高考数学三角函数解答题高考试题汇编

1．已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC ⋅=,求c 的值； (2)若c=5，求sin ∠A 的值．2 已知函数()sin()(0,0),f x A x A x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是1，其图像经过点1(,)32M π。

（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2παβ∈，且312(),(),513f f αβ==求()f αβ-的值 3.已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值;（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值 4．设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期． （1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知94125f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值． 5.已知函数1()2sin(),36f x x x π=-∈R .(1)求(0)f 的值；(2)设10,0,,(3)2213f ππαβα⎡⎤∈+=⎢⎥⎣⎦，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值. 一．选择填空题1.在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 2..在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 3.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）94.设函数（A ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（C ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 4π对称（D ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 2π对称5.）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y=_______.6．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 7．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ二：解答题1.已知函数()4cos sin() 1.6f x x x π=+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—三角函数解答题目录题型一：三角恒等变换...........................................................................1题型二：三角函数与向量综合...............................................................4题型三：三角函数的图像与性质...........................................................8题型四：正余弦定理的应用.................................................................20题型五：与三角形周长、面积有关问题..............................................38题型六：三角函数的建模应用.............................................................50题型七：结构不良型试题 (56)(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -．【答案】(1)1313(2)5(3)26-解析：(1)由正弦定理可得，sin sin a b A B =，即2sin120sin B = ，解得：sin 13B =；(2)由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即21394222c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得：5c =或7c =-(舍去)．(3)由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即5sin120sin C = ，解得：sin 26C =，而120A =o ，所以,B C 都为锐角，因此cos 26C ==，cos 13B ==，故()sin sin cos cos sin 1326132626B C B C B C -=-=⨯-⨯=-．2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．(1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．【答案】(1)31010(2)6解析：(1)3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，sin 10A ∴=．(2)由(1)知，10cos 10A ==，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin (210105A C A C =+=+=，由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255522b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 610h b A ∴=⋅==．3．(2018年高考数学江苏卷·第16题)(本小题满分14分)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．(1)求cos 2α的值；(2)求tan()αβ-的值．【答案】解析：(1)因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，29cos 25α=，因此27cos 22cos 125αα=-=-．(2)因为,αβ为锐角，所以(0,)αβπ+∈．又因为5cos()5αβ+=，所以25sin()5αβ+=，因此，tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-++．4．(2018年高考数学浙江卷·第18题)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin(π)α+的值;(2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β值．【答案】(1)45；(2)5665-或1665．【解析】(1)由角α终边过点34(,55P --得4sin =5α-，所以4sin =sin =5απα+-（）．(2)由角α终边过点34(,55P --得3cos =5α-，由5sin()13αβ+=得12cos +=13αβ±（）．由()βαβα=+-得cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++当12cos()13αβ+=时，1235456cos 13513565β⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当12cos()13αβ+=-时，1235416cos 13513565β⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以56cos =65β-或1665．5．(2014高考数学广东理科·第16题)已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)求A 的值；(2)若23)()(=-+θθf f ，2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．【答案】解：(1)依题意有55233sin sin 12124322f A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A =(2)由(1)得()),4f x x x Rπ=+∈，()()3sin sin 442f f ππθθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++-+==⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦cos 4θ∴=，(0,)sin 24πθθ∈∴=== 33304444f πππθθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-+==⎪ ⎝⎭⎝⎭6．(2014高考数学江苏·第15题)已知),2(ππα∈，55sin =α．(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值．【答案】(1)1010-；(2)43310+-解析：(1)因为α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin α＝55，所以cos α＝255=-．故sin π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝252510⎛⎫⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝42555⎛⨯⨯-=- ⎝⎭，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2325⨯=⎝⎭，所以cos 5π5π5π2cos cos 2sin sin 2666ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＝314525⎛⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭题型二：三角函数与向量综合1．(2014高考数学山东理科·第16题)已知向量(,cos 2)a m x = ，(sin 2,)b x n = ，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-．(Ⅰ)求,m n 的值；(Ⅱ)将()y f x =的图象向左平移ϕ(0ϕπ<<)个单位后得到函数()y g x =的图象．若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间．【答案】(Ⅰ)⎩⎨⎧==13n m (Ⅱ)z k k k ∈+-],,2[πππ解析：(Ⅰ)已知x n x m b a x f 2cos 2sin )(+=⋅=，)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ36cos 6sin 12(=+=∴πππn m f 234cos 34sin )32(-=+=πππn mf 1221222m n m n ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪--=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m ．(Ⅱ))62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f )(x f 左移ϕ后得到622sin(2)(πϕ++=x x g 设)(x g 的对称轴为0x x =，1120=+=x d 解得00=x 2)0(=∴g ，解得6πϕ=x x x x g 2cos 222sin(2)632sin(2)(=+=++=∴πππ222,k x k k Zπππ∴-+≤≤∈,2k x k k Z πππ∴-+≤≤∈)(x f ∴的单调增区间为[,],2k k k Zπππ-+∈2．(2017年高考数学江苏文理科·第16题)已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b (1)若a b ,求x 的值;(2)记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】(1)5π6x =(2)0x =时,()f x 取得最大值,为3;5π6x =时,()f x取得最小值,为-．解析:解:(1)因为 cos ,s n )i (x x = a,(3,= b ,a b ,所以3sin x x =．若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠．于是3tan 3x =．又[0,]x π∈,所以5π6x =．(2)π(cos ,sin )(3,3cos s ()o (6f x x x x x x =⋅=⋅==+ a b ．因为[0,]x π∈,所以ππ7π[,666x +∈,从而π1cos()62x -≤+≤．于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3;当π6x +=π,即5π6x =时,()f x取到最小值-．3．(2014高考数学辽宁理科·第17题)(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙= ，1cos 3B =，3b =，求：(1)a 和c 的值；(2)cos()B C -的值．【答案】(1)a =3，c =2；(2)2327解析：(1)2BA BC ∙= ，1cos 3B =，cos 2BA BC B ∴∙= ，即6a c ⋅=①，由余弦定理可得2221cos 23a c b B ac +-==，化简整理得2213a c +=②，①②联立，解得，a =3，c =2；(2)12cos ,sin 33B B =∴== ，因为a =3，3b =，c =2，由余弦定理可得2227cos29a cb Cab -+==，42sin 9C ∴==，7123cos()cos cos sin sin 939327B C B C B C ∴-=+=⋅+⋅=．解析2：(2)在△ABC 中，1cos ,sin 33B B =∴==，根据正弦定理sin sin b cB C=可得sin 42sin 9c B C b ==，a b c => ，C ∴为锐角，7cos 9C ∴==，7142223cos()cos cos sin sin 939327B C B C B C ∴-=+=⋅+⋅=．4．(2015高考数学陕西理科·第17题)(本小题满分12分)C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()m a =与()cos ,sin n =A B平行．(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)2．分析：(Ⅰ)先利用//m n可得sin sin 0a B -A =，再利用正弦定理可得tan A 的值，进而可得A 的值；(Ⅱ)由余弦定理可得c 的值，进而利用三角形的面积公式可得C ∆AB 的面积．解析：(Ⅰ)因为//m n，所以sin cos 0a B A =，由正弦定理，得sinA sinB A 0-=又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<<，所以3A π=(Ⅱ)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A=+-而2,a ==3πA =得2742c c =+-，即2230c c --=因为0c >，所以3c =．故C ∆AB的面积为1bcsinA 22=．解法二：由正弦定理，得72sin sin 3π=B，从而21sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos 7B =．故()321sinC sin A B sin sin cos cos sin 33314B B πππ⎛⎫=+=B +=+=⎪⎝⎭所以C ∆AB的面积为133bcsinA22=．5．(2015高考数学广东理科·第16题)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．(1)若m n ⊥，求tan x的值;(2)若m与n 的夹角为3π，求x 的值．【答案】解析：(1) ,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(sin,cos )n x x =，且m n ⊥ ，sin sin cos 0,sin cos ,tan 122cos x m nx x x x xx∴⋅=-=∴===(2)11sin cos ||||cos ,sin()223242m n x x m n x ππ⋅=-=⋅=∴-=5(0,,,,24444612x x x x πππππππ⎛⎫∈∴-∈-∴-== ⎪⎝⎭题型三：三角函数的图像与性质1．(2014高考数学江西理科·第17题)已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,其中,(,22a R ππθ∈∈-(1)当4a πθ==时,求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值;(2)若()0,()12f f ππ==,求,a θ的值．【答案】(1最小值为-1．(2)1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩分析:(1)求三角函数最值,首先将其化为基本三角函数形式:当4a πθ==时,22()sin(sin cos sin()42224f x x x x x x x πππ=+++=+=-,再结合基本三角函数性质求最值:因为[0,]x π∈,从而3[,]444x πππ-∈-,故()f x 在[0,]π上的最大值为2,2最小值为-1．(2)两个独立条件求两个未知数,联立方程组求解即可．由(02()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩,又(,22ππθ∈-知cos 0,θ≠解得1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩解析:解(1)当4a πθ==时,22()sin())sin cos sin()42224f x x x x x x x πππ=+++=+-=-因为[0,]x π∈,从而3[,444x πππ-∈-故()f x 在[0,]π上的最大值为2,2最小值为-1．(2)由()02()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩,又(,)22ππθ∈-知cos 0,θ≠解得1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩2．(2019·浙江·第18题)设函数()sin f x x =，x ∈R ．(Ⅰ)已知[0,2)θπ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；(Ⅱ)求函数22[([(124y f x f x ππ=+++的值域．【答案】【意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。

2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。

1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值； （2）若b=2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1) 由余弦定理：conB=14sin22A B ++cos2B= -14（2）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b=2， a2+c 2=12ac+4≥2ac,得ac ≤38,S △ABC =12acsinB ≤315(a=c 时取等号)故S △ABC 的最大值为3152在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cosB 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值.解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B（II ）解：由2cos ,2==⋅B a 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以a ＝c ＝ 63已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = （2，0），且m 与n 所成角为π3，其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角。

(1)求角B 的大小;(2)求 C A sin sin +的取值范围。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

专题05北京高考三角函数选填真题1.【2024年北京卷06】已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =−，()21f x =，12min π||2x x −=，则ω=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 2.【2024年北京卷12】已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=−，3.【2023年北京卷13】已知命题p:若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ．能说明p 为假命题的一组α,β的值为α= ，β= ． 【答案】 9π4π3单位圆因为f (x )=tanx 在(0,π2)上单调递增，若0<α0<β0<π2，则tanα0<tanβ0， 取α=2k 1π+α0,β=2k 2π+β0,k 1,k 2∈Z ，则tanα=tan (2k 1π+α0)=tanα0,tanβ=tan (2k 2π+β0)=tanβ0，即tanα<tanβ， 令k 1>k 2，则α−β=(2k 1π+α0)−(2k 2π+β0)=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)， 因为2(k 1−k 2)π≥2π,−π2<α0−β0<0，则α−β=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)>3π2>0，即k 1>k 2，则α>β.不妨取k 1=1,k 2=0,α0=π4,β0=π3，即α=9π4,β=π3满足题意.故答案为：9π4;π3. 4.【2022年北京卷05】已知函数f(x)=cos 2x −sin 2x ，则（ ）A ．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B ．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C ．f(x)在(0,π3)上单调递减D ．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C 5.【2022年北京卷13】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________． 【答案】 1 −√2 【解析】 ∵f(π3)=√32A −√32=0，∴A =1∴f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3) f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sin π4=−√2 【三角函数性质灵活考查】（2022北京卷改编）若()sin f x A x x =关于3x π=对称，则A =________．【答案】3− 【解析】对称性运用 ∵f(2π3)=f(0)，∴A =−36. 【2021年北京07】函数f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D由题意，f(−x)=cos(−x)−cos(−2x)=cosx −cos2x =f(x)，所以该函数为偶函数， 又f(x)=cosx −cos2x =−2cos 2x +cosx +1=−2(cosx −14)2+98， 所以当cosx =14时，f(x)取最大值98. 7.【2021年北京13】若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】5π12（满足θ=5π12+kπ,k ∈Z 即可）8. 【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）． A ．3n (sin 30°n +tan 30°n ) B ．6n (sin 30°n +tan 30°n) C ．3n (sin60°n+tan60°n)D ．6n (sin60°n+tan60°n)【答案】A单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12nsin 30°n，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan 30°n，其周长为12ntan 30°n，∴2π=12nsin30°n +12ntan 30°n2=6n (sin 30°n+tan30°n)，则π=3n (sin 30°n+tan30°n).9.【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）. 10. 【2019年北京文科06】设函数f (x )=cosx +bsinx （b 为常数），则“b =0”是“f (x )为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C解：设函数f (x )=cosx +bsinx （b 为常数）， 则“b ＝0”⇒“f (x )=cosx 为偶函数”，“f （x ）为偶函数”⇒()()f x f x =− ，cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−，cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−sin sin b x b x ∴=−，2sin 0b x ∴=对任意x 成立；∴0b =11. 【2019年北京文科08】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A.44cos ββ+B.44sin ββ+C.22cos ββ+D.22sin ββ+【答案】B解：由题意可得22AOB APB β∠=∠=，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO ⊥AB ，即有QO ＝2，Q 到线段AB 的距离为22cos β+，224AB sin sin ββ==，扇形AOB 的面积为12•2β•4=4β，△ABQ 的面积为12(2+2cosβ)•4sinβ=4sinβ+4sinβcosβ=4sinβ+2sin2β，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sin β． 12. 【2019年北京理科09】函数2()2f x sin x =的最小正周期是 ． 【答案】π213. 【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d 为点P(cosθ.sinθ)到直线x −my −2=0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 解：法一：由题意d =|cosθ−msinθ−2|√12+m 2=|√m 2+1sin(θ+α)−2|√m 2+1，tan α=1m =yx ，∴当sin (θ+α)=−1时，d max ＝1+2√m 2+1≤3．∴d 的最大值为3．法二： P 点在单位圆221x y +=上动，圆心到直线距离的最大值（圆心到过定点的距离）+半径 14. 【2018年北京理科11】设函数π()cos()6f x x ω=−(0)ω>．若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________.ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23 15. 【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，AB ̂，CD ̂，EF ̂，GH ̂是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．AB ̂ B ．CD ̂C ．EF ̂D ．GH ̂ 【答案】C解：A ．在AB 段，正弦线小于余弦线，即cos α＜sin α不成立，故A 不满足条件． B ．在CD 段正切线最大，则cos α＜sin α＜tan α，故B 不满足条件． C ．在EF 段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正， 满足tan α＜cos α＜sin α，D ．在GH 段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值， 满足cos α＜sin α＜tan α不满足tan α＜cos α＜sin α． 16. 【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos (α−β)= ．解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，方法二：∵sinα=13，当α在第一象限时，cosα=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=13，cosβ=−cosα=−2√23， ∴cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−7917. 【2016年北京理科07】将函数sin(2)3y x π=−图象上的点(,)4t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点'P .若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则A.12t =,s 的最小值为6πB.t =,s 的最小值为6πC.12t =,s 的最小值为3π D.t =,s 的最小值为3π【答案】A将x =π4代入得：t =sin π6=12，将函数y =sin (2x −π3)图象上的点P 向左平移s 个单位， 得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y =sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）=cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ， 则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π618. 【2014年北京理科14】设函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数,0,0A ω>>).若()f x 在区间ππ[,]62上具有单调性,且π2ππ()()()236f f f ==−,则()f x 的最小正周期为 . 【答案】π．则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0）， 由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T 4⇒T ＝π．。

专题09三角函数1．【2022年全国甲卷】将函数op =sin B (>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则的最小值是（）A ．16B ．14C ．1D ．122．【2022年全国甲卷】设函数op =sin B +(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A B ,6C D 3．【2022年全国乙卷】函数=cos ++1sin +1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．−π2，π2B ．−3π2，π2C ．−π2，π2+2D ．−3π2，π2+24．【2022年新高考1卷】记函数op =sin(B +4)+o >0)的最小正周期为T ．若23<<，且=op 的图象关于点(32,2)中心对称，则o2)=（）A ．1B ．32C ．52D ．35．【2022年新高考2卷】若sin(+p +cos(+p =22cos +sin ，则（）A ．tan(−p =1B ．tan(+p =1C ．tan(−p =−1D ．tan(+p =−16．【2021年甲卷文科】若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A 15B C ．3D ．37．【2021年乙卷文科】函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和28．【2021年乙卷文科】22π5πcos cos 1212-=（）A ．12B C ．2D 9．【2021年乙卷理科】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭10．【2021年新高考1卷】下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．【2021年新高考1卷】若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．6512．【2021年新高考2卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%13．【2020年新课标1卷理科】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π214．【2020年新课标1卷理科】已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A B ．23C ．13D15．【2020年新课标2卷理科】若α为第四象限角，则（）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<016．【2020年新课标3卷理科】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A ．–2B ．–1C ．1D ．217．【2020年新课标3卷文科】已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12B ．3C ．23D ．218．【2020年新课标3卷文科】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）AB ．C ．D ．19．【2019年新课标1卷理科】函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．20．【2019年新课标1卷理科】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③21．【2019年新课标1卷文科】tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．22．【2019年新课标2卷理科】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )=sin│x │23．【2019年新课标2卷理科】已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BC D 24．【2019年新课标2卷文科】若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．1225．【2019年新课标3卷理科】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④26．【2019年新课标3卷文科】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．527．【2018年新课标1卷文科】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为428．【2018年新课标1卷文科】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -=A ．15B ．5C ．5D ．129．【2018年新课标2卷理科】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．4πB ．2πC ．34πD ．π30．【2018年新课标3卷理科】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-31．【2018年新课标3卷文科】函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π32．【2022年新高考2卷】已知函数op =sin(2+p(0<<π)0中心对称，则（）A ．op 在区间0,12B ．op 在区间−π12C ．直线=7π是曲线=op 的对称轴D ．直线=是曲线=op 的切线33．【2020年新高考1卷（山东卷）】下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -34．【2022年全国乙卷】记函数op =cos(B +p(>0,0<<π)的最小正周期为T ，若op ==9为op 的零点，则的最小值为____________．35．【2021年甲卷文科】已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.36．【2021年甲卷理科】已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．37．【2020年新课标2卷文科】若2sin 3x =-，则cos 2x =__________．38．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．39．【2019年新课标1卷文科】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．40．【2018年新课标2卷理科】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．41．【2018年新课标2卷文科】已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．42．【2018年新课标3卷理科】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．43．【2019年新课标1卷文科】已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．。

(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。

解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。

由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。

2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。

(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。

解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。

又sinA≠0，因此 cosB=1/3。

3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。

(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。

解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。

高考数学之“三角函数解答题”30题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sinA−sinB sinC=a−c a+b．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝6，且AC 边上的中线长为4，求△ABC 的面积． .解；（1）因为sinA−sinB sinC=a−c a+b=a−b c所以a 2+c 2﹣b 2＝ac ，由余弦定理可得，cos B =a 2+c 2−b 22ac =12，所以B =13π；（2）设AC 的中点D ，由余弦定理可得，BD 2+AD 2−AB 22BD⋅AD=−BD 2+CD 2−BC 22BD⋅CD，即42+32−c 22×3×4=−42+32−a 22×3×4，整理可得，a 2+c 2＝50， 因为a 2+c 2﹣b 2＝ac ，b ＝6， 所以ac ＝14，所以S =12acsinB =12×14×√32=7√322．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，sin ∠ABC =√217，D 是线段CA 延长线上一点，且AD ＝2AC ＝4．（1）求sin ∠ACB 的值； （2）求BD 的长． .解：（1）∵sin ∠ABC =√217，可得cos ∠ABC =1−(√217)2=2√77， ∴sin ∠ACB ＝sin （180°﹣∠BAC ﹣∠ABC ）＝sin （60°﹣∠ABC ）＝sin60°cos ∠ABC ﹣cos60°sin ∠ABC =√32×2√77−12×√217=√2114．（2）∵由正弦定理AB sin∠ACB =ACsin∠ABC，可得AB =AC⋅sin∠ACB sin∠ABC =2×√2114√217=1，∴由余弦定理可得：BD=√AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos∠BAD=√12+42−2×1×4×12=√13．3．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，a，a，若2aaaa A＝aaaa B+aaaa A．（1）求角A；（2）若2a＝a+a，且△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积．.解：（1）因为2c cos A＝a cos B+b cos A．由正弦定理得2sin C cos A＝sin A cos B+sin B cos A，从而可得2sin C cos A＝sin C，又C为三角形的内角，所以sin C≠0，于是cosA=1 2，又A为三角形内角，因此A=π3；（2）设△ABC的外接圆半径为R，则R＝1，a=2RsinA=√3，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccos π3=(b+c)2−3bc，即3＝12﹣3bc，所以bc＝3．所以△ABC的面积为：S=12bcsinA=3√34．4．已知△ABC外接圆的半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若2R（sin2B ﹣sin2A）＝（a+c）sin C．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b=√7，c＝2，求sin A的值．.解：（1）因为2R（sin2B﹣sin2A）＝（a+c）sin C．所以2R•2R（sin2B﹣sin2A）＝2R（a+c）sin C．集b2﹣a2＝ac+c2，由余弦定理可得，cos B=a2+c2−b22ac=−12，∵0＜B＜π，∴B=2π3；（2）∵b=√7，c＝2，由正弦定理可得，bsinB =c sinC，所以sin C=√21 7，因为b＞c，故C为锐角，cos C=2√7 7，所以sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B=√32×2√77−12×√217=√21145．已知函数f（x）＝2sin（x+π3）cos x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[−π4，π4]时，求函数f（x）的最大值与最小值．.（1）解：f（x）＝2sin（x+π3）cos x＝2（12sin x+√32cos x）cos x＝sin x cos x+√3cos2x=12sin2x+√3•1+cos2x2=12sin2x+√32cos2x+√32=sin（2x+π3）+√32，故函数f（x）的最小正周期T＝π．（2）当x∈[−π4，π4]时，−π2≤2x≤π2，−π6≤2x+π3≤5π6，即当2x+π3=π2时，函数取得最大值，f(x)max=1+√32，当2x+π3=−π6时，函数取得最小值，f(x)min=√3−12．6．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，c＝2．（1）若b＝2，sin(A+B)=6sin2C2，求sin A；（2）若BC，AC边上的高之比为2：1，求△ABC面积的最大值．.解：（1）sin(A+B)=6sin2C2=3（1﹣cos C），∴sin C＝3﹣3cos C，∵sin2C+cos2C＝1，∴cos C=45，cos C＝1（舍去），∴sin C=35，∴b＝c＝2，∴B＝C，∴sin A＝sin（B+C）＝sin2c＝2sin C cos C＝2×35×45=2425；（2）∵BC，AC边上的高之比为2：1，∴a：b＝1：2，即b＝2a，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∴4＝5a2﹣4a2cos C，∴cos C=5a2−4 4a2，∵C是锐角，。

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编【2023年真题】1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=( ) A.79B.19C. 19-D. 79-2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题） 已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=( )A. 38B. 18-C. 34D. 14-+3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π= .【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=( ) A. 1B.32C.52D. 36.（2022·新高考II 卷 第6题）若sin()cos()4παβαβαβ+++=+，则( )A. tan()1αβ+=-B. tan()1αβ+=C. tan()1αβ-=-D. tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则( ) A. ()f x 在5(0,)12π单调递减 B. ()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点 C. 直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D. 直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷 第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是( )A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷 第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+( )A. 65-B. 25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+( )A. sin ()3x π+B. sin (2)3x π- C. cos (2)6x π+D. 5cos (2)6x π- 11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm参考答案1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+= 即2221cos(22)12sin ()12().39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题）解：22111cos 36114sin ()sin 222816424ααα+-----=====⇒=故选：.D3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<…，得2 3.ω<… 故答案为：[2,3).4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）解： 设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时 16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈ 2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-2()sin(4.32f πππ=-=- 5.（2022·新高考I 卷 第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈ 又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++= 所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin() 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷 第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos 44ππαβαβ=++，cos )sin 44ππαβαβ+=+ 故sin()cos cos(044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=， 故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=- 7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选） 解：由题意得：24(sin()033f ππϕ=+=， 所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈， 又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+ 选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减; 选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点; 选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(232x π+=-， 解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为(0)2y x -=--，即.2y x =- 8.（2021·新高考I 卷 第4题） 解：由22262k x k πππππ-+-+剟，得222,33k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故选：.A9.（2021·新高考I 卷 第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+ 22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++， 故选：.C10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选） 解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误; 解得2ω=±， 点5(,1)12π-在函数图象上， 当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈， 解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈ 解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题） 解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=， 又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得2OJ AJ x ==，52OL JK x ==-， 72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==， 5352x-=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。