数学中的虚数与复数一、虚数的概念1.虚数的定义：虚数是形如bi（b为实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1）的数。
2.虚数的表示：用字母i表示虚数单位，i^2 = -1。
二、虚数的性质1.虚数的平方：任何虚数的平方都是负实数。
2.虚数的乘法：两个虚数相乘，等于它们的实部乘以实部，虚部乘以虚部。
3.虚数的除法：一个虚数除以另一个虚数，等于被除数乘以除数的共轭复数。
三、复数的概念1.复数的定义：复数是实数和虚数的组合，一般形式为a + bi（a、b为实数，i为虚数单位）。
2.复数的表示：用字母a + bi表示，其中a称为复数的实部，b称为复数的虚部。
四、复数的性质1.复数的平方：一个复数的平方等于它的实部平方减去虚部平方，再加上2倍实部与虚部的乘积乘以i。
2.复数的乘法：两个复数相乘，等于它们的实部乘以实部，虚部乘以虚部，再加上2倍实部与虚部的乘积乘以i。
3.复数的除法：一个复数除以另一个复数，等于被除数乘以除数的共轭复数，再除以除数的模的平方。
五、复数的分类1.纯虚数：实部为0，虚部不为0的复数，如i、-i。
2.实数：实部不为0，虚部为0的复数，如2、-3。
3.虚数：实部为0，虚部不为0的复数，如2i、-3i。
六、复数的模1.复数的模定义：复数a + bi的模等于它的实部平方加上虚部平方的平方根，即|a + bi| = √(a^2 + b^2)。
2.复数的模的性质：复数的模是非负实数，且与复数的共轭复数相等。
七、复数在几何中的应用1.复平面：以实部为横轴，虚部为纵轴建立的平面直角坐标系。
2.复数的几何意义：复数对应复平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
3.复数的加减法：在复平面上对应点的平移。
4.复数的乘除法：在复平面上对应点的缩放和平移。
八、复数与三角函数1.复数的三角表示：复数可以表示为极坐标形式，即a + bi = r(cosθ + i sinθ)，其中r为模，θ为幅角。
2.三角函数的定义：复数的实部等于它的模乘以cosθ，虚部等于它的模乘以sinθ。
(名师选题)部编版高中数学必修二第七章复数带答案考点专题训练单选题1、若z =1+2i +i 3，则|z|=（ ） A ．0B ．1 C ．√2D ．22、若复数5−3−i的实部与虚部分别为a ，b ，则点A (b ，a )必在下列哪个函数的图象上（ ）A ．y =2xB ．y ＝x+12x C ．y =|x|D ．y =−2x 2−1 3、3+i 1−3i=（ ）A ．1B ．−1C ．iD ．−i 4、复数i 2+i 3+i 2022=（ ） A ．i B ．−2−i C ．−2+i D ．−15、设z 1=−1+√3i ，z 2=(12z 1)2，则argz 2=（ ） A ．56πB ．43πC ．116πD ．53π6、在复平面内，把复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( ) A ．2√3B ．−2√3i C ．√3−3i D ．3+√3i7、已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为(2,1)，(1,b )，若z 1z 2是纯虚数，则b =（ ） A ．2B ．12C ．−12D ．－28、已知复数z 1=21+i 与z 2在复平面内对应的点关于直线y =x 对称，则z 1z 2=（ ） A ．−4i B ．−2i C ．2i D ．4i 多选题9、关于复数z =cos2π3+isin2π3（i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．|z |=1B ．z 在复平面上对应的点位于第二象限C．z3=1D．z2+z+1=010、设复数z=m(3+i)−(2+i)，i为虚数单位，m∈R，则下列结论正确的为（）<m<1时，则复数z在复平面上对应的点位于第四象限A．当23B．若复数z在复平面上对应的点位于直线x−2y+1=0上，则m=1C．若复数z是纯虚数，则m=23⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√10，则m=2D．在复平面上，复数z−1对应的点为Z′，O为原点，若|OZ′11、已知复数z满足方程(z2+9)(z2−2z+4)=0，则（）A．z可能为纯虚数B．该方程共有两个虚根C．z可能为1−√3i D．该方程的各根之和为2填空题12、若复数z满足z+|z|=2，则z=__________．13、对任意三个模长小于1的复数z1，z2，z3，均有|z1z2+z2z3+z3z1|2+|z1z2z3|2<λ恒成立，则实数λ的最小可能值是______．部编版高中数学必修二第七章复数带答案(七)参考答案1、答案：C分析：先根据i 2=−1将z 化简，再根据复数的模的计算公式即可求出． 因为z =1+2i +i 3=1+2i −i =1+i ，所以 |z|=√12+12=√2． 故选：C ．小提示：本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题． 2、答案：D分析：将复数化为z ＝a ＋b i 的形式即可求出A ，将A 的坐标代入选项的函数验证即可. 因为5−3−i ＝=5(−3+i)(−3−i)(−3+i)＝－32＋12i ， 所以a ＝－32，b ＝12，所以A (12,−32)，把点A 的坐标分别代入选项，只有D 选项满足. 故选：D. 3、答案：C解析：根据复数运算将分之分母同乘以1+3i ，化简即可得出答案. 解：3+i1−3i=(3+i )(1+3i )(1−3i )(1+3i )=3+3i 2+10i10=3−3+10i 10=i .故选：C.小提示：复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 4、答案：B分析：由复数的乘方化简计算．i 2+i 3+i 2022=(−1)+(−i)+(−1)=−2−i ． 故选：B ． 5、答案：B分析：首先求z 2，再求tanθ，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.z2=14z12=14(−1+√3i)2=−12−√32i，复数对应的点是(−12,−√32)，位于第三象限，且tanθ=ba=√3，所以argz2=4π3.故选：B6、答案：B分析：由题意知复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，∴旋转后的向量为(3−√3i)[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i)(12−√3i2)=32−3√3i2−√3i2+3i22=−2√3i．故选：B．7、答案：A分析：根据复数的几何意义，可得z1=2+i,z2=1+bi，根据复数的运算法则，即可得答案.由题意得：z1=2+i,z2=1+bi，所以z1z2=(2+i)(1+bi)=2+2bi+i+bi2=2−b+(2b+1)i，又z1z2是纯虚数，所以{2−b=02b+1≠0，解得b=2，故选：A.小提示：本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.8、答案：C分析：利用复数的除法运算法则化简复数z1，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线y=x对称的点，得到复数z2，最后利用复数的乘法运算法则即可求得z1z2．因为z1=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以复数z1在复平面内对应的点为(1,−1)，其关于直线y=x对称的点为(−1,1)，所以z2=−1+i，所以z1z2=(1−i)(−1+i)=2i，故选：C ． 9、答案：ACD分析：利用复数的运算法则，共轭复数的定义，几何意义即可求解z =cos2π3+i sin 2π3=−12+√32i 所以|z |=√(−12)2+(√32)2=1故A 正确 z̅=−12−√32i ，则z̅在复平面上对应的点为(−12,−√32)位于第三象限 故B 错误 z =−12+√32i ⇒ z 2=(−12+√32i )2=(−12)2+2×(−12)(√32i )+(√32i )2=−12−√32i z 3=z 2⋅z =(−12+√32i )2(−12+√32i )=(−12−√32i )(−12+√32i )=(−12)2−(−√32i )2=14−34i 2=14+34=1 故C 正确z 2+z +1=−12−√32i −12+√32i +1=0故D 正确 故选：ACD 10、答案：AC分析：由z =m (3+i )−(2+i )，得z =(3m −2)+(m −1)i ，然后逐个分析判断即可 由z =m (3+i )−(2+i )，得z =(3m −2)+(m −1)i ，对于A ，当23<m <1时，0<3m −2<1，−13<m −1<0，所以复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，所以A 正确，对于B ，若复数z 在复平面上对应的点位于直线x −2y +1=0上，则3m −2−2(m −1)+1=0，解得m =−1，所以B 错误，对于C，若复数z是纯虚数，则3m−2=0且m−1≠0，解得m=23，所以C正确，对于D，由z=(3m−2)+(m−1)i，得z−1=(3m−3)+(m−1)i，则Z′(3m−3,m−1)，由|OZ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√10，得(3m−3)2+(m−1)2=10，(m−1)2=1，得m=2或m=0，所以D错误，故选：AC11、答案：ACD分析：依题意可得z2+9=0或z2−2z+4=0，即z2=−9或(z−1)2=−3，从而求出z，即可判断；解：由(z2+9)(z2−2z+4)=0，得z2+9=0或z2−2z+4=0，即z2=−9或(z−1)2=−3，解得z=±3i或z=1±√3i，即方程的根分别为z1=3i、z2=−3i、z3=1+√3i、z4=1−√3i，所以z1+z2+z3+z4=3i+(−3i)+(1+√3i)+(1−√3i)=2故选：ACD.12、答案：1分析：设z=a+b i(a,b∈R)，根据题意，结合求模公式、复数相等的条件等知识，列出方程组，即可得答案. 设z=a+b i(a,b∈R)，所以z+|z|=a+b i+√a2+b2=2，所以{a+√a2+b2=2b=0，解得{a=1b=0，所以z=1．所以答案是：113、答案：10分析：利用复数的三角形式结合余弦函数的性质可得|z1z2+z2z3+z3z1|2+|z1z2z3|2的取值范围，从而得到实数λ的最小可能值.设z1=ρ1(cosθ1+i sinθ1)，z2=ρ2(cosθ2+i sinθ2)，z3=ρ3(cosθ3+i sinθ3)，由题设有ρi∈[0,1)(i=1,2,3).又|z1z2+z2z3+z3z1|2=[ρ1ρ2cos(θ1+θ2)+ρ2ρ3cos(θ2+θ3)+ρ1ρ3cos(θ1+θ3)]2+[ρ1ρ2sin(θ1+θ2)+ρ2ρ3sin(θ2+θ3)+ρ1ρ3sin(θ1+θ3)]2，=ρ12ρ22+ρ22ρ32+ρ12ρ32+2ρ1ρ22ρ3cos(θ1−θ3)+2ρ1ρ32ρ2cos(θ1−θ2)+2ρ2ρ12ρ3cos(θ2−θ3)，而|z1z2z3|2=(|z1||z2||z3|)2=ρ22ρ12ρ32，所以|z1z2+z2z3+z3z1|2+|z1z2z3|2<4+2[cos(θ1−θ2)+cos(θ2−θ3)+cos(θ1−θ3)]，而cos(θ1−θ3)+cos(θ1−θ2)+cos(θ2−θ3)≤3，当且仅当θ1,θ2,θ3终边相同时等号成立，故|z1z2+z2z3+z3z1|2+|z1z2z3|2<10，所以λ≥10，故实数λ的最小可能值为10，所以答案是：10.。
