专题05 二次函数与实际应用（图形动态问题）1．（2021—2022江苏苏州九年级月考）如图所示，已知ABC 中，12BC =，BC 边上的高6h =，D 为BC 上一点，//EF BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，设点E 到边BC 的距离为x ，则DEF 的面积y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】可过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，所以根据相似三角形的性质可求出EF ，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：如图，过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，∵//EF BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF h x BC h -=，即6126EF x -=， ∴()26EF x =-，∴y =12×2（6-x ）x =-x 2+6x （0＜x ＜6），∴该函数图象是抛物线y =-x 2+6x （0＜x ＜6）的部分，故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象，解题的关键是综合运用相关知识解题．2．（2021·山东邹城·中考二模）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是射线AB 上的动点（点E 不与点A ，点B 重合），点F 在线段DA 的延长线上，且AF AE =，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒得到EG ，连接,,EF FB BG ．设AE x =，四边形EFBG 的面积为y ，下列图象能正确反映出y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．【详解】解：∵四边形ABCD 是边长为1的正方形，∴∠DAB =90°，AD =AB ，在△ADE 和△ABF 中，AD AB DAE BAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ABF （SAS ），∴∠ADE =∠ABF ，DE =BF ，∵∠DEG =90°，∴∠ADE +∠AED =∠AED +∠BEG ，∴∠BEG =∠ADE ，∴∠BEG =∠ABF ，∴EG //BF ，∵DE =BF ，DE =GE ，∴EG =BF ，∴四边形BFEG 是平行四边形，∴四边形EFBG 的面积=2△BEF 的面积=2⨯12BE •AF ，设AE =x ，四边形EFBG 的面积为y ，当0≤x ≤1时，y =（1-x ）•x =-x 2+x ；当x ＞1时，y =（x -1）•x =x 2-x ；综上可知，当0≤x ≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x ＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，符合上述特征的只有B ，故选：B ．【点睛】本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．3．（2021·山东威海·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，2cm AB =，60D ∠=︒，点P ，Q 同时从点A 出发，点P 以1cm /s 的速度沿A ﹣C ﹣D 的方向运动，点Q 以2cm /s 的速度沿A﹣B ﹣C ﹣D 的方向运动，当其中一点到达D 点时，两点停止运动．设运动时间为x （s ），APQ的面积为y （cm 2），则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先证明∠CAB =∠ACB =∠ACD =60°，再分0≤x ≤1、1＜x ≤2、2＜x ≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠D =60°，∴△ABC ，ACD 都是等边三角形，∴∠CAB =∠ACB =∠ACD =60°．如图1，当0≤x ≤1时，AQ =2x ，AP =x ，作PE ⊥AB 于E ，∴sin PE AP PAE x =∠=， ∴21332222y x x =⨯=， 故D 选项不正确；如图2，当1＜x ≤2时，CP =2-x ，CQ =4-2x ，BQ =2x -2，作PF ⊥BC 与F ，作QH ⊥AB 于H ，∴)sin 2PF CP PCF x =∠=-，))sin 221QH BQ B x x =∠=-=-，∴)()()22113221422222y x x x x =-⨯--⨯--=， 故B 选项不正确；当2＜x ≤3时，CP =x -2，CQ =2x -4，∴PQ =x -2，作AG ⊥CD 于G ，∴sin 2AG AC ACD =∠==∴()132322y x x =⨯-= 故C 不正确．故选：A【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键．4．（2021—2022福建厦门市九年级期中）如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系xOy 中，A ，(0,2)C ．抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点B ，C ，顶点为D ．将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜360°），得到矩形OA 'B 'C '，记A 'C '的中点E ，连结DE ，线段DE 的长度最大值为 ___．【答案】2##【分析】由A 0)，(0,2)C ，得B ，2)，用待定系数法可得抛物线解析式为22y x =-++，即得顶点D 5)，可得27OD ，根据E 为A C ''的中点，得11222OE A C AC ''===，当D 、O 、E 不构成三角形，即E 在DO 的延长线上时，DE 的长度最大，此时2DE OD OE =+=． 【详解】 解：如图：四边形OABC 是矩形，A 0)，(0,2)C ，B ∴2)，4AC =，将B ，2)，(0,2)C 代入2y x bx c =-++得：2122c c ⎧=-++⎪⎨=⎪⎩，解得2b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴抛物线解析式为22y x =-++，∴顶点D 5)，OD ∴=E 为A C ''的中点，11222OE A C AC ''∴===，在DOE ∆中，DE OD OE <+，∴当D 、O 、E 构成三角形时，2DE <，当D 、O 、E 不构成三角形，即E 在DO 的延长线上时，DE 的长度最大，如图：此时2DE OD OE =+=，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握E 在DO 的延长线上时，DE 的长度最大．5．（2021·浙江·温州市实验中学九年级月考）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝10，CD ＝P 从点A 沿着A －B －C 运动，同时点Q 从点D 沿着D －A 运动，它们同时到达终点，设点P 运动的路程为x ，AQ 的长度为y ，且2163y x =-+． （1）求AD ，BC 的长和四边形ABCD 的面积．（2）连接PQ ，设△APQ 的面积为S ，在P ，Q 的运动过程中，S 是否存在最大值，若存在，求出S 的最大值；若不存在，请说明理由．（3）当PQ与四边形ABCD其中一边垂直时，求所有满足要求的x的值．【答案】（1）120；（2）存在，最大值为1123；（3）24043x=或487x=或12x=【分析】（1）当x＝0时，当y＝0时，分别求解得出对应线段的长度，过点B作BM⊥AD，过点D作DN⊥BC，求出高，即可求解；（2）分情况讨论（点P在线段AB上、当P在BC上时），得出△APQ的面积的函数表达式，根据函数性质求解即可；（3）分三种情况讨论，利用三角形相似的性质求解即可．【详解】解（1）：由题意：∵P，Q两点同时到达终点，所以，当x＝0时，y＝16，即AD＝16；当y＝0时，x＝24，所以BC＝14过点B作BM⊥AD，过点D作DN⊥BC，如下图：又∵AD∥BC，可知四边形BMDN为矩形设AM＝m，∴MD＝16－m，即BN＝16－m，∴CN＝m－2，根据BM＝DN，可得：102－m2＝2－（m－2）2，解得m＝6．即BM＝8，4CN=∴四边形ABCD 的面积为：（16＋14）×8÷2＝120（2）当点P 在线段AB 上时，010x <≤，作PE AD ⊥，如下图，则//PE BM ，∴APE ABM △∽△ ∴AP PE AE AB BM AM ==，即45PE x =，35AE x = 21124432(16)2235155APQ S AQ PE x x x x =⨯=-+⨯=-+△ 对称轴为12x =，0a <又∵010x <≤∴10x =时，APQ S 最大，为1123当P 在BC 上时，1024x ≤≤， 186423APQ S AQ BM x =⨯=-+△ 0k <，APQ S 随x 的增大而减小，综上所述，APQ S 的最大值为1123（3）当PQ AB ⊥时，如下图：∴APQ AMB △∽△ ∴AP AQ AM AB =，即2163610x x -+=，解得487x = 当PQ BC ⊥时，可得BP MQ =，即2101663x x -=-+- 解得12x =当PQ CD ⊥时，如下图：∵//AD BC ，∴C QDH ∠=∠又∵90H CND PEQ ∠=∠=∠=︒，PQE DQH ∠=∠∴PEQ DHQ CND △∽△∽△ ∴PE CN EQ DN= 由（1）（2）得45PE x =，35AE x =，4CN =，8DN = ∴231635EQ x x =-+- ∴4452381635x x x =-+-，解得24043x = 综上所得24043x =或487x =或12x = 【点睛】 本题考查了一次函数图象和性质，二次函数最值问题，三角形面积，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，是一道关于四边形的综合题，解题关键是熟练掌握并运用二次函数性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，并应用数形结合思想、方程思想和分类讨论思想解决问题．6．（2021·吉林·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，AD =．动点P 从点A 出发沿折线AB BC -向终点C 运动，在边AB 上以1cm/s 的速度运动；在边BC的速度运动，过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为()s x ，DPQ 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．（1）当点P 与点A 重合时，直接写出DQ 的长；（2）当点P 在边BC 上运动时，直接写出BP 的长（用含x 的代数式表示）； （3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】（1）1；（2）)3PB x =-；（3）222)3)(34)x x y x x x ≤≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩ 【分析】（1）在Rt PDQ中，由tan 60ADDQ︒== （2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=，则点P 在BC上时)3PB x -．（3）分类讨论①：点P 在AB 上，点Q 在CD 上；②：点P 在AB 上，点Q 在DC 延长线上；③：点P 在BC 上． 【详解】 解：（1）如图，在Rt PDQ中，AD =60PQD ∠=︒，∴tan 60ADDQ︒==∴1DQ AD ==． （2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=， ∴点P 在BC上时：)3PB x -．（3）当03x ≤≤时，点P 在AB 上，作PM CD ⊥于点M ，PQ 交AB 于点E ，作EN CD ⊥于点N ，同（1）可得1MQ AD ==． ∴1DQ DM MQ AP MQ x =+=+=+， 当13x +=时2x =，①∴02x ≤≤时，点Q 在DC 上，∵tan BC BDC CD ∠==∴30DBC ∠=︒， ∵60PQD ∠=︒， ∴90DEQ ∠=°． ∵1sin 302EQ DQ ︒==， ∴1122x EQ DQ +==，∵sin 60EN EQ ︒==，∴)1EN x ==+，∴()))21111122y DQ EN x x x =⋅=++=+)202x x =≤≤．②当23x <≤时，点Q 在DC 延长线上，PQ 交BC 于点F ，如图， ∵132CQ DQ DC x x =-=+-=-，tan 60CFCQ︒=，∴)tan 602CF CQ x =⋅︒-，∴211(2)2)22CQF S CQ CF x x =⋅=--=-+△∴22DEQ CQF y S S =-=+-+⎝△△23)x x x =<≤．③当34x <≤时，点P 在BC 上，如图，∵3)CP CB BP x =--=，∴11(34)22y DC CP x x =⋅=⨯=<≤．综上所述：222)3)(34)x x y x x x x ≤≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩． 【点睛】题目主要考察运用三角函数解三角形求出相应边的长度，然后利用三角形面积公式确定函数解析式，同时也对二次函数在几何动点问题进行考察，难点是在进行分类讨论时，作出对应图形并作出相应辅助线，同时确定相应的自变量范围．7．（2021·湖北天门·中考真题）如图1，已知45RPQ ∠=︒，ABC 中90ACB ∠=︒，动点P 从点A出发，以的速度在线段AC 上向点C 运动，,PQ PR 分别与射线AB 交于E ，F 两点，且PE AB ⊥，当点P 与点C 重合时停止运动，如图2，设点P 的运动时间为s x ，RPQ ∠与ABC 的重叠部分面积为2cm y ，y 与x 的函数关系由15(0)C x <≤和2()5C x n <≤两段不同的图象组成．（1）填空：①当5s x =时，EF =______cm ； ②sin A =______；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当236cm y ≥时，请直接写出．．．．x 的取值范围．【答案】（1）①10；（2）222(05)34360900(56)x x y x x x ⎧<≤=⎨-+-<≤⎩；（3）6x ≤≤． 【分析】（1）①先根据等腰直角三角形的判定与性质可得EF PE =，再根据5x =时，50y =即可得； ②先根据运动速度和时间求出AP 的长，再根据正弦三角函数的定义即可得；（2）先求出当点P 与点C 重合时，n 的值，再分05x <≤和5x n <≤两种情况，解直角三角形求出PE 的长，然后利用三角形的面积公式即可得；（3）分05x <≤和56x <≤两种情况，分别利用二次函数的性质即可得． 【详解】解：（1）①,45PE AB RPQ ∠=︒⊥，Rt EFP ∴是等腰直角三角形， EF PE ∴=，由图可知，当5x =时，2115022y EF PE EF =⋅==， 解得10EF =或10EF =-（不符题意，舍去）， 故答案为：10；②由题意得：当5x =时，5AP ==则sinPE EF A AP AP ==（2）由函数图象可知，当5x =时，点F 与点B 重合，如图所示：10cm AP PE EF ===，20cm AE ∴=，30cm AB AE BE AE EF ∴=+=+=，在Rt ABC 中，sin BC AB A =⋅=，AC ∴=，则当点P 与点C 重合时，6()n s ==，①当05x <≤时，cm AP =，sin 2cm EF PE AP A x ==⋅=， 则2211222RtEFPy S EF PE EF x ==⋅==； ②当56x <≤时，如图，设PR 交BC 于点N ，过点F 作FM AC ⊥，交AC 延长线于点M ，连接BP ，2cm AP =，sin 2cm EF PE AP A x ==⋅=，4cm AE x ∴==，)cm CP AC AP =-=， (304)cm BE AB AE x ∴=-=-，6cm AF EF AE x =+=，在Rt AFM △中，sin cm FM AF A x =⋅=，cm AM ∴，cm PM AM AP ∴=-=， ,90FM AC ACB ∠=︒⊥，//BC FM ∴， PCN PMF ∴~，CN CP FM PM ∴==，解得(cm)CN =，BN BC CN ∴=-=-，则1122BNP BEPy SSBN CP BE PE =+=⋅+⋅，11)(304)222x x =-+-⋅， 234360900x x =-+-，综上，222(05)34360900(56)x x y x x x ⎧<≤=⎨-+-<≤⎩； （3）①当05x <≤时，22y x =，令2236x =，解得x =x =-， 在05x <≤内，y 随x 的增大而增大，∴当36y ≥时，5x ≤；②当56x <≤时，234360900x x y =-+-， 此二次函数的对称轴为3609034217x =-=-⨯，则由二次函数的性质可知，当90517x <≤时，y 随x 的增大而增大；当90617x <≤时，y 随x 的增大而减小，当5x =时，2345360590050y -⨯+⨯-==， 当6x =时，234636069003650y -⨯+⨯-=<=， 则当6x =时，y 取得最小值，最小值为36， 即在56x<≤内，都有36y ≥，综上，当236cm y ≥时，x 的取值范围为6x ≤． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．8．（2021·内蒙古·包头市第四十八中学九年级月考）在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm /s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm /s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：BQ ＝ ，PB ＝ （用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于26cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在t 的值，使△BPQ 的面积最大，若存在，请直接写出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2t ，(5)t -；（2）2；（3）存在．1t =时，使得五边形APQCD 的面积等于26 2cm ；（4）存在， 52t =时，使得PBQ ∆的面积最大，等于2542cm ．【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可；（2）利用勾股定理得到方程222(5)(2)5t t -+=，求解即可得到结果；（3）根据长方形ABCD 的面积减去PBQ ∆的面积等于五边形APQCD 的面积，列出方程，然后求解即可得到结果；（4）根据（3）可知PBQ ∆的面积为252524t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，据此求解即可．【详解】解：（1）由题意：2BQ t = cm ，(5)PB t cm =-， 故答案为2t ，(5)t -．（2）由题意得：222(5)(2)5t t -+=， 解得10t =（不合题意，舍去），22t =， ∴当t=2秒时，PQ 的长度等于5cm ． （3）存在．理由如下：长方形ABCD 的面积是：25630()cm ⨯=，使得五边形APQCD 的面积等于26 2cm ， 则PBQ ∆的面积为230264()cm -=， 即有：11(5)2422PB BQ t t =-=， 解得14t =，21t =．当4t =时，28BQ t BC ==>，不合题意，舍去， 即当1t =时，使得五边形APQCD 的面积等于262cm ． （4）存在，理由如下：由（3）可知PBQ ∆的面积为2211525(5)252224PB BQ t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，即当52t =时，使得PBQ ∆的面积最大，等于2542cm ．【点睛】本题考查四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积，最值等知识，利用参数构建方程解决问题是解题的关键．9．（2021·广东佛山·九年级月考）如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90º，AC =4cm ，BC =3cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /s ；点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm /s ；连结PQ ．若设运动时间为t （s ）（0<t <2），解答下列问题： （1）当t 为何值时？PQ //BC ？（2）设△APQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系？（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的周长和面积同时平分？若存在求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（4）如图2，连结PC ，并把△PQC 沿AC 翻折，得到四边形PQP 'C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP 'C 为菱形？若存在求出此时t 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）t =107；（2）y =-235t +3t （0<t <2）；（3）不存在，理由见解析；（4）存在，t =109【分析】（1）当PQ ∥BC 时，我们可得出△APQ 和△ABC 相似，那么可得出关于AP ，AB ，AQ ，AC 的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有AC，根据P，Q的速度，可以用时间t表示出AQ，BP的长，而AB可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出AP，那么将这些数值代入比例关系式中，即可得出t的值．（2）过点P作PD⊥AC于D，则有△APD∽△ABC，由相似三角形的性质构建二次函数即可解决问题．（3）如果将△ABC的周长和面积平分，那么AP＋AQ＝BP＋BC＋CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（2）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是△ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．（4）过P作PD⊥AC于点D，若QD=CD，则PQ=PC，四边形PQP'C就为菱形，同（2）的方法求出AD的表达式，再根据QD=CD即可求出t的值．【详解】解：（1）连接PQ，4,3,90,AC BC C==∠=︒5,AB∴==若APAB=AQAC时，PQ//BC，即55t-=24t，∴t=10 7（2）过P作PD⊥AC于点D，则有APAB=PDBC，即55t-=3PD，∴PD=35（5-t）∴y=12·2t·35（5-t）=-235t+3t（0<t<2）（3）若平分周长则有：AP+AQ=12（AB+AC+BC），即：5－t +2t =6， ∴t =1当t =1时，y =3.4；而三角形ABC 的面积为6，显然不存在．（4）过P 作PD ⊥AC 于点D ，若QD =CD ，则PQ =PC ，四边形PQP 'C 就为菱形．同（2）方法可求AD =45（5-t ），所以： 45（5-t ）-2t =4-45（5-t ）； 解之得：t =109． 即t =109时，四边形PQP 'C 为菱形．【点睛】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会由参数构建方程解决问题． 10．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，OAB 是等腰直角三角形，90,OBA BO BA ∠=︒=，顶点()4,0A ，点B 在第一象限，矩形OCDE 的顶点7,02E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第二象限，射线DC 经过点B ．（Ⅰ）如图①，求点B 的坐标；（Ⅰ）将矩形OCDE 沿x 轴向右平移，得到矩形O C D E ''''，点O ，C ，D ，E 的对应点分别为O '，C '，D ，E '，设OO t '=，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积为S ．①如图②，当点E '在x 轴正半轴上，且矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分为四边形时，D E ''与OB 相交于点F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围； ②当5922t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）点B 的坐标为()2,2；（Ⅰ）①21717228S t t =-+-， t 的取值范围是1142t ≤<；②2363816S ≤≤． 【分析】(I )过点B 作BH OA ⊥，垂足为H ，由等腰三角形的“三线合一”性质得到122OH OA ==，再由∠BOH =45°得到△OBH 为等腰直角三角形，进而2BH OH ==，由此求得B 点坐标； (II )①由平移知，四边形O C D E ''''是矩形，得790,2O E D O E OE '''''∠=︒==，进而得到72FE OE t '==-'，再由重叠部分面积OABFOE S S S'=-即可求解；②画出不同情况下重叠部分的图形，分5722t ≤≤和7922t <≤两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t 的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解． 【详解】解：(I )如图，过点B 作BH OA ⊥，垂足为H ．由点()4,0A ，得4OA =． ∵,90BO BA OBA =∠=︒，∴122OH OA ==．又∠BOH =45°，∴△OBH 为等腰直角三角形，∴2BH OH ==． ∴点B 的坐标为()2,2．(II )①由点7,02E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得72OE =．由平移知，四边形O C D E ''''是矩形，得790,2O E D O E OE '''''∠=︒==． ∴72OE OO O E t '''='=--，90FE O ∠='︒．∵BO BA =，90OBA ∠=︒， ∴45BOA BAO ∠=∠=︒． ∴9045OFE BOA ∠=︒-∠='︒ ∴FOE OFE ∠=∠''． ∴72FE OE t '==-'． ∴2117222FOE SOE FE t '⎛⎫=⋅=- ⎪⎝'⎭'． ∴211742222OABFOE S S St '⎛⎫=-=⨯⨯-- ⎪⎝⎭． 整理后得到：21717228S t t =-+-．当'O 与A 重合时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时4OO t '==，当'D 与B 重合时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到'E 与A 点重合，如下图(2)所示：此时''711222t OO DD ===+=， ∴t 的取值范围是1142t ≤<， 故答案为：21717228S t t =-+-，其中：1142t ≤<；②当5722t ≤≤时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积如下图3所示：此时'4AO t =-，∠BAO =45°，'AO F 为等腰直角三角形， ∴''4AO FO t ， ∴22'111''(4)48222AO FSAO FO t t t ， ∴重叠部分面积22'114(48)4422AOBAO FS SSt t t t ， ∴S 是关于t 的二次函数，且对称轴为4t =，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 故将72t =代入， 得到最大值217731()442228S ， 将52t =代入， 得到最小值215523()442228S， 当7922t <≤时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积如下图4所示：此时''4'AO OA OO t FO =-=-=，7'''2OE EE EO t ME =-=-= 'AO F 和'OE M 均为等腰直角三角形， ∴22'111''(4)48222AO FSAO FO t t t ， 22'1171749''()222228OE MSOE ME t t t ， ∴重叠部分面积222''1174915814(48)()222828AOBOE MAO FS SSSt t t t t t ， ∴S 是关于t 的二次函数，且对称轴为154t =，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将154t =代入，得到最大值21515158163()424816S ， 将92t =代入， 得到最小值291598127()22288S ， ∵272388，6331168， ∴S 的最小值为238，最大值为6316， 故答案为：2363816S ≤≤． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论． 11．（2021·安徽·中考一模）如图，直线443y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，过点()40C ，的直线恰好与y 轴交于点B ，点P 为线段AC 上的一动点（点P 与点A ，C 不重合），过点P 作//PQ BC 交AB 于点Q ，点A 关于PQ 的对称点为点D ，连接PD QD BD ，，．（1）当点D 恰好落在BC 上时，求点P 的坐标；（2）设点P 的坐标为()0m ,，若PDQ 和ABC 重叠部分的面积S 与点P 的横坐标m 之间的函数解析式为221(3)326161 4772a m m S m bm m ⎧⎛⎫+-<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++<< ⎪⎪⎝⎭⎩，，其图象如图②所示，请结合图①、②，求出a ，b 的值；（3）当BDQ △为直角三角形时，求出点P 的坐标．【答案】（1）1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）27a =，207b =；（3）点P 的坐标为3,07⎛⎫ ⎪⎝⎭或4,07⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由直线AB 与y 轴交于点B ，即可得出()04B ，，再由()40C ，，易得直线BC 的解析式为4y x =-+．设点P 的坐标为()0x ，，由题意可知4OB OC PQ BC ==，∥，即可求出290APD QPA ∠=∠=︒，所以可知点D 的坐标为()4x x -+，，最后由AP PD =，即可得出34x x +=-+，解x 即可得出点P 的坐标；（2）设直线PQ 的解析式为y x n =-+，即得y x m =-+．联立443y x y x m⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，可求出Q 点坐标为31241277m m -+⎛⎫⎪⎝⎭，．当231m -<≤时，点D 在ABC 内， 即PQDAPQS SS==，即可列出等式，求出a ．再由函数图象可知点3227⎛⎫⎪⎝⎭，在267671m S bm ++=-的图象上，即3261642777b =-⨯++，解出b 即可． （3）由（2）可知312412(04)(3)77m m B D m m Q -+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，，，．由于BQD ∠不可能为90︒，所以分类讨论①当BDQ ∠为直角时，过点Q ，B 作PD 的垂线，分别交PD 及其延长线于点M ，N ，连接BD ．由余角的性质可推出MDQ NBD ∠=∠，即tan tan MDQ NBD ∠=∠，所以MQ NDMD BN=，由题意可知3124124123934(3)17777m m m m MQ m MD m BN m ND m m -+++=-==+-===-+=-，，，，即41217397m m m m+-=+，解出m 即可求出P 点坐标．②当QBD ∠为直角时，即BD QB ⊥，由此可得直线BD 的解析式为344y x =-+，将()3D m m +，代入，即3344m m +=-+，解出m即可求出P 点坐标． 【详解】 （1）对于直线443y x =+，令x =0，则y =4；令y =0，则x =-3． ∴B 点坐标为()04，，A 点坐标为()30-，． 设经过点B 、C 的直线解析式为y kx b =+，则404bk b =⎧⎨=+⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∴设经过点B 、C 的直线解析式为4y x =-+．设点P 的坐标为()0x ，， ∵4OB OC PQ BC ==，∥， ∴45QPA BCO ∠=∠=︒， ∴290APD QPA ∠=∠=︒，∴点D 的坐标为()4x x -+，， ∵AP PD =，∴34x x --=-+（）， 解得12x =， ∴点P 的坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭，； （2）设直线PQ 的解析式为y x n =-+，将点()0P m ，代入得直线PQ 的解析式的得：y x m =-+， 联立443y x y x m ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得31274127m x m y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．∴31241277m m Q -+⎛⎫⎪⎝⎭，．当231m -<≤时，点D 在ABC 内， ∴重叠部分的面积即为PQD △的面积， ∴[]()()221133224122(3)77PQDAPQQ S S SAP y m a m m m +-===⋅=+=-⋅=+， ∴27a =， ∵由函数图象可得，当2m =时，327S =， ∴将3227⎛⎫⎪⎝⎭，代入267671m S bm ++=-，得3261642777b =-⨯++， 解得207b =． （3）由（2）得，312412(04)(3)77m m B D m m Q -+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，，，．分析题目可知BQD ∠不可能为90︒，∴①当BDQ ∠为直角时，过点Q 、B 作PD 的垂线，分别交PD 及其延长线于点M 、N ，连接BD ．∵9090NDB NBD NDB MDQ ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴MDQ NBD ∠=∠， ∴tan tan MDQ NBD ∠=∠，即MQ NDMD BN=， ∵3124124123934(3)17777m m m m MQ m MD m BN m ND m m -+++=-==+-===-+=-，，，，∴41217397m m m m+-=+，解得37m =或3m =-（舍去），∴点P 的坐标为307⎛⎫⎪⎝⎭，； ②当QBD ∠为直角时，即BD QB ⊥，由此可得直线BD 的解析式为344y x =-+，将()3D m m +，代入，得3344m m +=-+，解得：47=m ， ∴407P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 综上，当BDQ △为直角三角形时，点P 的坐标为307⎛⎫ ⎪⎝⎭，或407⎛⎫⎪⎝⎭，． 【点睛】本题为一次函数与二次函数综合题．考查利用待定系数法求解析式，平行线的性质，两直线的交点问题，解直角三角形，两垂直直线的比例系数的关系，综合性强，很难．正确的作出辅助线和利用分类讨论的思想是解答本题的关键．12．（2021·江苏·淮安市中考模拟预测）如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，点,A C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，连接,3,30AC OA OAC =∠=︒，点D 是BC 的中点．（1）OC =_________；点D 的坐标为_________；（2）若在矩形边BC 上存在点E 满足2CE =，如图2，动点P 从点C 出发，沿C O A --以每秒1个单位长度匀速运动，到达点A 后停止运动．点P 在运动过程中，记点C 关于直线PE 的对称点为点C '，求当t 为何值时，点C '落在矩形的一边上．（3）过,,O B D 三点的抛物线记为1C ，点F 为直线OB 上方的抛物线1C 上一点，已知点()1,1M ，点()3,1N ，过,M N 两点的抛物线记为()22:0C y ax bx c a =++<①当FBO BAD ∠=∠时，求点F 的坐标；②过点O 作OG BF ⊥交直线BF 于点G ，记m =，若直线y mx =与抛物线2C 恰好有3个交点，请直接写出实数a 的值．【答案】（132⎛ ⎝；（2),1s ；（3）①⎛ ⎝；②91,.22-- 【分析】（1）由四边形OABC 是矩形，3,30OA OAC =∠=︒，利用锐角三角函数与中点的含义可得答案；（2）分两种情况讨论，如图，当P 在CO 上时，则0t ≤≤ 由,C C '关于PE 对称，则,,,PC PC t OP t CC PE ''===⊥ 再表示32CP OC tOC CE '== 再由勾股定理列方程)222,t t=+⎝⎭解方程可得答案，如图，当P 在AO 上时，3,t ≤≤ 由,C C '关于PE 对称，则2,CE C E '== 此时,A C '重合，同理可得：(3,OP t PC PA t PC '===-= 而(222,PC t =+ 再列方程解方程可得答案；（3）①先求解过,,O B D 抛物线的解析式为：2,y = 如图，作DAB 的外接圆K ，过D 作//,DP OB 与外接圆交于点,P 连接BP 与抛物线的交点为,F 外接圆与OB 交于,H 连接,,,DH FH DA 当//,DP OB 证明,BHD BAD FBO ∠=∠=∠则满足条件，再求解DP 为y = P 的坐标为15,8P ⎛ ⎝⎭同理可得：BP 的解析式为：y = 再解方程组可得答案；②由()1,1M ，点()3,1N ，求解抛物线为()22:4310C y ax ax a a =-++<如图，延长BF 交y 轴于,Q 过O 作OG BF ⊥于,G 过G 作GT y ⊥轴于,T 再求解OG ==可得3,m === 正比例函数为：3y x =或3,y x =- 显然：3y x =-与抛物线记为()22:4310C y ax ax a a =-++<有两个交点，所以：3y x =与抛物线记为()22:4310C y ax ax a a =-++<只有一个交点，从而可得答案．【详解】解：（1）四边形OABC 是矩形，3,30OA OAC =∠=︒，113tan 30,222OC OA CD BC OA ∴=︒=== 3.2D ⎛∴ ⎝（2）如图，当P 在CO 上时，则0t ≤≤ 由,C C '关于PE 对称，则,,,PC PC t OP t CC PE ''===⊥90,PCC CPE CPE CEP '∴∠+∠=︒=∠+∠ ,PCC CEP '∴∠=∠ tan tan ,PCC CEP '∴∠=∠,CP OC CE OC'∴= 32CP OC tOC CE '∴==)222,t t∴=+⎝⎭(30,t t ∴--=解得：t =t =，如图，当P 在AO 3,t ≤ 由,C C '关于PE 对称， 则2,CE C E '== 此时,A C '重合，同理可得：(3,OP t PC PA t PC '===-=而(222,PC t =+((2233,t t ⎡⎤∴+=-⎣⎦66,t ∴=1,t ∴=综上：当t =或)1t s =时，点C '落在矩形的一边上．（3）①设过()(30,0,,2O B D ⎛ ⎝的抛物线为2,y ax bx =+939342a b a b ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩解得：a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为：2,y x = 如图，作DAB 的外接圆K ，过D 作//,DP OB 与外接圆交于点,P 连接BP 与抛物线的交点为,F 外接圆与OB 交于,H 连接,,,DH FH DA当//,DP OB 则,DPH PHB ∠=∠∴ ,DH BP = ,BD PH ∴=,BHD BAD FBO ∴∠=∠=∠满足条件，设OB 为,y kx =则3k =k ∴=∴ 设DP为,y b + 3,3,2D ⎛⎝b = b ∴= ∴DP 为y x = ()390,,3,0,2ABD D A ⎛∠=︒⎝9,44K DK AK ⎛∴=== ⎝⎭设,P x ⎛ ⎝⎭由PK DK =可得，2229,4x ⎫⎛⎫∴-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()815230,x x ∴--=12153,,82x x ∴== 当158x =时，158y =15,8P ⎛∴ ⎝⎭同理可得：BP的解析式为：y =2,y y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩解得：2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ()3,3,B.F ⎛∴ ⎝ ②由()1,1M ，点()3,1N ，过,M N 两点的抛物线记为()22:0C y ax bx c a =++<1931a b c a b c ++=⎧∴⎨++=⎩可得：431b a c a =-⎧⎨=+⎩ ∴ 抛物线为()22:4310C y ax ax a a =-++<如图，延长BF 交y 轴于,Q 过O 作OG BF ⊥于,G 过G 作GT y ⊥轴于,T90,QGT OGT TOG OGT ∴∠+∠=︒=∠+∠,QGT TOG ∴∠=∠tan tan ,QGT TOG ∴∠=∠,QT TG TG TO∴= 则2,TG QT TO =:BF y = 则,Q ⎛ ⎝⎭ 设,,G x x ⎛ ⎝⎭2,x ⎛∴= ⎝⎭G 在第一象限，则x ＞0,3,7x ∴= 则OG =3,m ∴=== 3,m ∴=±∴ 正比例函数为：3y x =或3,y x =-显然：3y x =-与抛物线()22:4310C y ax ax a a =-++<有两个交点，所以：3y x =与抛物线()22:4310C y ax ax a a =-++<只有一个交点，∴ 24313ax ax a x -++=有两个相等的实数根，()243310ax a x a ∴-+++=时，=0,242090,a a ∴++=1291,,22a a ∴=-=- 【点睛】本题考查的矩形与二次函数的综合题，考查了矩形与折叠，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，难度大，灵活选择解题方法是解题的关键．。
