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预条件(I+α)的AOR和2PPJ迭代收敛性定理

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Ｋ ｅ ｗｏｒ ： ｐ ｅ ｏ ｉｉ ｙ ｄｓ ｒ ｃ ｎｄ ｔｏｎ；ＡＯＲ ｔ ｒ ｔｖｅ ｍｅ ｈｏ ｉｅ ａ ｉ ｔ ｄ；２ ＰＰＪ ｉｅ ａ ｉ ｅ ｍｅ ｈ ｄ；ｗｅ ｋ ｒ ｇｕ ａ ｐｌ ｔｎｇ ｔ ｒ ｔｖ ｔ ｏ ａ ｅ ｌ ｒ ｓ ｉ ｉ ；ｎｏ ｓｎ ｔ ｎ ｉ—
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｅｐｅｏ ｄｔ ｎ（ Ｓ ） ｓ ｏ ｓ ｅｅ ｏｂ ｐ ｌｄ ｔ ｈ ＯＲ ｉ ｒｔ ｅｍｅｈ ｄ ａ ｄ ２ Ｐ ｓｒ ｃ ： ｈ ｒｃｎ ｉ ｏ Ｉ＋ ａ ｉ ｃ ｎ ｉ ｒｄｔ ｅａ ｐｉ ｏｔ ｅＡ ｅａｉ ｔｏ ｎ Ｐ Ｊ ｉ ｄ ｅ ｔ ｖ
／
Ｉ ，
并 采 用 与 文 献 ［ 相 同 的迭 代 格 式 （ １ ］ 只把 ｓ改 写 为
ｓ＝
收稿 日期：２ ０ － １０ ． ０ ６１ —５
（ ） ｉ一 — 喜 一 ｉ， ． 。
修 改稿 收 到 日期：２ ０ －６２ ． ０ ７０ －１
ｓ ）将文献 ［ 的结果进行 了推广． ， １ ］ 随后文献 ［ 将 ３ ］ 文 献 ［ 中的 预条 件 方法 应用 到 日一 阵类． ２ ］ 矩
ｇ ｌ ｒ Ｍ — ａ ｒｘ ｕａ ｍ ｔｉ ‘
ＡＭ ＳＳ ｂｅｔＣｌｓｉｃｔｏ ｓ２ ０ ） ５ １ ｕ ｊｃ ａｓｆ ａｉｎ （０ ０：６Ｆ ０ ｉ 文 献 ［ 证 明 了该 预 条 件 用 于 Ｇａｓ—ｅ ｅ迭 １ ］ ｕｓＳｉ ｌ ｄ
代 的收 敛性 ．为 了进 一 步研 究 ＭＧ 方 法 并 改 善其 Ｓ 收 敛 速 度 ， ９ ７ Ｋｏ ｎ 等［利 用 带 有 ｎ一１ 参 １９ 年 ｈｏ 】 个
Ｃｏ ｖ ｒ ｅ ｅ ｔ ｏｒ ｍ ｓ ｆ ｒ Ａ Ｏ Ｒ ｎｄ ２ ｎ ｅ ｇ ｎｃ ｈｅ ｅ ｏ ａ ＰＰＪ ｉｅ ａ ｉ ｅ ｔ ｒ ｔｖ
ｍｅｈ ｄ ｔ ｈ ｒｃ ｎ ｉ ｏ ＋ ｔ ｏ ｓｗｉ ｔ ｅｐ ｅｏ ｄｔ ｎ（ ） ｈ ｉ
ＸＵ ｕｆｎ ＨＥ Ｊ ａ － ａ Ｅ Ｑｉ－ ｇ ，Ｃ Ｎ ｕ ｎｊ ｎ ，ＷＡ 一 ａ ｕ ＮＧ Ａｉ
文章编 号： ４ ５ ０９２０ ） —１５ ４ ０５— ５ （ ７０ ０２— ２ ０ ６ ０
预条件 （ ） ＡＯ ＋ 的 Ｒ和 ２ Ｐ Ｐ Ｊ
迭代 收敛 性定 理
薛秋 芳 陈娟 娟 ， ，王 爱 丽
（．西 安 理工 大 学 理 学 院， 西 西安 ７ ０ ５ ；２ 宝 鸡文 理 学 院 数 学 系 ， 西 宝鸡 ７ １ １ ） １ 陕 １０ ４ ． 陕 ２ ０ ３
维普资讯
第４ ３卷 第 ６期
２０ ０ ７年 １ ２月
兰 州 大学 学报 （自然科 学版 ）
Ｖｌ ．４ Ｏ １ ３ ＮＯ． ６
Ｄｅ ． ０ ｃ ２０ ７
Ｊｕｎｌ ｆ ａ ｚｏ ｉ ｒｉ Ｎａｕａ ｃ ｎｅ） ｏ ｒａｏ ｎｈ ｕＵｎｖ ｓｙ（ ｔｒｌ ｉ ｃｓ Ｌ ｅ ｔ Ｓｅ
本 文 则 考 虑 把 文 献 ［ 的 预 条 件 方 法 应 用 于 ２ ］
Ａ ＯＲ迭 代法 和双 参 数并 行 Ｊ ｃ ｂ 迭代 方法 （ ａｏ ｉ 简记 为
２ Ｐ ） 给 出它 们 的 收敛 性 定 理 并从 理 论 上 证 明 了 Ｐ Ｊ， 资 助项 目 ｆ０－１７４． １８２０ １） 作 者 简介：薛秋 芳（９ ８） 女， 西铜 川 人， １７＿， 陕 助教 ， 士， 究方 向为数 值 计算 ，￣ｍａｌ ｑ ｆｎ ｘ ｅ ６ ． ｒ． 硕 研 Ｆ ｉ ｉ ａ ｇｕ ＠１３ ｏ ： ｕ ｃｎ
（． ｃ ｏ ｌ ｆ ｃｅ ｃｓ Ｘｉ ｎ Ｕ ｉ ｒｉ ｆ ｅｈ ｏｏ ｙ Ｘｉ ｎ ７ ０ ５ ， ｉａ １ Ｓ ｈ ｏ ｉｎ ｅ， ’ ｎｖ ｓ ｙｏ ｃ ｎ ｌｇ ， ’ １０ ４ Ｃｈｎ ； ｏＳ ａ ｅ ｔ Ｔ ａ
２ Ｄｅ ａｔ ｎ ｆ ｔｅ ｔ ｓ Ｂ ｏｉ ｌ ｇ ｆ ｔ ｎ ｃｅ ｃｓ Ｂ ｏｉ ２ ０ ３ Ｓ ａ ｎ ｉＣ ｉａ ． ｐ ｒｍｅ ｔ ｈ ｍａ ｉ ， ａ ｊ Ｃｏｌ ｅｏ ｓａ ｄＳ ｉｎ ｅ， ａ ｊ ７ １ １ ， ｈ ａ ｘ， ｈｎ ） ｏ Ｍａ ｃ ｅ Ａｒ
摘
要： 虑将预条件 （ ｓ ） 用于 Ａ 考 Ｊ＋ 应 ＯＲ迭 代 法 和 ２ Ｐ Ｐ Ｊ迭 代 法， 到 这 两 种 预 条 件 迭 代 法 的 收敛 得
性 定 理， 并从 理 论上 证 明 了它 们 较原 方 法 提 高 了迭 代 的收 敛速 度 ． 关键 词： 预条 件； ＡＯＲ迭 代法 ； Ｐ Ｊ迭 代法 ； 正 规分 裂 ； 奇 异 Ｍ 一 阵 ２Ｐ 弱 非 矩 中 图分 类号 ： ４ ． Ｏ２ １ ６ 文 献标 识 码： Ａ
ｉｅ ａ ｉｅ ｍ ｅ ｈｏ ｔ ｒ ｔｖ ｔ ｄ．Ｃｏ ｖ ｒ ｅ ｅｔ ｏ ｅ ｓｆ ｒｔ ｅ ｍ ｅ ｈｏ ｒ ｂｔ ｉ ｄ ａ ｔｉ ｈｅ ｒ ｔｃ ｌ ｒ ｖ ｄ ｔ ｔｔ ｅ ｎ ｅ ｇ ｎｃ ｈｅ ｒ ｍ ｏ ｈ ｔ ｄｓａ ｅｏ ａｎｅ ｎｄ ｉ ｓｔ ｏ ｅ ｉａ ｌ ｐ ｏ ｅ ｈａ ｈ ｙ ｃ ｎ ｒ ｅ ｔｓ ｅ ｄ ｏ ｈｅｏ ｉｉ ｌ ｅ ｈｏ ｓ ｈ ｓ ｂ ｅ ｍ ｐｒ ｖｅ ｏ ｖｅ ｇ ｎ ｐ ｅ ｆｔ ｒｇ ｎａ ｔ ｄ ａ ｅ ｎ ｉ ｍ ｏ ｄ．
数 的 预条 件 矩 阵 Ｐ 一Ｉ＋Ｓ ， 中 其
１ ／ ｎ ０ … ， ０ ｚ
０ ０ 一２３ ｏ ２… １ ａ
０ ０ ０ …
０ 、
０
０
Ｉ
ｓ Ｉ ｉ １ ｉ
＼ ０ ０ … 一 ，ｌ 、 ｌ－ ０ ａｌ

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线性方程组迭代法收敛性分析

线性方程组迭代法收敛性分析

k
lim Ak 0 .
k
(2.27)
由定理 2.5 知，
( A k ) Ak ，
即
( A)
由(2.27) 和(2.28)可得
k
Ak .
(2.28)
lim ( A) 0
k k
再由矩阵谱半径的定义可知一定有 ( A) 1 . （必要性） 若 ( A) 1 ，则有定理 2.5 的推论可知至少存在一个 0 使得一种范数
若有
lim x ( k ) x* , 即 lim xi( k ) xi* ,
k k
则有 lim x ( k ) x*
k 2
0.
常见的向量范数有： ① 1-范数
x 1 xi ；
i 1
n
② ∞-范数
x

max xi ；
1 i n
③ 2-范数
x 2 ( x ) ；
lim x x* lim G k x x* 0 ，
k
0
k


k


再由向量范数的定义可知
lim x k x* 0 ，
k
即迭代过程收敛. （必要性） 若迭代公式(2.20)收敛，即满足
lim x x* 0
k k


由此推论可知当 ( A) 1 时，至少存在一种范数 A 1 .
定 理 2.6 设 A R nn ， 则 lim Ak 0 的 充 要 条 件 为 ( A) 1 . （ 其 中
k
Ak AA A）
k
证明： （充分性） 若 lim Ak 0 ，则由矩阵范数的定义可知
应用数值分析课件-6.3迭代法的收敛定理

应用数值分析课件-6.3迭代法的收敛定理

([保障措施] 高速计算机能胜任那些程序简单、 重复量大的迭代计算，况且还有许多加速收敛 的办法做保障。)
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OK! Let’s have a break!
定理
2
一、基本收敛定理
由 可推知
可见
X(k+1)=BX(k)+f 及 X *=B X *+f
εk+1 = X (k+1) - X *= B（X (k) - X *）
= ·············
= B k+1（X(0) -X *）
=
B
k+1
ε 0
X(k) X* B k 0
(k∞ )
利用矩阵的Jordan标准形，可以证明(前一章中的结论)
无法直接判断Jacobi 迭代法和G-S迭代法的收敛性，但如果将
方程组的次序修改为
11.02.20x11x1
9.05x2 4.33x2
0.12x3 2.67x3
1.43 3.22
1.25x1 3.69x2 12.37x3 0.58
由于系数矩阵A是严格对角占优阵，因此用Jacobi 迭代
反复利用 || X (k+1) - X*||=||BX (k)- BX*||=||B(X (k)- X*)|| ≤‖B‖.‖X (k)- X*‖,
可以得到
||X (k)- X*||≤‖B‖k ·‖X(0)- X*‖，
可见X (0)越接近X*，序列{ X (k)}收敛越快，收敛速度 与初值X (0)的选取有关。
对于给定的线性方程组，借助于定理6.3和定理6.4可以 直接判断Jacobi 迭代法和G-S迭代法的收敛性。
但同时应当注意，迭代法收敛与否与方程组中方程排列 顺序有关，如线性方程组
新的预条件AOR迭代法的收敛性

新的预条件AOR迭代法的收敛性


文献标识码 ：Ａ
ＤＯＩ ０３ ６ ￣ｉ ｎ１７ ～０ ５ ０ １ １ ０ ： ．９ ９ ．ｓ ． ４ ８ ８ ． １． ． １ １ ｓ ６ ２ ００
ＣＯＮＶＥＲＧＥＮＣＥ ＯＦ ＴＨ Ｅ ＮＥＷ ＰＲＥＣＯＮＤＩ ＯＮＥＤ ＴＩ Ａ０Ｒ ＴＥＲＡＴＩ Ｉ ＶＥ ＥＴＨ ＯＤ Ｍ
ＺＨＯＵ ｎ ． Ｔｉ ｇ ＧＵＯ ｌ ． ｉ Ｗ ｅ ｂｎ ｎ
（ ｏｌ ｅ ｆ ｔ ｍ ｔ ｓ ｃｅ ｃ， ｉ ｃ ｅ ｇ ｎｖ ｒｉ ， ｉｏ ｈ ｎ ，Ｓ ａ ｇ ｏ ｇ ２ ２ ５ ，Ｃ ｉａ Ｃ ｌ ｇ Ｍａｈ ａｉ ｉ ｅ Ｌ ａ ｈ ｎ ｉｅｓ ｙ Ｌ ａｅ ｅ ｇ ｈ ｎ ｄ ｎ ５ ０ ９ ｈ ） ｅ ｏ ｅ ｃＳ ｎ ｏ Ｕ ｔ ｎ
ｌｎ ａ ｙ ｔｍｓ ｉ ｅ ｒ ｓ ｓｅ ．Ｗ ｅ ｃ ｎ ｉ ｅ ｗｏ ｄ ｆｅ ｅ ｔＡＯＲ－ｙｐ ｐｌ ｎｇ ｒ ｔ ｅ ｃ ｅ ｃｅ ｔｍ ｔｉ ｆｔ ｅ ｐ ｅ ｏ ｄ ｔｏ ｅ ｏ ｓｄ ｒｔ ｉ ｒｎ ｔ ｅｓ ｉ Ｒｉ ｓ ｆ ｈ ｏ ｆ ｉｎ ｏ ｉ ａ ｒｘ ｏ ｈ ｒ ｃ ｎ ｉｉ ｎ ｄ Ａ０Ｒ ｔ ｒ ｔｖ ｍｅ ｈ ｄ ｕ ｔ ｅ ｍｏ ｅ ｉｅ ａｉ ｅ ｔ ｏ ．Ｆ ｒｈ ｒ ｒ ．ｗｅ ｂ ａ ｎ ｃ ｍｐ ｒｓ ｎ ｈ ｏ ｅ ｈ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｒ ｔｓ ｂｅｗｅ ｎ ｔ ｏ ｔ ｉ ｏ ａ ｉｏ ｔ ｅ ｒ ｍ ｏｆ ｔ ｅ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ａ ｅ ｔ ｅ ｈｅ ｓ
文章编号：１７ —０ ５２ １）１０ ０— ４ ６４８ ８ （０ ０ － ０ １０ １
新 的预 条件 ＡＯ Ｒ迭 代 法 的收敛 性
周 婷 ， 郭文 彬
２２ ５） ５０９
（ 城大学 数 学科学 学 院，山东 ，聊 城 聊
一类新预条件下AOR迭代法比较性定理

一类新预条件下AOR迭代法比较性定理

中 图 分 类 号 ：０ ２ ６ ４Ｊ ． 文 献 标 识 码 ：Ａ
Ｏ 引 言
在 对科 学 领域 中的许 多实 际 问题进 行 数值模 拟 时 ，人 们 常运 用迭 代 法求 解 线性 方程 组 ．近 年来 ，运用 迭 代法 求解 线性 方程 组 的技术 发 展很 快 ，特 别 是运 用 预处 理 的方 法处
３ ０
汕 头 大 学学 报 （ 自然 科学 版 ）
第２ ６卷
＝
，
（ ）。 １ ） ，一 一 （ 一 ，＋（ 一 ） ＋ ￡ Ｊ ，Ｉ
（） ３
其 中 ，０＜ ≤ ∞≤ １ 在文 献 ［ ］ ． ４ 的基础上 ，考 虑用 一类新 的 预处 理方 法解 线性 方程组
是 ｎ维 向量 ．
（） ２
对线 性 方程 组 （ ） 系数矩 阵Ａ做如 下分 裂 ： １的
Ａ ＝Ｄ —Ｌ —Ｕ
其 中 Ｄ 为非 奇异 对 角矩 阵 ，Ｌ为 严格 下三 角矩 阵 ，Ｕ为严 格 上 三角 矩 阵．
为讨 论方 便 ，当Ａ可 逆 时 ，我们 总 可 以通 过 初 等 变 换把 Ａ的对 角 元 都 化 简 为 １ ，因
献 ［］ ４ 的基 础 上 ，考 虑用 一 类新 的预 处理 方法 解 线性 方程 组 ，并 证 明这 种预 处理 方 法可 以加快 方程 的 迭代 速 度．
１ 预 备知 识
本 文考 虑 实线 性方 程组 ：
Ａｘ ： （） １
其 中 Ａ ＝（ ） ∈ …
为 ｎ阶方 阵 ，Ｘ ∈ 和 ｂ∈
＝
，
∈（ ｌ ， Ｖｉ ０， Ｉ ＝２， ， … 凡一ｌ ｎ ，
（ ４）
（ 一 Ｄ Ｌ 。 １ ） ｌ 一ｗ） （ 一 ） ａ ￡ Ｉ 一（ Ｄ ＋（＇ Ｌ ＋（ ￡ ）