第四节圆周运动
一种变速运动．
3．线速度和周期的关系式是________，角速度和周期的关系式是________，线速度和角速度的关系式是________，频率和周期的关系式是________．
4．在分析传动装置的各物理量之间的关系时，要先明确什么量是相等的，什么量是不等的，在通常情况下：
(1)同轴的各点角速度、转速、周期________，线速度与半径成________．
(2)在不考虑皮带打滑的情况下，皮带上各点与传动轮上各点线速度大小________，而角速度与半径成________．
5．下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是( )
A．线速度不变B．角速度不变
C．加速度为零D．周期不变
6．关于匀速圆周运动的角速度和线速度，下列说法正确的是( )
A．半径一定，角速度和线速度成反比
B．半径一定，角速度和线速度成正比
C．线速度一定，角速度和半径成反比
D．角速度一定，线速度和半径成正比
【概念规律练】
知识点一匀速圆周运动的概念
1．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中错误的是( )
A．相等的时间内通过的路程相等
B．相等的时间内通过的弧长相等
C．相等的时间内运动的位移相同
D．相等的时间内转过的角度相等
知识点二描述圆周运动的物理量之间的关系
图1
2．如图1所示，圆环以直径AB为轴匀速转动，已知其半径R＝0.5 m，转动周期T＝4 s，求环上P点和Q点的角速度和线速度．
知识点三传动装置问题的分析
3．如图2所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动
轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )
图2
A ．从动轮做顺时针转动
B ．从动轮做逆时针转动
C ．从动轮的转速为r 1r 2
n
D ．从动轮的转速为r 2r 1
n
4．如图3所示的皮带传动装置(传动皮带是绷紧的且运动中不打滑)中，主动轮O 1的半 径为r 1，从动轮O 2有大小两轮且固定在同一个轴心O 2上，半径分别为r 3、r 2，已知r 3 ＝2r 1，r 2＝1.5r 1，A 、B 、C 分别是三个轮边缘上的点，则当整个传动装置正常工作时， A 、B 、C 三点的线速度之比为________；角速度之比为________；周期之比为________．
图3
【方法技巧练】
圆周运动与其他运动结合的问题的分析技巧 5.
图4
如图4所示，半径为R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方h 处沿OB 方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B ，则小球的初速度v ＝________， 圆盘转动的角速度ω＝________. 6．如图5所示，
图5
有一直径为d 的纸制圆筒，使它以角速度ω绕轴O 匀速转动，然后使子弹沿直径穿过圆
筒．若子弹在圆筒旋转不到半周时，就在圆筒上先后留下a 、b 两个弹孔，已知aO 、bO 的夹角为φ，求子弹的速度．
1．静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是( ) A ．它们的运动周期都是相同的 B ．它们的线速度都是相同的 C ．它们的线速度大小都是相同的 D ．它们的角速度是不同的
2．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是 ( )
A ．线速度大的角速度一定大
B ．线速度大的周期一定小
C ．角速度大的半径一定小
D ．角速度大的周期一定小 3．如图6所示
图6
是一个玩具陀螺．a 、b 和c 是陀螺外表面上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角
速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( ) A ．a 、b 和c 三点的线速度大小相等 B ．a 、b 和c 三点的角速度相等 C ．a 、b 的角速度比c 的大 D ．c 的线速度比a 、b 的大 4．甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3， 那么下列说法中正确的是( ) A ．它们的半径之比为2∶9 B ．它们的半径之比为1∶2 C ．它们的周期之比为2∶3 D ．它们的周期之比为1∶3 5.
图7
如图7所示为一种早期的自行车，这种不带链条传动的自行车前轮的直径很大，这样的 设计在当时主要是为了( ) A ．提高速度 B ．提高稳定性 C ．骑行方便 D ．减小阻力 6．如图8所示，两个小球固定在一根长为l 的杆的两端，绕杆上的O 点做圆周运动．当 小球A 的速度为v A 时，小球B 的速度为v B ，则轴心O 到小球A 的距离是( )
图8 A ．v A (v A ＋v B )l
B.
v A l
v A ＋v B
C.
v A ＋v B l
v A
D.v A ＋v B l
v B
车型：20英寸 (车轮直径：508 mm) 电池规格：36 V 12 A·h(蓄电池) 整车质量：40 kg
额定转速：210 r/min 外形尺寸：L1 800 mm×W650 mm×H1 100 mm
充电时间：2 h ～8 h 电机：后轮驱动、直流永磁式电机
额定工作电压/电
流：36 V/5 A
A ．15 km/h
B ．18 km/h 题 号 1 2 3 4 5 6 7 答 案
图9
如图9所示，一个圆环绕着一沿竖直方向通过圆心的轴OO ′做匀速转动，M 点和圆心 的连线与竖直轴的夹角为60°.N 点和圆心的连线与竖直轴的夹角为30°，则环上M 、N 两点的线速度大小之比v M ∶v N ＝________；角速度大小之比ωM ∶ωN ＝________；周期 大小之比T M ∶T N ＝________.
9．如果把钟表上的时针、分针、秒针看成匀速转动，那么它们的角速度之比为ω时∶
ω
分
∶ω秒＝________；设时针、分针、秒针的长度之比为1∶1.5∶1.8，那么三个指针尖
端
的线速度大小之比为v 时∶v 分∶v 秒＝________. 10．如图10所示，
图10
两个摩擦传动的轮子，A 为主动轮，转动的角速度为ω.已知A 、B 轮的半径分别是R 1
和
R 2，C 点离圆心的距离为R 2
2
，求C 点处的角速度和线速度．
11.2009年花样滑冰世锦赛双人滑比赛中，张丹、张昊再次获得亚军．张昊(男)以自己为
转轴拉着张丹(女)做匀速圆周运动，转速为30 r/min.张丹的脚到转轴的距离为 1.6 m ．求：
(1)张丹做匀速圆周运动的角速度； (2)张丹的脚运动速度的大小．
12．观察自行车的主要传动部件，了解自行车是怎样用链条传动来驱动后轮前进的，如 图11所示，是链条传动的示意图，两个齿轮俗称“牙盘”，试分析并讨论：
图11
(1)同一齿轮上各点的线速度、角速度是否相同？
(2)两个齿轮相比较，其边缘的线速度是否相同？角速度是否相同？转速是否相同？ (3)两个齿轮的转速与齿轮的直径有什么关系？你能推导出两齿轮的转速n 1、n 2与齿轮的
直径d 1、d 2的关系吗？
第4节 圆周运动
课前预习练
1．切线 ①弧长 ②Δs Δt ④圆弧的切线 转动 ①角度 ②Δθ
Δt 快慢程度 ①一周
2πr
v
s ②圈数 r/s r/min
2．相等 切线
3．v ＝2πr T ω＝2πT v ＝rω f ＝1T
4．(1)相等 正比 (2)相等 反比
5．BD [匀速圆周运动的角速度是不变的，线速度的大小不变，但方向时刻变化，故匀速圆周运动的线速度是改变的，因而加速度不为零．]
6．BCD [由v ＝ωr ，知B 、C 、D 正确．] 课堂探究练
1．C [匀速圆周运动在任意相等的时间内通过的弧长相等，通过的角度相等，但相等时间段内对应的位移方向不同，故C 错．]
2．1.57 rad/s 1.57 rad/s 0．39 m/s 0.68 m/s
解析 P 点和Q 点的角速度相同，其大小是
ω＝2πT ＝2π
4
rad/s ＝1.57 rad/s
P 点和Q 点绕AB 做圆周运动，其轨迹的圆心不同．P 点和Q 点的圆半径分别为
r P ＝R ·sin 30°＝12R ，r Q ＝R ·sin 60°＝3
2
R .
故其线速度分别为
v P ＝ω·r P ≈0.39 m/s，v Q ＝ω·r Q ＝0.68 m/s.
点评 解决此类题目首先要确定质点做圆周运动的轨迹所在的平面及圆心的位置，从而确定半径，然后由v 、ω的定义式及v 、ω、R 的关系式来计算．
3．BC [主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A 项错误，B 项正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v ＝2πrn ，可得两轮转速与半径成反比，所以C 项正确，D 项错误．]
4．4∶4∶3 2∶1∶1 1∶2∶2
解析 因同一轮子(或固定在同一轴心上的两轮)上各点的角速度都相等，皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的轮缘上各点在相等时间内转过的圆弧长度相等，其线速度都相等．故本题中的B 、C 两点的角速度相等，即
ωB ＝ωC
① A 、B 两点的线速度相等，即v A ＝v B
② 因A 、B 两点分别在半径为r 1和r 3的轮缘上，r 3＝2r 1.
故由ω＝v r
及②式
可得角速度ωA ＝2ωB ③ 由①③式可得A 、B 、C 三点角速度之比为 ωA ∶ωB ∶ωC ＝2∶1∶1
④
因B 、C 分别在半径为r 3、r 2的轮缘上，
r 2＝32r 1＝34
r 3
故由v ＝r ω及①式
可得线速度v B ＝4
3
v C
⑤ 由②⑤式可得A 、B 、C 三点线速度之比为
v A ∶v B ∶v C ＝4∶4∶3 ⑥
由T ＝2π
ω
及④式可得A 、B 、C 三点的周期之比为
T A ∶T B ∶T C ＝1∶2∶2.
⑦
点评 ①同一圆盘上的各点角速度和周期相同．②皮带(皮带不打滑)或齿轮传动的两圆盘，与皮带相接触的点或两圆盘的接触点线速度相同．
5．R
g
2h 2n πg
2h
(n ＝1,2,3，…) 解析 小球做平抛运动，在竖直方向上有h ＝12
gt 2
，则运动时间t ＝
2h
g
.
又因为水平位移为R ，所以小球的初速度
v ＝R t ＝R g 2h
. 在时间t 内圆盘转过的角度θ＝n ·2π(n ＝1,2,3，…)
又因为θ＝ωt ，则圆盘转动的角速度ω＝θt ＝n ·2π
t
＝2n π
g
2h
(n ＝1,2，3，…) 方法总结 由于圆周运动的周期性，解答时要注意各种解的可能性．与平抛运动的结合也是从时间上找突破口，兼顾位移关系．
6.
ωd
π－φ
解析 子弹从a 穿入圆筒到从b 穿出圆筒，圆筒旋转不到半周，故圆筒转过的角度为
π－φ，则子弹穿过圆筒的时间为t ＝π－φ
ω
.
在这段时间内子弹的位移为圆筒的直径d ，则子弹的速度为v ＝d t ＝
ωd
π－φ
.
方法总结 两种运动的结合，其结合点是时间，抓住时间的等量关系，此题就可迎刃而解．
课后巩固练
1．A [绕同一转动轴做匀速圆周运动的物体上的各点的角速度相同，周期也相同，故A 正确，D 错误；由v ＝ωR 可得物体的线速度大小随圆周运动的半径的不同而不同，故B 、C 错误．]
2．D [解决这类题目的方法是：确定哪个量不变，寻找各物理量之间的联系，灵活选取公式进行分析．由v ＝ωr 知，r 一定时，v 与ω成正比，v 一定时，ω与r 成反比，故
A 、C 均错；由v ＝2πr T 知，r 一定时，v 越大，T 越小，
B 错；由ω＝2π
T
可知，ω越大，T
越小，故D 对．]
点评 公式v ＝ωr ，在半径不确定的情况下，不能由角速度大小判断线速度大小，也
不能由线速度大小判断角速度的大小，但由ω＝2π
T
可看出，角速度越大，周期越小．
3．B [a 、b 和c 都是陀螺上的点，其角速度均为ω，故B 正确，C 错误；由题图可知，a 、b 和c 三点随陀螺旋转而做圆周运动的半径关系是r a ＝r b >r c ，由v ＝ωr 可知，v a ＝v b >v c ，故A 、D 均错误．]
4．AD [由v ＝ωr ，所以r ＝v ω，r 甲r 乙＝v 甲ω乙v 乙ω甲＝29，A 对，B 错；由T ＝2πω，T 甲∶T 乙＝1
ω甲
∶1
ω乙＝1
3
，D 对，C 错．] 5．A [在骑车人脚蹬车轮、转速一定的情况下，据公式v ＝ωr 知，轮子半径越大，车轮边缘的线速度越大，车行驶得也就越快，故A 选项正确．]
6．B [设轴心O 到小球A 的距离为x ，因两小球固定在同一转动杆的两端，故两小球做圆周运动的角速度相同，半径分别为x 、l －x .根据ω＝v r 有：v A x ＝
v B l －x ，解得x ＝v A l
v A ＋v B
，
故正确选项为B.]
7．C [由题意可知车轮半径为R ＝254 mm ＝0.254 m ，车轮额定转速为n ＝210 r/min ＝21060 r/s ＝72
r/s ，车轮转动的角速度ω＝2n π，则在轮缘上各点的线速度为v ＝ωR ＝2n πR ＝2×7
2×3.14×0.254×3.6 km/h＝20 km/h.]
8.3∶1 1∶1 1∶1
解析 M 、N 两点随圆环转动的角速度相等，周期也相等，即：ωM ∶ωN ＝1∶1，T M ∶T N
＝1∶1，设圆环半径为R ，M 、N 转动的半径分别为r M ＝R sin 60°，r N ＝R sin 30°，由v ＝ωr 知：v M ∶v N ＝sin 60°∶sin 30°＝3∶1.
点评 分析同一环转动的问题时，可抓住各点ω、T 相同，根据v ＝ωr 分析线速度的关系．
9．1∶12∶720 1∶18∶1 296
10．C 点处的角速度为R 1R 2ω，线速度为R 1
2
ω
解析 A 、B 两轮边缘的线速度相等，设为v ，则有v ＝ωR 1＝ωB R 2，又ωC ＝ωB ，故ωC
＝R 1R 2ω，v C ＝ωC R 22＝R 1
2
ω. 11．(1)3.14 rad/s (2)5.0 m/s
解析 (1)转动转速n ＝30 r/min ＝0.5 r/s
角速度ω＝2π·n ＝2π×0.5 rad/s＝3.14 rad/s. (2)张丹的脚做圆周运动的半径r ＝1.6 m ，所以她的脚的运动速度v ＝ωr ＝π×1.6 m/s ＝5.0 m/s.
12．(1)线速度不同 角速度相同 (2)相同 不同 不同 (3)反比 n 1d 1＝n 2d 2
解析 (1)同一齿轮上的各点绕同一轴转动，因而各点的角速度相同．但同一齿轮上的各点，因到转轴的距离不同，由v ＝ωr 知，其线速度不同．
(2)自行车前进时，链条不会脱离齿轮打滑，因而两个齿轮边缘的线速度必定相同．但两个齿轮的直径不同，根据公式v ＝ωr 可知，两个齿轮的角速度不同，且角速度与半径成反比．由角速度ω和转速n 之间的关系：ω＝2πn 知，两齿轮角速度不同，转速当然也不同．
(3)因两齿轮边缘线速度相同，而线速度和角速度以及转速之间的关系是：v ＝ωr ，ω＝2πn ，故2πn 1R 1＝2πn 2R 2，即n 1d 1＝n 2d 2，两个齿轮的转速与齿轮的直径成反比．。
