排列组合解题策略大全

排列组合解题策略大全一、合理分类与分步1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？ 分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A 种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有131333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344=+A A A A （种） 解法二(排除法):甲在排头:44A ,乙在排尾: 44A ,甲在排头且乙在排尾: 33A ,故符合题意的不同的排法为: 5443544378A A A A --+=.注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数433288883374088A A A A +++=（种）二、特殊元素和特殊位置优先法1、0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 34A =2882、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440三、排列组合混合问题先选后排法解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。

1、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？分析： 因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。

1）选：从四个球中选2个有24C 种，从4个盒中选3个盒有34C 种；2）排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有33A 种，故所求放法有144333424=A C C 种。

2、5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A3、9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2名，有2254C C 种，这四名运动员混和双打练习有22A 中排法，故共有222542120C C A =种.4、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有多少种？先在正副班长中选1人：12C ，再在剩余4名战士中选3人：34C ，最后对选出的4人进行全排列：44A ，总共12C 34C 44A =192四、相邻元素捆绑法1、,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有多少种？解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2、7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？分析： 把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4人共5个元作全排列，有55A 种排法，而甲乙、丙、之间又有33A 种排法，故共有55A 72033=A 种排法。

3、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

55A 22A 22A =4804、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中有且只有两个偶数夹在1和５之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.五、不相邻（相离）问题插空法1、七人并排站成一行，如果甲乙两个不能站在一起，那么不同的排法种数有多少？解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .2、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？先排除舞蹈外的5个节目为55A 种，再用4个舞蹈节目去插6个空位有46A 种，不同的排法种数是5456A A3、某人射击8枪，命中4枪，命中的4枪中恰有3枪连在一起的情形有多少种？先将未命中的4枪排好，这里不讲顺序，然后将命中的4枪分3枪和1枪两组，插入5个空，共25A 种情形。

4、马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？分析：表面上看关掉第1只灯的方法有6种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。

若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”的问题。

故关灯方法种数为34C 。

六、定序问题缩倍法1、,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数有多少？ 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .2、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？分析： 不考虑附加条件，排队方法有66A 种，而其中甲、乙、丙的33A 种排法中只有一种符合条件。

故符合条件的排法有1203366=÷A A 种。

七、多排问题直排法1、（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数有多少？一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C .（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法.2、有2排座位,前排11个座位，后排12个座位。

现在安排2人就坐,规定前排中间3个座位不能坐,并且这2个人不左右相邻,那么不同的排法共多少种？在20个可以坐的任意取2个排列,有380种,减去其中两人相邻的情况.相邻的情况有2*3+2*3+2*11=34种 所以答案为380-34=346九、自由分配求幂法1、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法2、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法有多少种？87十、相同元素分组隔板法解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。

相邻名额之间形成９个空隙。

在９个空档中选６个位置插入隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。

一班二班三班四班七班2、10个相同的球装入5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为nm 种十一、平均分组先乘后除1、将4人平均分成两组，有多少种不同的分法？分析：如果象例1一样，则有C 24=6种。

但事实上，将ABCD 四人平均分成两组，只有AB-CD 、AC-BD 、AD-BC 三种。

为什么呢？我们不难发现，从4人中选2人时，选AB 或CD 是两种不同的选法，但在分组时，AB-CD 应是同一组，即每种分法都重复了2次。

故正确的分组种数为2242223C C A =种。

2、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本（均分三堆）(2)一组一本，一组二本，一组三本 (3)一组四本，另外两组各一本分析：（1）22264233C C C =15A (2) C 16C 25C 33=60 (3) 41162122C C C =15A 十一、非平均分组只用乘法 (分步为每个小组按数量取物）1、将6人分成1人、2人、3人三组，有多少种不同的分法？解：由乘法原理不难得到不同的分法有C 16C 25C 33=60种。

说明：这种分组将元素分成个数互不相等的组，可以直接由乘法原理求出适合条件的不同种分法。

十四、定向．．分配（小组要分给指定的对象）------用分步乘法(分步为每个对象按数量取物） 1、 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本.分析：（１）法一：先平均分组：22264233C C C =15A ；再分给三人：33A ；共22264233C C C A 33A =90 此法较繁，故采用法二：先为甲选两本：26C ,再为乙选两本：24C ，最后为丙选两本：22C ； 共26C 24C 22C =90（2）先为甲选1本：16C ,再为乙选两本：25C ，最后为丙选两本：33C ；平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 (n 为均分的组数)避免重复计数。

说明：若将m 个元素分组，其中有r 组元素个数相同，则不同种分组方法有rr cm cm b a m a m P C C C ---说明：若将m 个元素分组，其中每组元素个数都不相同，则不同种分组方法有abm cm m am c C C C ---共16C 25C 33C =60（３）先为甲选1本：46C ,再为乙选两本：12C ，再为丙选两本：11C ；共46C 12C 11C =30十三、不定向．．．分配（小组可分给任一对象）-----先分组，再排列1、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1) 每人两本（平均分给甲乙丙三人） (2) 一人一本、一人两本、一人三本 (3) 一人四本、一人一本、一人一本分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。