1,2)内，∴方程220x ax b ++=两个根在(0,1)与(1,2)内，()'f x 开口向上，∴012020b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩，可得1310a b ->>-⎧⎨>>⎩，即214122a b ->->-⎧⎨->->-⎩，∴令1,2x a y b =-=-，问题转化为在24,12x y ->>-->>-的可行域内的点与原点所成直线斜率yx的取值范围，如下图示：有1(,1)4yx∈，故选：A【点睛】本题考查了根据函数极值点的所在区间求目标式的范围，应用了极值点与导数关系、根的分布、不等式的性质，结合线性规划及目标式的几何意义求范围，属于中档题.2．D解析：D【分析】函数()2y f x=-有且仅有两个零点等价于()y f x=与2y=两个函数图象有且仅有两个交点，数形结合即可求出a的取值范围.【详解】令2x=可得12x=-，22x=；令3log2x=得39x=函数()2y f x=-有且仅有两个零点等价于()y f x=与2y=两个函数图象有且仅有两个交点，作3,()log,x x af xx x a⎧≤=⎨>⎩()0a>图象如图：当02a<<时，()y f x=与2y=两个函数图象有且仅有两个交点，交点横坐标为12x=-，39x=，符合题意；当29a ≤≤时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有3个交点，交点横坐标为12x =-，22x =，39x =，不符合题意；当9a >时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有2个交点，交点横坐标为12x =-，22x =，不符合题意；所以a 的取值范围是：()()0,29,⋃+∞， 故选：D 【点睛】本题主要考查了已知函数的零点个数求参数的范围，函数的零点转化为对应方程的根，转化为函数图象的交点，属于中档题.3．B解析：B 【分析】 令f(x)=0得211x x -+=0，所以211x x +=，再作出函数211y x y x=+=与的图像得解. 【详解】令f(x)=0得211x x -+=0，所以211x x +=，再作出函数211y x y x=+=与的图像, 由于两个函数的图像只有一个交点，所以零点的个数为1.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)零点问题的处理常用的方法有方程法、图像法、方程+图像法.4．D解析：D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))222()ln1ln11f x x x x x x x=+==-+++，其中21y x x +单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出()2()ln 1f x x x =+在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.5．A解析：A 【解析】分析：0.20.4b =， 0.60.4c =的底数相同，故可用函数()0.4xf x =在R 上为减函数，可得0.60.200.40.40.41<<=．用指数函数的性质可得0.20221a =>=，进而可得0.20.20.620.40.4>>．详解：因为函数()0.4xf x =在R 上为减函数，且0.2<0.4 所以0.60.200.40.40.41<<= 因为0.20221a =>=． 所以0.20.20.620.40.4>>． 故选A ．点睛：本题考查指数大小的比较，意在考查学生的转化能力．比较指数式的大小，同底数的可利用指数函数的单调性判断大小，底数不同的找中间量1，比较和1的大小．6．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．A解析：A 【分析】利用抽象函数的定义域列不等式判断A ；利用特例法判断BCD. 【详解】因为函数()f x 的定义域为(1,4)，由21412x x <<⇒<<或21x -<<-，所以函数()2f x 的定义域为(2,1)(1,2)--⋃，A 正确；1y x =+和1,11,1x x y x x +≥-⎧==⎨--<-⎩，对应法则不同，不表示同一函数，B 错； 偶函数()1f x =在(0,)+∞和(,0)-∞上不具有相反的单调性，C 错；0a b 时，不等式220ax bx ++>恒成立，但280b a -<且0a >不成立，D 错；故选：A. 【点睛】方法点睛：若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出，若已知函数()()f g x 的定义域为[],a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[],x a b ∈时的值域.8．A解析：A 【分析】求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解 【详解】由函数单调性性质得：3y x =，21xy =+在R 上单调递增所以()3221xf x x =-+在R 上单调递增， 令函数()()321121x x g x f x x -=+=-+，()()0g x g x +-=则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<． 故选:A 【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.9．B解析：B 【分析】当m =0时，()f x =1x -，符合题意.当0m ≠时，由题意可得0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，求得m 的范围.综合可得m 的取值范围.【详解】当0m =时，()1f x x =-+，满足在区间(]1-∞，上为减函数； 当0m ≠时，由于()()211f x mx m x =+-+的对称轴为12mx m-=，且函数在区间(]1-∞，上为减函数， 则0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，解得103m <≤.综上可得，103m ≤≤. 故选：B 【点睛】要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.10．B解析：B 【分析】分别讨论,x y 的符号，然后对||||||x y xy z x y xy =++进行化简，进而求出集合A ，最后根据集合元素的确定性即可得出答案. 【详解】当0x >，0y >时，1113z =++=； 当0x >，0y <时，1111z =--=-； 当0x <，0y >时，1111z =-+-=-； 当0x <，0y <时，1111z =--+=-. 所以3A ∈，1A -∈. 故选：B. 【点睛】本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.11．A解析：A 【解析】 【分析】先化简集合M ，N ，再计算M ∩N 即可． 【详解】由已知易得M ＝R ，N ＝{y ∈R|y >0}，∴M ∩N ＝(0，+∞）． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了集合的交运算，化简计算即可，比较简单．12．B解析：B 【解析】 【分析】求得集合{|1A x x =<-或6}x >，{}|0B x x =>，根据集合运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{}2|560{|1A x x x x x =-->=<-或6}x >，{}{}|21|0x B x x x =>=>，则{}|16R C A x x =-≤≤，所以(){}|06R C A B x x =<≤.故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题13．【分析】将函数存在零点转化为与图像有交点作出图像观察图像得出实数的取值范围【详解】解：设则函数存在零点等价于与图像有交点如图：函数的图像恒过点当其和函数的图像相切时有解得由图像可知所以所以与的图像有解析：30,⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】将函数244y ax a x =+--存在零点转化为()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】解：设()()4f x a x =+，2()4g x x =-，则函数244y ax a x =+--存在零点等价于()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交点， 如图：函数()()4f x a x =+的图像恒过点(4,0)-，当其和函数2()4g x x =-2421aa =+，解得3a =±，由图像可知，0a >，所以3a =所以()()4f x a x =+与2()4g x x =-30a ≤≤. 故答案为：30,3⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想，是中档题.14．【分析】将问题转化为在上有两个解令利用导数判断的单调性及最值数形结合即可求得a 的范围【详解】令可得令则因为当时当时所以在上单调递减在上单调递增所以当时取得最小值又所以因为在上有两个解所以故答案为：【 解析：441,1(]e + 【分析】将问题转化为22ln a x x =-在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，令2()2ln g x x x =-，利用导数判断()g x 的单调性及最值，数形结合即可求得a 的范围.【详解】令()0f x =可得22ln a x x =-，令2()2ln g x x x =-，则2222()2x g x x x x-'=-=，因为当211x e 时，()0g x '，当1x e <时，()0g x '>，所以()g x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(1,]e 上单调递增，所以当1x =时()g x 取得最小值(1)1g =，又224114,()2g g e e e e ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以21()g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 因为()ag x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，所以4114a e <+.故答案为：441,1(]e+ 【点睛】本题考查函数的零点、利用导数求函数的最值，考查等价转化思想和数形结合思想，属于中档题.15．4【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：4【点睛】解析：4 【分析】先画出函数图像并判断01a b <<<，再根据范围和函数单调性判断2x a =时取最大值，最后计算得到答案. 【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01a b <<<，所以201a a <<<．结合函数图象，易知当2=x a 时()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log2f aa ==又01a <<，所以12a =， 再结合()()f a f b =，可得2b =，所以2241b a+=+=. 故答案为：4 【点睛】关键点睛：解题关键在于，作出对数函数2()log x f x =的图象，得到01a b <<<，进而求解，属于中档题16．①②④【分析】根据①②③④各个函数的定义域求出各个函数的值域判断正误即可【详解】①中函数的定义域值域;故①不正确;②中函数的定义域是值域;故②不正确;③中函数的值域是则它的定义域可能是故③是正确的;解析：①②④ 【分析】根据①、②、③、④各个函数的定义域,求出各个函数的值域,判断正误即可. 【详解】①中函数2x y =的定义域{}|0x x ≤,值域2(0,1]x y =∈;故①不正确; ②中函数1y x =的定义域是{|2}x x >,值域110,2y x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭;故②不正确; ③中函数2y x 的值域是{|04}y y ≤≤,则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤,故③是正确的;④中函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤,∵2log 3,08y x x =≤∴<≤,,故④不正确; 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法,函数的值域,指数函数的定义域和值域,对数函数的值域与最值,考查计算能力,属于基础题.17．【分析】用2-x 换上f （x ）+2f （2-x ）=x①中的x 得到f （2-x ）+2f （x ）=2-x②这样①②联立即可解出f （x ）【详解】由题意因为f （x ）+2f （2-x ）=x①；∴f （2-x ）+2f （x ） 解析：()4f x x 3=-【分析】用2-x 换上f （x ）+2f （2-x ）=x①中的x 得到，f （2-x ）+2f （x ）=2-x②，这样①②联立即可解出f （x ）． 【详解】由题意，因为f （x ）+2f （2-x ）=x①； ∴f （2-x ）+2f （x ）=2-x②； ①②联立解得()43f x x =-. 故答案为()43f x x =-． 【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，其中解答中根据题意，联立方程组求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.18．【解析】∵局部奇函数∴存在实数满足即令则即在上有解再令则在上有解函数的对称轴为分类讨论：①当时∴解得；②当时解得综合①②可知点睛：新定义主要是指即时定义新概念新公式新定理新法则新运算五种然后根据此新解析：1m ≤【解析】∵()f x “局部奇函数”，∴存在实数x 满足()()f x f x -=-，即2242234223x x x x m m m m ---⨯+-=-+⨯-+，令2(0)xt t =>， 则222112()260t m t m t t +-++-=， 即2211()2()280t m t m tt+-++-=在(0,)t ∈+∞上有解，再令1(2)h t h t=+≥，则22()2280g h h mh m =-+-=在[2,)h ∈+∞上有解，函数的对称轴为h m =，分类讨论：①当2m ≥时，()()g h g m ≥，∴222()2280g m m m m =-+-≤，解得2m ≤≤②当2m <时，()()2g h g ≥，2(2)44280g m m ∴=-+-≤，解得12m -≤<.综合①②，可知1m ≤点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．19．【分析】根据集合中的元素的互异性列出不等式组求解【详解】由题：集合则化简得：解得：即所以故答案为：【点睛】此题考查根据集合中元素的互异性求参数的取值范围需要注意不重不漏 解析：{}4,2,0,1,4--【分析】根据集合中的元素的互异性，列出不等式组求解. 【详解】由题：集合{}24,,3A m m m =+，则224343m m m m m m ≠⎧⎪+≠⎨⎪+≠⎩，化简得：()()()441020m m m m m ⎧≠⎪+-≠⎨⎪+≠⎩， 解得：()()()()()(),44,22,00,11,44,m ∈-∞----+∞，即()()()()()(),44,22,00,11,44,M =-∞----+∞， 所以{}4,2,0,1,4R C M =--. 故答案为：{}4,2,0,1,4--【点睛】此题考查根据集合中元素的互异性求参数的取值范围，需要注意不重不漏.20．【分析】先求出AB 再求得解【详解】由题得所以所以=故答案为：【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用考查集合的并集运算意在考查学生对这些知识的理解掌握水平解析：)()-3,13⎡⋃+∞⎣，【分析】先求出A,B,,A B B A --,再求A B ∆得解. 【详解】由题得[1,)A =-+∞,[3,3]B =-， 所以(3,),B A [3,1)A B -=+∞-=--，所以A B ∆=()()A B B A -⋃-=)()3,13⎡-⋃+∞⎣，. 故答案为：)()3,13⎡-⋃+∞⎣，【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．(1) 破坏性地震 (2) 32倍【分析】(1)先阅读题意，再计算12 10 4.8= 4.81.5lg M -=，即可得解；(2)结合地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为4.8 1.5lgE M =+，再求出12 ,E E ，再求解即可.【详解】解:(1)当某次地震释放能量约102焦耳时,1210E =，代入 4.8 1.5lg E M =+,得12 10 4.812 4.8= 4.81.5 1.5lg M --==.因为4. 8 4.7>,所以该次地震为“破坏性地震”. (2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为12,E E . 由题意知,12 16.8, 18.3lg E Ig E ==，即16.818.31210 , 10E E ==,所以 1.52110E E ==3.2=,得2132E E = 故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震的32倍. 【点睛】本题考查了对数函数在实际问题中的应用，重点考查了阅读，处理实际问题的能力，属中档题.22．（1）48；（2）24log 3【分析】（1）根据指数运算法则求解，（2）作辅助线，将所求三角形面积转化为一个大直角三角形面积减去一个小直角三角形面积以及一个直角梯形面积，利用坐标表示面积，最后根据二次函数性质求最值. 【详解】（1）()()()123312123222224x x x x x x f x x x m m m ++++===++，∴ 当2m =时，()12348f x x x ++=；(2)过C 作直线l 垂直于x 轴，分别过,A B 作11,AA BB 垂直于直线l ，垂足分别为11,A B ，则1111ABC AAC BB C AA B B S S S S ∆∆∆=--梯形 ()()()31323231111422222x x x x x x x x =-⨯--⨯--+-⨯ ()()()()21322222log 2log log 4x x x m m m =-+=+-++()2222224log log 144m m m m m +⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭即S 关于m 的函数为：()224log 14S m m m ⎛⎫=+⎪+⎝⎭，[)2,m ∈+∞ 令24v m m =+，因为24v m m =+在[)2,+∞上是增函数，∴12v ≥ 再令41t v =+，则41t v =+在[)12,+∞上是减函数，∴413t <≤； 而2log S t =在区间41,3⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数，所以，函数()224log 14S m m m ⎛⎫=+⎪+⎝⎭在区间[)2,+∞上是减函数， 故当2m =时，()()2max 42log 3S m S ==．【点睛】本题考查指数函数、对数函数以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题. 23．(1) (1,1)- (2) 函数()f x 为奇函数 (3)证明见解析. 【分析】(1)由()f x 的定义域满足101xx->+可得答案. (2)直接判断()f x 与()f x -的关系可得答案. (3) 设1211x x -<<<，先作差判断出212111011--<<++x x x x ，再由对数函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增有，21222111log log 11x x x x --<++，即可得出结论. 【详解】解：（1）令101xx->+，可得()()110x x -+>，即()()110x x -+<，解得11x -<< 函数()f x 的定义域为(1,1)-（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称由2211()log log ()11x xf x f x x x+--==-=--+，可得函数()f x 为奇函数 （3）设1211x x -<<<设()()()()()()()()()122112212112121111211111111+--+-----==++++++x x x x x x x x x x x x x x∵1211x x -<<<∴121210,10,0x x x x +>+>-< ∴212111011--<<++x x x x 利用对数函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增有，21222111log log 11x x x x --<++ 即()()21f x f x <故函数()f x 在(1,1)-上单调递减． 【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域、奇偶性的判断和用定义法证明单调性，解答本题的关键是先得出2211x x -+与1111x x -+的大小关系，再由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增得到21222111log log 11x x x x --<++，即()()21f x f x <，属于中档题. 24．（1）10 （2）0 【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】 解:（1）1100.753270.064()160.258---++()11333244211254-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦51182210=（2）53log 425log lg lg 452++- 34223log 2log 2lg 5lg 22lg 24=-+-+-()331lg5lg 244=-++- 331144=-+- 0=【点睛】本题考查指数幂的运算,考查对数的运算.25．（1）22f xx ，[)2,x ∈+∞；（2）()2min22,42,484144,8a a ag x a a a -≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. 【分析】（1）利用换元法，求函数的解析式，并利用基本不等式求函数的定义域；（2）由（1）可知()22g x x ax =--，[]2,4x ∈，讨论对称轴和定义域的关系，求函数的最小值.【详解】解：（1）由题0x >，令t =，则2t ≥ ∴()22f t t =-∴22f xx ，[)2,x ∈+∞（2）()22g x x ax =--，[]2,4x ∈ 当4a ≤时，()()min 222g x g a ==-当48a <<时，2min224a a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 当8a ≥时，()()min 4144g x g a ==-综上所述：()2min22,42,484144,8a a ag x a a a -≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩ 【点睛】易错点点睛：本题第一问考查已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦，求()y f x =的解析式，容易忽略函数的定义域，即求函数()g x 的值域；本题第二问求函数的最值，不能直接就是顶点纵坐标，需讨论定义域和对称轴的关系，分情况求函数的最小值. 26．（1）{}|36A B x x ⋂=≤<；（2）()R C A B R ⋃= 【分析】（1）根据集合的交集运算即可（2）根据集合的补集、并集运算. 【详解】因为集合{}|36A x x =≤<，集合{}|19B x x =<≤ 所以{}|36A B x x ⋂=≤<. 所以{|3R C A x x =<或}6x ≥， ∴R C A B R ⋃=. 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集，并集运算，属于容易题.。

一、选择题1．已知函数()()2log 1,1212,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，若函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()2,3C ．(]3,4D ．()2,+∞2．已知函数22,2,()3, 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的函数()y f x k =-有且只有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()3,1-B ．()0,1C ．(]3,0-D ．()0,∞+3．具有性质：1()()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①1ln 1x y x -=+；②2211x y x -=+；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->其中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①4．已知函数()()2log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是（ ） A ．(],1-∞-B ．[)1,-+∞C ．[)1,1-D ．(]3,1--5．函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）.A ．(0,+∞)B ．(-,0)C ．(2,+∞)D ．(-,-2)6．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．若函数()22(3)8,1,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A．4,⎡-⎣B．4⎤⎦C ．[]3,4-D．⎡⎣8．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,9)B ．(3,+)∞C ．(,9)-∞D ．(0,9)9．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数0(2)y x =-的定义域是（ ） A ．[1,5]B ．((1,2)(2,5) C ．(1,2)(2,3]⋃D ．[1,2)(2,3]⋃10．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集11．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-．若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3m ≥B ．23m ≤≤C ．3m ≤D ．2m ≥12．已知集合{}2|230A x x x =--≤，集合{}||1|3B x x =-≤，集合4|05x C x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A ，B ，C 的关系为（ ）A ．B A ⊆B ．A B =C ．C B ⊆D ．A C ⊆二、填空题13．函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同的实数解，则正数m 的取值范围为______.14．已知函数254,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是_______．16．已知函数2()log x f x =，实数,a b 满足0a b <<，且()()f a f b =，若()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则1b a+=________.17．已知函数()4f x x a a x=-++，若当[]1,4x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______．18．已知函数2262()2x ax x f x a x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩，≤，，是R 上的减函数，则a 的取值范围为______．19．设P 为非空实数集满足：对任意给定的x y P ∈、（x y 、可以相同），都有x y P +∈，x y P -∈，xy P ∈，则称P 为幸运集.①集合{2,1,0,1,2}P =--为幸运集；②集合{|2,}P x x n n ==∈Z 为幸运集； ③若集合1P 、2P 为幸运集，则12PP 为幸运集；④若集合P 为幸运集，则一定有0P ∈；其中正确结论的序号是________20．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x AB ⊗=∈且}x A B ∉，已知{|2}2xA x x =<+，{|3}B x x =>-，则A B ⊗=_________ 三、解答题21．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*x x N ∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫-⎪⎝⎭万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x . （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？22．已知函数5()log ,(01)5ax f x a a x -=>≠+，． （1）判断()f x 的奇偶性，并加以证明；（2）设()log (3)a g x x =-，若方程()1()f x g x -=有实根，求a 的取值范围； 23．计算下列各式的值：（1）0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）3ln 2145log 2lg 4lg 82e +++ 24．计算下列各式的值：（1）1100.753270.064()160.258---++;（2）53log 425log lg lg 452++-. 25．已知函数()21f x x=- （1）证明函数()f x 在()0,∞+上是减函数． （2）求函数()f x 在[)2,x ∈+∞时的值域．26．已知集合{}12,U xx x P =-≤≤∈∣，{}02,A x x x P =≤<∈，{}1,(11)B x a x x P a =-<≤∈-<<.（1）若P =R ，求U A 中最大元素m 与UB 中最小元素n 的差m n -；（2）若P =Z ，求AB 和UA 中所有元素之和及()UAB .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，画两个函数的图象，观察图象即得结果. 【详解】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，分别画出()y f x =与()h x k =的图象，如图所示，5(1)2f -=，观察图象可得，当522k <≤时，两图象有3个交点，即函数()()F x f x k =-恰有3个零点. 故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．B解析：B 【分析】函数()y f x k =-零点的个数，即为函数()y f x =与函数y k =图象交点个数，结合函数图象可得实数k 的取值范围． 【详解】因为关于x 的函数()y f x k =-有且只有三个不同的零点，所以函数()y f x =与函数y k =图象有三个不同的交点，画出图象，如图：由图可知，当01k <<时，函数()y f x =与函数y k =图象有三个不同的交点，所以实数k 的取值范围是(0,1). 故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．C解析：C 【解析】①1ln 1x y x -=+；1111()ln ln ()111x x f f x x x x--==≠-++所以不符合题意；②2211x y x -=+；22221111()()111x x f f x x x x --===-++所以符合题意；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->当01x <<时11x >，故1()()f x f x x =-=-，当1,x =时11x =显然满足题意，当1x >时，101x <<，故11()()f f x x x==-符合题意，综合得选C 点睛：新定义倒负函数，根据题意逐一验证()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是否成立，在计算中要注意对数的公式得灵活变幻，对于分段函数要注意逐段去讨论4．C解析：C 【分析】由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.对于函数()()2log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得31x -<<.所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[)1,1-单调递减.外层函数log a y u =单调递减，由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[)1,1-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 5．D解析：D 【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成，而12log y u =在定义域内单调递减，24u x =-在(),2-∞-内单调递减，所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-， 故选：D. 【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.6．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.7．B解析：B 【分析】函数()f x 在R 上是增函数，则在两段上分别要单调递增，且在分界点处要满足2138a a -+--≤，从而得到答案.【详解】函数()22(3)8,1,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数，则满足下列条件：（1）()2238y x a x =-+--在(],1-∞递增，2312a -≥，即a ≥a ≤（2）y ax =在()1,+∞递增，则0a >（3）当1x =时满足2138a a -+--≤，解得34a -≤≤综上可得函数()f x 在R 上是增函数，实数a4a ≤≤ 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数的范围，解答本题的关键是分段函数要在定义域内单调递增，则在两段上要分别单调递增，且在分界点出满足2138a a -+--≤，这也时容易出错的地方，属于中档题.8．D解析：D 【分析】根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解. 【详解】当0m <时，二次函数2()(3)1f x mx m x =--+的图像开口向下，()g x mx =单调递减，故存在x 使得()f x 与()g x 同时为负，不符题意； 当0m =时，()31f x x =-+，()0g x =显然不成立； 当0m >时，2109m m ∆=-+， 若∆<0，即19m <<时，显然成立，0∆=，1m =或9m =，则1m =时成立，9m =时，13x =-时不成立，若0∆>，即01m <<或9m >，由(0)1f =可得： 若要()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如图，则必须有302mm->，解得01m <<， 综上可得：09m <<， 故答案为：D. 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有： （1）如果平方项有参数，则先讨论； （2）再讨论根的判别式； （3）最后讨论根的分布.9．C解析：C 【分析】由函数定义域的定义，结合函数0(2)1y x x =--有意义，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域为[]0,4，即[]0,4x ∈，则函数0(2)1y x x =--满足0141020x x x ≤+≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得13x <≤且2x ≠，所以函数0(2)y x =+-的定义域是(1,2)(2,3]⋃. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据题设条件和函数的解析式有意义，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．B解析：B 【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集.对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选B. 【点睛】本小题主要考查子集的判断，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于基础题.11．C解析：C 【分析】讨论,B B =∅≠∅两种情况，分别计算得到答案. 【详解】当B =∅时：1212m m m +>-∴< 成立；当B ≠∅时：12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：23m ≤≤.综上所述：3m ≤ 故选C 【点睛】本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.12．D解析：D 【分析】根据一元二次不等式的解法可求出集合A ，根据绝对值不等式的解法可求出集合B ，根据分式不等式的解法可求出集合C ，从而可得出集合A ，B ，C 间的关系. 【详解】解：由于{}{{}2|23013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}|1324B x x x x =-≤=-≤≤， {}4|0545x C x x x x -⎧⎫=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭，可知，A C ⊆. 故选：D. 【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式和分式不等式的解法，以及集合间的关系，考查计算能力.二、填空题13．【分析】先利用导数求出函数的单调区间和极值令由题意可知方程有两个不同的实数根根据数形结合和韦达定理可知一个根在内一个根在内再令因为所以只需由此即可求出的取值范围【详解】解：令得或1当时函数在上单调递解析：3366e m e >+【分析】先利用导数求出函数()f x 的单调区间和极值，令()f x t =，由题意可知，方程210t mt -+=有两个不同的实数根1t ，2t ，根据数形结合和韦达定理可知，一个根在36,e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭内，一个根在36,e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭内，再令()21g t t mt =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，由此即可求出m 的取值范围． 【详解】解：()()()()22331xxx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=得，3x =-或1，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >， 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减， 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增， 所以()()363f x f e=-=极大值，()()12f x f e ==-极小值， 令()f x t =，因为关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同的实数解，所以方程210t mt -+=有两个不同的实数根1t ，2t ，且一个根在360,e ⎛⎫⎪⎝⎭内，一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内，或者一根为36e ，另一根在()2,0e -内；因为m 为正数，所以121t t =，120t t m +=>，所以1t ，2t 都为正根，所以两个根不可能在()2,0e -内，也不可能一根为36e ，另一根在()2,0e -内； 所以实数根1t ，2t ，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 令()21g t t mt =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e>+，即m 的取值范围为：336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故答案为：336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．14．【分析】函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象有四个不同的交点画出函数图象利用数形结合思想进行求解即可【详解】函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象有四个不同的交点画出函数图象如下图所示：由图象可知 解析：(1,3)【分析】函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：由图象可知：实数a 的取值范围是13a <<. 故答案为：(1,3) 【点睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.15．【分析】根据分段函数单调性列出各段为增函数的条件并注意两段分界处的关系即可求解【详解】函数在R 上单调递增则需满足（1）当时函数单调递增；则（2）当时函数单调递增；则(3)函数在两段分界处满足即所以满 解析：23a <≤【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增 则需满足（1）当2x <时，函数()f x 单调递增；则2a > （2）当2x ≥时，函数()f x 单调递增；则1a >(3)函数()f x 在两段分界处2x =，满足()21221a a --⨯+≤，即3a ≤所以满足条件的实数a 的范围是23a <≤ 故答案为：23a <≤ 【点睛】关键点睛：本题考查由函数的单调性求参数范围，解答本题的关键是分段函数在上单调递增，从图象上分析可得从左到右函数图象呈上升趋势，即函数()f x 在[)2+∞，上的最小值大于等于函数在(),2-∞上的最大值.则()21221a a --⨯+≤，这是容易忽略的地方，属于中档题.16．4【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：4【点睛】解析：4 【分析】先画出函数图像并判断01a b <<<，再根据范围和函数单调性判断2x a =时取最大值，最后计算得到答案. 【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01a b <<<，所以201a a <<<．结合函数图象， 易知当2=x a 时()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log2f a a ==又01a <<，所以12a =， 再结合()()f a f b =，可得2b =，所以2241b a+=+=. 故答案为：4 【点睛】关键点睛：解题关键在于，作出对数函数2()log x f x =的图象，得到01a b <<<，进而求解，属于中档题17．【分析】对分段讨论去绝对值计算求解【详解】当时可得当时符合题意；当时则不符合题意；当时此时不符合题意综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题解题的关键是对分段讨论求解 解析：(],1-∞【分析】对a 分段讨论去绝对值计算求解. 【详解】当1a ≤时，()44f x x a a x x x=-++=+，可得当[]1,4x ∈时，()45f x ≤≤，符合题意；当14a <<时，()42,14,4a x x a xf x x a x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，则()1325f a =+>，不符合题意；当4a ≥时，()42f x a x x=-+，此时()13211f a =+≥，不符合题意， 综上，a 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是对a 分段讨论求解.18．2【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求【详解】解；是上的减函数解可得故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键解析：[2，209] 【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求． 【详解】 解；226,2(),2x ax x f x a x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，∴204462a a a a ⎧⎪⎪>⎨⎪⎪-+⎩， 解可得，2029a．故答案为：202,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键，属于中档题．19．②④【分析】①取判断；②设判断；③举例判断；④由可以相同判断；【详解】①当所以集合P 不是幸运集故错误；②设则所以集合P 是幸运集故正确；③如集合为幸运集但不为幸运集如时故错误；④因为集合为幸运集则当时解析：②④ 【分析】①取2x y ==判断；②设122,2x k P y k P =∈=∈判断；③举例12{|2,},{|3,}P x x k k Z P x x k k Z ==∈==∈判断；④由x y 、可以相同判断； 【详解】①当2x y ==，4x y P +=∉，所以集合P 不是幸运集，故错误； ②设122,2x k P y k P =∈=∈，则()()1212122,2,2x y k k A x y k k A xy k k A +=+∈-=-∈=⋅∈，所以集合P 是幸运集，故正确；③如集合12{|2,},{|3,}P x x k k Z P x x k k Z ==∈==∈为幸运集，但12P P 不为幸运集，如2,3x y ==时，125x y P P +=∉⋃，故错误；④因为集合P 为幸运集，则x y P -∈，当x y =时，0x y -=，一定有0P ∈，故正确； 故答案为：②④ 【点睛】关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的x y P ∈、（x y 、可以相同），都有x y P +∈，x y P -∈，xy P ∈”，灵活运用举例法.20．【分析】先计算集合A 再根据定义得到答案【详解】或且或故答案为：【点睛】本题考查了集合的新定义问题意在考查学生的理解能力和解决问题的能力解析：(,4)(3,2]-∞---【分析】先计算集合A ，再根据定义得到答案. 【详解】{{|2}42xA x x x x =<=<-+或2}x >-，{|3}B x x =>- {|A B x x A B ⊗=∈且{}4x A B x x ∉⋂=<-或}32x -<≤-故答案为：(,4)(3,2]-∞---【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和解决问题的能力.三、解答题21．（1）500名；（2）(0,5]. 【分析】（1）求出剩下1000x -名员工创造的利润列不等式求解； （2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫- ⎪⎝⎭x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x x 万元，列出不等关系，在（1）的条件下求出a 的范围． 【详解】解：（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯， 即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤. 即最多调整500名员工从事第三产业.（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫- ⎪⎝⎭x a x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x x 万元， 则311010(1000)1500500x a x x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以223110002500500x ax x x x -+--.所以221000500++x ax x，即210001500++x a x 在(0,500]x ∈时恒成立. 因为21000224500x x+=， 当且仅当21000500x x=，即500x =时等号成立，所以5a ≤， 又0a >，所以05a <≤.所以a 的取值范围为(0,5].【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，直接根据函数模型列出不等式求解即可，考查了学生的数学应用意识，运算求解能力．22．（1）奇函数，证明见解析；（2）a ⎛∈ ⎝⎦.【分析】（1）先求定义域，再利用函数奇偶性的定义即可判断（2）通过()log (3)a g x x =-，将()1()f x g x -=化简，求出方程中a 的表达式，通过变形，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）()f x 为奇函数 由505x x ->+解得定义域为{|5x x >或5}x <-关于原点对称， 55()log log ()55a a x x f x f x x x ----==-=--++，所以()f x 为奇函数 ；（2） 由题意知log log ()a a x 51x 3x 5--=-+，即5log log (3)5aa x a x x -=-+， 所以()535x a x x -=-+， 即5(5)(3)x a x x -=+-在(5,)+∞有解，设5x t -=，则(0,)t ∈+∞设(10)(2)ty t t =++，则12012y t t=++，因为201212t t++≥，当且仅当20t t==等号成立 ， 所以12012y t t=++值域为30,16⎛ ⎝⎦，所以30,16a ⎛∈ ⎝⎦， 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断，函数的零点与方程的根的关系，属于中档题. 23．（1）53-；（2）172. 【分析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误. 【详解】（1）原式()()1134340.321-⎡⎤=-+⎣⎦150.32143-=-+-=-.（2）原式32ln 2322log 2515lg 4lg lg 1621828log 4e ⎛⎫=+++=-+⨯+ ⎪⎝⎭ 172=. 【点晴】本题主要考查函数的定义域、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）24．（1）10 （2）0 【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】 解:（1）1100.753270.064()160.258---++()11333244211254-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦51182210=（2）53log 425log lg lg 452++- 34223log 2log 2lg 5lg 22lg 24=-+-+- ()331lg5lg 244=-++- 331144=-+- 0=【点睛】本题考查指数幂的运算,考查对数的运算. 25．（1）证明见解析；（2）(]1,0-. 【分析】（1）在()0,∞+上任意取两个实数1x ，2x ，且12x x <，然后怍差()()()2112122x x f x f x x x --=判断其符号即可.（2）根据（1）知()f x 在[)2,+∞上是减函数，由2x =取得最大值，再由20x>确定值域. 【详解】（1）在()0,∞+上任意取两个实数1x ，2x ，且12x x <，则有()()()2112121222211x x f x f x x x x x --=--+=，又因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >， 所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以()f x 在()0,∞+上是减函数．（2）由（1）知()f x 在[)2,+∞上是减函数， 所以当2x =时()max 0f x =， 又因为20x>，所以211x ->-，所以函数()f x 在()0,∞+上的值域为(]1,0-． 【点睛】方法点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．26．（1）3；（2）所求元素之和为1，(){}1,1,2UAB =-或(){1,0,1,2}UAB =-.【分析】（1）根据P =R ，然后利用补集的运算，分别求得UA ，UB 再求解.（2）根据P =Z ，得到{}{}02,0,1A x x x =≤<∈=Z ，{}1B =或{}0,1，进而得到{}0AB =或A B =∅求解.【详解】（1）因为P =R ，{}12,U xx x P =-≤≤∈∣， 所以{|10U A x x =-≤<或}2x =，{}1,12U B xx a x =-≤≤-<≤∣， ∴2m =，1n =-， ∴(13)2m n --=-=.（2）∵P =Z ， ∴{}{}12,1,0,1,2U x x x =-≤≤∈=-Z ， ∴{}{}02,0,1A x x x =≤<∈=Z ，{}1B =或{}0,1. ∴{}0A B =或A B =∅，即A B 中元素之和为0. 又{}1,2U A =-，其元素之和为121-+=.故所求元素之和为011+=. ∵{}0A B =或A B =∅， ∴(){}1,1,2U A B =-或(){1,0,1,2}U A U C B C U =∅==-.【点睛】本题主要考查集合的补集运算，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.。

一、选择题1．已知1,0()1,0ax x f x x x x +≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则下列关于[()]1y f f x =+的零点的判断正确的是（ ） A ．当0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点； B ．当0a >时，有3个零点，当0a <时，有2个零点； C ．无论a 为何值，均有2个零点； D ．无论a 为何值，均有4个零点．2．函数1,(0)()0,(0)x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不等的实数根的充分必要条件是（ ） A ．2b <-且0c >B ．2b >-且0c <C ．2b <-且0cD ．2b ≥-且0c3．已知函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若123123()()(),(,,f x f x f x x x x ==互不相等），则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．(2,0]-B ．(1,0)-C ．(1,0]-D ．(2,0)-4．已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a 的取值范围为（ ）A ．34a >B ．304a <<或43a >C ．304a <<或1a > D ．1a >5．已知函数()()213log f x x ax a =--对任意两个不相等的实数1x 、21,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，都满足不等式()()21210f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭6．已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数(||1)f x +的图象大致是A ．B ．C ．D ．7．已知函数f (x )满足f (x -1)=2f (x )，且x R ∈，当x ∈[-1，0)时，f (x )=-2x -2x +3，则当x ∈[1,2)时，f (x )的最大值为（ ） A ．52B ．1C ．0D ．-18．若函数y =f (x )的定义域为[]1,2，则y =f (12log x )的定义域为（ ）A ．[]1,4B ．[]4,16C ．[]1,2D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2018 B ．2019 C ．4036 D ．4038 10．已知集合{,}P a b =,{|}Q M M P =⊆，则P 与Q 的关系为（ ）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．P Q ∈D ．P Q ∉11．已知集合123,,A A A 满足: {}*123|19A A A x N x =∈≤≤,且每个集合恰有3个元素,记()1,2,3i A i =中元素的最大值与最小值之和为()1,2,3i M i =,则123M M M ++的最小值为（ ） A ．21B ．24C ．27D ．3012．设U 为全集，()UB A B =，则A B 为（ ）A ．AB ．BC ．UB D ．∅二、填空题13．若函数244y ax a x =+-存在零点，则实数a 的取值范围是______． 14．对于函数()f x ，若在定义域存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．若函数()423xxf x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为______．15．已知11225x x -+=22165x x x x --+-=+-______. 16．有以下结论：①将函数x y e =的图象向右平移1个单位得到1x y e-=的图象；②函数()xf x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称③对于函数()xf x a =(a >0,且1a ≠)，一定有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭④函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方.其中正确结论的序号为_________.17．已知函数()2f x x =，()1g x a x =-，a 为常数，若对于任意1x ，[]20,2x ∈，且12x x <，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-则实数a 的取值范围为________.18．当12x x ≠时，有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称函数()f x 是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是__________． ①y x =②||y x =③2y x ④2log y x =19．设集合{}1,2,4A =，{}2|40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =__________．20．已知集合2|230A x x x ，{}|0B x x a =-=，若B A ≠⊂，则实数a 的值为______.三、解答题21．某市出租汽车的收费标准如下：在3km 以内（含3km ）的路程统一按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km ；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为20km 时，折旧费为0.1元.现设一次载客的路程为x km. （1）试将出租汽车一次载客的收费F 与成本C 分别表示为x 的函数；（2）若一次载客的路程不少于2km ，则当x 取何值时，该市出租汽车一次载客每千米的收益y 取得最大值？（每千米收益计算公式为)F Cy x-=22．某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本f (x )万元，()f x =2550500,040,100,25003013000,40,100.x x x x N x x x N x ⎧++<<∈⎪⎨+-≥∈⎪⎩假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.（1）求利润g (x )（万元）关于产量x （百台）的函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.23．已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠），满足(2)(1)6f f +=； （1）求()f x 的解析式；（2）若方程()(2),[0,1]m f x f x x =-∈有解，求m 的取值范围；（3）已知()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，函数()()()f x g x h x =+；若存在[1,2]x ∈使得2()(2)0ag x h x +≤，求a 的取值范围．24．已知222log ()log log x y x y +=+，则x y +的取值范围是__________. 25．已知函数()2112f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠. （1）设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；（2）设0m n <<且0a > 时，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值； （3）若1≥x 时不等式()22a f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知集合A ={x |12x -≤≤}，B ={x |123m x m +≤≤+} （1）当m =1时，求AB ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】按0a >和0a <分类讨论[()]1y f f x =+的零点个数，即确定[()]10f f x +=的解的个数，可得正确选项． 【详解】0x >时，1()f x x x=-是增函数，()(,)f x ∈-∞+∞，此时()f x m =对任意m R ∈均有一解．0x ≤时，若0a >，()1f x ax =+是增函数，()(,1]f x ∈-∞，此时()f x m =在1m 时有一解，1m 时无解，若0a <，()1f x ax =+是减函数，()[1,)f x ∈+∞，此时()f x m =在m 1≥时有一解，1m <时无解，由[())10f f x +=得[()]1f f x =-，设()1f t =-，则0a >时，()1f t =-的解为2t a =-和12t =，20a-<，1012<<，因此2()f x a =-有两解，1()2f x =有两解，共4解．0a <时，()1f t =-只有一解1t =<，()f x =∴函数[()]1y f f x =+在0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点，解题方法是转化与化归思想，转化为方程[()]10f f x +=的解．通过换元法，先求得()1f t =-的解，若0t 是其解，再求0()f x t =的解，从而得出结论．2．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的方程的根进行分析，得到五个根的情况，从而判断出0c ，之后利用()f x b =-有四个根，结合函数图象求得结果. 【详解】当0x =时()0f x =，当0x =为()()20fx bf x c ++=的一个根时可得0c.所以()()20f x bf x c ++=即()()20f x bf x +=有4个不同的根， ()0f x ≠，()f x b ∴=-有4个根.0x ≠时()11122f x x x x x x x=+=+≥=，图象如图所示：由图可知22b b ->⇒<-. 综上可得2,0b c <-=. 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关根据函数零点的个数判断参数的取值范围的问题，充要条件的判断，在解题的过程中，注意数形结合思想的应用，属于中档题目.3．C解析：C 【分析】做出函数图像，由图象得出三个交点的横坐标关系，以及交点横坐标的取值范围，即可求解. 【详解】做出函数()f x 的图象如图，设()()()123===f x f x f x a ，则01a <≤， 因此12232(1)2,0log 1+=⨯-=-<≤x x x ,得312<≤x 于是12310-<++≤x x x ， 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的对称性和对数的运算性质，正确画图和通过图象观察是解题关键，属于中档题.4．C解析：C 【分析】 先判断1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，原不等式等价于3log 14a <，分类讨论，利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】 因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数，所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <， 由1log a a =，知3log log 4a a a <,当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故34a <，从而304a <<； 当1a >时，log ay x =在()0,∞+上单调递增，故34a >，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是304a <<或1a >，故选C. 【点睛】解决抽象不等式()()f a f b <时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数()f x 的单调性．若函数()f x 为增函数，则a b <；若函数()f x 为减函数，则a b >．5．C解析：C 【分析】由题意可知，函数()()213log f x x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，利用复合函数的单调性可知，内层函数2u x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，且0>u 对任意的1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭恒成立，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】因为()()21210f x f x x x ->-，所以()()213f x log x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数， 令2u x ax a =--，而13log y u =是减函数，所以2u x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，且20u x ax a =-->在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立，所以212211022aa a ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪----≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得112a -≤≤. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，解题时还应注意真数要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．B解析：B 【分析】利用对数函数的图象，以及函数的奇偶性和图象的变换，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，由函数()log a f x x =是增函数知，1a >， 当0x ≥时，函数(1)log (1)a y f x x =+=+，将函数1()log ,()a f x a x >=的图象向左平移1个单位，得到函数log (1)a y x =+的图象，又由函数(1)y f x =+满足(1)(1)f x f x -+=+，所以函数(1)y f x =+为偶函数， 且图象关于y 轴对称， 故选B. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的图象变换的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．B解析：B 【分析】 首先设[)1,2x ∈，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.【详解】 设[)1,2x ∈，[)21,0x -∈-，()()()222222323f x x x x x ∴-=----+=-++， ()()()()211214f x f x f x f x -=--=-=⎡⎤⎣⎦， ()()()()2211122311444f x f x x x x ∴=-=-++=--+， [)1,2x ∈，()f x ∴在区间[)1,2单调递减，函数的最大值是()11f =.故选：B 【点睛】思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量x 设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数()f x 的解析式. 8．D解析：D 【分析】根据复合含定义域的求法，令121log 2x ≤≤，求函数的定义域.【详解】函数()y f x =的定义域为[]1,2，12log y f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭的定义域，令121log 2x ≤≤，解得：1142x ≤≤ ，即函数的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D【点睛】方法点睛：一般复合函数的定义域包含以下几点：已知函数()y f x =的定义域为D ，求()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域，即令()g x D ∈，求x 的取值范围，就是函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域；已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为D ，求函数()y f x =的定义域，即求函数()g x ，x D ∈ 的值域.9．A解析：A 【分析】根据函数解析式可验证出()()12f x f x +-=，采用倒序相加法可求得结果. 【详解】()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，令122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则201712019201922018019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=. 故选：A . 【点睛】本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定()()1f x f x +-为常数.10．C解析：C 【分析】用列举法表示集合Q ,这样就可以选出正确答案. 【详解】{}M P M a ⊆⇒=或{}b 或{},a b 或∅.因此{}{}{}{}{|},,,,Q M M P a b a b =⊆=∅,所以P Q ∈.故选：C 【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系,理解本题中集合Q 元素的属性特征是解题的关键.11．C解析：C 【分析】求出{}{}*123|191,2,3,4,5,6,7,8,9A A A x N x =∈≤≤=，由题意列举出集合123,,A A A ，由此能求出123M M M ++的最小值. 【详解】 由题意可知，{}{}*123|191,2,3,4,5,6,7,8,9A A A x N x =∈≤≤=123,,A A A 各有3个元素且不重复，当{}13,4,5A =，{}22,6,7A =，{}31,8,9A =时，123M M M ++取得最小值，此时最小值为12357927+++++=，故选C 【点睛】本题主要考查集合中的元素运算，解题的关键是理解题中满足的条件，属于中档题.12．D解析：D 【分析】根据题意作出“韦恩图”，得出集合A 与集合B 没有公共元素，即可求解. 【详解】由题意，集合U 为全集，()UBA B =，如图所示，可得集合A 与集合B 没有公共元素，即A B =∅，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的运算及应用，其中解答中根据题设条件，作出韦恩图确定两集合的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】将函数存在零点转化为与图像有交点作出图像观察图像得出实数的取值范围【详解】解：设则函数存在零点等价于与图像有交点如图：函数的图像恒过点当其和函数的图像相切时有解得由图像可知所以所以与的图像有解析：30,3⎡⎢⎣⎦【分析】将函数244y ax a x =+-()()4f x a x =+与2()4g x x =-点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】解：设()()4f x a x =+，2()4g x x =-，则函数244y ax a x =+--存在零点等价于()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交点， 如图：函数()()4f x a x =+的图像恒过点(4,0)-，当其和函数2()4g x x =-2421aa =+，解得3a =±，由图像可知，0a >，所以3a = 所以()()4f x a x =+与2()4g x x =-30a ≤≤. 故答案为：30,3⎡⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想，是中档题.14．【分析】根据局部奇函数的定义便知若函数是定义在上的局部奇函数只需方程有解可设从而得出方程在时有解从而设由二次函数的性质分析可得答案【详解】根据题意由局部奇函数的定义可知：若函数是定义在上的局部奇函数 解析：[)2,-+∞【分析】根据“局部奇函数”的定义便知，若函数()f x 是定义在R 上的“局部奇函数”，只需方程()()2222280x x x x m --+-+-=有解．可设()222x x t t -+=≥，从而得出方程280t mt --=在2t ≥时有解，从而设()28g x t mt =--，由二次函数的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数()423xxf x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则方程()()f x f x -=-有解，即()423423xx x x m m ---⋅-=--⋅-有解；变形可得()442260xxx x m --+-+-=，即()()2222280x xx x m --+-+-=有解即可.设22x x t -+=，则222x x t -=+≥=，当且仅当0x =时，等号成立. 则方程()()f x f x -=-等价为280t mt --=在2t ≥时有解.设()28g t t mt =--，若方程280t mt --=的两根分别为1t 、2t ，则1280t t =-<，所以，()2428240g m m =--=--≤， 解可得：2m ≥-，即m 的取值范围为[)2,-+∞． 故答案为：[)2,-+∞． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.15．【分析】对平方可得再平方可得即可求解【详解】两边同时平方得：所以对两边同时平方得：则故答案为：【点睛】此题考查指数式的化简求值进行整体变形处理利用平方关系得出等量关系解析：12-【分析】 对1122x x-+=13x x -+=，再平方可得227x x -+=，即可求解.【详解】1122x x-+=125x x -++=，所以13x x -+= 对13x x -+=两边同时平方得：2229x x -++=，227x x -+=则22167615352x x x x --+--==-+--. 故答案为：12- 【点睛】此题考查指数式的化简求值，进行整体变形处理，利用平方关系得出等量关系.16．②③④【分析】①根据图象的平移规律直接判断选项；②根据指对函数的对称性直接判断；③根据指数函数的图象特点判断选项；④先求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象解析：②③④ 【分析】①根据图象的平移规律，直接判断选项；②根据指对函数的对称性，直接判断；③根据指数函数的图象特点，判断选项；④先求22x x -+的范围，再和0比较大小. 【详解】①根据平移规律可知xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象，所以①不正确；②根据两个函数的对称性可知函数()xf x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称，正确；③如下图，设1a >，122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的是曲线上横坐标为122x x +的点C 的纵坐标，()()122f x f x +是线段AB 的中点D 的纵坐标，由图象可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，同理，当01a <<时，结论一样，故③正确；④2217721244x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝⎭根据函数的单调性可知()222log 2log 10x x -+>=，所以函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方，故④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】思路点睛：1.图象平移规律是“左＋右－”，相对于自变量x 来说，2.本题不易判断的就是③，首先理解122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭和()()122f x f x +的意义，再结合图象判断正误. 17．02【分析】构造函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）利用F （x ）的单调性求出a 【详解】解：对于任意x1x2∈02且x1＜x2都有f （x1）﹣f （x2）＜g （x1）﹣g （x2）即f （x1）﹣g （x1）＜f解析：[0，2]【分析】构造函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），利用F （x ）的单调性求出a 【详解】解：对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），即f （x 1）﹣g （x 1）＜f （x 2）﹣g （x 2），令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣a |x ﹣1|，即F （x 1）＜F （x 2），只需F （x ）在[0，2]单调递增即可，当x ＝1时，F （x ）＝0，图象恒过（1，0）点， 当x ＞1时，F （x ）＝x 2﹣ax +a ， 当x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a ， 要使F （x ）在[0，2]递增，则当1＜x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣ax +a 的对称轴x ＝12a≤，即a ≤2， 当0≤x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a 的对称轴x ＝02a-≤，即a ≥0， 故a ∈[0，2]， 故答案为：[0，2] 【点睛】考查恒成立问题，函数的单调性问题，利用了构造函数法，属于中档题．18．③【解析】按照严格下凸函数的定义检测四个函数如①不满足严格下凸函数的定义对于②当同号时相等不满足定义；对于③作差可知对于④因为所以不正确故选③点睛：本题涉及新概念及函数大小的比较属于创新题有一定难度解析：③ 【解析】按照严格下凸函数的定义检测四个函数，如①121222x x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()()121222f x f x x x ++=，不满足严格下凸函数的定义，对于②，121222x x x xf ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()121222x x f x f x ++=，当1x ，2x 同号时，相等，不满足定义；对于③2121222x x x x f ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()22121222f x f x x x ++=，作差可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，对于④12122l 22x xx x f og ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()122122212l l 1l 222f x f x og x og x og x x og ++===，因为122x x +>不正确，故选③.点睛：本题涉及新概念及函数大小的比较，属于创新题，有一定难度.解决此类问题时，要紧扣新给出的定义、法则、运算，然后去甄别那些符合这些要求，本题在给出严格下凸函数的定以后，要去应用定义，看看那个函数符合这一要求，解题中遇到大小比较时可以作差比较.19．【解析】因为所以为方程的解则解得所以集合 解析：{}1,3【解析】 因为{}1A B ⋂=，所以1x =为方程240x x m -+=的解， 则140m -+=，解得3m =，所以2430x x -+=，(1)(3)0x x --=，集合{}1,3B =．20．-1或3【分析】解方程用列举法表示集合AB 由即得解【详解】集合若故a=-1或3故答案为：-1或3【点睛】本题考查了集合的包含关系考查了学生概念理解数学运算能力属于基础题解析：-1或3 【分析】解方程，用列举法表示集合A ，B ，由B A ≠⊂，即得解. 【详解】 集合2|230{1,3}Ax x x ，{}|0{}B x x a a =-==若B A ≠⊂，故a =-1或3 故答案为：-1或3 【点睛】本题考查了集合的包含关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.三、解答题21．（1）7,032.40.2,3x F x x <≤⎧=⎨->⎩，212.3 1.6(0)4000C x x x =++>；（2）100km. 【分析】（1）根据在3km 以内（含3km ）的路程统一按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费求得F ，设折旧费2z kx =，由路程为20km 时，折旧费为0.1元.代入求得k ，再根据运输成本包含固定费用，二是燃油费和折旧费求得C . （2）根据F Cy x-=，结合（1）求得y ，再根据分段函数的最值的求法求解. 【详解】（1）由题意得：7,037 2.4(3),3x F x x <≤⎧=⎨+->⎩，. 即7,032.40.2,3x F x x <≤⎧=⎨->⎩. 设折旧费2z kx =，将(20,0.1)代入，得0.1400k =，解得14000k =. 所以212.3 1.6(0)4000C x x x =++>. （2）因为F Cy x-=， 所以 4.7 1.6,2340002.50.8,34000x x x y x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩，当3x >时，由基本不等式，得0.80.75y ≤-=， 当且仅当100x =时取等号.当23x ≤≤时，由y 在[2,3]上单调递减， 当2x =时，得max 10.750.752000y =-<. 综上所述，该市出租汽车一次载客路程为100km 时，每千米的收益y 取得最大值. 【点睛】方法点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．22．（1）252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩；（2）产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元. 【分析】（1）依题意求出各段的函数解析式，再写成分段函数即可； （2）根据解析式求出各段函数的最大值，再取最大的即可； 【详解】解：（1）由题意可知，当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝300x -5x 2-50x -500-1000＝-5x 2+250x -1500；当x ≥40，100x ∈N 时，25002500()300301300010002000g x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭ 综上，252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩（2）当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝-5x 2+250x -1500＝-5(x -25)2+1625，且当x ＝25时，g (x )取得最大值1625；当x ≥40，100x ∈N 时，2500()2000()1900g x x x=-+≤，当且仅当x ＝50时，g (x )取得最大值1900.综上，当x ＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元. 【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型. (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 23．（1）()2x f x =；（2）[2,0]-；（3）17,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【分析】（1）根据(2)(1)6f f +=求解出a 的值，即可求解出()f x 的解析式；（2）采用换元法构造函数2(),[1,2]F t t t t =-∈，将m 的取值范围与()F t 的最值联系在一起，由此求解出结果；（3）先根据函数的奇偶性求解出()(),h x g x 的解析式，然后采用分离参数法得到1222222x x x x a --⎡⎤≤--+⎢⎥-⎣⎦，采用换元法求解出1222222xx x x --⎡⎤--+⎢⎥-⎣⎦的最大值，从而求解出a 的取值范围.【详解】（1）因为(2)(1)6f f +=，所以260,2a a a +-==或3a =-（舍去），所以()2x f x =；（2）由（1）知，()2xf x =，所以()222222x xxx m =-=-，令2,[1,2]xt t =∈，令2(),[1,2]F t t t t =-∈，所以()F t 的对称轴为12t =，且()F t 为开口向下的二次函数，所以()F t 在[]1,2上单调递减，所以()()ma min x (2)2,(1)0F t F F t F -====，所以m 的取值范围为[2,0]-； （3）因为()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，所以()(),()()g x g x h x h x -=--=．由题()()()f x g x h x =+知，2()()2()()x x g x h x g x h x -⎧=+⎨=-+-⎩，即2()()2()()x x g x h x g x h x -⎧=+⎨=-+⎩解得2222(),()22x x x xh x g x --+-==将上式代入2()(2)0ag x h x +≤，得()()221222202x xxx a ---++≤，易知()22222212211222222222222xx x xx xxx xxx x a -------++⎡⎤≤-⋅=-⋅=--+⎢⎥---⎣⎦． 令12,[1,2]2x xt x =-∈，则315,24t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，122a t t ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭， 因为存在[1,2]x ∈使得2()(2)0ag x h x +≤，所以max12132173222122a t t ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫≤-+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ⎪⎝⎭所以a 的取值范围是17,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【点睛】方法点睛：不等式在指定区间上有解或恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的关系.24．[4,)+∞【分析】利用对数式的运算性质把给出的等式变形，去掉对数符号后利用基本不等式转化为关于(x +y )的二次不等式，求解后即可得到x +y 的取值范围. 【详解】222log ()log log x y x y +=+，x y xy ∴+=，0,0x y >>，2()2x y x y xy +∴+=≤，当且仅当2x y ==时，等号成立。