选修2-1 2.3.2双曲线的简单几何性质

2.3.2 双曲线简单的几何性质教学设计1．教学目标（1）知识层面：结合双曲线的图象，师生共同探索发现和归纳双曲线的性质，同时体会数形结合的思想方法。

（2）能力层面：通过在教师引导下探索新知的过程，培养学生观察、分析、归纳的自学能力，为学生学习的可持续发展打下基础。

（3）情感层面：通过数形结合思想方法的运用，让学生体会（数学）问题从抽象到形象的转化过程与方法，体会数学之美，激发学生学习数学的信心和兴趣。

2．重点难点重点：师生共同探索，归纳、总结出双曲线的性质，在探索过程中体会数形结合思想方法。

难点：对双曲线性质的理解和应用4．教学过程活动1【导入】环节一活动2【活动】回顾已学活动3新知探索活动4【活动】板书设计椭圆、双曲线的性质比较学情分析本节课之前，学生已经学习了《椭圆及其性质》，《双曲线及标准方程》，这些都为本节课的学习打好了基础。

但由于我校学生生源比较差，基础薄弱，学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，并且学习的信心不够，画图读图能力也不足，在讲解时要精分细讲，从图象到方程以及范围、对称性、顶点、实轴虚轴、渐近线、离心率等层层递进，引导学生从图象中得出结论，根据学生对新知识的认知规律，从简到难，数形结合，对性质的讲解要面面俱到。

双曲线简单的几何性质--学生当堂学习效果评测结果及分析1.知识的掌握。

有52%的学生能够达到A，35%的学生能够达到B,13%的学生属于C。

前两种学生平时的学习习惯较好，方法科学，第三种学生基础较差，学习习惯和方法均存在问题。

教师在分层施教基础上，适当采取一些方法让学习好的学生加加餐，让较差的学生能够跳一跳，摘到心仪的果子。

2.思维能力的发展。

11%的学生能够达到A，74%的学生能够达到B,15%的学生属于C。

第一种是平时表现特别积极、敢于展现、大胆发言的学生。

第二种是平时表现比较积极，在课堂活动中能够积极参与的学生。

第三种平时默默无闻，不敢发言和表现。

在激励第一种学生的同时，平时教师应多给与第二和第三种学生发言和表现的机会，以此实现学生的全面发。

x2 y 2 1 有相同渐近线，且过点 (3, 2 3) 9 16
；
2 9 y x 且过点 ( , 1) ； （2）渐近线方程为： 3 2
（五）高考链接
（2011海南高考）设直线 l 过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴 垂直，l与C交于 A,B两点，AB 为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )
x2 y2 b y x 是双曲线 2 2 1 的渐近线的方程; a b a
利用渐近线可以较准确的画出双曲线的简图(例如)
2. 介绍离心率(性质5)
c 1）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e a 因为c>a>0，所以离心率的取值范围是： e 1
。
2）双曲线的离心率对所代表双曲线的形状的影响（演示） b c2 2 c2 a2 c2 a2 由于 1 e 1 a a2 a2 b ba 即渐近线 y x 的斜率 所以e越大， 也越大， a a 绝对值越大。 结论：双曲线的离心率越大 ， 它的开口就越 开阔 反之，离心率越小，它的开口就越 扁狭 。 ；
1．类比椭圆联想得出双曲线几何性质（性质1～3）
椭圆 双曲线
x2 y 2 1(a 0, b 0) a 2 b2
方程
a, b, c的关系
x2 y 2 1(a b 0) a 2 b2
a 2 b2 c 2
c 2 a 2 b2
图形
范围
对称性 顶点
| x | a,| y | b
注意：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲 线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而 改变．
（四）练习巩固
1：求下列双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近 线方程。

b b 2 2 解得y1 25 12 481 12 12 b 5 2 2 y2 13 12 b. 12 12 又塔高为 米, 所以y2 y1 55.即 55 5b b 481 55. 12 12 解得 : b 24.5(米).所以双曲线的 方程为 x y 1. 2 2 12 24.5
2
2



2 ; 渐近
线方程x y; 准线方程y 2 .
练习题:
1.求下列双曲线的实轴和虚轴的 长、顶点和焦点坐标、离心率、 渐近线方程和准线方程：
x y 4 1 49 25
2
2
y x 4 方程化为 1, 于是a 5, b 7, 25 49 c 25 49 74 , 2a 10, 2b 14; 顶 点坐标0, 5 , 0,5 ; 焦点坐标 0, 74 ,
叫做等轴双曲线 .
x
双曲线虚轴的变化对双曲线的影响：
性质4—渐近线
y B2
N x ,Y Q M(x,y)

b

A1

o a A2

x
b y x a
B1
b y x a
在第一象限内 双曲线方程化为 , b 2 2 y x a x a a 设M x , y 是双曲线上的任意一 b 点, N x ,Y 是直线y x上与M a b 有相同横坐标的点则Y x . , a
1 x
2
8 y 32
2
x y 1方程化为 1, 于是a 4 2 , 32 4 b 2, c 32 4 6, 2a 8 2 , 2b 4; 顶点坐标 4 2 ,0 , 4 2 ,0 ; 焦点坐 3 标6,0 , 6,0 ; e 2 ; 渐近线方程 4 2 16 y x; 准线方程x . 4 3

a＝13，b＝m1 ，
9 m2
取顶点0，13，一条渐近线为 mx－3y＝0， 所以15＝|－m32×＋139|，则 m2＋9＝25，
∵m＞0，∴m＝4.
答案： D
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第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．已知点(2,3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)上， C 的焦距为 4，则它的离心率为________．
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
解析： 双曲线方程可化为x42－y82＝1，∴a2＝4，a＝2，
则 2a＝4，故选 C. 答案： C
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第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
c e＝__a__
__y_＝__±_ba_x_
_y_＝__±_ab_x__
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第二章 圆锥曲线与方程
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合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
等轴双曲线
___实__轴__和___虚__轴___等长的双曲线叫做等轴双曲线．
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第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
由①②联立，无解．
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第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
令 y＝0，解得 x＝±3，因此顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)． 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4， 离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程 y＝±bax＝±23x. 作出草图(如图所示)．