2017届福建省单科质检文科数学

2017年福建省高中毕业班单科质检数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=m+2i，且（2+i）z是纯虚数，则实数m=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣22．若公差为2的等差数列{a n}的前9项和为81，则a9=（）A．1 B．9 C．17 D．193．函数y=x2+ln|x|的图象大致为（）A．B． C．D．4．已知集合A={a，1}，B={a2，0}，那么“a=﹣1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（）A．8 B．9 C．10 D．116．已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=，BC=，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．πB ．πC ．πD ．π7．执行如图所示的程序框图，若输入n=2017，输出S 的值为0，则f （x ）的解析式可以是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函效f （x ）=，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）有极值 B ．f （x ）有零点C ．f （x ）是奇函数D ．f （x ）是增函数9．如图，⊙O 与x 轴的正半轴交点为A ，点B ，C 在⊙O 上，且B （，﹣），点C 在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos （﹣α）=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．10．已知直线l 过点A （﹣1，0）且与⊙B ：x 2+y 2﹣2x=0相切于点D ，以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D ，一条渐进线平行于l ，则E 的方程为（ ）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣x 2=1D ．﹣=111．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）A．B．C．6 D．12．已知函数f（x）=x（a﹣e﹣x），曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（）A．（﹣e2，+∞）B．（﹣e2，0）C．（﹣e﹣2，+∞）D．（﹣e﹣2，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设向量，且的夹角为，则m=．14．若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为．15．椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为B1，B2，右顶点为A，直线AB1与B2F1交于点D．若2|AB1|=3|B1D|，则C的离心率等于．16．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosC﹣c=2a．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a=3，且AC边上的中线长为，求c的值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AA1=AC=4，AB=1．（Ⅰ）求证：A1B1⊥B1C1；（Ⅱ）求三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积．19．某公司生产一种产品，第一年投入资金1 000 万元，出售产品收入40 万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80 万元，同时，当预计投入的资金低于20 万元时，就按20 万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等．（Ⅰ）求第n年的预计投入资金与出售产品的收入；（Ⅱ）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）20．已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，直线l'垂直l于点P，线段PF的垂直平分线交l于点Q．（Ⅰ）求点Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点H（1，2），过F且与x轴不垂直的直线交C于A，B两点，直线AH，BH分别交l于点M，N，求证：以MN为直径的圆必过定点．21．已知函数f（x）=（ax﹣1）e x，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m＞n＞0时，证明：me n+n＜ne m+m．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为P，Q，R，S，求||PQ|﹣|RS||的值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）求证：．2017年福建省高中毕业班单科质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=m+2i，且（2+i）z是纯虚数，则实数m=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z=m+2i代入（2+i）z，然后利用复数代数形式的乘法运算化简，再由已知条件列出方程组，求解可得答案．【解答】解：∵（2+i）z=（2+i）（m+2i）=2m+4i+mi+2i2=（2m﹣2）+（m+4）i 为纯虚数，∴，解得m=1．故选：A．2．若公差为2的等差数列{a n}的前9项和为81，则a9=（）A．1 B．9 C．17 D．19【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列前n项和公式求出首项，由此能求出第9项．【解答】解：∵公差为2的等差数列{a n}的前9项和为81，∴，解得a1=1，∴a9=1+（9﹣1）×2=17．故选：C．3．函数y=x2+ln|x|的图象大致为（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．【解答】解：∵f（﹣x）=x2+ln|x|=f（x），∴y=f（x）为偶函数，∴y=f（x）的图象关于y轴对称，故排除B，C，当x→0时，y→﹣∞，故排除D，或者根据，当x＞0时，y=x2+lnx为增函数，故排除D，故选：A4．已知集合A={a，1}，B={a2，0}，那么“a=﹣1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据集合交集的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当a=﹣1时，A={﹣1，1}，B={1，0}，则A∩B={1}≠∅成立，即充分性成立，若A∩B≠∅，则a2=1或a2=a，即a=1或a=﹣1或a=0，当a=1时，A={1，1}不成立，当a=﹣1时，A={﹣1，1}，B={1，0}，则A∩B={1}≠∅成立，当a=0时，B={0，0}不成立，综上a=﹣1，即“a=﹣1”是“A∩B≠∅”的充要条件，故选：C5．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】对数的运算性质．【分析】经过n个“半衰期”后的含量为，可得，解出即可得出．【解答】解：设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由得：n≥10所以，若探测不到碳14含量，至少需要经过10个“半衰期”．故选：C．6．已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=，BC=，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出PA=1，PC=，PB=2，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的体积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：∵AB=，BC=，AC=2，∴PA=1，PC=，PB=2以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为=2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=π故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若输入n=2017，输出S的值为0，则f（x）的解析式可以是（）A． B． C． D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=f（1）+f（2）+…+f+f（2）+…+f+f（2）+…+f+f（2）+…+f已知函效f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）有极值B．f（x）有零点C．f（x）是奇函数D．f（x）是增函数【考点】分段函数的应用．【分析】当x＜0时，f（x）=x﹣sinx，利用导数判断函数为增函数，当x≥0时，f（x）=x3+1，函数为增函数，再去判断零点，极值和奇偶性．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x﹣sinx，∴f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∴f（x）＜f（0）=0，当x≥0时，f（x）=x3+1，函数为增函数，∴f（x）≥f（0）=1，综上所述f（x）是增函数，函数无极值，无零点，∵f（﹣x）≠﹣f（x），f（﹣x）≠f（x），∴函数为非奇非偶函数，故选：D9．如图，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，且B（，﹣），点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由题意求得sinα，cosα的值，利用两角差的余弦展开cos（﹣α）得答案．【解答】解：如图，由B（，﹣），得OB=OC=1，又BC=1，∴∠BOC=，由三角函数的定义，得sin∠AOB=，cos∠AOB=．∴sinα=sin（）=sin cos∠AOB﹣cos sin∠AOB=，cosα=cos（）=cos cos∠AOB+sin sin∠AOB=．∴cos（﹣α）==．故选：B．10．已知直线l过点A（﹣1，0）且与⊙B：x2+y2﹣2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐进线平行于l，则E的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣x2=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设直线l：y=k（x+1），求得圆的圆心和半径，运用正弦和圆相切的条件：d=r，求得斜率k，联立直线和圆方程解得交点，求出渐近线方程，设出双曲线方程，代入D的坐标，解方程即可得到所求方程．【解答】解：可设直线l：y=k（x+1），⊙B：x2+y2﹣2x=0的圆心为（1，0），半径为1，由相切的条件可得，d==1，解得k=±，直线l的方程为y=±（x+1），联立x2+y2﹣2x=0，解得x=，y=±，即D（，±），由题意可得渐近线方程为y=±x，设双曲线的方程为y2﹣x2=m（m≠0），代入D的坐标，可得m=﹣=．则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）A．B．C．6 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，求出各棱的长度，比较后，可得答案．【解答】解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体位三棱锥P﹣ABC如图所示，其中，正方体棱长为4，点P是正方体其中一条棱的中点，则：，所以最长棱为6．故选：C12．已知函数f（x）=x（a﹣e﹣x），曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（）A．（﹣e2，+∞）B．（﹣e2，0）C．（﹣e﹣2，+∞）D．（﹣e﹣2，0）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，故f′（x）=a+（x﹣1）e﹣x=0有两个不同的解，即得a=（1﹣x）e﹣x有两个不同的解，即可解出a的取值范围．【解答】解：∵曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，∴f′（x）=a+（x﹣1）e﹣x=0有两个不同的解，即得a=（1﹣x）e﹣x有两个不同的解，设y=（1﹣x）e﹣x，则y′=（x﹣2）e﹣x，∴x＜2，y′＜0，x＞2，y′＞0∴x=2时，函数取得极小值﹣e2，∴a＞﹣e2．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设向量，且的夹角为，则m=﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积，列出方程，即可求出m的值．【解答】解：向量，且的夹角为，则，根据公式得：，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．14．若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为2．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数以及可行域，判断最值点的位置，然后求解最小值即可．【解答】解：因为线性约束条件所决定的可行域为非封闭区域且目标函数为线性的，最值一定在边界点处取得．分别将点代入目标函数，求得：，所以最小值为2．故答案为：2．15．椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为B1，B2，右顶点为A，直线AB1与B2F1交于点D．若2|AB1|=3|B1D|，则C的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由2|AB1|=3|B1D|，得：，根据三角形相似得：，则，代入即可求得e的值．【解答】解：如图所示，设D（x0，y0），由2|AB1|=3|B1D|，得：，根据三角形相似得：，求得：，又直线B2F1的方程为将点代入，得：，∴．故答案为：．16．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是（，3）．【考点】正弦函数的图象．【分析】要求函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，可得ω•+＜＜ω•+≤，解之即可得结论．【解答】解：要求函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，∴ω•+＜＜ω•+≤解之即可得：ω∈（，3）．故答案为（，3）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosC﹣c=2a．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a=3，且AC边上的中线长为，求c的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由余弦定理化简已知等式可得：a2+c2﹣b2=﹣ac，进而可求cosB=﹣，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：b2=a2+c2+ac=c2+3c+9，取AC中点D，连接BD，由余弦定理可求cosC=，整理可得9+b2﹣c2=2（9+﹣），联立即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵2bcosC﹣c=2a，∴由余弦定理可得：2b•﹣c=2a，…3分∴化简可得：a2+c2﹣b2=﹣ac，…4分∴cosB==﹣，…5分∵B∈（0，π），∴B=．…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：b2=a2+c2+ac=c2+3c+9，①…7分又∵cosC=，…8分取AC中点D，连接BD，在△CBD中，cosC==， (9)分∴9+b2﹣c2=2（9+﹣），②…11分把①代入②，化简可得：c2﹣3c﹣10=0，解得：c=5或c=﹣2（舍去），可得：c=5．…12分18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AA1=AC=4，AB=1．（Ⅰ）求证：A1B1⊥B1C1；（Ⅱ）求三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AA1中点O，连结OC1，AC1，推导出OC1⊥AA1，OC1⊥A1B1，A1B1⊥OB1，从而A1B1⊥平面OB1C1，由此能证明A1B1⊥B1C1．（Ⅱ）在平行四边形ABB1A1中，过B1作B1E⊥1于点E，过O作OF⊥BB1于点F，则OFB1E为矩形推导出BB1⊥OC1，C1F⊥BB1，由此能求出三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）取AA1中点O，连结OC1，AC1，∵AA1=AC=A1C1=4，∠C1A1A=60°，∴△AC1A1为正三角形，∴OC1⊥AA1，OC1=2，又侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，面ACC1A1∩面ABB1A1=AA1，OC1⊂面ACC1A1，∴OC1⊥平面ABB1A1，又A1B1⊂平面ABB1A1，∴OC1⊥A1B1，在△OA1B1中，∵∠OA1B1=60°，A1B1=AB=1，OA1=2，∴=1+4﹣2×1×2×cos60°=3，解得OB1=，∴OA12=OB12+，∴A1B1⊥OB1，又OB1∩OC1=O，OB1⊂平面OB1C1，OC1⊂平面OB1C1，∴A1B1⊥平面OB1C1，∵B1C1⊂平面OB1C1，∴A1B1⊥B1C1．解：（Ⅱ）依题意，=8，在平行四边形ABB1A1中，过B1作B1E⊥1于点E，过O作OF⊥BB1于点F，则OFB1E为矩形，∴OF=B1E，由（1）知OC1⊥平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥OC1，∵BB1⊥OF，OC1∩OF=O，OC1⊂平面OC1F，OF⊂平面OC1F，∴BB1⊥平面OC1F，∵C1F⊂平面OC1F，∴C1F⊥BB1，∵，在Rt△OC1F中，OC1=2，OF=B1E=，∴C1F==，∴=BB1×，∴三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积S=2=．19．某公司生产一种产品，第一年投入资金1 000 万元，出售产品收入40 万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80 万元，同时，当预计投入的资金低于20 万元时，就按20 万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等．（Ⅰ）求第n年的预计投入资金与出售产品的收入；（Ⅱ）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）设第n年的投入资金和收入金额分别为a n万元，b n万元，根据题意可得{a n}是首项为1000，公比为的等比数列，{b n}是首项为40，公差为80的等差数列，问题得以解决，（Ⅱ）根据等差数列的求和公式和等比数列的求和公式得到S n，再根据数列的函数特征，即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）设第n年的投入资金和收入金额分别为a n万元，b n万元，依题意得，当投入的资金不低于20万元，即a n≥20，a n=a n+1b n=b n+1+80，n≥2，此时{a n}是首项为1000，公比为的等比数列，{b n}是首项为40，公差为80的等差数列，所以a n=1000×（）n﹣1，b n=80n﹣40，令a n＜20，得2n﹣1＞50，解得n≥7所以a n=，（Ⅱ）S n=﹣=2000×（）n+40n2﹣2000，所以S n﹣S n﹣1=﹣2000×（）n+80n﹣40，n≥2，因为f（x）=﹣2000×（）x+80x﹣40为增函数，f（3）＜0，f（4）＜0，所以当2≤n≤3时，S n+1＞S n，当4≤n≤6时，S n+1＜S n，又因为S1＜0，S6=﹣528.75＜0，所以1≤n≤6，S n＜0，即前6年未盈利，当n≥7，S n=S6+（b7﹣a7）+（b8﹣a8）+…+（b n﹣a n）=﹣528.75+420（n﹣6），令S n＞0，得n≥8综上，预计公司从第8年起开始盈利．20．已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，直线l'垂直l于点P，线段PF的垂直平分线交l于点Q．（Ⅰ）求点Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点H（1，2），过F且与x轴不垂直的直线交C于A，B两点，直线AH，BH分别交l于点M，N，求证：以MN为直径的圆必过定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义可知：Q到直线x=﹣1的距离与到点F的距离相等，点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线方程的抛物线，即可求得点Q的轨迹C 的方程；（Ⅱ）求得焦点坐标，设直线方程，代入抛物线方程，求得直线直线AH，BH的斜率分别为k1，k2，求得M和N的坐标，由韦达定理求得y M•y N=4，y M+y N=﹣，代入圆的方程，即可求得x和y的值，则以MN为直径的圆必过定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知丨QP丨=丨QF丨，即Q到直线x=﹣1的距离与到点F的距离相等，∴点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线方程的抛物线，设抛物线的方程y2=2px（p＞0），则p=2，∴点Q的轨迹C的方程y2=4x；（Ⅱ）证明：由题意可知：设直线AB：x=my+1（m≠0），，整理得：y2﹣4my﹣4=0，设A（，y1），B（，y2），则y1+y2=4m，y1•y2=﹣4，又H（1，2），设直线AH，BH的斜率分别为k1，k2，则k1==，k2==，直线AH ：y ﹣2=（x ﹣1），BH ：y ﹣2=（x ﹣1），设M （﹣1，y M ），N （﹣1，y N ），令x=﹣1，得：y M =2﹣=，同理，得：y N =2﹣=，y M •y N =•===﹣4，y M +y N =（2﹣）+（2﹣）=4﹣8（+）==4﹣，=4﹣=﹣，由MN 为直径的圆的方程为（x +1）2+（y ﹣y M ）（y ﹣y N ）=0，整理得：x 2+2x ﹣3+y 2+y=0，令，解得：x=﹣3，x=1，∴以MN 为直径的圆必过定点（﹣3，0）（1，0）．21．已知函数f （x ）=（ax ﹣1）e x ，a ∈R ．（Ⅰ）讨论f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当m ＞n ＞0时，证明：me n +n ＜ne m +m ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的定义域，以及导数，讨论a=0，a ＞0，a ＜0，判断导数符号，解不等式即可得到所求单调区间；（Ⅱ）运用分析法证明．要证me n +n ＜ne m +m ，即证me n ﹣m ＜ne m ﹣n ，也就是证＜，令g（x）=，x＞0，求出导数，再令h（x）=xe x﹣e x+1，求出导数，判断单调性，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：f（x）的定义域为R，且f′（x）=（ax+a﹣1）e x．当a=0时，f′（x）=﹣e x＜0，此时f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣，由f′（x）＜0，得x＜﹣．此时f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），单调增区间为（，+∞）；当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＜﹣，由f′（x）＜0，得x＞﹣．此时f（x）的单调减区间为（，+∞），单调增区间为（﹣∞，﹣）．（Ⅱ）证明：要证me n+n＜ne m+m，即证me n﹣m＜ne m﹣n，也就是证m（e n﹣1）＜n（e m﹣1）．也就是证＜，令g（x）=，x＞0，g′（x）=，再令h（x）=xe x﹣e x+1，h′（x）=e x+xe x﹣e x=xe x＞0，可得h（x）在x＞0递增，即有h（x）＞h（0）=0，则g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，由m＞n＞0，可得＜，故原不等式成立．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为P，Q，R，S，求||PQ|﹣|RS||的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）曲线C1：ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．曲线即ρ2sin2θ=4ρcosθ，利用互化公式可得直角标准方程．（II）设四点在C上的排列顺次为P，Q，R，S，其参数分别为t1，t2，t3，t4．曲线C的参数方程代入抛物线方程可得：3t2﹣8t﹣32=0．△1＞0，可得t1+t4．曲线C的参数方程代入圆的方程可得：t2+t=0．△2＞0，可得t2+t3．∴||PQ|﹣|RS||=|（t2﹣t1）﹣（t4﹣t3）|=|（t2+t3）﹣（t1+t4）|即可得出．【解答】解：（I）曲线C1：ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x．曲线即ρ2sin2θ=4ρcosθ，化为直角标准方程：y2=4x．（II）设四点在C上的排列顺次为P，Q，R，S，其参数分别为t1，t2，t3，t4．曲线C的参数方程为（t为参数）代入抛物线方程可得：3t2﹣8t﹣32=0．△＞0，可得t1+t4=．1曲线C的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+t=0．△2＞0，可得t2+t3=﹣1．∴||PQ|﹣|RS||=|（t2﹣t1）﹣（t4﹣t3）|=|（t2+t3）﹣（t1+t4）|==．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）求证：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（I）分类讨论，即可解不等式；（II）利用绝对值不等式，即可证明．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，不等式f（x）≥2，即|x﹣1|+|2x﹣1|≥2．x＜时，不等式可化为1﹣x+1﹣2x≥2，解得x≤0，∴x≤0；时，不等式可化为1﹣x+2x﹣1≥2，解得x≥2，∴x无解；x＞1时，不等式可化为x﹣1+2x﹣1≥2，解得x≥，∴x≥；综上所述，不等式的解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）；（Ⅱ）证明：f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|≥|a﹣x|+|x﹣|≥|a﹣|．2017年2月22日。

2017年漳州市普通高中毕业班质量检查数 学（文 科）试 题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、复数()1z i i =+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、已知向量()1,2a =，(),4b x =- ，且//a b ，则a b ⋅= （ ）A ．10- B ．10 C ．D ．3、命题“0R k ∃∈，使函数()20f x x k x =+（R x ∈）是偶函数”的否定是（ ）A ．R k ∀∈，函数()2f x x kx =+（R x ∈）不是偶函数B ．0R k ∃∈，使函数()20f x x k x =+（R x ∈）都是奇函数C ．R k ∀∈，函数()2f x x kx =+（R x ∈）不是奇函数D ．0R k ∃∈，使函数()20f x x k x =+（R x ∈）是奇函数4、运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对(),x y 所对应的点都在函数（）A．2y x=+的图象上 B．3y x=的图象上C．3xy=的图象上 D．33y x=的图象上5、某工厂为了确定工效，进行了5次试验，收集数据如下：经检验，这组样本数据的两个变量x与y具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是（）A．成正相关，其回归直线经过点()30,75 B．成正相关，其回归直线经过点()30,76C．成负相关，其回归直线经过点()30,76 D．成负相关，其回归直线经过点()30,756、中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为430x y+=，则该双曲线的离心率为（）A．14 B．43C．54D．537、如图，以x O为始边作角α与β（0βαπ<<<），它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，30β=，则()sin αβ-=（ ）A ．B ．C ．D ． 8、圆心在()1,2-，半径为x 轴上截得的弦长等于（ ） A ．B ．6C ．D ．89、已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（R x ∈，0A >，0ω>，2πϕ<）的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（ ）A ．ωπ=，3πϕ= B ．2ωπ=，3πϕ= C ．ωπ=，6πϕ= D ．2ωπ=，6πϕ=10、学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径2S r l=”类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径3Vr S=”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，则其外接圆半径r =”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a 、b 、c ，则其外接球半径r =．这两位同学类比得到的结论（ ）A ．两人都对B ．甲错、乙对C ．甲对、乙错D ．两人都错11、如图，郊野公园修建一条小路，需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ） A ．321122y x x x =-- B ．3211322y x x x =+-C ．314y x x =- D ．3211242y x x x =+-12、把正整数1，2，3，4，5，6，……按某种规律填入下表：按照这种规律继续填写，那么2017出现在（ ）A ．第1行第1510列B ．第3行第1510列C ．第2行第1511列D ．第3行第1511列二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13、已知集合{}23x x M =-<<，{}1,2,3,4N =，则()R M N = ð ． 14、如图是一个正三棱柱零件，侧面11AA B B 平行于正投影面，则零件的左视图的面积为 ．15、设变量x ，y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为 ．16、给出下列四个命题： ① 1.50.90.514log 4.33⎛⎫>> ⎪⎝⎭； ②方程20x x n ++=（[]0,1n ∈）有实根的概率为14；③三个实数a ，b ，c 成等比数列，若有1a b c ++=成立，则b 的取值范围是[)11,00,3⎛⎤- ⎥⎝⎦；④函数cos y x x +，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最大值为其中是真命题的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}na的前n 项和，且11a =-，33S =． ()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 设()25n n b n a =+（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T ．18、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且2b =，3c =，1cos C 3=．()I 求边a 的长度； ()II 求C ∆AB 的面积； ()III 求()cos C B-的值．19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 是边长为2的正方形，侧面CD P ⊥底面CD AB ．()I 若M 、N 分别为C P 、D B 的中点，求证：//MN 平面D PA ； ()II 求证：平面D PA ⊥平面CD P ；()III 若D CD C P ==，求四棱锥CD P -AB 的体积．20、（本小题满分12分）漳州市在创建全国卫生文明城市中为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)35,40，第5组[]40,45，25,30，第3组[)20,25，第2组[)30,35，第4组[)得到的频率分布直方图如图所示．()I分别求第3，4，5组的频率；()II若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？()III在()II的条件下，该市决定从3，4组抽取的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．21、（本小题满分12分）已知函数()ln=+．f x x a x()I当1f x的单调区间；a=-时，求()()II求()f x的极值；()III 若函数()f x 没有零点，求a 的取值范围．22、（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为()1F 1,0-，()2F 1,0，点1,2⎛A ⎝⎭在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线2C :24x y =交于B ，C 两点，抛物线2C 在点B ，C 处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点P ． ()I 求椭圆1C 的方程；()II 是否存在满足1212F F F F P +P =A +A的点P ，若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）；若不存在，说明理由．。