浅谈全等三角形证明的几种方法

浅谈全等三角形证明的几种方法
【摘要】：灵活运用SAS、ASA、A AS、SSS、II L来解决三角形全等，并运用例题帮助学生领会，解决三角形全等的一般思路，让学生熟练运用知识，为以后的学习打下坚实的基础。

论文关键词：中学,三角形，全等
全等三角形是能完全重合的三角形，它们的形状和大小都相等，探索三角形全等的过程是培养学生合情推理能力，合理使用因为、所以来阐述自己观点，为以后学习打下坚实基础。

同时也让学生运用数学思考生活，运用数学思想分析、解决实际问题，提高学生应用数学的意识。

关于三角形的判定，主要有一下几个方面：
1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等简写成“边角边〃或“ S A S 〃。

2.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简称“角边角〃或“A S A〃。

3.两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边〃或“A A S"。

4.三边对应相等的两个三角形全等，简写成"边边边〃或“SSS〃。

5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成〃斜边、直角边〃或"II L〃。

以上几点是判定三角形全等的条件，但有些题目不会直接告诉条件, 也就不能直接运用判定，那么做题时需仔细审题、找出条件，以下是
几种常见的解题思路及分析方法。

己知一边与其一邻角对应相等。

(1)说明相等角的另一边对应相等，再用“SAS〃。

己知：AB 二 DE、B F二E C、0B二国E、mA B C 与国D E F全等吗？为什么？
A
F B C E
D
分析：知道AB二DE、0B二国E,只要说明BC二EF即可，
解：0A B C00D E F
因为 BF 二EC、所以 B F-C F = E C-C F,即 B C = E F
因为 A B 二 DE、［Z1B 二(Z1E、BC 二 E F 所以［DA B CtZElD E F( S A S ) 己知：点E、F 在 BC 上，BE 二 CF, AB 二 DC, 0B 二(EC 说明 A F、D E相等。

A D
B E
C F
分析：要想说明AF、DE相等，必须说明囱ABF亟DC E,但条件只知
道A B = D C, 0B二国C,所以要求B F = C E
o
解：因为 BE 二 CF,所以 BE + EF 二 CF + EF,即 BF 二 CE。

因为 AB 二 DC,0B 屯 C,BF 二 CE。

D E 所以［Z1A B FmD C E (SAS), 即AF二DE （全等三角形对应边相等）
⑵说明己知边的另一邻角对应相等，再用"A S A 〃 B C
如图：己知：AB = AC, 0BDC旳BEC,说明AD、AE相等。

分析：要
说明AD、AE相等，必须说明［3A BE亟A CD,己知A B = A C,隐藏条件0A旳A （公共角），只要求［DB旳C,法一用三角形的外角，法二用三角形内角和都可说明。

法一解：因为回 B DC 屯 BEC, SB D C+aB 0 D +［Z］ B =180°［?1 B E C +0E 0 C+0 0=180°,且 13B 0 D二0E 0 C （对顶角相等）所以0B=18O° —IUB 0 D —0B D C , lUC=180o—0E 0 C —0B
因为［UA 二② A , AB 二 AC,［Z1B 二［EC。

所E C ,即0B =0C
o
以IDA BE 匪］ACD（ASA）即AD = AE （全等三角形对应边相等）法二解：因为 0B DC 二 0BEC, 0 B =0 B D C -0A, 0C 二②B E C- 0A。

所以［Z1B二IDC。

因为0A二RA, A B = A C , 0B =0C
所以0A B
o
Em AC D （ASA）即AD = AE （全等三角形对应边相等）
（3）说明己知边的对角对应相等，在应“AAS〃。

如上图：已知 AB = AC, 0B D C=0B EC,说明 0A B E 与 0A C D 全等。

分析：己知AB二AC, 0B D C=mB EC,隐藏条件0A屯A （公共
角），AB的对角是0A E B, AC的对角是IUA DC,要说明0A E B 解：因为0BDC=[2)BEC, SA E B=180°—0B E C , [HAD C =180°—E1BDC 所以：0A E B=0A D C
因为[EA EB 二② ADC, 0 A =[?] A , AB 二 AC。

所以：0A B EmA
C D ( A A S )
2.己知两边对应相等。

⑴说明己知边的夹角对应相等，再用“SAS〃。

如图：AD是0ABC的中线，在A D及其延长线上分别截取DM二 DN,连接BM、CM,说明13B DM与②CDN相等吗？为什么？ A
M
C D B
N
分析：AD是回ABC的中线，CD二BD,还知道DM二DN,所以只要说
明H1C DN二H1B DM
解:因为AD是回ABC的中线，所以CD二BD,又因为也CDN电 B DM (对顶角相等)，DM=DN,所以0B DMfflC D N ( S A S ) 对于知道两边相等的三角形要想用SAS来说明，那么这个角必须是两边的夹角。

⑵说明第三边对应相等，再用“SSS〃。

如图：AB二DE、BF二EC、AC二DF,说明0 B与也E相等。

B C F E
D
分析：要想屯E,说明就要说明IEA B COTD E F,己知A B = D
E、AC = D F,只要说明 B C = E F
o
解：因为 BF 二 EC、BC 二 BF-CF、E F = E C-F C ,所以 BC = E
Fo
因为 A B 二 DE、AC = D F, BC 二 EF。

所以mA B CmD E F ( S
S S )
即国B屯E (全等三角形对应角相等)
如图；AB二DC、AF二DE、B E = C F,说明囱B与g]C相等。

A D
B E F C
分析：要想囹B屯E,说明就要说明也ABF亟DC E,己知A B = D
C、AF二DE,两边相等所以要求B F = C E
o
解：因为 B E = C F, B E + E F = C F + E F,所以 BF 二 CE。

因为AB二DC、AF二DE、BF二CE。

所以回ABFtmiDCE。

即：(全等三角形对应角相等)
(3)斜边、直角边相等的直角三角形全等。

如图：AC0BC, A D0B D,垂足分别为 C、D, AC 二 BD, 0 ABC 与0B AD全等吗？为什么？
C D
分析：因为AC回BC, A D0D,所以0A B C与0BAD为直角三角形只需找到一斜边、一直角边相等就能说明全等，AB = BA （公共斜边）AC = B D,使用II Lo
解：RttZlABC 与 RtRBAD 全等
因为 A C0B C , A D0B D ,所以0C =0D =90°, 0A B C 和［UBAD
是直角三角形。

因为AB = B A （公共斜边）AC = BD,所以Rt^A B CtZlRtRB A D
3.己知两角对应相等。

⑴说明两角的夹边对应相等，再用“ASA〃。

如图：点B、F、C、E在同一条直线上，BF二EC, 0B二囱E, 0 ACB二0DFE,说明0A B C与国D E F全等。