九年级数学上学期期末试卷

2023-2024学年重庆市渝北区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个选项是正确的，请在答题卡上把你认为是正确的选项对应的方框涂黑.1．（4分）2的相反数是（）A．B．C．﹣2D．22．（4分）下列4个汉字中可以看成是轴对称图形的是（）A．中B．国C．繁D．华3．（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣3），则k的值是（）A．B．6C．D．﹣64．（4分）下列调查中，适合普查的是（）A．调查全国中学生的视力情况B．调查遭受积石山地震损坏的房屋数量C．调查一批电池的使用寿命D．调查市场上某种饮料的质量情况5．（4分）估计的值在（）A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间6．（4分）如图，已知AB∥CD，∠BAP＝33°，∠DCP＝21°，则∠P的度数为（）A．52°B．53°C．54°D．55°7．（4分）周日上午，小张跑步去公园锻炼身体，到达公园后原地锻炼了一会之后散步回家，下面能反映小张离公园的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，，则△ADC的面积为（）A．B．C．D．9．（4分）如图，点M是正方形ABCD边AB上一点，DN⊥CM于N，DN＝2CN＝2，则BN的长度为（）A．2B．C．D．10．（4分）关于x的二次三项式M＝2x2+ax+b，关于x的三次三项式N＝3x3﹣5x2﹣7＝c（x ﹣1）3+d（x﹣1）2+e（x﹣1）+f，下列说法中正确的个数为（）①当多项式M•N乘积不含x3时，则5a＝3b；②当M能被2x+1整除时，a﹣2b＝1；③c﹣d+e＝2．A．0B．1C．2D．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应题号的横线上.11．（4分）（）﹣1+（）0＝．12．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为．13．（4分）有三张背面完全一样，正面分别写有数字1，0，﹣1的卡片，若将它们背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字的乘积为负数的概率是．14．（4分）若a2+2ab＝4，b2﹣3ab＝﹣2，则2a2+b2+ab＝．15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，连接AC，取AC中点O，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交边AD，AB于点E，F，则图中阴影部分的面积是．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解且最多4个整数解，且关于y 的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为．17．（4分）如图，在菱形ABCD中AC交BD于点O，点M为OB的中点，连接AM并延长交BC于点N，若AC＝12，BN＝，则AN＝．18．（4分）对于一个两位数，（0≤b≤a≤9，1≤a+b≤9），记F（m）＝a+b，将m的十位数字与个位数字的和、十位数字与个位数字的差分别作为m'的十位数字和个位数字，新形成的两位数m'叫做m的伴生和差数，把m放置于m'十位数字与个位数字之间，就可以得到一个新的四位数M，最小的M为，若M能被7整除，则的最小值为．三、解答题：（本大题8个小题，第19小题8分，第20-26小题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（8分）计算．（1）x（x+2）﹣（x+1）（x﹣1）；（2）．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，BM⊥AC于点M．（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DN⊥AC于点N，并连接BN，DM．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）（2）求证：BN＝DM．（请补全下面证明过程）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴①．∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴②．在△ABM 和△CDN 中，，∴△ABM ≌△CDN （AAS ）．∴③．又∵BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，∴BM ∥DN ．∴④．∴BN ＝DM ．21．（10分）宪法是我国的根本法，是治国安邦的总章程，是党和人民意志的集中体现.2023年12月4日是我国第十个国家宪法日，在这一天某学校开展了宪法知识竞答比赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的比赛成绩进行整理分析（成绩用x 表示，满分100分，共分成四组：D 组0≤x ＜60，C 组60≤x ＜80，B 组80≤x ＜100，A 组x ＝100）下面给出了部分信息：七年级抽取的学生比赛成绩在B 组的数据是：98，88，89，90，95，86；八年级抽取的学生比赛成绩的数据是：50，52，52，59，63，66，78，78，78，87，89，92，96，100，100，100，100，100，100，100．七、八年级抽取的学生比赛成绩的统计表年级平均数众数中位数满分率七年级81.5100a m %八年级82b8835%根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出a ，b ，m 的值；（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对宪法知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级有400人，八年级有600人参加此次宪法知识竞答比赛，估计该校七、八年级参加此次比赛成绩满分的学生人数有多少人？22．（10分）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州奥体中心体育场盛大开幕，潮起东方惊艳世界．奥体中心体育场的设计也同样令人赞叹，以莲花为原型，由28片大“莲花瓣”和27片小“莲花瓣”组成，宛如一朵绽放的莲花，栩栩如生．建设初期，计划由甲、乙两工程队承包完成其中一个小项目，若乙队单独施工，则恰好在计划工期完成；若甲队单独施工，可提前8天完成；若甲、乙两队先同时施工6天，剩下的由乙队单独施工，也可以提前8天完成．（1）求甲、乙两队单独完成该项目所需的时间；（2）实际施工时，甲队先单独施工若干天，剩下的工程由乙队单独施工完成．甲队每天施工费用为2万元，乙队每天施工费用为1.25万元，为了控制预算，该项目支付给工程队的施工总费用不超过45万元，则甲队至多施工多少天？23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点Q为边BC上的中点．动点M从点A出发，沿折线AD﹣DC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止．设为y．（y≠0）运动的时间为t秒，记S△MDQ（1）请直接写出y关于t的函数表达式以及对应的t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合图象，当y≥2时，直接写t的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2）24．（10分）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为km，A，B两岛的距离为68km．（1）求出B，C两岛的距离；（2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？25．（10分）二次函数y＝ax2+bx+4经过点A（﹣1，0），点B（4，0），点C，点D分别为二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，连接BC，过点A作BC的平行线交二次函数于点E，连接CM，BM，BE，CE．求四边形CMBE面积的最大值以及此时点M的坐标；（3）如图2，过点M作MN∥y轴，交BC于点N（点M不与点D重合），过点D作DH ∥y轴，交BC于点H，当DM＝HN时，直接写出点M的坐标．26．（10分）已知△ABC，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝60°，点D是线段BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°到AM，连接DM，CM．若BD＝2，CD＝1，求△CDM的面积；（2）如图2，若∠BAC＝90°，点D在边AB上，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AM，连接MD并延长交BC于点H，连接AH，CD，猜想AH与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若∠BAC＝60°，AB＝3，点D是线段BC上的一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ，过点C作CE⊥AQ于点E交BA的延长线于点M，过点E分别作EN⊥AB于点N，作EH⊥AB于点H，连接NH，当NH取最大值时，请直接写出△NHE的面积．2023-2024学年重庆市渝北区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个选项是正确的，请在答题卡上把你认为是正确的选项对应的方框涂黑.1．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：2的相反数是﹣2，故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项B、C、D的汉字不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．选项A的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．3．【分析】把点（2，﹣3）代入即可求解．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（2，﹣3），∴k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．4．【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【解答】解：A．调查全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意；B．调查遭受积石山地震损坏的房屋数量，适合全面调查，故本选项符合题意；C．调查一批电池的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；D．调查市场上某种饮料的质量情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5．【分析】先运用二次根式知识进行计算，再进行比较，即可得出答案．【解答】解：＝4+，∵1＜＜2，∴5＜4＜6，∴的值在5与6之间．故选：C．【点评】此题考查了二次根式和无理数的估算能力，掌握二次根式的混合运算法则和无理数的估算是解题的关键．6．【分析】过点P作PE∥AB，则∠BAP＝∠APE，再由AB∥CD可知PE∥CD，故∠DCP ＝∠EPC，据此可得出结论．【解答】解：过点P作PE∥AB，∵∠BAP＝33°，∠DCP＝21°，∴∠BAP＝∠APE＝33°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠DCP＝∠EPC＝21°，∴∠P＝∠APE+∠EPC＝33°+21°＝54°．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．7．【分析】根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．【解答】解：图象应分三个阶段，第一阶段：跑步到公园，在这个阶段，离公园的距离随时间的增大而减小；第二阶段：在公园锻炼了一会，这一阶段公园的距离不随时间的变化而改变，即为0；第三阶段：散步回家，这一阶段，离公园的距离随时间的增大而增大，并且这段的速度小于第一阶段的速度．故选：C．【点评】本题主要考查函数图象，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的斜率判断运动的速度是解决本题的关键．8．【分析】根据圆周角定理、垂径定理的推论得到∠ACD＝90°，AD⊥CB，∠CAD＝∠CAB，根据余弦的定义求出AD，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，AB＝3，∴AC＝BC＝AB＝3，∠CAB＝60°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，AD⊥CB，∠CAD＝∠CAB＝30°，∴CE＝EB，在Rt△ACE中，∠CAD＝30°，AC＝3，∴CE＝AC＝，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝3，∴AD＝＝6，＝××6＝，∴S△ADC故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、垂径定理的推论、圆周角定理，掌握相关的性质定理是解题的关键．9．【分析】过点B作BE⊥CM于E，可证得△DCN≌△CBE（AAS），再证得△BNE是等腰直角三角形，即可求得答案．【解答】解：如图，过点B作BE⊥CM于E，∵DN⊥CM，BE⊥CM，∴∠DNC＝∠CEB＝90°，∴∠DCN+∠CDN＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝CB，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠DCN+∠BCE＝90°，∴∠CDN＝∠BCE，∴△DCN≌△CBE（AAS），∴DN＝CE，CN＝BE，∵DN＝2CN＝2，∴CN＝BE＝1，CE＝2，∴EN＝CE﹣CN＝2﹣1＝1，∴EN＝BE＝1，∵∠BEN＝90°，∴△BNE是等腰直角三角形，∴BN＝BE＝．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．10．【分析】①根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再由题意可得5a﹣3b＝0；②由题意可知（2x2+ax+b）÷（2x+1）＝x+b，则2x2+2bx+x+b＝2x2+ax+b，即可求得a﹣2b＝1；③由题意可得3x3﹣5x2﹣7＝c（x3﹣3x2+3x﹣1）+d（x2﹣2x+1）+e（x﹣1）+f，从而得到c＝3，d﹣3c＝﹣5，3c﹣2d+e＝0，分别求出c、d、e的值即可判定．【解答】解：①M•N＝（2x2+ax+b）（3x3﹣5x2﹣7）＝6x5﹣10x4﹣14x2+3ax4﹣5ax3﹣7ax+3bx3﹣5bx2﹣7b＝6x5﹣（10﹣3a）x4﹣（14+5b）x2﹣（5a﹣3b）x3﹣7ax﹣7b，∵多项式M•N乘积不含x3，∴5a﹣3b＝0，故①符合题意；②（2x2+ax+b）÷（2x+1）＝x+b，∴2x2+2bx+x+b＝2x2+ax+b，∴2b+1＝a，即a﹣2b＝1；故②符合题意；∵3x3﹣5x2﹣7＝c（x﹣1）3+d（x﹣1）2+e（x﹣1）+f，∴3x3﹣5x2﹣7＝c（x3﹣3x2+3x﹣1）+d（x2﹣2x+1）+e（x﹣1）+f，∴c＝3，d﹣3c＝﹣5，3c﹣2d+e＝0，解得d＝4，e＝﹣1，∴c﹣d+e＝3﹣4﹣1＝﹣2，故③不符合题意；故选：C．【点评】本题考查多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应题号的横线上.11．【分析】利用负整数指数幂，零指数幂计算即可．【解答】解：原式＝3+1＝4，故答案为：4．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．12．【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有（n﹣2）×180°＝900°，解得：n＝7，∴这个多边形的边数为7．故答案为：7．【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．13．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字的乘积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：10﹣11（1，1）（1，0）（1，﹣1）0（0，1）（0，0）（0，﹣1）﹣1（﹣1，1）（﹣1，0）（﹣1，﹣1）共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字的乘积为负数的结果有：（1，﹣1），（﹣1，1），共2种，∴抽取的两张卡片上的数字的乘积为负数的概率为．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．14．【分析】把原式整理后，再代入化简即可．【解答】解：由b2﹣3ab＝﹣2得：b2＝﹣2+3ab，由a2+2ab＝4得：a2＝4﹣2ab．2a2+b2+ab＝2a2﹣2+3ab+ab＝2（4﹣2ab）﹣2+3ab+ab＝8﹣4ab﹣2+3ab+ab＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了代数式的化简，熟练进行整理化简是解题的关键．15．【分析】阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形AEF的面积．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝60°，四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，AC⊥BD，∵AB＝4，∴AO＝AB•cos∠BAC＝2，BO＝AB•sin∠BAC＝2，AC＝4，BD＝4，阴影部分的面积＝×AC×BD﹣＝8﹣2π，故答案为：8﹣2π．【点评】本题考查了菱形、扇形的面积，关键是掌握菱形、扇形的面积公式．16．【分析】求出一元一次不等式组的解集，根据它有解且最多4个整数解，求得m的取值范围；解分式方程，根据其解为整数，求得所有符合条件的m的值，将这些值相加即可．【解答】解：不等式组的解集为﹣4＜x＜m，∵原不等式组有解且最多4个整数解，∴﹣4＜m≤1．分式方程的解为y＝，∵y＝1是原分式方程的增根，∴m≠﹣1．∴﹣1＜m+3≤4，且m+3≠2，∵y＝为整数，∴m+3＝0或4，当m+3＝0时，m＝﹣3；当m+3＝4时，m＝1，﹣3+1＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查分式方程的解和解一元一次不等式组，熟练掌握它们的解法是本题的关键．17．【分析】通过证明△ADM∽△NBM，可得＝3，可得AD＝3BN＝6，AM ＝3MN，由勾股定理可求DO的长，AM的长，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝6，BO＝DO，∵点M为OB的中点，∴OM＝BM，∴DM＝3OM＝3BM，∵AD∥BC，∴△ADM∽△NBM，∴＝3，∴AD＝3BN＝6，AM＝3MN，∴DO＝＝＝12，∴MO＝BM＝6，∴AM＝＝＝6，∴MN＝2，∴AN＝AM+MN＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．18．【分析】根据题意用a、b写出四位数M的表达式，根据a、b的范围，可得最小的M，因为M能被7整除，所以可知a和b的取值，即得的最小值．【解答】解：∵两位数m的十位数字是a，个位数字是b，两位数m′的十位数字是（a+b），个位数字是（a﹣b），∴四位数M＝1000（a+b）+100a+10b+（a﹣b）＝1101a+1009b，∴a＝1，b＝0时，M最小，M＝1101，∵M能被7整除，1≤a+b≤9，∴a＝3，b＝1时，M＝4312，a＝5，b＝4时，M＝9541，a＝6，b＝2时，M＝8624，a＝7，b＝0时，M＝7707，＝＝+最小，即最小，∴a＝7，b＝0时，＝，故答案为：1101，．【点评】本题考查了整式的加减，关键是计算正确．三、解答题：（本大题8个小题，第19小题8分，第20-26小题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．【分析】（1）直接利用单项式乘多项式以及平方差公式计算，进而得出答案；（2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝x2+2x﹣（x2﹣1）＝x2+2x﹣x2+1＝2x+1；（2）原式＝[+]•＝•＝．【点评】此题主要考查了分式的混合运算、整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20．【分析】（1）利用基本作图，过D点作AC的垂线即可；（2）先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD．则∠BAM＝∠DCN，再证明△ABM≌△CDN得到BM＝DN，然后判断四边形BMDN为平行四边形，从而得到BN＝DM．【解答】（1）解：如图，DN为所作；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠BAM＝∠DCN，∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴∠AMB＝∠CND，在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（AAS），∴BM＝DN，又∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴BM∥DN．∴四边形BMDN为平行四边形，∴BN＝DM．故答案为：∠BAM＝∠DCN，∠AMB＝∠CND，BM＝DN，四边形BMDN为平行四边形．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．21．【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可求出a、b的值，用“1”分别减去其它三个等级所占百分比可得m的值；（2）根据平均数、中位数和满分率进行判断即可；（3）分别求出七、八年级学生竞赛成绩的满分率即可求解．【解答】解：（1）七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（86+88）÷2＝87（分），因此中位数是87分，即a＝87；八年级学生竞赛成绩的100出现的次数最多，故众数为100，即b＝100；m%＝1﹣25%﹣20%﹣＝25%，即m＝25．（2）八年级学生对宪法知识掌握更好，理由如下：因为八年级学生的平均数、中位数和满分率都高于七年级，所以八年级学生对宪法知识掌握更好；（3）400×25%+600×35%＝100+210＝310（人），答：估计该校七、八年级参加此次比赛成绩满分的学生人数大约有310人．【点评】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的计算方法是正确求解的前提．22．【分析】（1）设甲队单独完成该项目所需的时间为x天，则乙队单独完成该项目所需的时间为（x+8）天，根据若甲、乙两队先同时施工6天，剩下的由乙队单独施工，也可以提前8天完成．列出分式方程，解方程即可；（2）设甲队施工y天，则乙队施工＝（32﹣y）天，根据该项目支付给工程队的施工总费用不超过45万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设甲队单独完成该项目所需的时间为x天，则乙队单独完成该项目所需的时间为（x+8）天，由题意得：+＝1，解得：x＝24，经检验，x＝24是原方程的解，且符合题意，∴x+8＝24+8＝32，答：甲队单独完成该项目所需的时间为24天，乙队单独完成该项目所需的时间为32天；（2）设甲队施工y天，则乙队施工＝（32﹣y）天，由题意得：2y+1.25（32﹣y）≤45，解得：y≤15，答：甲队至多施工15天．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．23．【分析】（1）分为：当0＜t＜4时，y＝DM•AB＝（4﹣t）＝﹣；当4＜t≤7时，y＝＝t﹣4；（2）取（0，6），（4，0）及（7，3）作出图象，根据函数图象写增减性；（3）当y＝2时，由﹣和t﹣4＝2分别求出t的值，进而得出结果．【解答】解：（1）如图1，当0＜t＜4时，y＝DM•AB＝（4﹣t）＝﹣，如图2，当4＜t≤7时，y＝＝t﹣4，综上所述：y＝；（2）如图3，在4＜t≤7范围内，y随着t的增大而增大；（3）当y＝2时，由﹣得，t＝≈2.7，由t﹣4＝2得，t＝6，∴当y≥2时，0＜t≤2.7或6≤t≤7．【点评】本题考查了求一次函数的解析式，根据解析式画一次函数的图象，一次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．24．【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求出AD，CD，再在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求出BC，从而解决问题；（2）由25＞20，可知会受影响．以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F，利用勾股定理求出DE，进而得到EF的长，再除以台风移动速度即可求出台风影响岛屿C持续时间．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，由题意知：∠ACD＝45°，∴∠A＝∠ACD＝45°，∴CD＝AD，在Rt△ACD中，AC＝km，由勾股定理，得AD2+CD2＝AC2，∴2AD2＝（）2，解得AD＝20km（负值已舍），∴CD＝20km，在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝68﹣20＝48（km），由勾股定理，得BC＝＝＝52（km），答：B，C两岛的距离为52km；（2）会受影响，以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F，则EF＝2DE，在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝＝＝15（km），∴EF＝30km，30÷20＝1.5（h），答：台风影响岛屿C持续时间为1.5h．【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作CD⊥AB构造直角三角形是解题的关键．25．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）求出直线BC的解析式，再由平行线的性质求出直线AE的解析式从而确定E点坐标，再由直线CE的解析式求出直线CE与x轴的交点坐标，从而求出三角形BCE的面积，过点M作MG∥y轴交直线BC于点G，设M（t，﹣t2+3t+4），则G（t，﹣t+4），可＝﹣2（t﹣2）2+8，从而求出四边形面积的最大值及点M的坐标；得S△BCM（3）求出D（，），H（，），设M（x，﹣x2+3x+4），则N（x，﹣x+4），则DM ＝，HN＝，再由DM＝HN，求出x＝（舍）或x＝或x＝，即可求M点坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），∴OC＝OB＝4，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∵AE∥BC，∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣1，当﹣x﹣1＝﹣x2+3x+4时，解得x＝﹣1或x＝5，∴E（5，﹣6），设CE的直线解析式为y＝kx+4，∴5k+4＝﹣6，解得k＝﹣2，∴直线CE的解析式为y＝﹣2x+4，∴直线CE与x轴的交点为（2，0），＝（4﹣2）×（4+6）＝10，∴S△BCE过点M作MG∥y轴交直线BC于点G，设M（t，﹣t2+3t+4），则G（t，﹣t+4），∴MG＝﹣t2+3t+4+t﹣4＝﹣t2+4t，＝4×（﹣t2+4t）＝﹣2（t﹣2）2+8，∴S△BCM+S△BCM＝10﹣2（t﹣2）2+8，∴四边形CMBE的面积＝S△BCE∵0＜t＜4，∴当t＝2时，四边形CMBE的面积有最大值18，此时M（2，6）；（3）∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴D（，），∵DH∥y轴，∴H（，），设M（x，﹣x2+3x+4），则N（x，﹣x+4），∴DM＝，HN＝，∵DM＝HN，∴＝，解得x＝（舍）或x＝或x＝，∴M（，）或（，）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，两点间距离公式，平行线的性质，铅锤法求面积是解题的关键．26．【分析】（1）可证明△BAD≌△CAM，从而得出∠ACM＝∠AB＝60°，CM＝BD＝2，进一步得出结果；（2）作AG⊥MH于G，可证明△AGH∽△DAC，进一步得出结果；（3）可证得四边形BCEN内接于以BE为直径的圆，从而得出NH＝BE•sin∠ABC＝BE，故当BE最大时，NH最大，可证得E在以AC为直径的圆O上运动，连接BO 并延长，交⊙O于点E，此时BE最大，NH最大，NH交BE于X，进一步得出结果．【解答】解：（1）如图1，作ME⊥BC，交BC的延长线于点E，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°到AM，∴∠AD＝AM，∠DAM＝60°，∴∠BAC＝∠DAM，∴∠BAD＝∠CAM，∴△BAD≌△CAM（SAS），∴∠ACM＝∠AB＝60°，CM＝BD＝2，∴∠MCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACM＝60°，∴EM＝CM＝，＝；∴S△CDM（2）如图2，CD＝AH，理由如下：作AG⊥MH于G，∵∠BAC＝90°，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AM，∴AD＝AM，∠DAM＝90°，M、A、C共线，∴∠BDH＝∠ADM＝∠M＝45°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠DHC＝∠BHD＝90°，∴∠DHC+∠BAC＝180°，∴点A、D、H、C共圆，∴∠AHG＝∠ACD，∵∠AGH＝∠BAC＝90°，∴△AGH∽△DAC，∴，∴CD＝AH；（3）如图3，∵EN⊥AB，EH⊥BC，∴∠ENB＝∠EHB＝90°，∴四边形BCEN内接于以BE为直径的圆，∵∠ABC＝60°，∴NH＝BE•sin∠ABC＝BE，∴当BE最大时，NH最大，∵∠AEC＝90°，AC＝AB＝3，∴E在以AC为直径的圆O上运动，连接BO并延长，交⊙O于点E，此时BE最大，NH最大，NH交BE于X，此时BE＝OB+OE＝AB+AC＝AB＝，∴EN＝EH＝BE＝，∴NX＝HX＝EN＝，EX＝EN＝，＝NH•EX＝NX•EX＝．∴S△NHE【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是将条件转化。

九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=153．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B． C．D．4．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定5．在二次函数y=x2﹣2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞16．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=21 B．x（x+1）=21 C．x（x﹣1）=42 D．x（x+1）=427．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．B．C．D．8．如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2 B．y=（x+1）2C．y=x2+1 D．y=x2+39．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=（）A．30°B．35°C．40°D．50°10．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D 在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为．12．一元二次方程x2﹣16=0的解是．13．抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是．14．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．15．用一根长为16cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm2．16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A 旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．18．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．19．在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人再次成为同班同学的概率．21．已知关于的方程x2+2x+m﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．22．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O 的半径长．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．【解答】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（2，4）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，∴x2﹣8x=1，∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．3．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．4．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】根据圆周角定理即可得．【解答】解：∵∠ACB与∠AOB所对的弧是同一段弧，且∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=90°，故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．5．在二次函数y=x2﹣2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线y=x2﹣2x+3中的对称轴是直线x=1，开口向上，x＞1时，y随x的增大而增大．【解答】解：∵a=1＞0，∴二次函数图象开口向上，又∵对称轴是直线x=﹣=1，∴当x＞1时，函数图象在对称轴的右边，y随x的增大而增大．故选D．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．6．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=21 B．x（x+1）=21 C．x（x﹣1）=42 D．x（x+1）=42【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（2016•海南）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于3的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率==．故选A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2 B．y=（x+1）2C．y=x2+1 D．y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，2），向左平移1个单位，向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+1）2．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式9．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=（）A．30°B．35°C．40°D．50°【考点】旋转的性质．【分析】由平行线的性质可求得∠C′CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC′，然后依据等腰三角形的性质可知∠AC′C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC′的度数，从而得到∠BAB′的度数．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠C′CA=∠CAB=65°．∵由旋转的性质可知；AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C=65°．∴∠CAC′=180°﹣65°﹣65°=50°．∴∠BAB′=50°．故选D．【点评】本题主要考查的是旋转的性质，得到∠C′CA=65°以及AC=AC′是解题的关键．10．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D 在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．【分析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：连接OC∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，∴∠COD=45°，∴OC=CD=2，∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积=×π×（2）2﹣×22=π﹣2．故选：A．【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为（﹣2，3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】常规题型．【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案．【解答】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，所以：点（2，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点评】考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12．一元二次方程x2﹣16=0的解是x1=﹣4，x2=4．【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【专题】计算题．【分析】方程变形后，开方即可求出解．【解答】解：方程变形得：x2=16，开方得：x=±4，解得：x1=﹣4，x2=4．故答案为：x1=﹣4，x2=4【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．13．抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是（﹣1，0）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】把a、b、c的值直接代入顶点的公式中计算即可．【解答】解：∵a=1，b=2，c=1，∴﹣=﹣=﹣1，==0，故答案是（﹣1，0）．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握顶点的计算公式．14．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【分析】首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长．【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，∴BC=2BD，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠BOC=×360°=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB===30°，∵⊙O的半径为2，∴OB=2，∴BD=OB•cos∠OBD=2×cos30°=2×=，∴BC=2BD=2．∴等边△ABC的边长为2．故答案为：2．【点评】本题考查了垂径定理，圆的内接等边三角形，以及三角函数的性质等知识．此题难度不大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法．15．用一根长为16cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是16cm2．【考点】二次函数的应用．【分析】先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．【解答】解：设矩形的一边长为xcm，所以另一边长为（8﹣x）cm，其面积为s=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，∴周长为16cm的矩形的最大面积为16cm2．故答案为：16．【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的应用及求二次函数的最大（小）值有三种方法：第一种可由图象直接得出；第二种是配方法；第三种是公式法．常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A 旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为1或5．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况，即一个是逆时针旋转，一个顺时针旋转，根据旋转的性质可知．【解答】解：旋转得到F1点，∵AE=AF1，AD=AB，∠D=∠ABC=90°，∴△ADE≌△ABF1，∴F1C=1；旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，∴F2B=DE=2，F2C=F2B+BC=5．【点评】本题主要考查了旋转的性质．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．【解答】解：设这个函数的关系式为y=a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y=a（x+2）2+2得9a+2=1，解得a=﹣，所以这个函数的关系式为y=﹣（x+2）2+2．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．18．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．【解答】解：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值为1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．19．在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．【考点】作图—应用与设计作图；等腰直角三角形；扇形面积的计算；圆锥的计算．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2根据勾股定理得到AB=，由（1）可知CD平分∠ACB，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据弧长的公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示：扇形CEF为所求作的图形；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=4，∴AB=，由（1）可知CD平分∠ACB，∴CD⊥AB，∴CD=，设圆锥底面的半径长为r，依题意得：2πr=，∴r=，答：所制作圆锥底面的半径长为．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，等腰直角三角形的性质，弧长的计算，正确的作出图形是解题的关键．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人再次成为同班同学的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图法或列举法，即可得到所有可能的结果；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率．【解答】解：（1）画树状图如下：由树形图可知所以可能的结果为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率==．【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．已知关于的方程x2+2x+m﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系即可得出关于m、x1的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）依题意得：△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（m﹣2）=12﹣4m＞0，解得：m＜3．∴若该方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围为m＜3．（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，∴m的值为﹣1，该方程的另一根为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出关于m、x1的二元一次方程组．22．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据题意得=，解得x=400．经检验，x=400是原方程的根．答：每张门票的原定票价为400元；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得400（1﹣y）2=324，解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次降价10%．【点评】本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【考点】旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE 为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE=CF；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O 的半径长．【考点】切线的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥AD，而AD⊥DP，则肯定判断OC∥AD，根据平行线的性质得∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠DAC；（2）根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，则∠BCE=45°，再利用圆周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°，则∠OFE+∠OEF=90°，易得∠CFP+∠OEF=90°，再根据切线的性质得到∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，根据等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP，于是可判断△PCF是等腰三角形；（3）连结OE．由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据角平分线的定义得到∠BCE=45°，设⊙O 的半径为r，则OF=6﹣r，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵PD为⊙O的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：连结OE．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=90°，即OE⊥AB，设⊙O 的半径为r，则OF=6﹣r，在Rt△EOF中，∵OE2+OF2=EF2，∴r2+（6﹣r）2=（2）2，解得，r1=4，r2=2，当r1=4时，OF=6﹣r=2（符合题意），当r2=2时，OF=6﹣r=4（不合题意，舍去），∴⊙O的半径r=4．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，求得方程方程的解，从而可得到点A、B的坐标，设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入可求得m、n的值，故此可得到AC的解析式为y=﹣x+3上，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），然后依据l=D y ﹣P y列出l与x的函数关系式，依据二次根式的性质可求得PD的最大值；（3）①当点P为直角顶点时，点P与点B重合，②当点A为直角顶点时，可证明∠DAO=∠PAO，然后可证明点D与P关于x轴对称，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），依据关于x轴对称点的纵坐标互为相反数可列出关于x的方程，从而可求得x的值，故此可求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式得3=a（0﹣2）2﹣1，解得：a=1，∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3．（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∵点A在点B的右边，∴A （3，0），B（1，0）设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入上式得，，解得：，∴y=﹣x+3．∵D在y=﹣x+3上，P在y=x2﹣4x+3上，且PD∥y轴，∴D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），∴l=PD=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=∴当时，l取得最大值为．（3）分两种情况：①当点P为直角顶点时，如图1，点P与点B重合，由（2）可知B（1，0），∴P（1，0）．②当点A为直角顶点时，如图2，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD=45°，当∠DAP=90°时，∠OAP=45°，∴AO平分∠DAP，又∵PD∥y轴，∴PD⊥AO，∴P与D关于x轴对称，∵D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），∴（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，整理得x2﹣5x+6=0，∴x1=2，x2=3（舍去），当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1，∴P的坐标为P（2，﹣1）．∴满足条件的P点坐标为P（1，0），P（2，﹣1）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质、依据l=D y﹣P y列出l与x的函数关系式是解答问题（2）的关键，证得点D与P关于x轴对称，利用关于x轴对称点的特点列出关于x的方程是解答问题（3）的关键．。

2023~2024学年度上期期末考试试题九年级数学注意事项：1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟。

2．考生使用答题卡作答。

3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡规定的地方。

考试结束，监考人员只将答题卡收回。

4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等。

A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．圆锥B．正方体C．圆柱D．球2．若方程是关于的一元二次方程，则“□”中可以是（）A．B．C．D．3．已知四条线段成比例，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．4．若表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，它们之间的关系用下列图形来表示，正确的是（）A．B．C．D．5．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形的面积等于矩形的面积的，则点的坐标是（）A．B．C．或D．或7．王丽同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则该试验可能是（）A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张扑克牌是黑桃”的试验B．关于“50个同学中，有2个同学生日相同”的试验C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验8．已知反比例函数的图象如图所示，关于下列说法：①常数；②的值随值的增大而减小；③若点为轴上一点，点为反比例函数图象上一点，则；④若点在反比例函数的图象上，则点也在该反比例函数的图象上．其中说法正确的是（）A．①②③B．③④C．①④D．②③④第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．将方程化成一元二次方程的一般形式为_________．10．一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是_________．11．如图，小强自制了一个小孔成像的纸筒装置，其中纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，蜡烛应放在水平距离纸筒点处_________的地方．12．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是_________．13．如图，先将一张正方形纸向上对折、再向左对折，然后沿着图中的虚线剪开，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是_________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．解方程（本小题满分12分，每题6分）（1）；（2）．15．（本小题满分8分）如图，在正方形中，延长至点，使得，连接交于点．（1）试探究的形状；（2）求的度数．16．（本小题满分8分）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，“太空教师”景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来一场精彩的太空科普课，航天员们演示了“球形火焰”“奇妙乒乓球”“动量守恒”和“又见陀螺”四个实验．本次授课活动分别在北京、内蒙古阿拉善盟、陕西延安、安徽桐城及浙江宁波设置了5个地面课堂。

A ．B ． ． ． 2．我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为框宽度忽略不计），其中较小的内角为A ．4B ．3．一元二次方程的根的情况为（A ．有两个不相等的实数根D ．无法确定3223210x x --=A ．25．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为A ．B ．13A ．10．点在二次函数A ．最大值二．填空题（本大题共14．如图，在矩形段上移动，并与意一点，连接90︒(),A m n 4-ABCD EF EF ,AN CM三．解答题（本大题共1115．计算：(1)；(2)18．已知：如图，点为对角线点，．求证：．19．为贯彻落实党的二十大精神，全面建设社会主义现代化国家、兴，某校团委举办以“无悔青春献祖国，接力奋斗新时代赛，九年级（2）班的王伟和孙莉两人文采相当，且都想代表班级参赛，于是班长制作了()0π3128-+--2cos30tan60sin45cos45︒-︒+︒O ABCD Y E F DE BF =21．西安丰庆公园是现代生态景观与历史文化景观融为一体的皇家园林，园内的最高建筑．某数学活动小组想测量怡心阁的高度心阁的高度：小明沿后退到F 恰好看到标杆顶端22．类比一次函数的研究思路，九年级“励志”行探究．下面是他们的探究过程，请补充完整：(1)列表：下表是与的几组对应值，则的值为01654210BD x y m x ⋅⋅⋅5-4-3-2-1-y ⋅⋅⋅m(3)函数的图象和直线的交点坐标是______．23．如图，四边形是的内接四边形，为直径，点为弧的中点，延长交于点，为的切线．(1)求证：；(2)若，求的长．24．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段绕着点逆时针旋转，点的对应点为点．(1)求经过三点的抛物线的表达式；(2)将抛物线沿着轴平移到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形，若存在，求平移的方式．若不存在，说明理由．|1|y x =-2y =ABCD O e BD D AC AD BC 、E DF O e CDF EDF ∠=∠2DF EF ==AD A ()4,2OA OA O 90︒A B ,,B O A L L x L 'L 'D ,,,B O A D图2图3【详解】解：观察图形可得，其主视图是3．A【分析】本题考查了根的判别式，根据题意算出根的判别式即可得；掌握根的判别式即可得．【详解】解：，23210x x --=在Rt ACD中，tan C故选B．【点睛】本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．7．C【分析】根据二次函数的性质判断出【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，9．B【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，∠的圆周角相等得到ADC=【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，每个内角都相等．13．48【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．1求得相似比为，利用相似比求得∵平行于轴，∴轴，∴，∵，∴，AC x BAC ∠BD x ⊥BAC BDO ∽△△2OC BC =13BC BA BO BD ==18．详见解析【分析】根据平行四边形的性质得出，再证明线段的差得出，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，OEA OFC ∠=∠AOE ≌△△AD AE BC CF -=-ABCD依题意，∴，∵，∴，∴，设，2, 1.5,EM FD MD EF MN ====3 1.5 1.5CM CD MD =-=-=CM AN ∥CME ANE V V ∽CM EM AN EN=AN x =；（3）解：把代入中得：，解得：或，∴函数的图象和直线的交点坐标是：23．(1)见详解(2)【分析】（1）由“直径所对的圆周角等于”和圆周角定理可得2y =|1|y x =-|1|2x -==1x -3x =|1|y x =-2y =390︒设与交于点，∵是等腰直角三角形，AB OD M (),D m n BOA △（2）如图所示，连接AC、（3）如图所示，过点D作DH⊥。