2010年高考数学第二次模拟检测试题2

A12009—2010学年度南昌市高三第二次模拟测试卷数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．13．6； 14．－3； 15．4； 16．（1）（4） 三、解答题：本大题共6小题，共70分， 17．解：（1）()cos 21243222cos 214sin(2)16x f xx x x x π+=+⨯-=+-=+-……………………………………………………4分所以当22,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取最大值3，此时，,6x k k Z ππ=+∈；…………………………………………………………6分（2）由()f A 是()f x 的最大值及()0,A π∈得到，6A π=， (7)分由余弦定理22223cos b b A a +-=，所以：2,b c ==10分所以，面积111sin 2222s bcA ==⨯⨯=12分 18．解法一：（1）设11B C 的中点为1D ，11PB PC =，111PD B C ∴⊥，…………………………………………………2分又111A B C △是正三角形，1111A DB C ∴⊥，11B C ∴⊥平面11PA D ，111PA B C ∴⊥，……………5分又11//BC B C ，1PA BC ∴⊥；……………………6分（2）平面11PB BCC ⊥平面111A B C ，∴1PD ⊥平面111A B C ，又1AA ⊥平面111A B C ，11,,,A A P D ∴四点共面，过点1D 作11D E PA ⊥，垂足为点E ，则11C E PA ⊥， 即11C ED ∠为所求二面角的平面角，……………8分由11112PC PB BC ===得到11PD =， 由1111112A B B C C A ===得到11A D = 又1PD ⊥平面111A B C ，111PD A D ∴⊥，12D E ∴==，11111tan C D C ED D E ∠==，所以所求二面角的大小是。

某某省某某市2010年高三年级教学质量监测（二）数学试题（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的某某、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上． 2．选择答案用2B 铅笔在答题卡上选涂，非选择题答案用黑色或蓝色笔工整书写在答题纸上，答在试卷上无效．3．考试结束后，考生将答题卡和答题纸一并交回．13V Sh =锥体锥体的底面积为S ，高为h参考公式：回归直线方程：y=a ＋bx ，其中x b y axn x yx n yx b n i i ni ii ˆˆ,1221-=--=∑∑==．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合A={R x x x ∈<-,012}，集合B 满足A ∩B=A ∪B ，则为（ ）A ．（一1，1）B ．（一∞，一1]∪[1，+∞）C ．（1，+∞）D ．（一∞，一1）∪（1，+∞） 2．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若am 2<bm 2，则a<6”的逆命题是真命题B ．命题“0,2>-∈∃x x R x ”的否定是“x x R x -∈∀2,≤0” C ．命题“p V q ”为真命题，则命题“P ”和命题“q ”均为真命题 D ．已知R x ∈，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件 3．已知||||1,||3a b a b ==+=，则向量a b 与的夹角为 （ ）A ．3π B ．23π C ．4π D ．34π 4．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若βαββα⊥⊥⊥=⋂⊥n n m n m a 或则,,,B ．若m 不垂直于α理，则m 不可能垂直于α内的无数条直线C ．若n m a ,=⋂β∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥βD ．若βα⊥，m ∥n ，β⊥n ，m ∥α5．实验测得四组数据为（1．5，2）、（2．5，4）、（3，3．5）、（4，5．5），则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）A ．1321317+=x y B ．1321317+-=x yC ．1311317+=x yD ．1311317--=x y6．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上的一点，且21PF F ∠=9021PF PF 的值为（ ）A ．21 B ．1C ．2D ．47．如图所示，某几何体的主视图、左视图均是等腰三角形，俯视图是正方形，则该几何体的全面 积（单位：cm 3）为 （ ） A ．443+B ．12C ．483+D ．208．若不等式11111271()24264n n N +-++++>∈ 成立，则n 的最小值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．已知],0(π∈x ，关于x 的方程2sin a x =+)3(π有两个不同的实数解，则实数a 的取值X围为（ ）A ．[－3，2]B ．[3，2]C ．（3，2]D ．（3，2）10．右图是输出某个有限数列各项的程序框图，则该 框图所输出的最后一个数据是 （ ） A ．151 B ．1101C ．197D ．19911．在R 上定义运算：a b ad bc c d ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若不等式1211x a a x --⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭对任意实数x 成立，则实数a 的最 大值为 （ ）A ．12-B ．32-C ．12 D ．3212．已知实数b a ,满足10<<<a b ，则下列关系式中可能成立的有 （ ）①ba32=②log 2a =log 3b ③22b a =A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（填空题）二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，反答案填在答题纸上） 13．在复平面内，复数2(1)1z i =++对应的点位于复平面的第 象限.14．已知圆22:2410C x y x y ++++=，则过圆心C 且与原点之间距离最大的直线方程是 .15．若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值X 围是 .16．我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy 中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A （-3，4），且其法向量为(1,2)n =-的直线方程为1(3)(2)(4)0x x y ++-⨯-=，化简得2110x y -+=. 类比上述方法，在空间坐标系O xyz -中，经过点A （1，2，3），且其法向量为(1,2,1)n =--的平面方程为. 三、解答题（共6道小题，满分70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos 0b c A a C --=.（1）求角A 的大小；（2）若4ABC a S ∆==，试判断ABC ∆的形状，并说明理由.18．（本小题满分12分） 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BB 1和DD 1的中点. （1）求证：平面B 1FC//平面ADE ；（2）试在棱DC 上取一点M ，使1D M ⊥平面ADE ；（3）设正方体的棱长为1，求四面体A 1—FEA 的体积. 19．（本小题满分12分） 某就观众对2010年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如喜爱程度 喜欢 一般 不喜欢 人数560240200（1）现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n 的样本，已知从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5人，则n 的值为多少？（2）在（1）的条件下，若抽取到的5名不喜欢小品的观众中有2名为女性，现将抽取到的5名不喜欢小品的观众看成一个总体 ，从中任选两名观众，求至少有一名为女性观众的概率.20．（本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈（1）求()f x 的单调区间； （2）若1,0a b =≠且，函数31()3g x bx bx =-，若对任意的1(1,2)x ∈，总存在2(1,2)x ∈，使12()()f x g x =，某某数b 的取值X 围.21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率22e =，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭圆的上顶点，且满足2 1.MF FB ⋅=（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为PQM ∆的垂心. 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P ． （I ）求证：．AD ∥EC ；（Ⅱ）若AD 是⊙O 2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD 的长．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲已知直线l 的参数方程为：ty t x 32=+=（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：12cos 2=θρ．（1）求曲线C 的普通方程；（2）求直线l 被曲线C 截得的弦长．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数)51(log )(2a x x x f --+-=．（I ）当a =2时，求函数)(x f 的最小值；（Ⅱ）当函数)(x f 的定义域为R 时，某某数a 的取值X 围．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 1—5BBACA 6—10CBBDD 11—12DC 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．一14．250x y ++= 15．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．220x y z +--= 三、解答题 17．（1）解法一：(2)cos cos 0b c A a C --=由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C --= 2分 2sin cos sin()0,sin (2cos 1)0B A A C B A ∴-+=-=0B π<< 1sin 0,cos 2B A ∴≠= 4分 0,3A A ππ<<∴=（法二）(2)cos cos 0b c A a C --=由余弦定理，得222222(2)022b c a a b c b c a bc ab+-+--⋅-⋅= 2分整理，得222,b c a bc +-= 4分2221cos 22b c a A bc +-∴==0,3A A ππ<<∴=（2）1sin 24ABC S bc A ∆==，即sin 34bc π==3bc ∴=① 7分2222cos ,a b c bc A =+-226b c ∴+=② 9分由①②得3b c ==ABC ∴∆为等边三角形 12分18．（1）证明：E 、F 分别为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱BB 1和DD 1中点.11//DF B E ∴E 且DF=B ∴四边形DFB 1E 为平行四边形，即FB 1//DE ， 由11//AD B C 2分又1111,AD DE D B C B F B ⋂=⋂=∴平面B 1FC//平面ADE. 4分（2）证明：取DC 中点M ，连接D 1M ， 由正方体性质可知，111D M B C ⊥， 且111DD M C D F ∆≅∆ 5分 所以111,D C F DD M ∠=∠又0111190D C F D FC ∠+∠= 所以0111190D D M D FC ∠+∠=所以11D M FC ⊥ 6分又1111FC B C C ⋂=1D M ∴⊥平面B 1FC 1又由（1）知平面B 1FC 1//平面ADE. 所以1D M ⊥平面ADE. 8分（3）方法一：由正方体性质有点F 到棱AA 1的距离及点E 到侧面A 1ADD 1的距离都是棱长1 9分1111122AA F S AA ∆∴=⋅⋅=111111326A AEF E AA F V V --∴==⋅⋅= 12分方法二：取EF 中点O 1，把四面体分割成两部分F —AA 1O 1，E —AA 1O 111111E AA F F AA O E AA O V V V ---=+ 10分E 、F 分 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱BB 1和DD 1中点，由正方体性质有，O 1为正方体的中心.EF ∴⊥平面AA 1O ，11113E AAF AA O V S EF -∆=⋅O 1到AA 1的距离h '为面对角线的一半，111112212224AA O S AA h ∆'=⋅⋅=⋅⋅= 11111212336E AAF AA O V S EF -∆=⋅== 12分19．解：（1）采有分层抽样的方法，样本容量与总体容量的比为:1000n 2分则不喜爱小品观众应抽取20051000n⨯=人 25.n ∴= 5分（2）由题意得，女性观众抽取2人，男性观众抽取3人， 设女性观众为12,a a ，男性观众为123,,b b b则从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众有10种可能：1211121321(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a b 2223121323(,),(,),(,),(,),(,),a b a b b b b b b b 8分其中抽取两名观众中至少有一名为女性观众有7种可能：1211121321(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a b 2223(,),(,),a b a b 10分所以从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众，至少有一名为女性观众的概率为710……12分20．（1）()ln f x x ax =-，0x ∴>，即函数()f x 的定义域为（0，+∞）∴当0a ≤时，()f x 在（0，+∞）上是增函数 2分当110axa a x x->-=时,f(x)=1()0,f x a '>则1-ax>0,ax<1,x<1()0,f x a'<则1-ax<0,ax>1,x>即当0a >时1()(0,)f x a在上是增函数，在1(,)a+∞上是减函数. 4分（2）设()f x 的值域为A ，()g x 的值域为B ，则由已知，对于任意的1(1,2)x ∈， 总存在2(1,2)x ∈，使12()(),f x g x A B =⊆得 6分由（1）知1,()(1,)a f x =+∞时在上是减函数，()(1,2)f x x ∴∈在上单调递减，()f x ∴的值域为(ln 22,1)A =-- 8分 2()(1)(1)g x bx b b x x '=-=-+(1)0,()b g x ∴<当时在（1，2）上是减函数，此时，()g x 的值域为22(,)33B b b =-为满足2,013A B b ⊆-≥>-又 2ln 2 2.3b ∴≤- 即3ln 2 3.2b ≤- 10分（2）当0b >时，()g x 在（1，2）上是单调递增函数，此时，()g x 的值域为22,33B b b ⎛⎫=-⎪⎝⎭为满足2,0 1.3A B b ⊆≥>-又2ln 223b ∴-≤-33(ln 22)3ln 2,22b ∴≥--=-综上可知b 的取值X 围是33,ln 233ln 2,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭12分 21．（1）根据题意得，(,0),(,0),(,0),(0,)F c A a B a M b - (,),(,0)MF c b FB a c ∴=-=-21MF FB ac c ∴⋅=-= 2分又2c e a ==a ∴=221c -=2221,2,1c a b ∴===∴椭圆C 的方程为22 1.2x y += 4分 （2）假设存在直线l 满足条件，使F 是三角形MPQ 的垂心.因为1,MF K FM l =-⊥且，所以11,k =所以设PQ 直线y x m =+， 且设1122(,),(),P x y Q x y由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消22,34220y x mx m ++-=得 2221612(22)0,3m m m ∆=--><21212422,.33m m x x x x -+=-= 212121212()()()y y x m x m x x m x x m =++=+++22222242.333m m m m --=-+= 8分又F 为MPQ ∆的垂心，,0PF MQ PF MQ ∴⊥∴⋅=又1122(1,),(,1)PF x y MQ x y --=-211212211212PF MQ x y x x y y x x m x x y y ∴⋅=+--=++--2242220333m m m m --=-+--= 24033m m ∴--+=， 24340,,13m m m m ∴+-==-= 10分 经检验满足23m < 11分 ∴存在满足条件直线l 方程为：10,3340x y x y -+=--= 12分22．（1）连接AB ，1AC O 是的切线，BAC D ∴∠=∠又BAC E ∠=∠，D E ∴∠=∠//?£AD EC ∴ 5分（2）方法一：1PA O 是的切线，PD 是1O 的割线，2,PA PB PD ∴=⋅26(9)PB PB ∴=⋅+3PB ∴= 7分又2O 中由相交弦定理， 得PA PC BP PE ⋅=⋅4PE ∴= 8分2AD O 是的切线，DE 是2O 的割线，2916AD DB DE ∴=⋅=⨯，12AD ∴= 10分方法二：设,BP x PE y ==6,2PA PC ==，∴由相交弦定理得,12PA PC BP PE xy ⋅=⋅=①//,DP AP AD EC PE PC ∴= 962x y +∴=② 由①②可得，31241x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或（舍去）， 916.DE x y ∴=++= 8分2AD O 是的切线，DE 是2O 的割线，2916AD DB DE ∴=⋅=⨯，12AD ∴= 10分23．（1）由曲线2222:cos 2(cos sin )1,C ρθρθθ=-= 得222cos 2sin )1,ρθρθ-=化成普通方程 221x y -=① 5分（2）方法一：把直线参数方程化为标准参数方程1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数） ② 把②代入①得：2212122t t ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理，得2460t t --= 设其两根为12,t t ，则12124,6t t t t +=⋅=- 8分 从而弦长为22121212||()444(6)40210.t t t t t t -=+-=--== 10分 方法二：把直线l 的参数方程化为普通方程为 3(2)y x =-，代入221,x y -=得2212130x x -+= 6分设l 与C 交于1222(,),(,)A x x B x y 则1212136,2x x x x +=⋅= 8分 221212||13()42626210.AB x x x x ∴=++-=-= 10分24．函数的定义域满足|1||5|0x x a -+-->，即|1||5|,x x a -+-> 设()|1||5|g x x x =-+-则26(5)()|1||5|4(15)62(1)x x g x x x x x x -≥⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≤⎩ 3分 min min 2()4,()log (42) 1.g x f x ==-= 5分（2）由（1）知，()|1||5|g x x x =-+-的最小值为4. |1||5|0x x a -+-->，4,a a ∴<∴的取值X 围是（-∞，4） 10分。

A B C D2010年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）一、选择题：1．设i 是虚数单位，则复数2i 1i +-()()在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 同真同假 3．在△ABC中，若sin :sin :sin 4A B C =ABC ∆是A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4．直线:10l mx y m -+-=与圆C ：2215x y +-=()的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定5．如图1，是一个空间几何体的三视图，其主(正)视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左(侧)视图是一个两直角1的直角三角形，则此几何体的体积为 AB ．1 CD ．26．设0a >，0b >，则以下不等式中，不恒成立的是A ．114a b a b ++≥()()B ．22b ba a+>+ C ．111a b a ba b a b+<+++++D ．a b b a a b a b ≥7．已知a 是实数，则函数sin f x ax =()的导函数的图象可能是8．将长度为1的线段随机折成三段，则三段能构成三角形的概率是主(正)视图左(侧)视图俯视图图1A ．12B ．13C ．14D ．15二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．设全集}}{}{{23 23 2 3 5U U a a a A A =+-==，，，，，ð，则a 的值为 ．10．在8x ()的展开式中，62x y 项的系数是 ．11．已知双曲线222210x y a b a b -=>>()的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为 ．12．给出以下一个算法的程序框图(图2)，如果sin 2a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则输出的结果是 ．（注：框图中的的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）13．设P 是边长为a 的正ABC ∆内的一点，P 点到三边的距离分别为123h h h 、、，则123h h h a =++；类比到空间，设P 是棱长为a 的空间正四面体ABCD 内的一点，则P 点到四个面的距离之和1234h h h h +++=． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若圆C 的极坐标方程为24cos 103πρρθ---=()，若以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy 中，则在直角坐标系中，圆心C 的直角坐标是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径作半圆交AB 于D ，过D 作半圆的切线交AC 于E ，若2AD =，4DB =，则DE = ．EABCD图3图2岁图4三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知()cos m x x =，()cos,cos n x x = ，设()f x m n =⋅ ．（1）求函数()f x 的最小正周期及其单调递增区间；（2）若b c 、分别是锐角ABC ∆的内角B C 、的对边，且b c ⋅=()12f A =，试求ABC ∆的面积S ．17．（本小题满分12分）上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师年龄情况如下表所示．（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（图4），再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在[)30,35岁的人数（结果取整数）；（2）在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工作，记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．18．如图5，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=︒．（1）求证：AG BD ⊥；（2）求二面角P AG B --的平面角的余弦值．19．（本小题满分14分）设函数()()2ln 21f x x a x =-+(1,12x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦，0a >)． （1）若函数()f x 在其定义域内是减函数，求a 的取值范围；（2）函数()f x 是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值时x 的值，并证明你的结论．20．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e =．（1）求椭圆E 的方程；（2）经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：MF AB ⊥；（3） 椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线MA ''、MB''（A '、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出抛物线C 与切线MA''、MB ''所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．21．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且n a 是n S 和2的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当1i j n ≤≤≤（,,i j n 均为正整数）时，求i a 和j a 的所有可能的乘积i j a a 之和n T ； （3）设212222*n n M n N T T T =+++∈() ，求证：1324M ≤<．OQ DBCAGP ．图5图62010年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9． 2 ． 10．56． 11．3． 12． 1.1log 0.9(填b 也算对)．13．3． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）()2cos cos f x m n x x x =⋅=⋅1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭ . ……………3分（1）()x f 的最小正周期是π. …………4分 由 222262k x k πππππ-≤+≤+( Z k ∈)，解得 36k x k ππππ-≤≤+(Z k ∈).所以()x f 的单调递增区间是 ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈). …………7分（2）∵ ()21=A f ， 即212162sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ， ∴ 062sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πA ， ∵ A B C ∆是锐角三角形. ∴02A π<<，∴72666A πππ<+<， ∴ ππ=+62A ，∴125π=A . …………9分 而 4266sin 4cos 6cos 4sin 64sin 125sin+=⋅+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+=πππππππ， ………11分∴111sin 222S b c A =⋅⋅=⋅= . …………12分 17. (本小题满分12分)解：（1）①处填20，②处填0.35； 507个画师中年龄在[)35,30的人数为17750735.0≈⨯人……………3分补全频率分布直方图如图所示.…………6分（2）用分层抽样的方法，从中选 取20人,则其中“年龄低于30岁” 的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人。

2010年大连市高三第二次模考试试卷参考答案与评分标准数学（理科）一、选择题1.D ；2.D ；3.B ；4.C ；5.A;6.B ；7.A ；8.A ；9.D ；10.C; 11.C ；12.B ．二、填空题13.1-； 14．:1π；15. 45； 16．[1,3]- 三、解答题17．解：（Ⅰ）由图得，成绩在]110,100[的人数为4人，所以在)100,90[的人为16人，所以在)100,90[的频率为32.0，在)90,80[的频率为38.0.………2分 补全的频率分布直方图如图所示. ………4分（Ⅱ）由题得：成绩在)80,70[的有8人，在)100,90[的为16人.所以10||>-n m 的概率为693222411618=C C C . ………6分(Ⅲ)的分布列为:……………9分随机变量X 服从的是M=50,N=20,n=4的超几何分布，所以期望5850204)(=⨯=X E .…………12分 18.（I ）m •n =2cos 2cos 444x x x +cos 122x x++ =2sin()126x π++. 0.038∵m •n =2, 学科∴1sin()262xπ+=.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=12.┉┉┉┉┉┉┉6分（II ）∵（2a-c ）cosB=bcosC,由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=,∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=,∴2sin cos sin()A B B C =+.∵A B C π++=,∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠, ∴1cos ,23B B π==,┉┉┉┉┉┉8分 ∴203A π<<.∴1,sin()16262226AAππππ<+<<+<┉┉┉┉┉┉10分又∵f (x)=m •n ＝2sin()126x π++，∴f(A)=2sin()126Aπ++故f(A)的取值范围是（2,3）┉┉┉┉┉┉12分19．解法一：(Ⅰ)取AD 的中点G ，连结PG GB BD 、、．PA PD =， PG AD ∴⊥………2分AB AD =，且60DAB ∠=︒，ABD ∴∆是正三角形，AD BG ⊥,又PG BG G =,AD ∴⊥平面PGB ．AD PB ∴⊥． ……………………4分(Ⅱ)取PB 的中点F ，连结MF CF ,.M F 、分别为PA PB 、的中点， //MF AB ∴，且12MF AB =．∵四边形ABCD 是直角梯形，//AB CD 且2AB CD =， A M P BD C G F K H//MF CD ∴且MF CD =． ………………………6分 ∴四边形CDMF 是平行四边形．//DM CF ∴．CF ⊂平面PCB ，DM ⊄平面PCB//DM ∴平面PCB ． ………………………8分 (Ⅲ)延长AD 与BC 交点为K ，连结PK .过G 作GH PK ⊥于一定H ，连结BH ，则BH PK ⊥.BHG ∴∠为平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的平面角. …………………10分 设CD a =,则2,2ADa KD a ==,10PK ∴==.又因为,3PK GH PG GKGK a ⋅=⋅=,3,10GH a a GH ⋅=⋅∴=tan 3BG GHB GH ∴∠=== ∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为arctan3. ………………12分 解法二：(Ⅰ)同解法1(Ⅱ) ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，又PG AD ⊥， PG ∴⊥底面ABCD ．PG BG ∴⊥． 学科∴直线GA GB GP 、、两两互相垂直，故以G 为原点,直线GA GB GP 、、所在直线为x 轴、y 轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．设PG a =，则可求得 (0,0,),(,0,0),,0),(,0,0)P a A a B D a -， )0,23,23(a a C -． 3(,,0)2BC a ∴=-．设000(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0n BC ⋅=且0n PB ⋅=． 学,科,网Z,X,X,K]000030,20.ax az ⎧--=⎪∴-=0000,.x y z ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩取0y =(1,3,3)n =-． ……………………………………………6分 M 是AP 的中点， (,0,)22a a M ∴． 3(,0,)(,0,0)(,0,)2222a a a DM a a ∴=--=．3(,0,)(022a DM n a ⋅=⋅-=． DM n ∴⊥．DM ⊄平面PCB ，//DM ∴平面PCB ． ………………………8分 Z,xx,k (Ⅲ)又平面PAD 的法向量1,0)n GB ==，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ,则11cos 131n n n n θ⋅===+⋅,…………10分 ∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为.…………12分 20．解：（Ⅰ）因为圆22(1)1x y -+=的圆心是(1,0)，所以椭圆22221(0)x y ab a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，∴椭圆的离心率是2，2c a ∴= 222,1a b ∴==，所以椭圆方程为2212x y +=。