2020-2021学年数学人教A版选修2-3课件：课时作业 1-2-1-1 排列与排列数公式

课时分层作业(四)排列的综合应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．某天上午要排语文，数学，体育，计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有()A．6种B．9种C．18种D．24种C[先排体育有A13种，再排其他的三科有A33种，共有3×6＝18(种)．]2．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有()A．720 B．360C．240 D．120C[因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A55种排法，但甲、乙两人之间有A22种排法．由分步乘法计数原理知，共有A55A22＝240种不同的排法．]3．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．36 B．30C．40 D．60A[奇数的个位数字为1,3或5，所以个位数字的排法有A13种，十位数字和百位数字的排法种数有A24种，故奇数有A13·A24＝3×4×3＝36个．]4．5人排成一排，其中甲，乙至少一人在两端的排法种数为()A．6 B．84C．24 D．48B[5人全排列有A55种，甲，乙都不在两端的排法有A23A33种，共有A55－A23A33＝84种不同的排法．]5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．9 B．10C．18 D．20C[从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A25＝20，但lg 1－lg 3＝lg 3－lg 9，lg 3－lg 1＝lg 9－lg 3，所以不同值的个数为20－2＝18，故选C.]二、填空题6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)36[分三步分别选出文娱委员、学习委员、体育委员，共有A13A14A13＝36种选法．]7．六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．24[把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A44＝4×3×2×1＝24种．]8．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．186[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．]三、解答题9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝14 400种．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A88－A45A44＝37 440种．10．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数；(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数；(3)能组成多少个比1 325大的四位数．[解](1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有A35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A14种，十位和百位从余下的数字中选，有A24种，于是有A14·A24个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A14·A24个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数A35＋A14·A24＋A14·A24＝156(个)．(2)五位数中是5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A45个；个位数上的数字是5的五位数有A14·A34个．故满足条件的五位数的个数共有A45＋A14·A34＝216(个)．(3)比1 325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3，4，5的数，共A14·A35个；第二类：形如14，15，共A12·A24个；第三类：形如134，135，共A12·A13个．由分类加法计数原理知，比 1 325大的四位数共有A14·A35＋A12·A24＋A12·A13＝270(个)．1．3张卡片正反面分别标有数字1和2,3和4,5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为()A．30B．48C．60 D．96B[“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A33；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到A33×2×2×2＝48个不同的三位数．]2．安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是()A．180 B．240C．360 D．480D[不同的排法种数先全排列有A66，甲、乙、丙的顺序有A33，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种顺序，所以不同排法的种数共有4×A66A33＝480种．]3．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2都不与5相邻的五位数的个数是________．36[将3,4两个数全排列，有A22种排法，当1,2不相邻且不与5相邻时有A33种方法，当1,2相邻且不与5相邻时有A22·A23种方法，故满足题意的数的个数为A22 (A33＋A22·A23)＝36.]4．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．36[先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A44种摆法，而A，B 可交换位置，所以有2A44＝48种摆法，又当A，B相邻又满足A，C相邻，有2A33＝12种摆法，故满足条件的摆法有48－12＝36种．]5．7人站成一排．(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？(2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种？(4)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？[解](1)法一：7人的所有排列方法有A77种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有A77A33＝840(种)．法二：(填空法)7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故A47＝7×6×5×4＝840(种)．(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A77＝2 520(种)．(3)第一步：从其余5人中选1人放于甲、乙之间，有A15种方法．第二步：将甲、乙及中间1人看作一个元素与其他四个人全排，有A55种方法．第三步：甲、乙及中间1人的排列为A22.根据乘法原理得A15×A22×A55＝1 200(种)，故有1 200种排法．(4)第一步安排甲，有A13种排法；第二步安排乙，有A14种排法，第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上，有A55种排法．由分步乘法计数原理得，符合要求的排法共有A13·A14·A55＝1 440种.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

个黑球，则 P(B|A)＝151.
二、填空题(每小题 6 分，共计 18 分) 9．高二某班共有 60 名学生，其中女生有 20 名，三好学生 占全班人数的16，而且三好学生中，女生占一半．现在从该班同 学中任选一名参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件
1 下，选上的是三好学生的概率为___8____.
3 次拿出绿皮咸鸭蛋的概率为 P(B|A)＝PPAAB＝130＝12.
5
解析：设事件 A 表示“任选一名同学是男生”；事件 B 为 “任选一名同学为三好学生”，则所求概率为 P(B|A)．依题意
1 得 P(A)＝4600＝23，P(A∩B)＝650＝112.故 P(B|A)＝PPA∩AB＝122＝18.
3
10．一种耐高温材料，能承受 200 度高温不熔化的概率为 0.9； 能承受 300 度高温不熔化的概率为 0.45.现有一些这样的材料，在 能承受 200 度高温不熔化的情况下，还能承受 300 度高温不熔化
＝16.
5．某种元件用满 6 000 小时未坏的概率是34，用满 10 000 小
时未坏的概率是12.现有一个此种元件，已经用过 6 000 小时未坏，
则它能用到 10 000 小时的概率( A )
2
3
A.3
B.4
1
1
C.2
D.4
解析：设 A＝{用满 10 000 小时未坏}，B＝{用满 6 000 小
1 时未坏}，显然 P(AB)＝P(A)，所以 P(A|B)＝PPABB＝PPAB＝23＝23.
4
6．甲、乙两班共有 70 名同学，其中女同学 40 名，设甲班
有 30 名同学，而女同学有 15 名．则在碰到甲班同学时正好碰到

(2)如题图 2，当 a1，a3 不同色时，有 3×2×1×1＝6(种)种植 方法，当 a1，a3 同色时，有 3×2×2×1＝12(种)种植方法，由分类 加法计数原理，共有 6＋12＝18(种)种植方法．
1涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的 区域可以同色.解决此类问题要特别关注图形的结构特征.如果图 形不很规则，往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步乘 法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进 行分类，每一类再进行分步.
第一步：选取左边第一个位置上的数字，有 5 种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有 4 种选取方法； 第三步：选取左边第三个位置上的数字，有 3 种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有 2 种选取方法． 由分步乘法计数原理，可组成不同的无重复数字的四位密码 共有 5×4×3×2＝120(个)．
(2)当 c≠0 时，a 有 3 种取法，b 有 3 种取法，c 有 4 种取法， 其中任意两条直线都不相同，故这样的直线有 3×3×4＝36 条．
由分类加法计数原理可得符合条件的直线共有 7＋36＝43 条．
本题根据 c 是否为 0 来进行分类，当 c＝0 时，注意排除重 复的直线；当 c≠0 时，注意分步计算.
[难点] 利用两个计数原理合理地进行分类和分步．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题Байду номын сангаас 课时作业
知识点 两个计数原理的综合应用
[填一填] 1．两个计数原理在解决计数问题中的方法 用两个计数原理解决计数问题时最重要的是在开始计算之 前要进行仔细分析需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“ 不重不漏 ”，分类后再对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．

a4
C
1 4
a
3b
C
2 4
a
2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
猜想 (a b)n ?
探究3：请分析(a+b)n的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab )(ab)
n
①项： a n a n1b … ankbk … bn
②系数：
C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分析a nk b k
k个(a b)中选b n个(a b)相乘 n k个(a b)中选a
b
C
k n
a
nk
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
①项数： 共有n＋1项
②次数：各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
③二项式系数:
C
k n
(k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项:
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
概念理解
(a
b)n
C
0 n
a
作业：P37 4
Cnk
③展开式：
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n1
b
C
k n
a
n
k
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
定理的证明
(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。