江苏省苏州新草桥中学2021届高三上学期10月月考数学试卷

高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=．2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）3．计算：=．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=．8．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是．13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？19．已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即B=[0，1]，∵A={0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要3．计算：=11．【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：=+3+（0.5）﹣2=4+3+4=11．故答案为：11．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=2．【考点】幂函数的性质．【分析】把幂函数y=xα的图象经过的点（2，）代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点（2，），则2α=，∴α=，故函数的解析式为f（x）=x，∴f（4）=4=2，故答案为：2．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由2x2﹣3＞0，得x或x．∵内函数t=2x2﹣3在（﹣）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．故答案为：（﹣）．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为（﹣1，3）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a ﹣1）x+1＞0”是真命题，可得△＜0，解出即可得出．【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命题，则△=（a﹣1）2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜3．则实数a的取值范围为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=1．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程2x+x=4的解转化为函数f（x）=2x+x﹣4的零点问题，把区间端点函数值代入验证即可．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣4，由y=2x和y=x﹣4均为增函数，故f（x）=2x+x﹣4在R上为增函数，故f（x）=2x+x﹣4至多有一个零点，∵f（1）=2+1﹣4＜0f（2）=4+2﹣4＞0∴f（x）=2x+x﹣4在区间[1，2]有一个零点，即方程方程2x+x=4的解所在区间为[1，2]，故m=1，故答案为：18．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为﹣e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出最新x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值．【解答】解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得∴切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y=（lnx0+1）x﹣x0，与y=2x+m比较得，解得x0=e，故m=﹣e．故答案为：﹣e9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】f（x）是分段函数，在每一区间内求f（x）的取值范围，再求它们的并集得出值域；由f（x）的值域为R，得出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，当x＞2时，f（x）=2x+a，在（2，+∞）上为增函数，f（x）∈（4+a，+∞）；当x≤2时，f（x）=x+a2，在（﹣∞，2]上为增函数，f（x）∈（﹣∞，2+a2]；若f（x）的值域为R，则（﹣∞，2+a2]∪（4+a，+∞）=R，则2+a2≥4+a，即a2﹣a﹣2≥0解得a≤﹣1，或a≥2，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是（﹣1，2）．【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】根据f（x）为奇函数且周期为3便可得到f（2）=﹣f（1），这便得到f （1）=﹣m2+m，根据f（1）＞﹣2即可得到﹣m2+m＞﹣2，解该不等式即可得到m的取值范围．【解答】解：根据条件得：f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1）=﹣f（1）=m2﹣m；∴f（1）=﹣m2+m；∵f（1）＞﹣2；∴﹣m2+m＞﹣2；解得﹣1＜m＜2；∴m的取值范围为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（﹣，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【解答】解：1+2x+4x•a＞0可化为a＞，令t=2﹣x，由x∈（﹣∞，1]，得t∈[，+∞），则a＞﹣t2﹣t，﹣t2﹣t=﹣在[，+∞）上递减，当t=时﹣t2﹣t取得最大值为﹣，所以a＞﹣．故答案为：（﹣，+∞）．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（3，+∞）．【考点】对数函数的值域与最值；对数的运算性质．【分析】画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再将所求a+2b化为最新a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1∴y=a+2b=a+，a∈（0，1）∵y=a+在（0，1）上为减函数，∴y＞1+=3∴a+2b的取值范围是（3，+∞）故答案为（3，+∞）13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为f（3）＞f（2）=f（0）．【考点】二次函数的性质．【分析】把两个方程分别看作指数函数与直线y=﹣x﹣2的交点B和对数函数与直线y=﹣x﹣2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则最新y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=﹣2；然后把函数f（x）化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0）且根据二次函数的增减性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．【解答】解：如图所示：，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，即分别为函数y=2x与函数y=﹣x﹣2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=﹣x﹣2的交点C横坐标为q．由y=2x与y=log2x互为反函数且最新y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x 上，联立得，解得A点坐标为（﹣1，﹣1），根据中点坐标公式得到=﹣1即p+q=﹣2，则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=﹣=1，得到f（0）=f（2）且当x＞1时，函数为增函数，所以f（3）＞f（2），综上，f（3）＞f（2）=f（0）故答案为：f（3）＞f（2）=f（0）．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．【考点】其他不等式的解法．【分析】将绝对值不等式转化为不等式组，然后解之．【解答】解：∵A⊂≠[0，2]，方程两边平方得a2x2﹣2ax+1=x2，整理得（a2﹣1）x2﹣2ax+1=0，当a=1时，方程为|x﹣1|=x，解得x=，A={}，满足题意；当a=﹣1时，方程为|x+1|=x，解得x=﹣，A=∅，满足题意；当a2﹣1≠0时，方程等价于[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]=0，要使A⊂≠[0，2]，①两根为正根时，只要0≤≤2并且0≤≤2，解得a ≥且a≥，所以a≥；②当＞0并且＜0时，只要0≤≤2，解得﹣≤a＜1；所以A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是﹣≤a≤1或a≥；故答案为：a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）把a的值分别代入二次不等式和分式不等式，然后通过求解不等式化简集合A，B，再运用交集运算求解A∩B；（2）把集合B化简后，根据集合A中二次不等式对应二次方程判别式的情况对a进行分类讨论，然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解a的范围．【解答】解：（1）当a=2时，A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}={x|x2﹣9x+14=0}=（2，7），B=={x|}=（4，5），∴A∩B=（4，5）（2）∵B=（2a，a2+1），①当a＜时，A=（3a+1，2）要使B⊆A必须，此时a=﹣1，②当时，A=∅，使B⊆A的a不存在．③a＞时，A=（2，3a+1）要使B⊆A，必须，此时1≤a≤3．综上可知，使B⊆A的实数a的范围为[1，3]∪{﹣1}．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】通过p为真，求出实数m的取值范围；通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围，通过p或q为真，p且q为假，分类讨论求出求实数m的取值范围．【解答】解：p：方程有负根m=﹣=﹣（x+）≥2；q：方程无实数根，即△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p、q一真一假，当p为真q为假时，解得m≥3，当p为假q为真时，，解得1＜m＜2，∴1＜m＜2或m≥3，所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断函数f（x）不是奇函数；（2）根据奇函数的性质建立方程即可求a与b的值；（3）根据函数单调性的定义或性质证明函数f（x）的单调性，并利用单调性的性质解不等式．【解答】解：（1）当a=b=2时，，∵，f（1）=0，∴f（﹣1）≠﹣f（1），∴函数f（x）不是奇函数．（2）由函数f（x）是奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），即对定义域内任意实数x都成立，整理得（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）=0对定义域内任意实数x都成立，∴，解得或经检验符合题意．（3）由（2）可知易判断f（x）为R上的减函数，证明：∵2x+1在定义域R上单调递增且2x+1＞0，∴在定义域R上单调递减，且＞0，∴在R上单调递减．由，不等式，等价为f（x）＞f（1），由f（x）在R上的减函数可得x＜1．另解：由得，即，解得2x＜2，∴x＜1．即不等式的解集为（﹣∞，1）．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=x2+10x （万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+﹣1450，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣+40x﹣250=﹣+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，分0＜a≤2和a＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f（﹣）和f（）及f（﹣）和f（）都大于0，联立求出a的解集的并集即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，∴f（2）=3；∵f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6．所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．以下分两种情况讨论：（1）若0＜a≤2，则；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣，0）0（0，）f′（x）+0﹣f（x）增极大值减当时，f（x）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：0（0，）（，）x（﹣，0）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增当时，f（x）＞0等价于即解不等式组得或．因此2＜a＜5．综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．。

江苏省苏州中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知A ＝{﹣1，0，1，6}，B ＝{x |x ≤0}，则A ∩B ＝_____2．复数z 满足12iz i =+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为____________. 3．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是________．4．“1x >”是“2x x >”的____________条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）5．若2(2)31f x x =+，则函数()f x =6．函数y _____7．函数()Inx f x x=的单调递增区间是__________. 8．函数y ＝3x 3﹣9x +5在[﹣2，2]的最大值与最小值之差为_____9．水波的半径以0.5m/s 的速度向外扩张，当半径为2.5m 时，圆面积的膨胀率是____________.10．设函数y ＝f （x ）为R 上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0]均有[f （x 1）﹣f （x 2）]．（x 1﹣x 2）≤0，则满足f （x +1）＜f （2x ﹣1）的实数x 的范围是_____11．已知()22201900x x f x ax x ⎧≥=⎨⎩，，＜是奇函数且f （3t ﹣a ）+4f （8﹣2t ）≤0，则t 的取值范围是_____12．若f （x ）＝|x ﹣2018|+2020|x ﹣a |的最小值为1，则a ＝_____13．若方程23220222b bcosx sin x x ππ⎛⎫⎡⎤---=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，有两个不同的实数解，则b 的取值范围是_____14．在直角三角形ABC 中，682A AB AC π∠===，，，过三角形ABC 内切圆圆心O的直线l 与圆相交于E 、F 两点，则AE BF ⋅的取值范围是_____．二、解答题15．已知函数()21f x x =+，()41g x x =+，的定义域都是集合A ，函数()f x 和()g x的值域分别为S 和T ，（1）若{}1,2A =，求S T（2）若[]0,A m =且S T =，求实数m 的值（3）若对于集合A 的任意一个数x 的值都有()()f x g x =，求集合A .16．已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ． (1)求cos2α的值；(2)求2α－β的值． 17．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量（单位：百件）和价格（单位：元）均为时间t （单位：天）的函数，且销售量近似地满足60,160()1150,611002t t f t t t +≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩()t N ∈，价格为()200g t t =-(1100,)t t N ≤≤∈.（1）求该种商品的日销售额()h t 与时间t 的函数关系；（2）求t 为何值时，日销售额最大.18．已知函数()11f x x=-，（x ＞0）． （1）当0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ）时，求证：ab ＞1；（2）是否存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域、值域都是[a ，b ]，若存在，则求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．（3）若存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]（m ≠0），求m 的取值范围．19．已知函数()()32111323a f x x a x x =-++-. （1）若函数()f x 的图象在点()()22f ,处的切线方程为90x y b -+=，求实数a ，b 的值；（2）若0a ≤，求()f x 的单调减区间；（3）对一切实数()0,1a ∈，求()f x 的极小值函数()g a ，并求出()g a 的最大值. 20．数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称数列{a n }为S 数列．（1）S数列的任意一项是否可以写成其某两项的差？请说明理由．（2）①是否存在等差数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．②是否存在正项递增等比数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．参考答案1．{﹣1，0}【解析】【分析】根据集合的交集运算，求解即可.【详解】由集合的交集运算，容易知：A ∩B={}1,0-.故答案为：{}1,0-.【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题.2．-1【分析】先求出2z i =-，再指出其虚部即可.【详解】解：由12iz i =+， 则221222i i i z i i i++===-， 所以z 的虚部为-1.故答案为：-1.【点睛】本题考查了复数的除法运算，重点考查了复数的虚部，属基础题.3．1x ∃>，23x <【解析】全称命题的否定是特称命题，∴该命题的否定为“1x ∃>，23x <”．点睛：命题的否定主要考察全称命题和特称命题的否定，掌握其方法：全称的否定是特称，特称的否定是全称，命题否定是条件不变，结论变．4．充分不必要【分析】先求出“2x x >”的充要条件为“1x >或0x <”，再结合“1x >”是“1x >或0x <”的充分不必要条件即可得解.【详解】解：由“2x x >”的充要条件为“1x >或0x <”，又“1x >”是“1x >或0x <”的充分不必要条件，则“1x >”是“2x x >”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查了二次不等式的解法，重点考查了充分必要条件的判断，属基础题.5．2314x + 【分析】设2t x =，则2t x =，求得()2314t f t =+，从而可得结果. 【详解】设2t x =，则2t x =， 因为()2231f x x =+，所以()22331124t t f t ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭， 所以()2314x f x =+，故答案为2314x +. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.6．[﹣7，1]【分析】由被开方数是非负数，求解一元二次不等式即可得结果.【详解】要使得函数有意义，则2760x x --≥，分解因式可得()()710x x +-≤解得[]7,1x ∈-.故答案为：[﹣7，1].【点睛】本题考查具体函数的定义域，涉及被开方数是非负数.7．()0,e【分析】求出函数的定义域，以及导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可写出单调增区间.【详解】因为()Inx f x x =，则其定义域为()0,+∞， ()21lnx f x x-'=，令()0f x '>， 即可得10lnx ->，解得x e <， 结合函数定义域可知，函数()f x 的单调增区间为()0,e .故答案为：()0,e .【点睛】本题考查利用导数求解函数单调性，属基础题；本题的易错点是没有注意到函数的定义域. 8．12【分析】对该函数进行求导，判断单调性，根据单调性求解函数在区间上的最值.【详解】因为y ＝3x 3﹣9x +5，故()()299911y x x x =-=+-'，令0y '>，又[]2,2x ∈-，解得[)2,1x ∈--和(]1,2， 故函数在[)2,1--和(]1,2上单调递增；令0y '<，又[]2,2x ∈-，解得()1,1x ∈-,故函数在()1,1-单调递减. 则函数在[]22-,上的最大值 ()()(){}{}max 2,1max 11,1111max f x f f =-==；则函数在[]22-,上的最小值 ()()(){}{}min min 2,1max 1,11f x f f =-=--=-；故该函数的最大值与最小值的差为()11112.--=故答案为：12.【点睛】本题考查由导数求函数的最值，属导数应用基础题.9．2.5π【分析】先建立圆的面积关于时间的函数，再结合导数的物理意义求解即可.【详解】解：设水波向外扩张的时间为t ，此时面积为S ，则有()220.50.25S t t ππ==，则'0.5S t π=，当半径为2.5m 时，5t =. 所以5' 2.5t S π==，故答案为：2.5π.【点睛】本题考查了导数的物理意义，重点考查了基本初等函数导数的求法，属基础题. 10．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【分析】由函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为121x x +<-，求解即可.【详解】因为函数是偶函数，且由题可知其为（﹣∞，0]上的减函数，则该函数在()0,+∞为增函数，故f （x +1）＜f （2x ﹣1） 等价于121x x +<-.两边平方整理得()20x x ->解得()(),02,x ∈-∞⋃+∞.故答案为：()(),02,-∞⋃+∞.【点睛】本题考查利用函数单调性以及奇偶性求解抽象函数不等式，属函数性质综合基础题. 11．[2035，+∞）【分析】由()f x 是奇函数，可解得参数a ，再分类讨论求解不等式..【详解】因为函数()f x 是奇函数，故可解的2019a =-；（1）当320190,?82t t +<-<0时， 即673t <-,且4t >此时无解，t ∈∅；（2）当320190,?82t t +>->0 即()673,4t ∈-，此时()()320190,820f t f t +>->显然f （3t +2019）+4f （8﹣2t ）≤0不可能，故舍去；（3）当320190,?820t t +>-< 即4t >时，此时f （3t +2019）+4f （8﹣2t ）≤0等价于()()2035720030t t -+≥解得t 2035≥或20037t ≤-, 故此时不等式解集为[)2035,+∞ （4）当320190,?820t t +- 即673t <-时，不等式等价于()()222320191640t t +--≤ 解得200320357t -≤≤ 故此时不等式无解.（5）当320190t +=或当820t -=时，不等式显然不成立.综上所述：[)2035,t ∈+∞故答案为：[)2035,+∞.【点睛】本题考查由函数奇偶性求参数，以及解不等式.12．2017或2019【分析】对该函数进行分类讨论，在不同的情况下，寻找函数的最值，进而求解.【详解】 当2018a >时，()202120182020,201920182020,2018202120182020,2018x a x a f x x a x a x a x -->⎧⎪=--+≤≤⎨⎪-++<⎩此时可知()()20181min f x f a a ==-=，解得2019a =；当2018a =时，()20212018f x x =-，函数最小值为0，不符合题意；当2018a <时，()202120182020,2018201920182020,2018202120182020,x a x f x x a a x x a x a -->⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-++<⎩此时()()20181min f x f a a ==-=，解得2017a =；综上所述，2017a =或2019a =.故答案为：2017或2019.【点睛】本题考查双绝对值函数，涉及分类讨论及分段函数的最值.13．1b =或6,25b ⎛⎤∈⎥⎝⎦【分析】利用同角三角函数关系，将方程化为含有cosx 的二次型，将方程根的个数问题，转化为一元二次方程根的分布问题，进而求解参数范围.【详解】 232202b bcosx sin x ---= 等价于22cos 2102b x bcosx -+-=， 令[],0,1cosx t t =∈， 则222102b t bt -+-=. 其()()421b b =+-，（1）当0<时，方程无根，显然不满足题意； （2）当0=时，解得1b =或2b =-，当1b =时，方程等价于212202t t -+=，解得12t = 此时12cosx =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个不同的实数根，满足题意； 当2b =-时，方程等价于22420t t ++=，解得1t =-此时1cosx =-在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦没有实数根，故舍去. （3）当0>时，解得1b >或2b <-，要满足题意，只需方程222102b t bt -+-=的一个根在[)0,1， 另一个根不等于1，且不在区间[)0,1.令()22212b f x t bt =-+- 若要保证方程222102b t bt -+-=的一个根在()0,1 此时()()010f f ⋅<，即513022b b ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 解得6 ,25b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足题意 而当方程的一个根为0时，解得2b =，方程的两根分别为t=0和t=2，此时0cosx =和2cosx =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个实数根， 故满足题意. 综上所述：1,b =或6,25b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为1b =或6,25b ⎛⎤∈⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查方程根的分布问题，对方程根的讨论是其中的难点.14．[﹣20，4]【分析】建立直角坐标系，求出圆心及半径，写出圆方程，根据直线方程及圆方程，通过韦达定理，将AE BF ⋅转化为函数，求函数的范围即可.【详解】根据题意，建立如图直角坐标系：容易知()()()0,0,0,6,8,0A B C设内切圆半径为r ，根据等面积法可求得：()1122AB BC AC r AB AC ++⋅=⋅ 求得2r =，解得圆心坐标为()2,2，故内切圆方程为()()22224x y -+-=；若过圆心的直线没有斜率，解得()()2,0,2,4E F ，或()()2,4,2,0E F容易知4AE BF ⋅=，或20AE BF ⋅=-若过圆心的直线存在斜率，不妨设直线方程为：()22y k x -=-联立圆方程可得()()222214140k x k x k +-++=设()()1122,,,E x y F x y 则：21212244,1k x x x x k +==+， ()()()2221212122222y y k x x k k x x k =+-++-则121216AE BF x x y y y ⋅=+-将上述结果代入即可得：146AE BF y ⋅=-，又()10,4y ∈故()20,4AE BF ⋅∈-.综上所述：[]20,4AE BF ⋅∈-故答案为：[﹣20，4].【点睛】本题考查直线与圆的问题，涉及圆方程的求解，以及韦达定理，函数的最值，属圆与直线综合基础题.15．（1）{}5；（2）4；（3）{}0或{}4或{}0,4【分析】（1）先由已知条件求出集合,S T ，再求其交集即可；（2）由函数()21f x x =+，()41g x x =+都在区间[]0,m 为增函数，再求出其值域，然后利用集合相等列方程求解即可；（3）由已知列方程2141m m +=+求解即可.【详解】解：（1）若{}1,2A =，则函数()21f x x =+的值域是{2,5}S =，()41g x x =+的值域{5,9}T =，故{}5S T =；（2）若[]0,A m =，函数()21f x x =+，()41g x x =+均为增函数，则21,1S m ⎡⎤=+⎣⎦，[]1,41T m =+ 由S T =得2141m m +=+，解得4m =或0m =（舍去），故4m =；（3）若对于A 中的每一个x 值，都有()()f x g x =，即2141x x +=+，所以24x x =，解得4x =或0x =，∴满足题意的集合是{}0或{}4或{}0,4.【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的值域的求法，重点考查了二次方程的解法，属基础题. 16．（1）－35（2）－4π 【解析】解：(1)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2222cos sin sin cos αααα-+＝221tan 1tan αα-+＝1414-+＝－35． (2)因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈(0，2π)． 又cos2α＝－35<0，故2α∈(2π，π)，sin2α＝45． 由cosβ＝－10，β∈(0，π)， 得sinβ，β∈(2π，π)． 所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝45×(－10)－(－35)×10＝－2． 又2α－β∈(－2π，2π)，所以2α－β＝－4π． 17．(1)2214012000,(160,),()125030000,(61100,).2t t t t N h t t t t t N ⎧-++≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩； (2)t 为60时，日销售额最大.【解析】试题分析：（1）根据销售额等于销售量乘以售价得S 与t 的函数关系式，此关系式为分段函数； （2）求出分段函数的最值即可．试题解析：(1)由题意知，当160t ≤≤，t N ∈时，2()()()(60)(200)14012000h t f t g t t t t t =⋅=+⋅-=-++， 当61100t ≤≤，t N ∈时，211()()()(150)(200)2503000022h t f t g t t t t t =⋅=-⋅-=-+， 所以，所求函数关系为2214012000,(160,),()125030000,(61100,).2t t t t N h t t t t t N ⎧-++≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩ (2) 当160t ≤≤，t N ∈时，22()14012000(70)16900h t t t t ==-++=--+， 所以，函数()h t 在[1,60]上单调递增，故max ()(60)16800h t h ==（百元），当61100t ≤≤，t N ∈时，2211()25030000(250)125022h t t t t =-+=--， 所以，函数()h t 在[61,100]上单调递减，故max ()(61)16610.5h t h ==（百元）， 因为16610.516800<所以，当t 为60时，日销售额最大.试题点睛：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力．理解函数的最值及其几何意义的能力． 18．（1）证明见详解；（2）不存在适合条件的实数a ，b ，证明见详解；（3）104m ＜＜． 【分析】 （1）根据函数单调性，初步判断,a b 与1的大小关系，根据f （a ）＝f （b ）得到,a b 等量关系，用均值不等式进行处理；（2）对,a b 与1的大小关系进行分类讨论，寻找满足题意的,a b ；（3）对,a b 的取值进行分类讨论，利用函数的单调性，进行求解.【详解】（1）证明：∵x ＞0，∴()111110 1.x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，＜＜ ∴f （x ）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．由0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ），可得 0＜a ＜1＜b 和1111a b -=-， 即112a b+=． ∴2ab ＝a +b ＞1，即ab ＞1．（2）不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y ()11f x x==-的定义域、值域都是[a ，b ]，则a ＞0，()111110 1.x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，＜＜ ①当a ，b ∈（0，1）时，()11f x x=-在（0，1）上为减函数． 故()().f a b f b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111.b a a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得a ＝b ． 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．②当a ，b ∈[1，+∞）时，()11f x x=-在（1，+∞）上是增函数． 故()().f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111.a a b b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 此时a ，b 是方程x 2﹣x +1＝0的根，此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数a ，b ．③当a ∈（0，1），b ∈[1，+∞）时，由于1∈[a ，b ]，而f （1）＝0∉[a ，b ]，故此时不存在适合条件的实数a ，b ．综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．（3）若存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]．则a ＞0，m ＞0．①当a ，b ∈（0，1）时，由于f （x ）在（0，1）上是减函数， 故1111.mb a ma b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩． 此时得a ，b 异号，不符合题意，所以a ，b 不存在．②当a ∈（0，1）或b ∈[1，+∞）时，由（ 2）知0在值域内，值域不可能是[ma ，mb ]所以a ，b 不存在．故只有a ，b ∈[1，+∞）．∵()11f x x=-在[1，+∞）上是增函数， ∴()().f a ma f b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111.ma a mb b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ∴a ，b 是方程mx 2﹣x +1＝0的两个根，即关于x 的方程mx 2﹣x +1＝0有两个大于1的实根．设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 21m =，x 1•x 21m=． ∴()()()()12120110110.x x x x ⎧⎪-+-⎨⎪--⎩＞＞＞，即140120.m m -⎧⎪⎨-⎪⎩＞＞ 解得104m ＜＜． 故m 的取值范围是104m ＜＜． 【点睛】本题考查分段函数的单调性，定义域和值域，所使用的方法是分类讨论，对学生的思辨能力要求较高，属函数综合较难题目.19．（1）5,15a b ==-；（2）()1,,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（3）()211316224g a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，最大值为124. 【分析】（1）先求函数的导函数，再结合切线方程求解即可；（2）分别讨论当0a =时，0a <时，求解()0f x '<的解集即可；（3）解含参二次不等式，从而求出函数的单调性及极值，再求最值即可得解.【详解】解：（1）由函数()()32111323a f x x a x x =-++-， 则()()()()21111f x ax a x ax x '=-++=--又()29f '=，则5a =，则()511286423323f =⨯-⨯⨯+-=， 则9230b ⨯-+=，即15b =-；（2）当0a =时，由（1）得()1fx x '=-， 令()0f x '<，解得：1x >，即函数的减区间为()1,+∞；当0a <时，由（1）得()()11f x a x x a '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 令()0f x '<，解得：1x >或1x a <， 即函数的减区间为()1,+∞和1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故当0a =时，函数的减区间为()1,+∞；当0a <时，函数的减区间为()1,+∞和1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； （3）当()0,1a ∈时，()()11f x a x x a '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 令()0f x '<，解得： 11x a <<，令()0f x '>，解得：1x <或1x a>， 即函数()f x 的增区间为(),1-∞和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即()f x 的极小值为1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()2111316224g a f a a ⎛⎫⎛⎫==--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故当132a =，即23a =时，()g a 取最大值124. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了利用导数研究函数的单调性及极值，属中档题. 20．（1）S 数列的任意一项都可以写成其某两项的差；证明见详解（2）①存在a 1＝kd ，k ∈Z ，k ≥﹣1满足题意；②不存在，证明见详解.【分析】（1）根据对新数列的定义，利用1n n n a S S -=-进行计算证明；（2）①假设存在等差数列，根据数列的公差进行分类讨论即可；②用反证法证明，假设存在满足题意的数列，结合数列{}1n S +的单调性，推出矛盾.【详解】（1）∵数列{a n }是S 数列，∴对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，∴n ≥2时，()1n p S a p N ⋅-=∈，∴S n ﹣S n ﹣1＝a m ﹣a p ，即a n ＝a m ﹣a p ，而n ＝1时，S 2＝a q ，则a 1＝a q ﹣a 2，故S 数列的任意一项都可以写成其某两项的差；（2）①假设存在等差数列为S 数列，设其首项为a 1，公差为d ，（i ）当d ＝0时，若a 1≠0，则对任意的正整数n ，不可能存在正整数m ，使得S n ＝a m ，即na 1＝a 1；（ii ）当d ＝0且a 1＝0时，显然满足题意；（iii ）当d ≠0时，由S n ＝a m 得，()()11112n n na d a m d -+=+-，故()()()()111112112n n n a d n n a m n Z d d --+--==-+∈， ∵()12n n Z -∈，n ＝1时显然存在m ＝1满足上式，n ＝2时，110a d+≥， ∴111a a Z d d ≥-∈，，此时()()()()()11112110222n n n n n n a n n d -----+≥-++=≥符合题意， 综上，存在a 1＝kd ，k ∈Z ，k ≥﹣1满足题意；②假设存在正项递增等比数列为S 数列，则a 1＞0，q ＞0，∴对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ， ∵()()()11111111111111n n n n n n n n a q q q q S q q S q q a q q+++--+---===---- ()2111111n q q q q q q q q q q q--=++=+-=+--＜， ∴21n n S q q S +＜＜，即21m n m a q S a q +＜＜， 即a m +1＜S n +1＜a m +2，∵S n +1∈{a n }且{a n }单调递增，显然当n ＞log q （q +1）﹣1时，不存在t ∈N •，使得S n +1＝a t ，这与S 数列的定义矛盾．故不存在正项递增等比数列为S 数列．【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及等差数列和等比数列，数列的单调性，属数列综合困难题.。

江苏省苏州市草桥实验中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知a是实数，是实数，则的值为( )A. B. C.0 D.参考答案：A知是实数，是实数化简为，则a=—1, 则=.故答案为：A.2. 若和均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（）. .. .参考答案：D略3. 已知方程有一负根且无正根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C4. 已知函数，要使函数恰有一个零点，则实数m的取值范围是（）．A. B. C. D.参考答案：B【分析】先利用导数求出函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，令，由函数的图象可知方程，只能有一个正根，且若有负根的话，负根必须小于，分类讨论，即可求解．【详解】由题意，函数，，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以函数的最小值为，函数的大致图象，如图所示：函数恰有一个零点，等价于方程只有一个根，令，由函数的图象可知方程，只能有一个正根，且若有负根的话，负根必须小于，①当时，方程为，∴，符合题意，②当时，若，即时，方程为，解得，符合题意，若，即时：设，（ⅰ）当时，二次函数开口向下，又，要使方程只有一个正根，且负根小于，则，即，可得，（ⅱ）当时，二次函数开口向上，又因为，则方程有两个不等的正根，不符合题意，综上所求，实数的取值范围是：或，故选：B．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的零点问题转化为方程的解，构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，结合根的分布求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．5. 已知F1，F2是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与E的左支交于P，Q两点，若|PF1|=2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，则E的离心率是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】可设|F1Q|=m，可得|PF1|=2m，由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a，|QF2|﹣|QF1|=2a，求得|PF2|=2a+2m，|QF2|=m+2a，再分别在直角三角形PQF2中，直角三角形F1QF2中，运用勾股定理和离心率公式，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：若|PF1|=2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，可设|F1Q|=m，可得|PF1|=2m，由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a，|QF2|﹣|QF1|=2a，即有|PF2|=2a+2m，|QF2|=m+2a，在直角三角形PQF2中，可得|PQ|2+|QF2|2=|PF2|2，即为（3m）2+（m+2a）2=（2a+2m）2，化简可得2a=3m，即m=a，再由直角三角形F1QF2中，可得|F2Q|2+|QF1|2=|F1F2|2，即为（2a+m）2+m2=（2c）2，即为a2+a2=4c2，即a2=c2，由e==．故选：D．6. 设定义域为R的函数，关于的方程有7个不同的实数解，则（）A．B． C． D．参考答案：B7. 设x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是( )A．（0，] B．B C．（1，] D．（1，]参考答案：C考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由x为三角形中的最小内角，可得0＜x≤而y=sinx+cosx=sin（x+），结合已知所求的x的范围可求y的范围．解答：解：因为x为三角形中的最小内角，所以0＜x≤y=sinx+cosx=sin（x+）∴sin（x+）≤11＜y≤故选：C点评：本题主要考查了辅助角公式的应用，正弦函数的部分图象的性质，属于基本知识的考查．8. 定义域在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的方程f （x）﹣a=0（0＜a＜1）所有根之和为1﹣，则实数a的值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象，从而可得x1+x2=﹣6，x4+x5=6，x3=1﹣2a，从而解得．【解答】解：由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象如下，结合图象，设函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2=﹣6，x4+x5=6，﹣log0.5（﹣x3+1）=a，x3=1﹣2a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+6+1﹣2a=1﹣2a，∵关于x的方程f（x）﹣a=0（0＜a＜1）所有根之和为1﹣，∴a=．故选B．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的性质应用，属于中档题．9. 函数的图象可能是（）参考答案：D略10. 在样本颇率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，且祥本容量为140，则中间一组的频数为A.28B.40C.56D.60参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 15．设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”．例如，线段上的任意点都是端点的中位点．则有下列命题：①若三个点共线，在线段上，则是的中位点；②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）参考答案：①④12. 函数的定义域为．参考答案：13. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于__________.参考答案：【知识点】双曲线【试题解析】双曲线的一个顶点为（0，2），一条渐近线为：y=2x ．所以顶点到其渐近线的距离为：。

2021年高三（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．（5分）（xx•江苏模拟）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N={x|2＜x＜3} ．考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合N，然后再求集合M∩N．解答：解：∵M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，∴M∩N={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．点评：本题考查集合的运算和对数函数的定义域，解题时要全面考虑，避免不必要的错误．2．（5分）已知=3+i（a，n∈R，i为虚数单位），则a+b=6．考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由已知中=3+i，可得a+bi=（3+i）•（2﹣i），由复数乘法运算法则，求出（3+i）•（2﹣i）后，根据复数相等的充要条件，可以分别求出a，b的值，进而得到a+b的值．解答：解：∵=3+i∴a+bi=（3+i）•（2﹣i）=7﹣i ∴a=7，b=﹣1∴a+b=6点评：本题考查的知识点是复数相等的充要条件，复数的基本运算，其中根据复数相等的充要条件求出参数a，b的值，是解答本题的关键．3．（5分）在△ABC中，，则∠B=45°．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先根据正弦定理可知，进而根据题设条件可知，推断出sinB=cosB，进而求得B．解答：解：由正弦定理可知，∵∴∴sinB=cosB∴B=45°故答案为45°点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．4．（5分）（xx•黄埔区一模）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．考点：程序框图．专题：计算题．分析：由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时S≥p，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案．解答：解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5点评：本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键．5．（5分）（xx•怀化二模）若向量，满足且与的夹角为，则=．考点：合情推理的含义与作用．专题：计算题．分析：要求两个向量的和的模长，首先求两个向量的和的平方再开方，根据多项式运算的性质，代入所给的模长和夹角，求出结果，注意最后结果要开方．解答：解：∵且与的夹角为，∴===，故答案为：点评：本题考查向量的和的模长运算，考查两个向量的数量积，本题是一个基础题，在解题时最后不要忽略开方运算，是一个送分题目．这种题目会在高考卷中出现．6．（5分）函数的图象如图所示，则f（x）的表达式是f（x）=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；图表型；数形结合；数形结合法．分析：由函数图象知，函数的最大值是，最小值是，易求出A与K，又由最高点的横坐标与最低点的横坐标求出，即可求出ω，再将点（）代入求出φ即可得到函数的解析式解答：解：由图知，周期，所以ω=2．又，所以k=1．因为，则．由，得sin（2×+φ）=1，即得2×+φ=得．故．故答案为点评：本题考查由f（x）=Asin（ωx+φ）+k的部分图象确定其解析式，解题的关键是从图象的几何特征得出解析式中参数的方程求出参数，求解本题难点是求初相φ的值，一般是利用最值点的坐标建立方程求之，若代入的点不是最值点，要注意其是递增区间上的点还是递减区间上的点，确定出正确的相位值，求出初相，此处易出错，要好好总结规律．7．（5分）（xx•江西模拟）已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（﹣x）=代入即可得到答案．解答：解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（﹣x）= 故答案为点评：本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．8．（5分）（xx•四川）设数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+n+1，则通项a n=．考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：根据数列的递推式，依次写出n=1，2，3…n的数列相邻两项的关系，进而格式相加即可求得答案．解答：解：∵a1=2，a n+1=a n+n+1∴a n=a n﹣1+（n﹣1）+1，a n﹣1=a n﹣2+（n﹣2）+1，a n﹣2=a n﹣3+（n﹣3）+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1将以上各式相加得：a n=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）++2+1]+n+1=故答案为；点评：此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式．重视递推公式的特征与解法的选择；抓住a n+1=a n+n+1中a n+1，a n系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；9．（5分）双曲线x2﹣=1的渐近线被圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0所截得的弦长为4．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；分类讨论．分求出渐近线方程，由点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离，将此距离和半析：径作比较，得出结论，再求弦长即可．解答：解：由题得双曲线x2﹣=1的渐近线是：y=±2x圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9∴圆心（3，1），半径r=3．∴（3，1）到直线y=2x的距离d=．故有，得到弦长l=4；∵（3，1）到直线y=﹣2x的距离d=＞r，此时圆于直线相离．综上得：双曲线x2﹣=1的渐近线被圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0所截得的弦长为4．故答案为：4．点评：本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．考查计算能力以及分类讨论能力．10．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当MN 达到最小时t的值为．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题．分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），求此函数的最小值，确定对应的自变量x的值，即可得到结论．解答：解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），求导数得y′=2x﹣=（x＞0）令y′＜0，则函数在（0，）上为单调减函数，令y′＞0，则函数在（，+∞）上为单调增函数，所以当x=时，函数取得最小值为+ln2所以当MN达到最小时t的值为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值．11．（5分）函数上的最大值为．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：用导数判断函数的单调性，由单调性可求最大值．解解：y′=1+2cosx，当x∈[﹣，]时，y′＞0，答：所以y=x+2sinx在[﹣，]上单调递增，所以当x=时，y=x+2sinx取得最大值为：+2sin=+2．故答案为：+2．点评：本题考查函数的单调性，对于由不同类型的函数构成的函数最值问题，常用函数的性质解决．12．（5分）若函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[﹣1，1]时f（x）=|x|，则函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数是4．考点：函数的周期性；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：先根据题意确定f（x）的周期和奇偶性，进而在同一坐标系中画出两函数大于0时的图象，可判断出x＞0时的两函数的交点，最后根据对称性可确定最后答案．解答：解：∵f（x+2）=f（x），x∈（﹣1，1）时f（x）=|x|，∴f（x）是以2为周期的偶函数∵y=log3|x|也是偶函数，∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数只要考虑x＞0时的情况即可当x＞0时图象如图：故当x＞0时y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有2个交点∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数为4故答案为：4．点评：本题主要考查函数的基本性质﹣﹣单调性、周期性，考查数形结合的思想．数形结合在数学解题中有重要作用，在掌握这种思想能够给解题带来很大方便．13．（5分）（xx•天津）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则=．考点：平面向量数量积的运算．专题：压轴题．分析：法一：选定基向量，将两向量，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求出的值．法二：由余弦定理得，可得，又夹角大小为∠ADB，，所以=．解答：解：法一：选定基向量，，由图及题意得，= ∴=（）（）=+==法二：由题意可得∴，∵，∴=．故答案为：﹣．点评：本题主要考查余弦定理和向量数量积的应用．向量和三角函数的综合题是高考热点，要给予重视．14．（5分）关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0有5个不同的实根，则实数k=0．考点：函数的图象；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；数形结合．分析：讨论x2﹣1的正负，画出高次函数的图象，观察即可得出答案．解答：解：当x2﹣1≥0时原方程为（x2﹣1）（x2﹣2）=﹣k（x﹣1）（x+1）（x+）（x﹣）=﹣k当x＜0时原方程为（x2﹣1）x2=﹣k（x+1）（x﹣1）x2=﹣k两种情况联立图象为由此可知只有当k=0时，方程才可能有五个不同实根．故答案为0．点评：本题考查了高次方程的解，技巧有把高次方程因式分解，把所有根在数轴上从小到大依次排列，用平滑曲线从右上方开始顺次穿过所有根，值得注意的是如果根所在的因式为偶次曲线穿而不过，像图中的﹣1，0，1处．在x轴上下方的线分别代表y 的值的正负．二、解答题（本大题共6道题，计90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．（14分）（xx•天津）在△ABC中，已知AC=2，BC=3，．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求的值．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（1）利用cosA，求得sinA，进而根据正弦定理求得sinB．（2）根据cosA小于0判断A为钝角，从而角B为锐角，进而根据sinB求得cosB和cos2B，进而利用倍角公式求得sin2B，最后根据两角和公式求得答案．解答：（Ⅰ）解：在△ABC中，，由正弦定理，．所以．（Ⅱ）解：∵，所以角A为钝角，从而角B为锐角，∴，，．==．点评：本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力16．（14分）（xx•南通模拟）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5+a13=34，S3=9．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{b n}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．考点：等差数列的性质．专题：综合题；探究型．分析：（1）设出等差数列的公差为d，根据等差数列的性质及通项公式化简a5+a13=34，S3=9，即可求出首项和公差，分别写出通项公式及前n项和的公式即可；（2）把（1）求得的通项公式a n代入得到数列{b n}的通项公式，因为b1，b2，b m成等差数列，所以2b2=b1+b m，利用求出的通项公式化简，解出m，因为m与t都为正整数，所以得到此时t和m的值即可．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得即解得．故a n=2n﹣1，S n=n2（2）由（1）知．要使b1，b2，b m成等差数列，必须2b2=b1+b m，即，（8分）．整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．故存在正整数t，使得b1，b2，b m成等差数列．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质、通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．17．（14分）多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE⊥面ABC，AE∥CD．（1）在BC上找一点N，使得AN∥面BED（2）求证：面BED⊥面BCD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）分别取BC、BD中点为N、M，连接MN、AN、EM．可证出四边形AEMN为平行四边形，得AN∥EM，结合线面平行的判定定理，可得AN∥面BED；（2）利用空间线线平行的性质，结合线面垂直的判定与性质可证出EM⊥CD且EM⊥BC，可得EM⊥面BCD，最后根据面面垂直的判定定理，证出面BED⊥面BCD．解答：解：（1）分别取BC、BD中点为N、M，连接MN、AN、EM∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥CD且MN=CD …（2分）又∵AE∥CD且AE=CD，∴MN、AE平行且相等．∴四边形AEMN为平行四边形，得AN∥EM …（4分）∵AN⊄面BED，EM⊂面BED，∴AN∥面BED…（6分）（2）∵AE⊥面ABC，AN⊂面ABC，∴AE⊥AN又∵AE∥CD，AN∥EM，∴EM⊥CD…（8分）∵N为BC中点，AB=AC，∴AN⊥BC∴结合AN∥EM得EM⊥BC…（10分）∵BC、CD是平面BCD内的相交直线，∴EM⊥面BCD…（12分）∵EM⊂面BED，∴面BED⊥面BCD …（14分）点评：本题给出特殊的四面体，求证线面平行并且面面垂直，着重考查了空间线面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．18．（16分）开口向下的抛物线y=ax2+bx（a＜0，b＞0）在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为．（1）求a与b的关系式，并用b表示S（b）的表达式；（2）求使S（b）达到最大值的a、b值，并求S max．考点：直线与圆锥曲线的关系；函数最值的应用．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，联立方程，利用判别式必须为0，确定a与b的关系式，代入，即可用b表示S（b）的表达式；（2）求导数，确定函数的单调性，可求函数的极值与最值，即可得到结论．解答：解：（1）依题设可知抛物线开口向下，且a＜0，b＞0，直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2+（b+1）x﹣4=0，其判别式必须为0，即（b+1）2+16a=0．∴，代入得：；（2）；令S'（b）=0，在b＞0时得b=3，且当0＜b＜3时，S'（b）＞0；当b＞3时，S'（b）＜0，故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，即a=﹣1，b=3时，S取得最大值，且．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，确定函数关系式是关键．19．（16分）（2011•扬州模拟）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2．设直线A1B1的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称．（1）求椭圆E的离心率；（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程．考点：圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，由此能求出椭圆E的离心率．（2）由，设a=4k（k＞0），，则，于是A1B1的方程为：，故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=，由此能够证明直线A1B1与圆C相切．（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：的对称点为（m，n），则，由此能求出圆C的方程．解答：解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，于是a2=8b2，即a2=8（a2﹣c2），所以椭圆E的离心率．（4分）（2）由可设a=4k（k＞0），，则，于是A1B1的方程为：，故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=，（6分）又以OA2为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，所以直线A1B1与圆C相切．（8分）（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，（10分）设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：的对称点为（m，n），则（12分）解得．所以，圆C的方程为（14分）点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20．（16分）（xx•兰州一模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（I）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；（Ⅱ）当时t无解，当即时，根据函数的增减性得到f（x）的最小值为f（），当即时，函数为增函数，得到f（x）的最小值为f（t）；（Ⅲ）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根据x大于0解出，然后令h（x）=，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0时x的值，利用函数的定义域和x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最大值，即可求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得∴f（x）的单调递减区间为令f′（x）＞0解得∴f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当时，t无解当，即时，∴；当，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt∴；（Ⅲ）由题意：2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1 ∵x∈（0，+∞）∴设，则令h′（x）=0，得（舍）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2∴a≥﹣2故实数a的取值范围[﹣2，+∞）点评：本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的额单调区间以及会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．。