高中数学必修1 第三章复习导学案

§1.3.3 集合与函数的概念（复习）1. 理解集合有关概念和性质，掌握集合的交、并、补等三种运算的，会利用几何直观性研究问题，如数轴分析、Venn 图；2. 深刻理解函数的有关概念，理解对应法则、图象等有关性质，掌握函数的单调性和奇偶性的判定方法和步骤，并会运用解决实际问题.245复习1：集合部分.① 概念：一组对象的全体形成一个集合② 特征：确定性、互异性、无序性③ 表示：列举法{1,2,3,…}、描述法{x |P } ④ 关系：∈、∉、⊆、、=⑤ 运算：A ∩B 、A ∪B 、U C A⑥ 性质：A ⊆A ； ∅⊆A ，….⑦ 方法：数轴分析、Venn 图示.复习2：函数部分.① 三要素：定义域、值域、对应法则；② 单调性：()f x 定义域内某区间D ，12,x x D ∈，12x x <时，12()()f x f x <，则()f x 的D 上递增；12x x <时，12()()f x f x >，则()f x 的D 上递减.③ 最大（小）值求法：配方法、图象法、单调法.④ 奇偶性：对()f x 定义域内任意x ，()()f x f x -=- ⇔ 奇函数；()()f x f x -= ⇔ 偶函数.特点：定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称.二、新课导学※ 典型例题例1设集合22{|190}A x x ax a =-+-=，2{|560}B x x x =-+=，2{|280}C x x x =+-=.（1）若A B =A B ，求a 的值；（2）若φA B ，且A C =∅，求a 的值；（3）若A B =A C ≠∅，求a 的值.例2 已知函数()f x 是偶函数，且0x ≤时，1()1xf x x +=-.（1）求(5)f 的值； （2）求()0f x =时x 的值；（3）当x >0时，求()f x 的解析式．例3 设函数221()1x f x x +=-．（1）求它的定义域； （2）判断它的奇偶性；（3）求证：1()()f f x x =-；（4）求证：()f x 在[1,)+∞上递增.※动手试试练1. 判断下列函数的奇偶性：（1）222()1x xf xx+=+；（2）3()2f x x x=-；（3）()f x a=（x∈R）；（4）(1)()(1)x xf xx x-⎧=⎨+⎩0,0.xx≥<练2. 将长度为20 cm的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为多少？三、总结提升※学习小结1. 集合的三种运算：交、并、补；2. 集合的两种研究方法：数轴分析、Venn图示；3. 函数的三要素：定义域、解析式、值域；4. 函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的研究.※ 知识拓展要作函数()y f x a =+的图象，只需将函数()y f x =的图象向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可. 称之为函数图象的左、右平移变换.要作函数()y f x h =+的图象，只需将函数()y f x =的图象向上(0)h >或向下(0)h <平移||h 个单位即可. 称之为函数图象的上、下平移变换.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若{}2|0A x x =≤，则下列结论中正确的是（ ）. A. 0A = B. 0AC. A =∅D. ∅A2. 函数||y x x px =+，x R ∈是（ ）.A ．偶函数B ．奇函数C ．不具有奇偶函数D ．与p 有关3. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）.A ．1y =B ．21x y x=+- C ．221y x x =--- D ．21y x =+4. 某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人.5. 函数()f x 在R 上为奇函数，且0x >时，()1f x =，则当0x <，()f x = .1. 数集A 满足条件：若,1a A a ∈≠，则11A a∈+. （1）若2A ∈，则在A 中还有两个元素是什么；（2）若A 为单元集，求出A 和a .2. 已知()f x 是定义在R 上的函数，设()()()2f x f x g x +-=，()()()2f x f x h x --=. （1）试判断()()g xh x 与的奇偶性；（2）试判断(),()()g x h x f x 与的关系；（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？。

知识点一函数的零点1.对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.2.方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.3.函数的零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用).(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)＜0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0.知识点二二分法二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验.知识点三函数的应用解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为题型一 函数的零点根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有根，有几个根.从图形上说，函数的零点就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题.在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视. 例1 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.(－14，0)B.(0，14)C.(14，12)D.(12，34) 答案 C解析 ∵f (－14)＝e 41-－4<0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2<0，f (14)＝e 41－2<0，f (12)＝e 21－1>0，f (34)＝e 43>0， ∴f (14)·f (12)<0.跟踪训练1 设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 B解析 设g (x )＝x 3－22－x ，则g (0)＝－4，g (1)＝－1， g (2)＝7，g (3)＝26 12，g (4)＝63 34，显然g (1)·g (2)＜0，于是函数g (x )的零点在(1,2)内， 即y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点在(1,2)内. 题型二 函数模型及应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画.这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识.对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果.例2 某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解 (1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝15t ＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－110t ＋8，故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为：P ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N *，－110t ＋8，20＜t ≤30，t ∈N *.(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系， 即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N *. (3)由(1)(2)可知y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫15t ＋2(－t ＋40)，0≤t ≤20，t ∈N *，⎝⎛⎭⎫－110t ＋8(－t ＋40)，20＜t ≤30，t ∈N *＝⎩⎨⎧－15(t －15)2＋125，0≤t ≤20，t ∈N *，110(t －60)2－40，20＜t ≤30，t ∈N *.当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125，当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减小.所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元. 跟踪训练2 某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系是Q ＝－t ＋40 (0<t ≤30，t ∈N *). (1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；(2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量) 解 (1)根据图象，可得P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N *，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *. (2)设日销售额为y 元，则y ＝P ·Q＝⎩⎪⎨⎪⎧(t ＋20)(－t ＋40)，0<t <25，t ∈N *，(－t ＋100)(－t ＋40)，25≤t ≤30，t ∈N *， 即有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900，0<t ≤24，t ∈N *，(t －70)2－900，25≤t ≤30，t ∈N *.①若0<t <25，t ∈N *，则当t ＝10时，y max ＝900； ②若25≤t ≤30，t ∈N *，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 故第25天的日销售金额最大，最大值为1 125元.数形结合思想在解数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，就是使抽象思维和形象思维联系在一起，实现抽象概念与具体图象之间的相互转化，即数量关系转化为图形的性质或者把图形的性质转化为数量关系来研究.例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则k 的取值范围是______.解析 易知函数f (x )的图象如图所示：由图可知0<k <1. 答案 0<k <1跟踪训练3 已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( ) A.x 1>x 2>x 3 B.x 2>x 1>x 3 C.x 1>x 3>x 2 D.x 3>x 2>x 1答案 D解析 在同一坐标系内分别画出⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝2x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝ln x ， 和⎩⎨⎧y ＝－x ，y ＝－x －1的图象，由图可知每组中的两图象各有一个交点，它们的横坐标就是三个函数的零点，由图可知：x 3>x 2>x 1，故选D.转化与化归思想例4 设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数. 解 原方程等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ， 整理得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3).在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a ，及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1,3)的图象，如图所示.(1)当a >134或a ≤1时，两个函数的图象无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，两个函数的图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，两个函数的图象有两个交点，故原方程有两个实数根.跟踪训练4 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上？解 已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0，函数的大致图象如图所示.根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上，则： ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，∴－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.。

§方程的根与函数的零点一、学习目标1、掌握零点的看法。

理解函数的零点与方程的根的关系。

2、掌握判断一个函数能否有零点的方法。

4、经过察看函数的图象，判断函数的零点大概的区间。

5、在函数与方程的联系中体验数学中的转变思想的意义和价值。

二、自主学习1、预习教材P86~ P88，找出迷惑之处，并回答以下问题⑴、一元二次方程20)的解法 .鉴别式 =.当0，方程有两ax +bx+c=0 (a根，为 x1,2；当0，方程有一根，为 x0；当0，方程无实根 .⑵、方程 ax2 +bx+c=0 (a 0)的根与二次函数 y=ax 2 +bx+c (a0)的图象之间有什么关系？鉴别式一元二次方程二次函数图象国与x 轴交点个数2、研究：解以下各题① 方程坐标为② 方程标为③ 方程标为x22x30 的解为，函数 y x2 2 x 3 的图象与 x 轴有个交点，.x22x10 的解为，函数 y x22x1的图象与 x 轴有个交点，坐.x22x30 的解为，函数 y x22x3的图象与 x 轴有个交点，坐.依据以上实例，能够获取什么结论？你能将结论进一步推行到y f ( x) 吗？三、合作研究1、试试给出函数的零点的定义：.2、思虑 :函数 y f ( x) 的零点、方程 f ( x) 0 的实数根、函数y f ( x)的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？3、试一试：x2（ 1）函数 y 4 x4的零点为；（ 2）函数 y x2 4 x3的零点为.4、研究：①作出 y x2 4 x 3的图象，求 f (2), f (1), f (0) 的值，察看 f (2) 和 f (0) 的符号②察看右侧函数y f ( x) 的图象，在区间 [ a,b] 上f (b) f (c)零点； f ( a)0；在区间 [c, d] 上f (b)0；在区间 [ b, c] 上零点； f (c) f (d )0.零点；发现规律：由以上两步研究，你能够得出什么样的结论？5、试试给出零点存在性定理：6、试一试1、求函数 f (x) ln x 2 x 6 的零点的个数 .2、方程log 3x+x=3 的解所在的区间是A 、 (0， 1) B、 (1， 2) C、 (2， 3)()D、 (3， +∞ )7、试试小结函数零点的求解方法.四、稳固提升1.函数 f ( x)(x22)( x23x2) 的零点个数为（） .A. 1B. 2C.3D. 42.若函数 f (x) 在 a,b 上连续，且有 f (a) f (b) 0 ．则函数 f ( x) 在 a,b 上（） .A. 必定没有零点B. 起码有一个零点C. 只有一个零点D. 零点状况不确立3.函数 f ( x)e x 14x 4 的零点所在区间为（）.A. ( 1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)4.函数 y x2x20 的零点为.5.若函数 f (x)为定义域是 R 的奇函数，且 f ( x)在 (0,) 上有一个零点．则 f (x) 的零点个数为.§用二分法求方程的近似解一、学习目标1.依据详细函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；2.经过用二分法求方程的近似解，使学生领会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数看法办理问题的意识 .二、自主学习1、（预习教材P89~ P91，找出迷惑之处）复习：关于函数y f (x) ，我们把使的实数x叫做函数y f (x) 的零点 .方程 f ( x) 0 有实数根函数y f ( x) 的图象与x 轴函数y f (x).假如函数y f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线，而且有，那么，函数y f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点 .2、研究：有 12 个小球，质量均匀，只有一个是比其余球重的，你用天平称几次能够找出这个球？（要求次数越少越好 .）解法：第一次，两头各放个球，低的那一端必定有重球；第二次，两头各放个球，低的那一端必定有重球；第三次，两头各放个球，假如均衡，剩下的就是重球，不然，低的就是重球.思虑：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采纳近似的方法，如何求y ln x 2 x 6 的零点所在区间？如何找出这个零点？三、合作研究1、试试 1：给出二分法的定义：2、试试 2：给定精度ε，用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如何呢？3、合作：借助计算器或计算机，利用二分法求方程 2 x3x 7 的近似解 .4、试一试1） . 求方程 log 3 x x 3 的解的个数及其大概所在区间.2） .填表求函数 f ( x)x3x2 2 x 2 的一个正数零点（精准到0.1 ）零点所在区间中点函数值符号区间长度四、稳固提升1.若函数 f (x) 在区间a,b 上为减函数，则 f ( x) 在 a, b 上（） .A. 起码有一个零点B. 只有一个零点C. 没有零点D. 至多有一个零点2.以下函数图象与 x轴均有交点，此中不可以用二分法求函数零点近似值的是（）.3.函数 f ( x) 2 xln( x2) 3 的零点所在区间为（） .A. (2,3)B.(3,4)C.(4,5)D. (5,6)4.用二分法求方程x32x50 在区间 [2 ，3]内的实根，由计算器可算得 f (2)1 ，f (3)16 ，f (2.5) 5.625 ，那么下一个有根区间为.5.函数 f ( x)lg x2x7 的零点个数为，大概所在区间为.6、借助于计算机或计算器，用二分法求函数 f ( x) x32的零点（精准到）.几类不一样增添的函数模型一、学习目标1、 联合实例领会直线上升、指数爆炸、对数增添等不一样函数模型的增添差别。

教科版高中数学必修1word导学案概述本导学案是为教授教科版高中数学必修1课程的教师设计的。

本课程旨在帮助学生建立数学概念和解决问题的能力。

本导学案将涵盖以下内容：目标- 掌握数学概念和基本原理- 培养解决数学问题的思维能力- 提高数学分析和推理的能力- 建立良好的数学研究惯课程大纲第一章：数与数量- 数与数的运算- 整数- 有理数- 实数- 数轴与绝对值第二章：函数与分析- 函数的概念与表示- 直线函数- 一次函数- 二次函数- 指数函数- 对数函数第三章：三角函数- 三角函数的定义与性质- 三角函数的图像与变换- 三角函数的应用第四章：数列与数学归纳法- 数列的概念与性质- 等差数列- 等比数列- 对数数列- 数学归纳法的应用...导学活动安排1. 第一章：数与数量- 导学活动1：测量实践- 导学活动2：整数运算小练- 导学活动3：数轴与绝对值的理解练2. 第二章：函数与分析- 导学活动1：函数的基本概念练- 导学活动2：直线函数练题- 导学活动3：二次函数的应用题解析3. 第三章：三角函数- 导学活动1：三角函数的基本概念练- 导学活动2：三角函数图像的绘制与分析- 导学活动3：三角函数的应用题解析4. 第四章：数列与数学归纳法- 导学活动1：数列的基本概念练- 导学活动2：等差数列和等比数列练- 导学活动3：数学归纳法的应用题解析...评估与反馈本课程将评估学生对各章节内容的理解和掌握程度。

评估工具包括课堂小测验、作业、测试和综合性评估。

在评估后，将对学生的表现进行反馈，以便纠正错误和指导研究。

注意事项- 学生应按时完成作业和练题- 学生应参与课堂活动和讨论- 学生应积极利用教材和辅助资料进行研究- 学生应学会合理安排研究时间，并保持良好的研究惯- 学生应向老师及时提问，并寻求帮助解决问题参考资料- 教科版高中数学必修1课本- 高中数研究题与解析- 数学教学参考资料。