专题17 规律探索与阅读理解题(解析版)
- 格式：docx
- 大小：3.19 MB
- 文档页数：25
专题17规律探索题与阅读理解题一．选择题（共2小题）1．（2020•扬州）小明同学利用计算机软件绘制函数2(()axy a x b =+、b 为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a 、b 的值满足( )A ．0a >，0b >B ．0a >，0b <C ．0a <，0b >D ．0a <，0b <【解答】由图象可知，当0x >时，0y <， 0a ∴<；x b =-时，函数值不存在， 0b ∴-<， 0b ∴>；故选：C ．2．（2020•盐城）把1~9这9个数填入33⨯方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①)，是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为( )A ．1B ．3C ．4D ．6【解答】由题意，可得827x +=+， 解得1x =．故选：A ．二．填空题（共2小题）3．（2020•泰州）以水平数轴的原点O 为圆心，过正半轴Ox 上的每一刻度点画同心圆，将Ox 逆时针依次旋转30︒、60︒、90︒、⋯、330︒得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A 、B 的坐标分别表示为(5,0)︒、(4,300)︒，则点C 的坐标表示为 ．【解答】如图所示：点C 的坐标表示为(3,240)︒．故答案为：(3,240)︒．4．（2020•徐州）如图，30MON ∠=︒，在OM 上截取1OA 过点1A 作11A B OM ⊥，交ON 于点1B ，以点1B 为圆心，1B O 为半径画弧，交OM 于点2A ；过点2A 作22A B OM ⊥，交ON 于点2B ，以点2B 为圆心，2B O 为半径画弧，交OM 于点3A ；按此规律，所得线段2020A B 的长等于 ．【解答】111B O B A =，112B A OA ⊥， 112OA A A ∴=，22B A OM ⊥，11B A OM ⊥， 1122//B A B A ∴，112212B A A B ∴=， 22112A B A B ∴=，同法可得233221122A B A B A B ==，⋯， 由此规律可得192020112A B A B =，111tan3031A B OA =︒=⨯=， 1920202A B ∴=， 故答案为192．三．解答题（共11小题）5．（2020•南京）如图，在ABC ∆和△A B C '''中，D 、D '分别是AB 、A B ''上一点，AD A D AB A B ''=''．（1）当CD AC ABC D A C A B ==''''''时，求证ABC ∆∽△A B C ''． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD AC BCC D A C B C ==''''''时，判断ABC ∆与△A B C '''是否相似，并说明理由． 【解答】（1）证明：AD A D AB A B ''=''， ∴AD ABA D AB =''''， CD AC ABC D A C A B ==''''''， ∴CD AC ADC D A C A D ==''''''， ADC ∴∆∽△A D C ''，A A ∴∠=∠'，AC ABA C AB =''''， ABC ∴∆∽△A B C '''．故答案为：CD AC ADC D A C A D ==''''''，A A ∠=∠'．（2）如图，过点D ，D '分别作//DE BC ，//D E B C ''''，DE 交AC 于E ，D E ''交A C ''于E '． //DE BC ， ADE ABC ∴∆∆∽，∴AD DE AEAB BC AC==， 同理，A D D E A E AB BC A C ''''''==''''''， AD A D AB A B ''=''， ∴DE D E BC B C ''=''， ∴DE BCD E B C =''''， 同理，AE A E AC A C ''=''， ∴AC AE A C A E AC A C -''-''=''，即EC E C AC A C ''=''， ∴EC ACE C A C =''''， CD AC BCC D A C B C ==''''''， ∴CD DE ECC D D E E C ==''''''， DCE ∴∆∽△D C E '''， CED C E D ∴∠=∠'''， //DE BC ，90CED ACB ∴∠+∠=︒，同理，180C E D AC B ∠'''+∠'''=︒， ACB AC B ∴∠=∠'''， AC CBA C CB =''''， ABC ∴∆∽△A B C '''．6．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A 、B 两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A 关于l 的对称点A '，线段A B '与直线l 的交点C 的位置即为所求，即在点C 处建燃气站，所得路线ACB 是最短的．为了证明点C 的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C '，连接AC '、BC '，证明AC CB AC C B '+<'+．请完成这个证明．（2）如果在A 、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）． ①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示； ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．【解答】证明：（1）如图②，连接A C ''， 点A ，点A '关于l 对称，点C 在l 上， CA CA '∴=，AC BC A C BC A B ''∴+=+=，同理可得AC C B A C BC '''''+=+， A B A C C B ''''<+， AC BC AC C B ''∴+<+；（2）如图③，在点C 出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB ，（其中点D 是正方形的顶点）； 如图④，7．（2020•扬州）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足35x y-=①，237x y+=②，求4x y-和75x y+的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得42x y-=-，由①+②2⨯可得7519x y+=．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：（1）已知二元一次方程组27,28,x yx y+=⎧⎨+=⎩则x y-=，x y+=；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数x、y，定义新运算：*x y ax by c=++，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*515=，4*728=，那么1*1=．【解答】（1）2728x yx y+=⎧⎨+=⎩①②．由①-②可得：1x y-=-，由1(3①+②)可得：5x y+=．故答案为：1-；5．（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，依题意，得：203232 395358m n pm n p++=⎧⎨++=⎩①②，由2⨯①-②可得6m n p++=，5555630m n p∴++=⨯=．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．（3）依题意，得：3515 4728a b ca b c++=⎧⎨++=⎩①②，由3⨯①2-⨯②可得：11a b c++=-，即1*111=-．故答案为：11-．8．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车O按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？（3）若接水槽MN所在直线是O的切线，且与直线AB交于点M，8MO m=．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．（参考数据：11cos43sin4715︒=︒≈，11sin16cos7440︒=︒≈，3sin22cos68)8︒=︒≈【解答】（1）如图1中，连接OA．由题意，筒车每秒旋转53606056︒⨯÷=︒，在Rt ACO∆中，2.211 cos315OCAOCOA∠===．43AOC∴∠=︒，∴1804327.45-=（秒)．答：经过27.4秒时间，盛水筒P首次到达最高点．（2）如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时 3.4517AOP∠=⨯︒=︒，431760POC AOC AOP∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，过点P 作PD OC ⊥于D ，在Rt POD ∆中，1cos603 1.5()2OD OP m =︒=⨯=， 2.2 1.50.7()m -=，答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面0.7m ． （3）如图3中，点P 在O 上，且MN 与O 相切，∴当点P 在MN 上时，此时点P 是切点，连接OP ，则OP MN ⊥，在Rt OPM ∆中，3cos 8OP POM OM ∠==， 68POM ∴∠=︒，在Rt COM ∆中， 2.211cos 840OC COM OM ∠===， 74COM ∴∠=︒，180180687438POH POM COM ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴需要的时间为387.65=（秒)， 答：盛水筒P 从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN 上．9．（2020•连云港）（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，6PF =，AEP ∆的面积为1S ，CFP ∆的面积为2S ，则12S S += ；（2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）；（3）如图3，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），过点P 作//EF AD ，//HG AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PGCF 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）；（4）如图4，点A 、B 、C 、D 把O 四等分．请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD 上），设PB 、PC 、BC 围成的封闭图形的面积为1S ，PA 、PD 、AD 围成的封闭图形的面积为2S ，PBD ∆的面积为3S ，PAC ∆的面积为4S ，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有1S 、2S 、3S 、4S 的等式（写出一种情况即可）．【解答】（1）如图1中，过点P 作PM AD ⊥于M ，交BC 于N ． 四边形ABCD 是矩形，//EF BC ，∴四边形AEPM ，四边形MPFD ，四边形BNPE ，四边形PNCF 都是矩形，2BE PN CF ∴===，162PFC S PF CF ∆=⨯⨯=，AEP APM S S ∆∆=，PEB PBN S S ∆∆=，PDM PFD S S ∆∆=，PCN PCF S S ∆∆=，ABD BCD S S ∆∆=，AEPM PNCF S S ∴=矩形矩形， 126S S ∴==， 1212S S ∴+=，故答案为12．（2）如图2中，连接PA ，PC ，在APB ∆中，点E 是AB 的中点，∴可设APE PBE S S a ∆∆==，同理，APH PDH S S b ∆∆==，PDG PGC S S c ∆∆==，PFC PBF S S d ∆∆==，AEPH PFCG S S a b c d ∴+=+++四边形四边形，PEBF PHDG S S a b c d +=+++四边形四边形， 12AEPH PFCG PEBF PHDG S S S S S S ∴+=+=+四边形四边形四边形四边形， 1212ABD ABCD S S S S ∆∴==+平行四边形，1121121()()PBD ABD PBE PHD S S S S S S S S a S a S S ∆∆∆∆∴=-++=+-++-=-．（3）如图3中，由题意四边形EBGP ，四边形HPFD 都是平行四边形，2EBP EBGP S S ∆∴=四边形，2HPD HPFD S S ∆=四边形，()()121211122222ABD EBP HPD EBP HPD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∴==+++=+++平行四边形，1211()()2PBD ABD EBP HPD S S S S S S S ∆∆∆∆∴=-++=-．（4）如图41-中，结论：2134S S S S -=+．理由：设线段PB ，线段PA ，弧AB 围成的封闭图形的面积为x ，线段PC ，线段PD ，弧CD 的封闭图形的面积为y ． 由题意：1413S x S S y S ++=++， 34x y S S ∴-=-，12142()S S x y S x S +++=++， 214342S S x y S S S ∴-=-+=+．同法可证：图42-中，有结论：1234S S S S -=+． 图43-中和图44-中，有结论：1234||||S S S S -=-．10．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC ABAB AC=，那么称点B 为线段AC 的黄金分割点．它们的比值为51-． （1）在图①中，若20AC cm =，则AB 的长为 cm ；（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG ．试说明：G 是AB 的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点()E AE DE >，连接BE ，作CF BE ⊥，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P ．他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．【解答】（1）点B 为线段AC 的黄金分割点，20AC cm =， 5120(10510)AB cm -∴=⨯=-． 故答案为：(10510)-． （2）延长EA ，CG 交于点M ， 四边形ABCD 为正方形， //DM BC ∴， EMC BCG ∴∠=∠，由折叠的性质可知，ECM BCG ∠=∠，EMC ECM ∴∠=∠， EM EC ∴=，10DE =，20DC =，EC ∴==EM ∴=10DM ∴=，tanDC DMC DH ∴∠===．tan BCG ∴∠=即BG BC ， AB BC =，∴BG AB =， G ∴是AB 的黄金分割点；（3）当BP BC =时，满足题意． 理由如下：四边形ABCD 是正方形， AB BC ∴=，90BAE CBF ∠=∠=︒， BE CF ⊥，90ABE CBF ∴∠+∠=︒，又90BCF BFC ∠+∠=︒， BCF ABE ∴∠=∠，()ABE BCF ASA ∴∆≅∆，BF AE ∴=，//AD CP ，AEF BPF ∴∆∆∽，∴AE AFBP BF=， 当E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点时，AE DE>，∴AF BFBF AB=，BF AE=，AB BC=，∴AF BF AE BF AB BC==，∴AE AE BP BC=，BP BC∴=．11．（2020•常州）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I 于P、Q两点(Q在P、H之间）．我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQ PH 的值称为I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4)．半径为1的O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”)，O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为4y=+．求O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点(1,4)M，点F是坐标平面内一点，以F为圆为半径作F．若F与直线1相离，点(1,0)N-是F关于直线1的“远点”．且F关于直线l的“特征数”是l的函数表达式．【解答】（1）①由题意，点D是O关于直线m的“远点”，O关于直线m的特征数2510DB DE==⨯=，故答案为：D，10．②如图11-中，过点O作OH⊥直线n于H，交O于Q，P．设直线34y x =+交x 轴于43(F -，0)，交y 轴于(0,4)E ， 4OE ∴=，43OF =3tan OF FEO OE ∴∠==， 30FEO ∴∠=︒， 122OH OE ∴==，3PH OH OP ∴=+=，O ∴关于直线n 的“特征数”236PQ PH ==⨯=．（2）如图2中，设直线l 的解析式为y kx b =+． 当0k >时，过点F 作FH ⊥直线l 于H ，交F 于E ，N ．由题意，22EN =，45EN NH =， 10NH ∴=，(1,0)N -，(1,4)M ，222425MN ∴=+=，22201010HM MN NH ∴=-=-=， MNH ∴∆是等腰直角三角形， MN 的中点(0,2)K ， 5KN HK KM ∴===，(2,3)H ∴-，把(2,3)H -，(1,4)M 代入y kx b =+，则有423k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得13113k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l 的解析式为11133y x =+， 当0k <时，同法可知直线l '经过(2,1)H '，可得直线l '的解析式为37y x =-+． 综上所述，满足条件的直线l 的解析式为11133y x =+或37y x =-+．12．（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案．（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．【解答】（1）如图①，过点P 作PE CD ⊥于点E ， 点P 是边长为30厘米的正方形雕刻模具的中心， 15PE cm ∴=，同理：A B ''与AB 之间的距离为15cm ，A D ''与AD 之间的距离为15cm ，B C ''与BC 之间的距离为15cm ，2001515170()A B C D cm ∴''=''=--=， 100151570()B C A D cm ''=''=--=，()170702480A B C D C cm ''''∴=+⨯=四边形， 答：图案的周长为480cm ；（2）连接PE 、PF 、PG ，过点P 作PQ CD ⊥于点Q ，如图②P 点是边长为303cm 的等边三角形模具的中心，PE PG PF ∴==，30PGF ∠=︒，PQ GF ⊥，153GQ FQ cm ∴==，tan3015PQ GQ cm ∴=︒=， 30cos30GQPG cm ==︒，当EFG ∆向上平移至点G 与点D 重合时，由题意可得，△E F G '''绕点D 顺时针旋转30︒，使得E G ''与AD 边重合，DP ∴'绕点D 顺时针旋转30︒到DP ''，∴30305180p p l cm ππ'''⨯==， 同理可得其余三个角均为弧长为5cm π的圆弧，∴(200303100303)254600120320()C cm ππ=-+-⨯+⨯=-+，答：雕刻所得图案的周长为(600120320)cm π-+．13．（2020•盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4．（Ⅰ）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，22AB =，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 AC BC +3.23.53.83.943.93.2（Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC 和AC BC +的数据进行分析： ①BC x =，AC BC y +=，以(,)x y 为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点： ②连线：观察思考（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x ＝____时，y 最大；（Ⅳ）进一步精想：若Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边2(AB a a =为常数，0)a >，则BC ＝____时，AC BC +最大． 推理证明（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线； 问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ） ；（Ⅳ） ； 问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；问题4，图②中折线B E F G A --------是一个感光元件的截面设计草图，其中点A ，B 间的距离是4厘米，1AG BE ==厘米．90E F G ∠=∠=∠=︒．平行光线从AB 区域射入，60BNE ∠=︒，线段FM 、FN 为感光区域，当EF 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．【解答】问题1：函数图象如图所示：问题2:（Ⅲ）观察图象可知，2x =时，y 有最大值． （Ⅳ）猜想：2BC a =．故答案为：2，BC =． 问题3：设BC x =，AC BC y +=， 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒AC ∴==y x ∴=+，y x ∴-=222224y xy x a x ∴-+=-， 2222240x xy y a ∴-+-=， 关于x 的一元二次方程有实数根，∴△222442(4)0y y a =-⨯⨯-，228y a ∴， 0y >，0a >， 22y a ∴，当y =时，22240x a -+=22)0a ∴-=，12x x ∴==，∴当BC =时，y 有最大值．问题4：延长AM 交EF 的延长线于C ，过点A 作AH EF ⊥于H ，过点B 作BK GF ⊥于K 交AH 于Q ．在Rt BNE ∆中，90E ∠=︒，60BNE ∠=︒，1BE cm =，tan BEBNE EN∴∠=，)NE cm ∴=， //AM BN ， 60C ∴∠=︒， 90GFE ∠=︒， 30CMF ∴∠=︒， 30AMG ∴∠=︒，90G ∠=︒，1AG cm =，30AMG ∠=︒，∴在Rt AGM ∆中，tan AGAMG GM∠=，)GM cm ∴，90G GFH ∠=∠=︒，90AHF ∠=︒，∴四边形AGFH 为矩形，AH FG ∴=，90GFH E ∠=∠=︒，90BKF ∠=︒∴四边形BKFE 是矩形，BK FE ∴=，2FN FM EF FG EN GM BK AH BQ AQ KQ QH BQ AQ +=+--=++++=++，在Rt ABQ ∆中，4AB cm =，由问题3可知，当BQ AQ ==时，AQ BQ +的值最大，BQ AQ ∴==FN FM +的最大值为2cm ． 14．（2020•南通）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD 中，5AB =，6BC =，4CD =，连接AC ．若AC AB =，求sin CAD ∠的值；（2）如图②，凸四边形ABCD 中，AD BD =，AD BD ⊥，当2222CD CB CA +=时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点(1,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，四边形ABCD 是对余四边形，点E 在对余线BD 上，且位于ABC ∆内部，90AEC ABC ∠=︒+∠．设AE u BE =，点D 的纵坐标为t ，请直接写出u 关于t 的函数解析式．【解答】（1）过点A 作AE BC ⊥于E ，过点C 作CF AD ⊥于F ．AC AB =，3BE CE ∴==， 在Rt AEB ∆中，2222534AE AB BE =-=-=，CF AD ⊥，90D FCD ∴∠+∠=︒，90B D ∠+∠=︒，B DCF ∴∠=∠，90AEB CFD ∠=∠=︒，AEB DFC ∴∆∆∽，∴EB AB CF CD =， ∴354CF =， 125CF ∴=， 12125sin 525CF CAD AC ∴∠===． （2）如图②中，结论：四边形ABCD 是对余四边形．理由：过点D 作DM DC ⊥，使得DM DC =，连接CM ．四边形ABCD 中，AD BD =，AD BD ⊥，45DAB DBA ∴∠=∠=︒，45DCM DMC ∠=∠=︒，90CDM ADB ∠=∠=︒，ADC BDM ∴∠=∠，AD DB =，CD DM =，()ADC BDM SAS ∴∆≅∆，AC BM ∴=，2222CD CB CA +=，22222CM DM CD CD =+=，222CM CB BM ∴+=，90BCM ∴∠=︒，45DCB ∴∠=︒，90DAB DCB ∴∠+∠=︒，∴四边形ABCD 是对余四边形．（3）如图③中，过点D 作DH x ⊥轴于H ．(1,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，1OA ∴=，3OB =，4AB =，22AC BC ==，222AC BC AB ∴+=，90ACB ∴∠=︒，45CBA CAB ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是对余四边形，90ADC ABC ∴∠+∠=︒，45ADC ∴∠=︒，90135AEC ABC ∠=︒+∠=︒，180ADC AEC ∴∠+∠=︒，A ∴，D ，C ，E 四点共圆，ACE ADE ∴∠=∠，45CAE ACE CAE EAB ∠+∠=∠+∠=︒，EAB ACE ∴∠=∠，EAB ADB ∴∠=∠，ABE DBA ∠=∠，ABE DBA ∴∆∆∽，∴BE AE AB AD =， ∴AE AD BE AB=， 4AD u ∴=， 设(,)D x t ，由（2）可知，2222BD CD AD =+，222222(3)2[(1)(2)](1)x t x t x t ∴-+=-+-+++，整理得22(1)4x t t +=-，在Rt ADH ∆中，AD ==，4)4AD u t ∴==<<，即4)u t <<． 15．（2020•镇江）【算一算】如图①，点A 、B 、C 在数轴上，B 为AC 的中点，点A 表示3-，点B 表示1，则点C 表示的数为 ，AC 长等于 ；【找一找】如图②，点M 、N 、P 、Q 中的一点是数轴的原点，点A 、B 1-1+，Q 是AB 的中点，则点 是这个数轴的原点； 【画一画】如图③，点A 、B 分别表示实数c n -、c n +，在这个数轴上作出表示实数n 的点E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；【用一用】学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a 个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m 个学生，每分钟又有b 个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a 、m 、b 会有怎样的数量关系呢？爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数4m b +记作(4)m b ++，用点A 表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a 记作8a -，用点B 表示．①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示(2)m b ++、12a -的点F 、G ，并写出(2)m b ++的实际意义；②写出a 、m 的数量关系： ．【解答】（1）【算一算】：记原点为O ，1(3)4AB =--=，4AB BC ∴==，5OC OB BC ∴=+=，28AC AB ==．所以点C 表示的数为5，AC 长等于8．故答案为：5，8；（2）【找一找】：记原点为O ，211)2AB =+--=， 1AQ BQ ∴==，11OQ OB BQ ∴=--= N ∴为原点． 故答案为：N ．（3）【画一画】：记原点为O ，由()2AB c n c n n =+--=，作AB 的中点M ，得AM BM n ==，以点O 为圆心，AM n=长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，则点E即为所求；（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：=．4m a4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，+=（Ⅰ）；434m b am b a∴+=⨯⨯，即4122分钟内开放4个通道可使学生全部进校，∴+=⨯⨯，即28+=（Ⅱ）；m b a242m b a①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．作OB的中点E，则4==，OG OE aOE BE a==，在数轴负半轴上用圆规截取312则点G即为所求．++的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；m b(2)②方程（Ⅱ）2⨯-方程（Ⅰ）得：4=．m a故答案为：4=．m a。
