第五章 大数定律与中心极限定理

中心极限定理
独立随机变量和
设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为
Yn = ∑Xi
i=1 n
讨论独立随机变量和的极限分布, 指出极限分布为正态分布.
13 July 2011
湖南大学
第五章 大数定律与中心极限定理
第18页 18页
独立同分布下的中心极限定理
林德贝格—勒维中心极限定理 设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期 望为µ, 方差为 σ2>0，则当 n 充分大时，有
解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
(1) P( X = 5) = C ×0.015 ×0.99495 ＝0.17635
5 500
(2) 应用正态逼近: P(X=5) = P(4.5 < X < 5.5) = 0.1742
13 July 2011
5.5 − 5 4.5 − 5 ≈ Φ −Φ 4.95 4.95
第五章 大数定律与中心极限定理
第25页 25页
三、给定 y 和概率，求 n
例7 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节
目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？
解：用 Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
P ( Yn / n − p < 0.05) ≈ 2Φ 0.05 n / p(1 − p) − 1 ≥ 0.90
湖南大学
湖南大学
第五章 大数定律与中心极限定理
第16页 16页
X 例 设 1, X2 ,L, Xn是独 立同 布 分 的随 变量 它们 机 ， 都服 从 [a, b]上的 [ 均匀 布 f (x)是 a, b]上 连 函 ， 分 ， 的 续 数 证明 ：

解
1
以Xk (k=1,2,…,400)记第k个学生来参加会议
2
的家长数,其分布律为
3
pk
4
05
5
8
6
15
7
Xk
8
Xk 相互独立地服从同一分布
9
随机变量
近似服从标准正态分布
添加标题
以Y表示有一名家长来参加会议的学生, 则
添加标题
Y~b(400, 0.8)
三 小结
独立同分布的中心极限定理
01
李雅普诺夫定理
单击此处添加标题
解
单击此处添加标题
切比雪夫(Chebyshev)定理证明
定义
由此得到定理1的另一种叙述：
Th1′
PART 1
说明
Th2：(伯努利大数定理)
定理表明事件发生的频率依概率收敛于 事件的概率。由实际推断原理,在实际应用中, 当试验次数很大时,可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.
的分布函数的极限.
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.
X~b(90000,1/3),
思考题
分布律为
所求概率为
采用棣莫佛－拉普拉斯定理
计算太麻烦！！！
3.棣莫佛－拉普拉斯定理
说明
例题
解
例1 掷一颗骰子1620次，求“六点”出现的次数X 在250～290之间的概率？

k 1
其中 X1, X2 ,, Xn是相互独立的、服从同一
均值为μ，方差为σ2>0的独立同分布的随机变量
n
X1,X2,…,Xn之和 X k 的标准化变量，当n充分
大时，有
k 1
n

k 1
Xk

nm
～近似N(0,1)
ns
n
这样可以用(标准)正态分布来对 X k 作
k 1
理论分析或实际计算，不必求分布函数
19/41
§5.2 中心极限定理
将上式改写为
即对任意的正数ε，当n充分

lim P n
1 n
n k 1
Xk
m

1.

大时，不等式 立的概率很大
|
X
m | 成
3/41
证 由随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，且具有 相同的数学期望和方差，有
E

1 n
n k 1
Xk

lim
n
P

1 n
(X1

X2

Xn)
p




1,
即
lim
n
P

nA n

p





1.
伯努利大数定理表明，事件发生的频率nA/n依概率收敛
于事件的概率p，以严格的数学形式表达了频率的稳定性和概
率的合理性
近似：当n很大时，事件发生的频率nA/n与概率有较大偏差的 可能性很小，因此由实际推断原理，由于小概率事件几乎不
辛钦定 理
X P m

∑200
【解】 设 X i 表示“该射手第 i 次射击的得分”，则 Y = X i 表示射手所得总分，
i=1
Xi (i =1, 2, , 200) 独立同分布，分布表如下：
Xi
0
2
3
4
5
p
由于
0.1
0.1
0.2
0.2
0.4
E( Xi ) = 0×0.1+ 2×0.1+ 3×0.2 + 4×0.2 + 5×0.4 = 3.6 ；
试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，在实际应用中，当试 验次数很大时，便可以用事件发生的频率来替代事件的概率.
3、辛钦大数定律
设随机变量序列 X , X , 12
，Xn,
相互独立且服从相同的分布,具有相同的数学期望
E(X i
)
=
μ
,（
i
=
1,
2,
） ,则对任意给定的正数 ε ，有
) ,则对任意实数 x ，有
∑ ⎧
⎪
n
X − nμ i
⎫ ⎪
⎨ lim P i=1
≤ x⎬ =
⎪ n→∞
nσ
⎪
⎩
⎭
∫ 1
2π
x −t2
e
−∞
2 dt = Φ(x) .
154
第五章 大数定律与中心极限定理
n
∑ 【评注】 n 个相互独立同分布、方差存在的随机变量之和 Xi ，当 n 充分大时，近似 i =1
第五章 大数定律与中心极限定理
本章学习要点
① 了解切比雪夫不等式； ② 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大