2018年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x≤3}，，则A∩B=（）A. [-1，3]B. [1，3]C. （1，3]D. （-1，3]2.已知复数，则A. z的虚部为B. z的实部为1C. D. z的共轭复数为3.在区间上随机选取一个实数x，则事件“”发生的概率为A. 1B.C.D.4.已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是A. 焦点在x轴上B. 虚轴长为4C. 渐近线方程为D. 离心率为5.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥０时，f（x）=xlog3（a+6）+a-3，则f（a）=（）A. 9B. 6C. 3D. 16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（）A. 120B. 60C. 24D. 207.已知圆O的半径为1，A，B，C，D为该圆上四个点，且，则△ABC的面积最大值为（）A. 2B. 1C.D.8.三棱锥中，平面ABC，，若，，，则该三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.9.秦九昭算法是南宋时期数学家，秦九昭提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法框图如图所示，若输入的，，，，分别为0，1，2，，n，若，根据算法计算当时多项式的值，则输出的结果是A. 3B. 6C. 10D. 1510.已知实数x，y满足给x，y中间插入5个数，这7个数构成以x为首项，y为末项的等差数列，则这7个数和的最大值为A. 49B.C.D.＜π）的部分图象如图所示，则11.已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ｜f（x）的图象向右平移2个单位后，得到g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A. B.C. D.12.已知函数，函数恰有一个零点，则实数m的取值范围为A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为______．14.4名党员干部分配到3个贫困户家去精准扶贫，每户至少去一名，共有______种不同的分配方式（用数字作答）．15.设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点，则该抛物线的方程为______．16.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张．甲说：我摸到卡片的标号是10和12；乙说：我摸到卡片的标号是6和11；丙说：我们三人各自摸到卡片的标号之和相等．据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=60°，三边a，b，c成等比数列，且面积为，在等比数列{a n}中，a1=4，公差为b．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{c n}满足，设T n为数列{c n}的前n项和，求T n．18.如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，且PA⊥AB，△PAD是等边三角形，AB=AD=2DC=2，M为PB的中点．（1）求证：CM⊥平面PAB；（2）求二面角D-PB-A的余弦值．19.某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况，随机抽取了高一、高二各20人，对他们的学习时间进行了统计，分别得到了高一学生学习时间（单位：小时）的频数分布表和高二学生学习时间的频率分布直方图．高一学生学习时间的频数分布表（学习时间均在区间[0，6]内）：学习时间[0，1）[1，2）[2，3）[3，4）[4，5）[5，6]频数318422高二学生学习时间的频率分布直方图：（1）根据高二学生学习时间的频率分布直方图估计该校高二学生学习时间的中位数；（2）利用分层抽样的方法，从高一学生学习时间在[2，3），[3，4）的两组里随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求学习时间在[3，4）这一组中至少有1人被抽中的概率；（3）若周日学习时间不少于4小时为学习投入时间较多，否则为学习投入时间较少，依据上述样本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．年级学习投入时间较多学习投入时间较少合计高一高二合计，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0250.0100.005k0 5.024 6.6357.87920.已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点．（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作斜率不为0的直线与（1）中的轨迹交于，两点，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，求．21.已知函数f（x）=xlnx，．（1）若f（x）＜g（x）对x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围；（2）证明：不等式对于正整数n恒成立（其中e=2.71828…为自然对数的底数）．22.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=1，曲线C2的参数方程为（φ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）直线l：y=x与曲线C1交于A，B两点，P是曲线C2上的动点，求△PAB的面积的最大值．23.（1）已知a，b∈R，且|a|＜1，|b|＜1，求证：a2b2+1＞a2+b2．（2）若关于x的不等式|x-1|+2|x-2|≤m有解，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】 C【解析】解：集合A={x|-1≤x≤3}，={x|x-1＞0}={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x≤3}=（1，3]．故选：C．求函数的定义域得出集合B，根据交集的定义写出A∩Ｂ．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.【答案】 A【解析】化简已知复数可得其虚部，可得答案．本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．解：化简可得z====-1-i，∴z的虚部为-1，故选：A．3.【答案】 D【解析】【分析】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据正弦函数的图象与性质求出区间上满足“”的x的取值范围，再利用几何概型求对应的概率值．【解答】解：在区间上随机选取一个实数x，满足“”的x的取值范围是x∈[，]，故所求的概率为P==．故选D．4.【答案】 C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为，其焦点在y轴上，则A错误；对于B，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则B错误；对于C，双曲线的方程为，其渐近线方程为2x±3y=0，则C正确；对于D，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则c==，则双曲线的离心率e==，D错误；故选：C．根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案．本题考查双曲线的标准方程，注意有双曲线的标准方程分析a、b的值．5.【答案】 B【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=a-3=0，即a=3，则f（x）=2x，f（a）=f（3）=6，故选：B．根据函数为奇函数，则有f（0）=0，由此求出a值并代回解析式，即可求出f（a）．本题考查函数的奇偶性和函数求值，属于基础题．6.【答案】 B【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体为以正视图为底面的三棱柱，底面直角三角形的直角边边长为：6，6；高为4；故体积V=×6×5×4=60；故选：B．由已知中的三视图可得：该几何体为以正视图为底面的三棱柱，代入柱体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度不大，属于基础题．7.【答案】 B【解析】解：如图所示，由+=知，ABDC为平行四边形，又A，B，C，D 四点共圆，∴ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径，∴当AB=AC 时，△ABC的面积取得最大值为×=1．故选：B．利用向量关系，判断四边形的形状，然后求解三角形的面积的最大值即可．本题考查向量的几何中的应用，考查转化思想以及计算能力．8.【答案】 D【解析】【分析】以AB，BC，PA为长宽高构建长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，由此能求出三棱锥P-ABC的外接球的表面积．本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．∵在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=2，BC=3，【解答】解：PA=4，∴以AB，BC，PA为长宽高构建长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，∴三棱锥P-ABC的外接球的半径R=，∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为：S=4πＲ2=4π×（）2=29π．故选：D．9.【答案】 C【解析】解：模拟程序的运行，可得该程序框图是计算多项式f（x）=4x3+3x2+2x+1，当x=1时的值，而f（1）=10，故选：C．模拟执行程序，可得程序框图的功能求出当x=1时的值，即可得解．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，属于基础题．10.【答案】 D【解析】解：实数x，y满足，如图所示，画出可行域△ABC．给x，y中间插入5个数，这7个数构成以x为首项，y为末项的等差数列，则这7个数和=，令x+y=t，则y=-x+t．可知：当且仅当直线y=-x+t经过点A（4，3）时，t取得最大值7，因此这7个数和=的最大值为，故选：D．实数x，y满足，如图所示，画出可行域△ABC．给x，y中间插入5个数，这7个数构成以x为首项，y为末项的等差数列，则这7个数和=，令x+y=t，则y=-x+t．利用线性规划的一个知识可得：当且仅当直线y=-x+t经过点A时，t取得最大值，即可得出．本题考查了线性规划、直线方程与不等式的性质、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】 B【解析】＜π）的部分图象，可得A=2解：根据函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ｜，=6+2，∴ω＝．再结合五点法作图可得×6+φ＝，求得φ＝，∴f（x）=2cos（x+）．把f（x）的图象向右平移2个单位后，可得g（x）=2cos[（x-2）+]=2cos（x+）=-2sin x的图象，故选：B．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g （x）的解析式．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．12.【答案】 C【解析】解：令g（x）=0得f（x）=m，作出y=f（x）的函数图象如图所示：由图象可知当m＜0或＜m≤４时，f（x）=m只有一解．故选：C．作出f（x）的函数图象，根据图象判断m的值．本题考查了函数的零点与函数图象的关系，属于中档题13.【答案】【解析】解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得16k2=4k2+9k2-12k2cosC，解方程可得cosC=，故答案为：．由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cosC的值．本题考查正弦定理、余弦定理的应用，设出其三边分别为2k，3k，4k，是解题的关键．14.【答案】36【解析】解：本题是一个分步计数问题，首先从4名党员干部中选2名党员干部，作为一个组合，共有C42=6种结果，这个组合同另外两名党员干部在三个贫困户家上排列，共有A33=6种结果，根据分步计数原理知共有6×6=36种结果，故答案为：36．首先从4名党员干部中选2党员干部，作为一个组合，共有C42=6种结果，这个组合同另外两个党员干部在三个贫困户家上排列，共有A33种结果，根据分步计数原理知共有6×6种结果．本题考查分步计数问题，本题解题的关键是看出第四个元素的处理方法，首先选出两名党员干部作为一个组合，这样可以避免重复和漏掉．15.【答案】y2=4x【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F点且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，以AB为直径的圆过点（-，2），可知AB的中点的纵坐标为2，直线l的方程为：y=x-，则，可得y2-2py-p2=0，则AB中点的纵坐标为=2，解得p=2，该抛物线的方程为：y2=4x．故答案为：y2=4x．求出直线l的方程，利用抛物线的性质，求出AB中点的纵坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解p即可得到抛物线方程．本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．16.【答案】8和9【解析】解：∵三人各自摸到卡片的标号之和相等．∴每个人摸到的4个球的和为：（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）=26，∵甲说：我摸到的卡片的标号是10和12；乙说：我摸到的卡片的标号是6和11，∴设甲摸到的另外两个卡的标号分别为a，b，乙摸到的另外两个卡的标号为c，d，则a+b=26-10-12=4，c+d=26-6-11=9，则a，b只能是1和3，则c，d不可能是8，∵c+d=9，∴c，d不可能是9，故丙中的编号必有2个是8，9，故答案为：8和9根据条件先计算出甲乙丙三个每个人摸得编号之和为26，然后根据剩余两个编号之和进行推理判断即可．本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．17.【答案】解：（1）由a，b，c成等比数列得b2=ac，因为，所以b=4，所以{a n}是以4为首项，以4为公差的等差数列，解得a n=4n．n∈N+．（2）由（1）可得a n=4n．数列{c n}满足，，=．n∈N+．【解析】（1）利用已知条件求出数列的公差，然后求解数列的通项公式；（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查计算能力．18.【答案】（1）证明：取PA的中点为E，连接EM，ED，由题意知DC，可得四边形CDEM为平行四边形，所以CM∥DE．由题可知，BA⊥DA，BA⊥PA，且PA∩AD=A，AD?平面PAD，PA?面PAD，所以BA⊥平面PAD，又∵DE?平面PAD，∴BA⊥DE，∵△PAD为正三角形，∴DE⊥PA，又∵PA∩AB=A，AB?平面PAB，AP?平面PAB，∴DE⊥平面PAB，又DE∥CM，∴CM⊥平面PAB．（2）解：由（1）可知BA⊥平面PAD，又BA?平面ABCD，则平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为正三角形，因此取AD的中点O为坐标原点，以OD为x轴，在底面内过O作AD的垂线为y轴，OP为z轴，建立空间坐标系，∵AB=AD=2CD=2，∴A（-1，0，0），B（-1，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），，，则，，，设平面PBD的法向量为，则即可取，，设二面角D-PB-A的大小为θ，则．【解析】（1）取PA的中点为E，连接EM，ED，证明CM∥DE．BA⊥DA，BA⊥PA，推出BA⊥平面PAD，即可证明BA⊥DE，结合DE⊥PA，证明DE⊥平面PAB，推出CM⊥平面PAB．（2）取AD的中点O为坐标原点，以OD为x轴，在底面内过O作AD的垂线为y轴，OP为z轴，建立空间坐标系，求出平面PBD的法向量，是平面PBA的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D-PB-A的余弦函数值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用．二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：（1）由图可知，学生学习时间在区间[0，3]内的频率为0.1+0.2=0.3，设中位数为x，则（x-3）×0.25=0.2，解得x=3.8，即该校高二学生学习时间的中位数为 3.8．（2）根据分层抽样，从高一学生学习时间在[2，3）中抽取4人，从高一学生学习时间在[3，4）中抽取2人，设在[3，4）这一组中至少有1人被抽中的事件为A，则；（3）由题意填写列联表如下；年级学习投入时间较多学习投入时间较少合计高一41620高二91120合计132740由表中数据，计算观测值，所以没有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．【解析】（1）利用频率分布直方图，结合定义求出中位数的大小；（2）根据分层抽样原理，利用古典概型的概率公式求出所求的概率值；（3）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了独立检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，考查了运算与求解能力，是基础题．20.【答案】解：（1）由题意知，线段PN的垂直平分线交PM于G点，所以|GN|=|GP|，∴，∴点G在以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆上，2a=4，，b2=a2-c2=2，∴点G的轨迹C的方程为；（2）依题意可设直线l方程为x=my+4，将直线方程代入，化简得（m2+2）y2+8my+12=0，设直线l与椭圆C的两交点为A（x1，y1），B（x2，y2），由△=64m2-4×12（m2+2）＞0，得m2＞6，①且，，②因为点A关于x轴的对称点为D，则D（x1，-y1），可设Q（x0，0），所以，所以BD所在直线方程为，令y=0，得，③把②代入③，得x0=1，∴Q点的坐标为（1，0），∴|QT|=3．【解析】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查线段长的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、根的判别式、对称性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．（1）推导出点G在以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆上，由此能求出点G的轨迹C的方程．（2）设直线l方程为x=my+4，将直线方程代入，得（m2+2）y2+8my+12=0，由此利用韦达定理、根的判别式、对称性质、直线方程，能求出结果．21.【答案】解：（1）f（x）＜g（x）等价于，即，记，即xh（x）＜0，且；当a≤０时，h'（x）＞0，h（x）在x∈（1，+∞）单调递增，又h（1）=0，所以h（x）＞h（1）=0，所以xh（x）＞0，即f（x）＜g（x）不成立；当0＜a＜2时，，时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）=0，所以xh（x）＞0，f（x）＜g（x）不成立；当a≥２时，x∈（1，+∞），2-ax＜0，h'（x）＜0，h（x）在x∈（1，+∞）单调递减，所以h（x）＜h（1）=0，所以xh（x）＜0，f（x）＜g（x）恒成立；综上所述，当f（x）＜g（x）对x∈（1，+∞）恒成立时a∈[2，+∞）．（2）证明：由（1）知当a=2时，对x∈（1，+∞）有ln x＜x-1恒成立；令，k=1，2，3，…，n，有成立，==，所以．【解析】（1）由题意构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而求得不等式恒成立时a的取值范围；（2）由（1）知a=2时对x∈（1，+∞）有lnx＜x-1恒成立，令，k=1，2，3，…，n，有成立，由此证明不等式成立即可．本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了等价转化思想，是难题．22.【答案】解：（1）因为曲线C1的极坐标方程为ρ=1，则直角坐标方程为x2+y2=1；曲线C2的参数方程为（φ为参数），则普通方程为．（2）由题意知|AB|=2，设P（2cosφ，sinφ），点P到直线y-x=0的距离为d=，所以．所以：S△PAB的最大值为．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用．23.【答案】（1）证明：∵a2b2+1-a2-b2=a2（b2-1）+（1-b2）=（b2-1）（a2-1），又a，b∈R，且|a|＜1，|b|＜1，∴a2-1＜0，b2-1＜0，∴（b2-1）（a2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2．（2）解：|x-1|+2|x-2|≤m有解，等价于m≥（|x-1|+2|x-2|）min，，由单调性知：|x-1|+2|x-2|≥１，所以m≥１．【解析】（1）根据作差法证明即可；（2）问题等价于m≥（|x-1|+2|x-2|）min，根据绝对值的性质求出m的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质，是一道中档题．。
2017—2018学年第一学期高三第三次模拟考试数学（理科）试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，共60分)1.已知集合A={x|2x-5＞0}，B={x|x2-4x+3≤0}，则A∩B=（）A.（1，）B.[1，）C.（，3）D.（，3]2.已知复数，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列选项中说法正确的是（）A. 若am2≤bm2，则a≤bB.向量，满足，则与的夹角为锐角C. 命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件D.“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x≥0”4.下列函数中，既是偶函数，又在（1，+∞）上单调递增的为（）A.y=ln（x2+1）B.y=cosxC.y=x-lnxD.y=（）|x|5.在（2x+a）5的展开式中，含x4项的系数等于160，则等于（）a e x x dx(2)A. e24B. e23C.e+1D.e+26.在△ABC中，若= ，则△ABC的形状是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形7.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A.关于点（，0）对称B.关于点（- ，0）对称C.关于直线x=- 对称D.关于直线x= 对称8.已知cos（α- ）+sinα= ，则sin（α+ ）的值是（）A. B.- C.- D.9.若x=-2是函数()(21)1的极值点，则f（x）的极小值为（）f x x ax e xA.-1B.2e3C. 5e3D.110.已知函数f（x）是R上的奇函数，对于∀x∈（0，+∞），都有f（x+2）=-f（x）且x∈1（0，1]时 f （x ）=2x +1，则 f （-2014）+f （2015）的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.-3 11.已知曲线 ( )22 1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围为（ ）f x eeaxxxA.（3，+∞）B.（3， ）C.（-∞， ）D.（0，3）12.设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若 f (x ) 满足条件：存在a ,b D ，使 f (x ) 在 a ,b上的值a b域是 , ，则称 f (x ) 为“倍缩函数”.若函数 f (x ) log (2xt )为“倍缩函数”，则实数22 2t的取值范围是（ ）111 A.B.C.D.(0, ) (0,1)(0, ] ( ,)424二、填空题(本大题共 4小题，共 20分)tan 12°－ 313. 计算： ＝________. 4cos 212°－2sin 12° 14.已知等差数列{ }满足34, 4922，则前 11项和 .aa aasn11x －y ≥ 0，15.设 x ，y 满足约束条件{x －2y ≤ 1，)则 z ＝x ＋4y 的最大值为________．x ＋2y ≤ 3，16.若直线 y kx b 是曲线 y ln x 2的切线，也是曲线 y ln(x 1) 的切线，则 b________．三、解答题(本大题共 6小题，共 70分)17.（10分） △ABC 的三个内角 A ，B ，C 对应的三条边长分别是 a ，b ，c ，且满足 c sin A － 3a cos C ＝0.(1)求角 C 的大小；2 7(2)若 cos A ＝ ，c ＝ 14，求 sin B 和 b 的值．718. （12分）已知二次函数f(x)ax2bx1(a,b R),x R.（1）若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；2（2）在（1）的条件下，f(x)x k在区间3,1上恒成立，试求k的取值范围.A19.（12分）已知函数f(x)3A sin x cos x A cos2x（x R,A为常数且A＞0）2的最大值为2．（1）求f（π）的值；3（2）若，，求．sin(,0)f()52620. （12分）已知函数f(x)a sin x ln(1x)．（1）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）在区间[0，1）上单调递减，求a的取值范围；21. （12分）已知函数()3sin2cos21()．f x x x x R225（1）当时，求函数f（x）的值域；x,1212（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c3,f(C)0，若向量= （1，sin A）与向量=（2，sin B）共线，求a，b的值．322. （12分）已知函数f(x)e x1ax,a R（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若∀x∈[1，+∞），f(x)ln x a1恒成立，求a的取值范围．高三数学理科测试题答案一、选择题（每小题5分，共60分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D A C A B C C B A D B A二、填空题（每空5分，共20分）13．-4 14. 110 15. 5 16．1ln2三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤共计70分）17、(10分)解: (1)由c sin A－3a cos C＝0得sin C sin A－3sin A cos C＝0，∵A为△ABC的内角，∴sin A≠0∴sin C－3cos C＝0，π即tan C＝3，所以C＝.32 7 21(2)由cos A＝，得sin A＝，7 721 1 2 7 3 3 21∴sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝×＋×＝.7 2 7 2 143 2114 ×b c c sin B14在△ABC中，由正弦定理＝，得b＝＝＝3 2.sin B sin C sin C 3218、(12分)解：(1)由题意知b－＝－1，a＝1，{f（－1）＝a－b＋1＝0，){2a解得b＝2. )所以f(x)＝x2＋2x＋1，由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k<x2＋x＋1在区间[－3，－1] 上恒成立，令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，41 2 3由g(x)＝(x＋2 )＋知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以4k<1，故k的取值范围是(－∞，1).19、(12分)解：f（x）= A sinxcosx+A cos2x- =A sin（2x+ ），∵A＞0，函数最大值为2，∴A=2，∴f（x）=2sin（2x+ ）（1）∴f（π）=2sin（2π+）=1（2）f（θ+）=2sin[2（θ+）+ ]=2cos2θ=2（1-2sin2θ）=20、(12分)（1）解：a=1时，f（x）=asinx+ln（1-x），f(x)cos x11x，∴f′（0）=0，又f（0）=0，∴f（x）在x=0处的切线方程为y=0；（2）解：∵f（x）在区间[0，1）上单调递减，1∴≤0对x∈[0，1）恒成立，f(x)a cos x1x1a cos x1x若a≤0，x∈[0，1）时，≤0成立．1若a＞0，≤0⇔a cos x1x(1x)cos x1a令h（x）=（1-x）cosx，显然h（x）在[0，1）上单调递减，∴h（x）≤h（0）=1，11，则0＜a≤1．综上，a的取值范围为（-∞，1]；a21、(12分)解：：（1）()3sin2cos21sin(2)1f x xxx2265∵，∴，x1212∴，从而-1- ≤sin（2x- ）-1≤0．3f(x)1,02（2），则，∵0＜C＜π，∴- ＜2C- ＜，∴，解得C= ．∵向量与向量共线，5∴sin B=2sin A，由正弦定理得，b=2a①由余弦定理得，，即a2+b2-ab=3②由①②解得a=1，b=2．22. (12分)解：（1）f′（x）=e x-1+a，（i）a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增；（ii）a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=ln（-a）+1，故x＞ln（-a）+1时，f（x）递增，x＜ln（-a）+1时，f（x）递减；综上，a≥0时，f（x）在R递增；a＜0时，f（x）在（ln（-a）+1，+∞）递增，在（-∞，ln（-a）+1）时递减；（2）令a=-1，由（1）得f（x）的最小值是f（1）=0，故e x-1-x≥0，即e x-1≥x，f（x）+lnx≥a+1恒成立与f（x）+lnx-a-1≥0恒成立等价，令g（x）=f（x）+lnx-a-1，即g（x）=e x-1+a（x-1）+lnx-1，（x≥1），则g′（x）=e x-1+ +a，①a≥-2时，g′（x）=e x-1+ +a≥x+ +a+a=a+2≥0，∴g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）递增，故g（x）≥g（1）=0，故f（x）+lnx≥a+1恒成立；②a＜-2时，令h（x）=e x-1+ +a，则h′（x）= ，x≥1时，h′（x）≥0，h（x）递增，又h（1）=2+a＜0，h（1-a）=e1-a-1+ +a≥1-a+ +a=1+ ＞0，∴存在x0∈（1，1-a），使得h（x0）=0，故x∈（1，x0）时，h（x）＜h（x0）=0，即g′（x）＜0，故函数g（x）在（1，x0）递减，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞h（x0）=0，即g′（x）＞0，故函数g（x）在（x0，+∞）递增，∴g（x）min=g（x0）＜g（1）=0，即∀x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1不恒成立，综上，a的范围是[-2，+∞）．6。
2018届陕西省安康市高考三模试卷（理科数学）一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x丨0＜x＜4}，则A∪B等于（）A．{x|0＜x＜l} B．{x|﹣l＜x＜l} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|l＜x＜4}2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1+3i D．1﹣3i3．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，且=x+y，则（）A．x=﹣1，y=﹣B．x=1，y=C．x=﹣1，y=D．x=1，y=﹣4．若x，2x+1，4x+5是等比数列{an }的前三项，则an等于（）A．2n﹣1B．3n﹣1C．2n D．3n5．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数g（x）=cos（ωx+）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=6．已知a=dx，则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为（）A．160 B．80 C．﹣80 D．﹣1607．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=﹣1的一个交点的纵坐标为y0，若|y|＜2，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，）C．（，+∞）D．（，+∞）8．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）A ．B ．C ．D ．9．设命题p ：∃x 0∈（0，+∞），e+x 0=e ，命题q ：，若圆C 1：x 2+y 2=a 2与圆C 2：（x ﹣b ）2+（y ﹣c ）2=a 2相切，则b 2+c 2=2a 2．那么下列命题为假命题的是（ ）A ．￢qB ．￢pC ．（￢p ）∨（￢q ）D ．p ∧（￢q ）10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．72B ．80C ．86D ．9211．设函数f （x ）=3|x ﹣1|﹣2x+a ，g （x ）=2﹣x 2，若在区间（0，3）上，f （x ）的图象在g （x ）的图象的上方，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（2，+∞）B ．[2，+∞）C ．（3，+∞）D ．[3，+∞）12．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知实数x ，y 满足，则z=x+y 的最小值为 ．14．椭圆mx 2+y 2=1（m ＞1）的短轴长为m ，则m= ．15．若函数f （x ）=在（2，3）上为增函数，则实数a 的取值范围是 ．16．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n （2+sin ）=n （2+cosn π），且S 4n =an 2+bn ，则a ﹣b= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在四边形ABCB′，△ABC ≌△AB′C，AB ⊥AB′，cos ∠BCB′=，BC=2．（1）求sin ∠BCA ；（2）求BB′及AC′的长．18．在如图所示的四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥CD ，BC ⊥平面PAB ，且E ，M ，N 分别为PD ，CD ，AD 的中点， =3．（1）证明：PB ∥平面FMN ；（2）若PA=AB ，求二面角E ﹣AC ﹣B 的余弦值．19．在一次全国高中五省大联考中，有90万的学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N （μ，σ2），如表用茎叶图列举了20名学生英语的成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9．（1）求μ，σ；（2）给出正态分布的数据：P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）=0.9544． （i ）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率；（ii ）若从这90万名学生中随机抽取1万名，记X 为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，求X 的数学期望．20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1，y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．21．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．四.请考生从第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．（2）若∀a，b∈A，x∈R+2018届陕西省安康市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x丨0＜x＜4}，则A∪B等于（）A．{x|0＜x＜l} B．{x|﹣l＜x＜l} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|l＜x＜4}【考点】并集及其运算．【分析】根据并集的运算性质计算即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x丨0＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜4}，故选：C．2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（）A ．﹣1﹣3iB ．﹣1+3iC ．1+3iD ．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=2+i 代入z （1﹣z ），利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得复数z （1﹣z ）的共轭复数．【解答】解：∵z=2+i ，∴z （1﹣z ）=（2+i ）（﹣1﹣i ）=﹣1﹣3i ，∴复数z （1﹣z ）的共轭复数为﹣1+3i ．故选：B ．3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且=x +y ，则（ ）A ．x=﹣1，y=﹣B ．x=1，y=C ．x=﹣1，y=D ．x=1，y=﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用平面向量的三角形法则用表示出．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴，，∵E 是BC 中点，∴=﹣=﹣．∴==．∴x=1，y=﹣．故选D ：．4．若x ，2x+1，4x+5是等比数列{a n }的前三项，则a n 等于（ ）A ．2n ﹣1B ．3n ﹣1C ．2nD ．3n【考点】等比数列的通项公式．【分析】由x ，2x+1，4x+5是等比数列{a n }的前三项，可得（2x+1）2=x （4x+5），解得x 即可得出．【解答】解：∵x ，2x+1，4x+5是等比数列{a n }的前三项，∴（2x+1）2=x （4x+5），解得x=1．∴公比q==3． 则a n =3n ﹣1．故选：B ．5．已知函数f （x ）=sin （ωx ﹣）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数g （x ）=cos （ωx+）的图象的一条对称轴方程为（ ）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，可得g（x）的解析式，再根据余弦函数的图象的对称性求得g（x）的图象的对称轴方程．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的部分图象，可得=﹣，∴ω=2，则函数g（x）=cos（ωx+）=cos（2x+），令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，故函数g（x）的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z，当k=1时，x=，故选：B．6．已知a=dx，则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为（）A．160 B．80 C．﹣80 D．﹣160【考点】二项式定理的应用．【分析】求定积分可得a的值，再根据二项式展开式的通项公式，求得展开式中x﹣3的系数．【解答】解：a=dx=2，则二项式（1﹣）5=（1﹣）5的展开式的通项公式为 Tr+1=•（﹣2）r•x ﹣r，令﹣r=﹣3，求得r=3，可得展开式中x﹣3的系数为•（﹣2）3=﹣80，故选：C．7．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=﹣1的一个交点的纵坐标为y，若|y|＜2，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，）C．（，+∞）D．（，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线和渐近线的交点的纵坐标，根据不等式关系求出a，b的范围，进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的渐近线为y=±x，∴当x=﹣1时，y=±，∵交点的纵坐标为y，若|y|＜2，∴||＜2，则离心率e=====，∵e ＞1，∴1＜e ＜，故选：B8．执行如图所示的程序框图，则输出的S 等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当S=时，满足条件S ＜1，退出循环，输出S 的值为．【解答】解：模拟执行程序，可得S=600，i=1执行循环体，S=600，i=2不满足条件S ＜1，执行循环体，S=300，i=3不满足条件S ＜1，执行循环体，S=100，i=4不满足条件S ＜1，执行循环体，S=25，i=5不满足条件S ＜1，执行循环体，S=5，i=6不满足条件S ＜1，执行循环体，S=，i=7满足条件S ＜1，退出循环，输出S 的值为．故选：C ．9．设命题p ：∃x 0∈（0，+∞），e +x 0=e ，命题q ：，若圆C 1：x 2+y 2=a 2与圆C 2：（x ﹣b ）2+（y ﹣c ）2=a 2相切，则b 2+c 2=2a 2．那么下列命题为假命题的是（ ）A ．￢qB ．￢pC ．（￢p ）∨（￢q ）D ．p ∧（￢q ）【考点】复合命题的真假．【分析】对于命题p ：由于函数y=e x 与函数y=e ﹣x 的图象在第一象限有一个交点，因此∃x 0∈（0，+∞），使得e +x 0=e ，即可判断出真假．对于命题q ：由于两圆的圆心距离d=，两圆的半径均为|a|，可知两圆必然外切，进而判断出真假．【解答】解：对于命题p：∵函数y=e x与函数y=e﹣x的图象在第一象限有一个交点，∴：∃x∈（0，+∞），e+x=e，是真命题．对于命题q∵两圆的圆心距离d=，两圆的半径均为|a|，因此两圆必然外切，∴=2|a|，∴b2+c2=4a2．故命题q为假命题．只有￢q为真命题．故选：B．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．72 B．80 C．86 D．92【考点】由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图复原的几何体，画出图形，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】解：如图：三视图复原的几何体是五棱柱ABCEF﹣A1B1C1E1F1，其中底面面积S==14，底面周长C=1+4+5+1+5=16，高为h=4，表面积为：2S+Ch=28+64=92．故选：D．11．设函数f（x）=3|x﹣1|﹣2x+a，g（x）=2﹣x2，若在区间（0，3）上，f（x）的图象在g（x）的图象的上方，则实数a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（3，+∞）D．[3，+∞）【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得3|x﹣1|﹣2x+a＞2﹣x2在0＜x＜3上恒成立，即有a＞2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|的最大值，由二次函数和指数函数的最值的求法，可得x=1时，右边取得最大值，即可得到a的范围．【解答】解：由题意可得3|x﹣1|﹣2x+a＞2﹣x2在0＜x＜3上恒成立，即有a＞2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|的最大值，由h（x）=2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|=3﹣（x﹣1）2﹣3|x﹣1|，当x=1∈（0，3）时，h（x）取得最大值，且为3﹣0﹣1=2，即有a＞2．故选A．12．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A．3 B．2 C．2 D．3【考点】棱锥的结构特征．【分析】由四棱锥的体积为9可得到底面边长a与高h的关系，作出图形，则球心O在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R的表达式，将问题转化为求R何时取得最小值的问题．【解答】解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，=•a2•h=9，∵V棱锥S﹣ABCD∴a2=，∵正四棱锥内接于球O，∴O在直线SM上，设球O半径为R，（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SM﹣SO=h﹣R，（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SO﹣SM=R﹣h，∵SM⊥平面ABCD，∴△OMB是直角三角形，∴OM2+MB2=OB2，∵OB=R，MB=BD=a，∴（h﹣R）2+=R2，或（R﹣h）2+=R2∴2hR=h2+，即R=+=+=≥3=．当且仅当=取等号，即h=3时R取得最小值．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知实数x，y满足，则z=x+y的最小值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得B（1，1），由z=x+y得：y=﹣x+z，显然直线过B时z最小，z的最小值是2，故答案为：2．14．椭圆mx 2+y 2=1（m ＞1）的短轴长为m ，则m= 2 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，将椭圆mx 2+y 2=1的方程变形为标准方程可得+=1，比较与1的大小可得该椭圆的焦点在y 轴上，且b=，进而依据题意可得m=2，解可得m 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆mx 2+y 2=1的方程可以变形为+=1，又由m ＞1，则＜1，故该椭圆的焦点在y 轴上，则b=，又由该椭圆的短轴长为m ，则有m=2，解可得m=2；故答案为：2．15．若函数f （x ）=在（2，3）上为增函数，则实数a 的取值范围是 [，+∞） ． 【考点】函数单调性的性质．【分析】若函数f （x ）=在（2，3）上为增函数，则f′（x ）=≥0在（2，3）上恒成立，进而得到答案．【解答】解：若函数f （x ）=在（2，3）上为增函数，则f′（x ）=≥0在（2，3）上恒成立，则9a+1≥0，解得：a ∈[，+∞），故答案为：[，+∞）．16．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n （2+sin ）=n （2+cosn π），且S 4n =an 2+bn ，则a ﹣b= 5 ．【考点】数列的求和．【分析】通过计算得出数列{a n }前8项的值，进而联立S 4=a+b 、S 8﹣S 4=3a+b ，进而解方程组，计算即得结论．【解答】解：①当n=4k ﹣3时，a n （2+1）=n （2﹣1），a n =；②当n=4k ﹣2时，a n （2+0）=n （2+1），a n =n ；③当n=4k ﹣1时，a n （2﹣1）=n （2﹣1），a n =n ；④当n=4k 时，a n （2+0）=n （2+1），a n =n ；∵S 4n =an 2+bn ，∴S 4=a+b=+•2+3+•4=+12，S 8﹣S 4=（4a+2b ）﹣（a+b ）=3a+b=•5+•6+7+•8=+28，∴（3a+b ）﹣（a+b ）=（+28）﹣（+12），解得：a=+8，b=+12﹣a=（+12）﹣（+8）=﹣+4，∴a ﹣b=（+8）﹣（﹣+4）=5，故答案为：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在四边形ABCB′，△ABC ≌△AB′C，AB ⊥AB′，cos ∠BCB′=，BC=2．（1）求sin ∠BCA ；（2）求BB′及AC′的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）利用△ABC ≌△AB′C，可得∠BCA=∠B′CA，利用cos ∠BCB′=，即可求sin ∠BCA ；（2）利用余弦定理求出BB′，利用正弦定理求出BB′，即可求出AC′的长．【解答】解：（1）∵△ABC≌△AB′C，∴∠BCA=∠B′CA，∴cos∠BCB′=2cos2∠BCA﹣1，∵cos∠BCB′=，∴cos2∠BCA=，∴sin2∠BCA=，∴sin∠BCA=；（2）∵BC=2，∴BB′2=8+8﹣2×=4，∴BB′=2∵，∴AB=，设BB′与AC交于O，则AO=1，CO==，∴AC=+1．18．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E，M，N分别为PD，CD，AD的中点， =3．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结BD，分别交AC、MN于点O，G，连结EO、FG，推导出EO∥PB，FG∥EO，PB∥FG，由此能证明PB∥平面FMN．（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结BD，分别交AC、MN于点O，G，连结EO、FG，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，又=3，∴F为ED中点，又CM=MD，AN=DN，∴G为OD的中点，∴FG∥EO，∴PB∥FG，∵FG⊂平面FMN，PB⊄平面FMN，∴PB∥平面FMN．解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设PA=AB=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），则=（2，2，0），=（0，1，1），平面ABCD的一个向向量=（0，0，1），设平面AEC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），∴cos＜＞==，由图知二面角E﹣AC﹣B为钝角，∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为﹣．19．在一次全国高中五省大联考中，有90万的学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），如表用茎叶图列举了20名学生英语的成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9．（1）求μ，σ；（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．（i）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率；（ii）若从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，求X的数学期望．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由茎叶图得这20个数据的平均数，再由这20个数据的方差为49.9，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），结合题意能求出μ和σ．（2）（i）∵由题知x服从正态分布N（89.1，49），作出相应的正态曲线，能求出该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率．（3）由从这90万名学生中随机抽取1名，该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185，能求出这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的数学期望．【解答】解：（1）由茎叶图得这20个数据的平均数：=（79+80+81+82+87+87+88+88+89+90×4+91+92+93+93+100+101+109）=90，∵这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），∴μ=90﹣0.9=89.1，σ==7．（2）（i）∵英语成绩服从正态分布N（89.1，49），P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，∴P（82.1＜X＜96.1）=0.6826，P（75.1＜X＜103.1）=0.9544，由题知x服从正态分布N（89.1，49），作出相应的正态曲线，如图，依题意P（82.1＜X＜96.1）=0.6826，P（75.1＜X＜103.1）=0.9544，即曲边梯形ABCD的面积为0.9544，曲边梯形EFGH的面积为0.6826，其中A、E、F、B的横坐标分别是75.1、82.1、96.1、103.1，由曲线关于直线x=89.1对称，可知曲边梯形EBCH的面积为0.9544﹣=0.8185，即该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185．（3）∵从这90万名学生中随机抽取1名，该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185．∴从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，X的数学期望E（X）=0.8185×10000=8185．20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1，y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得AF ⊥x 轴，即有p=3，进而得到抛物线的方程；（2）设B （x 2，y 2），AB ：y=k （x+），代入抛物线的方程，可得x 的方程，运用判别式大于0和求根公式，运用向量共线的坐标表示，可得2p=x 2﹣x 1，解方程即可得到所求定值．【解答】解：（1）抛物线y 2=2px 的焦点F （，0），准线方程为x=﹣，则|AF|=y 1，可得AF ⊥x 轴，则x 1=，即有d=+=3，即p=3，则抛物线的方程为y 2=6x ；（2）证明：设B （x 2，y 2），AB ：y=k （x+），代入抛物线的方程，可得k 2x 2+p （k 2﹣2）x+=0，由△=p 2（k 2﹣2）2﹣k 4p 2＞0，即为k 2＜1，x 1=，x 2=，由d=2λp ，可得x 1+=2λp ，由+λ=，M （﹣，0），可得x 1+=λ（x 2﹣x 1），即有2p=x 2﹣x 1=，解得k 2=．故直线AB 的斜率的平方为定值．21．已知函数f （x ）=+nlnx （m ，n 为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y ﹣2=0（1）判断函数f （x ）的单调性；（2）已知p ∈（0，1），且f （p ）=2，若对任意x ∈（p ，1），任意t ∈[，2]，f （x ）≥t 3﹣t 2﹣2at+2与f （x ）≤t 3﹣t 2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；（2）f（x）在[p，1]上的最小值为f（1）=1，最小值f（p）=2，只需2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，利用导数求出函数的单调性，列出不等式，即可求得结论；【解答】解：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣+，∴f′（1）=﹣+n=﹣1，把x=1代入x+y﹣2=0得y=1，∴f（1）==1，∴m=2，n=﹣，∴f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣﹣，∵x＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞），没有递增区间．（2）由（1）可得，f（x）在[p，1]上单调递减，∴f（x）在[p，1]上的最小值是f（1）=1，最大值是f（p）=2，∴只需t3﹣t2﹣2at+2≤1或≥2，即2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，令g（t）=t2﹣t+，则g′（t）=，令g′（t）=0，解得：t=1，而2t2+t+1＞0恒成立，∴≤t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，1＜t≤2时，g′（t）＞0，g（t）递增，∴g（t）的最大值是max{g（），g（2）}，而g（）=＜g（2）=，∴g（t）在[，2]的最大值是g（2）=，又t2﹣t∈[﹣，2]，∴2a≥或2a≤﹣，解得：a≥或a≤﹣，故a的范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．四.请考生从第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，由此能求出直线l与极轴的交点到极点的距离．（2）先求出直线l和曲线C的直角坐标方程，由曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，结合题设条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，∴令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，∴3ρ=2，∴直线l与极轴的交点到极点的距离ρ=．（2）直线l的直角坐标方程为3x﹣4y﹣2=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=m2，曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，∵曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，∴．∴实数m的取值范围是（，）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．（2）若∀a，b∈A，x∈R+【考点】基本不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）化不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10为3个不等式组，解不等式组可得；（2）由题意可得﹣10＜a+b＜10，由基本不等式可得（x﹣4）（﹣9）≤25，由恒成立可得m+25≤﹣10，解不等式可得．【解答】解：（1）不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10等价于，或或，解得﹣5＜x＜5，故可得集合A=（﹣5，5）；（2）∵a，b∈A=（﹣5，5），x∈R，+∴﹣10＜a+b＜10，∴（x﹣4）（﹣9）=1﹣﹣9x+36=37﹣（+9x）≤37﹣2=25，∵不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，∴m+25≤﹣10，解得m≤﹣35。
