6.不等式组的应用

6.不等式组的应用(20070911175449734778)第1题. （2007福建厦门课改，3分）小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为69千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地．后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地．小宝的体重可能是（ ） Ａ．23.2千克 Ｂ．23千克 Ｃ．21.1千克 Ｄ．19.9千克 答案：Ｃ(20070911175450531748)第2题. （2007广东课改，12分）某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）门票按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生．（1）若两班学生一起前往该博物馆参观，请问购买门票最少．．共需花费多少元？ （2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要有多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜？答案：解：（1）当两个班分别购买门票时，甲班购买门票的费用为56×10×0.8＝448（元）； 乙班购买门票的费用为54×10×0.8＝432（元）； 甲、乙两班分别购买门票共需花费880元． 当两个班一起购买门票时，甲、乙两班共需花费（56＋54）×10×0.7＝770（元）． 答：甲、乙两班购买门票最少共需花费770元．（2）当多于30人且不足100人时，设有x 人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意，得，30100,0.8101000.710.x x <<⎧⎨⨯>⨯⨯⎩解这个不等式组，得87.5100x <<.答：当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜.(20070911175451812992)第3题. （2007山东临沂课改，10分）某工程机械厂根据市场需求，计划生产A B ，两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？ （2）该厂如何生产能获得最大利润？（3）根据市场调查，每台B 型挖掘机的售价不会改变，每台A 型挖掘机的售价将会提高m 万元（0m >），该厂应该如何生产可以获得最大利润？（注：利润＝售价－成本）答案：解：（1）设生产A 型挖掘机x 台，则B 型挖掘机可生产(100)x -台， 由题意知22400200240(100)22500x x +-≤≤，（1分） 解得37.540x ≤≤．（2分）x 取非负整数，x ∴为38，39，40． 有三种生产方案：A 型38台，B 型62台；A 型39台，B 型61台；A 型40台，B 型60台． （3分）（2）设获得利润W （万元）， 由题意知5060(100)600010W x x x =+-=-． （4分）∴当38x =时，5620W =最大（万元）， 即生产A 型38台，B 型62台时，获得利润最大．（5分） （3）由题意知(50)60(100)6000(10)W m x x m x =++-=+-，（6分） ∴当010m <<，则38x =时，W 最大，即A 型挖掘机生产38台，B 型挖掘机生产62台； （7分） 当10m =时，100m -=，三种生产方案获得利润相等； （8分） 当10m >，则40x =时，W 最大， （9分） 即A 型挖掘机生产40台，B 型挖掘机生产60台． （10分）(20070911175452953508)第4题. （2007黑龙江哈尔滨课改，8分）青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价-进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；（3按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）答案：解：（1）设该商场能购进甲种商品x 件，根据题意，得1535(100)2700x x +-= 1分40x =乙种商品：1004060-=（件）1分答：该商品能购进甲种商品40件，乙种商品60件．（2）设该商场购进甲种商品a 件，则购进乙种商品(100)a -件．根据题意，得(2015)(4535)(100)750(2015)(4535)(100)760a a a a -+--⎧⎨-+--⎩≥≤ 1分因此，不等式组的解集为4850a ≤≤ 1分 根据题意，a 的值应是整数，48a ∴=或49a =或50a = ∴该商场共有三种进货方案：方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件， 方案二：购进甲种商品49件，乙种商品51件， 方案三：购进甲种商品50件，乙种商品50件． 1分 （3）根据题意，得第一天只购买甲种商品不享受优惠条件 2002010∴÷=（件） 1分第二天只购买乙种商品有以下两种情况：情况一：购买乙种商品打九折，32490458÷÷=％（件） 情况二：购买乙种商品打八折，32480459÷÷=％（件）∴一共可购买甲、乙两种商品10818+=（件）1分 或10919+=（件） 1分 答：这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共18件或19件．(20070911175453843149)第5题. (2007湖南长沙课改，10分)某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册．（1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？（2）有几购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？答案：（1）设文化衫和相册的价格分别为x 元和y 元，则 1分925200x y x y -=⎧⎨+=⎩ 3分解得3526x y =⎧⎨=⎩答：文化衫和相册的价格分别为35元和26元． 5分（2）设购买文化衫t 件，则购买相册(50)t -本，则15003526(50)1530t t +-≤≤7分解得20023099t ≤≤ t 为正整数，23t ∴=，24，25，即有三种方案．8分第一种方案：购文化衫23件，相册27本，此时余下资金293元； 第二种方案：购文化衫24件，相册26本，此时余下资金284元； 第三种方案：购文化衫25件，相册25本，此时余下资金275元； 9分 所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足． 10分(20070911175454890514)第6题. (2007湖南怀化课改,7分)2007年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆． （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？答案：解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，依题意，得：8050(50)34904090(50)2950x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤2分解这个不等式组，得：3331x x ⎧⎨⎩≤≥，3133x ∴≤≤3分x 是整数，x ∴可取313233，，， ∴可设计三种搭配方案：①A 种园艺造型31个 B 种园艺造型19个 ②A 种园艺造型32个 B 种园艺造型18个 ③A 种园艺造型33个 B 种园艺造型17个． 4分（2）方法一：由于B 种造型的造价成本高于A 种造型成本．所以B 种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：338001796042720⨯+⨯=（元） 7分 方法二：方案①需成本：318001996043040⨯+⨯=（元） 方案②需成本：328001896042880⨯+⨯=（元） 方案③需成本：338001796042720⨯+⨯=元 6分 ∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元 7分(20070911175456031379)第7题. （2007江苏常州课改，7分）学校举办“迎奥运”知识竞赛，设一、二、三等奖共12名，奖品发放方案如下表：用于购买奖品的总费用不少于1000元但不超过1100元，小明在购买“福娃”和微章前，了解到如下信息：（1）求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元？（2）若本次活动设一等奖2名，则二等奖和三等奖应各设多少名？答案：解：（1）设一盒“福娃”x 元，一枚徽章y 元，根据题意得23153195.x y x y +=⎧⎨+=⎩，2分解得15015.x y =⎧⎨=⎩，3分答：一盒“福娃”150元，一枚徽章15元． （2）设二等奖m 名，则三等奖(10)m -名，216515015(10)1000216515015(10)1100.m m m m ⨯++-⎧⎨⨯++-⎩≥，≤ 5分解得1041242727m ≤≤． 6分 m 是整数，4m ∴=，106m ∴-=．7分答：二等奖4名，三等奖6名．(20070911175457281598)第8题. （2007江西课改，9分）2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2）若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？答案：解：（1）设预订男篮门票x 张，则乒乓球门票(10)x -张． 由题意，得1000500(10)8000x x +-=， 2分解得6x =． 104x ∴-=．3分 答：可订男篮门票6张，乒乓球门票4张．4分（2）解法一：设男篮门票与足球门票都订a 张，则乒乓球门票(102)a -张．由题意，得1000800500(102)8000500(102)1000.a a a a a ++-⎧⎨-⎩≤，≤6分解得132324a ≤≤． 由a 为正整数可得3a =．8分 答：他能预订男篮门票3张，足球门票3张，乒乓球门票4张．9分解法二：设男篮门票与足球门票都订a 张，则乒乓球门票(102)a -张．由题意，得500(102)10001020.a a a -⎧⎨->⎩≤，6分解得552a <≤．由a 为正整数可得3a =或4a =． 当3a =时，总费用31000380045007400⨯+⨯+⨯=（元）8000<（元）， 当4a =时，总费用41000480025008200⨯+⨯+⨯=（元）8000>（元），不合题意，舍去． 8分 答：他能预订男篮门票3张，足球门票3张，乒乓球门票4张． 9分(20070911175458390286)第9题. 某班级为准备元旦联欢会，欲购买价格分别为2元、4元和10元的三种奖品，每种奖品至少购买一件，共买16件，恰好用50元．若2元的奖品购买a 件． （1）用含a 的代数式表示另外两种奖品的件数； （2）请你设计购买方案，并说明理由．答案：解：（1）设4元钱的奖品买x 件，10元钱的奖品买y 件． 1分由题意，得16241050a x y a x y ++=⎧⎨++=⎩，．解得554373a x a y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，．4∴元钱的奖品为5543a-件，10元钱的奖品为73a -件．3分（2）由题意，得554137131aa a -⎧⎪⎪-⎪⎨⎪⎪⎪⎩，，．≥≥≥ 4分解得1013a ≤≤．5分 a 为正整数，a ∴=10，11，12，13．6分当10a =时，5x =，1y =；当11a =时，11433x y ==，（不合题意，舍去）； 当12a =时，73x =，53y =（不合题意，舍去）；当13a =时，1x =，2y =．∴购买奖品方案一：2元的奖品买10件，4元的奖品买5件，10元的奖品买1件；方案二：2元的奖品买13件，4元的奖品买1件，10元的奖品买2件． 8分(20070911175459109223)第10题. （2007内蒙呼和浩特课改，6分）某车间有3个小组计划在10天内生产500件产品（每天每个小组生产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务，如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务，每个小组原先每天生产多少件产品？（结果取整数）答案：解：设每个小组原先每天生产x 件产品 1分 根据题意可得310500310(1)500x x ⨯<⎧⎨⨯+>⎩3分解得22151633x << 4分x ∵的值应是整数， 16x =∴． 5分 答：每个小组原先每天生产16件产品． 6分(20070911175459875630)第11题. （2007山东济南课改，8分）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．（1）设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．答案：解：（1）由租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8)x -辆1分由题意得：4030(8)2901020(8)100x x x x +-⎧⎨+-⎩≥≥4分解得：56x ≤≤ 5分 即共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆； 第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆． 6分 （2）第一种租车方案的费用为520003180015400⨯+⨯=元； 第二种租车方案的费用为620002180015600⨯+⨯=元 7分 ∴第一种租车方案更省费用． 8分(20070911175500671260)第12题. （2007山东日照课改，9分）某水产品市场管理部门规划建造面积为2400m 2的集贸大棚，大棚内设A 种类型和B 种类型的店面共80间，A 种类型的店面面积为28m 2/间，租费为400元/月；B 种类型的店面面积为20m 2/间，租费为360元/月.全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80%，又不能超过大棚总面积的85%. (1)试确定A 种类型店面的数量；(2)该大棚管理部门通过了解业主的租赁意向得知， A 种类型店面的出租率为75%； B 种类型店面的出租率为90%.为使店面的月租费最高，应建造A 种类型的店面多少间？答案：解：（1）设A 种类型店面的数量为x 间，则B 种类型店面的数量为(80-x )间，根据题意，得： 2820(80)240082820(80)240085%.x x x x +-⨯⎧⎨+-⨯⎩≥≤…………………3分解之，得⎩⎨⎧≤≥.55,40x x∴A 种类型店面的数量为40≤x ≤55,且x 为整数. ……………5分 (2) 设应建造A 种类型的店面x 间，则店面的月租费为： W =400×75%·x +360×90%·(80-x )=-24x +25920, ………………………………………………7分 ∵-24＜0,40≤x ≤55,∴为使店面的月租费最高，应建造A 种类型的店面40间.…9分(20070911175501390978)第13题. （2007山东潍坊课改，3分）幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友．若每人3件，那么还剩余59件；若每人5件，那么最后一个小朋友分到玩具，但不足4件，这批玩具共有 件．答案：152(20070911175502406487)第14题. （2007山东潍坊课改，9分）为改善办学条件，北海中学计划购买部分A 品牌电脑和B 品牌课桌．第一次，用9万元购买了A 品牌电脑10台和B 品牌课桌200张．第二次，用9万元购买了A 品牌电脑12台和B 品牌课桌120张．（1）每台A 品牌电脑与每张B 品牌课桌的价格各是多少元？（2）第三次购买时，销售商对一次购买量大的客户打折销售．规定：一次购买A 品牌电脑35台以上（含35台），按九折销售，一次购买B 品牌课桌600张以上（含600张），按八折销售．学校准备用27万元购买电脑和课桌，其中电脑不少于35台，课桌不少于600张，问有几种购买方案？答案：（1）设每台A 品牌电脑m 元，每张B 品牌课桌n 元，则有10200900001212090000m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得6000150m n =⎧⎨=⎩． （2）有两种方案．设购电脑x 台，课桌y 张，则有540012027000035600x y x y +=⎧⎪⎨⎪⎩≥≥，解得235363600675x y ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤35x =时，y 67536x ==；时，630y =．方案①：购电脑35台，课桌675张；方案②：购电脑36台，课桌630张．(20070911175503125929)第15题. （2007四川绵阳课改，12分）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨． （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？答案：（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车（8－x ）辆，依题意，得 4x + 2（8－x ）≥20，且x + 2（8－x ）≥12，解此不等式组，得 x ≥2，且 x ≤4， 即 2≤x ≤4． ∵ x 是正整数，∴ x 可取的值为2，3，4． 因此安排甲、乙两种货车有三种方案：（2）方案一所需运费 300×2 + 240×6 = 2040元； 方案二所需运费 300×3 + 240×5 = 2100元； 方案三所需运费 300×4 + 240×4 = 2160元．所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．(2007091117550392190)第16题. （2007浙江绍兴课改，4分）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将300ml 的水倒进一个容量为500ml 的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（）Ａ．20cm3以上，30cm3以下Ｂ．30cm3以上，40cm 3以下Ｃ．40cm3以上，50cm3以下Ｄ．50cm3以上，60cm 3以下答案：C(20070911175504703444)第17题. （2007浙江舟山课改，12分）暑假期间小张一家为体验生活品质，自驾汽车外出旅游，计划每天行驶相同的路程．如果汽车每天行驶的路程比原计划多19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天的行程比原计划少12公里，那么它行驶同样的路程需要9天多的时间．求这辆汽车原来每天计划的行程范围（单位：公里）．答案：设原计划每天的行程为x公里，由题意，应有：8(19)22008(19)9(12)xx x+>⎧⎨+>-⎩解得256260 xx>⎧⎨<⎩所以这辆汽车原来每天计划的行程范围为256至260公里．(20070911175505671589)第18题. (2007湖北潜江课改，10分)工业园区某消毒液工厂，今年四月份以前，每天的产量与销售量均为500箱.进入四月份后，每天的产量保持不变，市场需求量不断增加.如图是四月前后一段时期库存量y(箱)与生产时间t(月份)之间的函数图象.（1）四月份的平均日销售量为多少箱？（2）该厂什么时候开始出现供不应求的现象，此时日销售量为多少箱？（3）为满足市场需求，该厂打算在投资不超过135万元的情况下，购买5台新设备，使扩大生产规模后的日产量不低于四月份的平均日销售量.现有A、B两种型号的设备可供选择，其价格与两种设备的日产量如下表：请问：有哪几种购买设备的方案？若为了使日产量最大，应选择哪种方案？答案：解：（1）210306300= ∴四月份的平均日销售量为210＋500＝710箱……………………………（2分）（2）五月；500=a （一个结果1分）…………………………………………（4分）（3）设购买A 型设备x 台，则购买B 型设备)5(x -台，依题意有：⎩⎨⎧≥-+≤-+210)5(4050135)5(2528x x x x …………………………………………………（6分） 解得：3101≤≤x ∴x 取整数1，2，3 方案①：购买A 型设备1台，购买B 型设备4台方案②：购买A 型设备2台，购买B 型设备3台方案③：购买A 型设备3台，购买B 型设备2台………………………（8分）若选择①，日产量可增加50×1＋40×4＝210（箱）若选择日产量可增加50×2＋40×3＝220（箱）若选择③，日产量为50×3＋40×2＝230（箱）∴选择方案③.………………………………………………………………（10分）(20070911175506312357)第19题. （2007浙江温州课改，4分）小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，爸爸坐在跷跷板的一端，小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，他们都不用力时，爸爸那端着地，已知爸爸的体重为70千克，妈妈的体重为50千克，那么小明的体重可能是（ ）Ａ．18千克 Ｂ．22千克 Ｃ．28千克 Ｄ．30千克答案：A。