横观各向同性地基上刚性矩形基础分析

同济大学博士学位论文横观各向同性层状场地的动力分析及应用姓名：陈镕申请学位级别：博士专业：岩土工程指导教师：陈竹昌19991001摘要本文回顾了桩一土一结构动力相互作用课题国内外研究的现状，选定了“横观各向同性层状场地的动力分析及应用”这一桩～士一结构动力相互作用中的基本问题作为本文的研究内容。

、√根据研究的内容本文分为两部分。

、第一部分：主要研究横观各向同性层状场地对平面入射波的响应及应用。

在这部分中，本文主要作了如下的工作：１、根据矗角坐标系中的基本方程，推导横观各向同性土层在平面入射ＳＨ波、Ｐ—ｓＶ波时的动力刚度矩阵：２、给出横观各向同性层状场地对平面入射ＳＩ－Ｉ波、Ｐ—ＳＶ波的求解方法，并以平面入射ＳＨ波为例说明如何应用这种方法求解场地的响应；３、通过参数的分析，说明场地的横观各向同性性质对场地的自振特性、场地的地震响应等的影响。

其中场地的共振频率随场地横观各向同性性质的变化规律系首先被发现：第二部分：主要研究横观各向同性层状场地对外加荷载的响应及应用。

在这一部分本文主要作了如Ｆ的工作：Ｉ、推导了横观各向同性层状场地底部阻尼边界条件及半空闾边界条件，并给出它们进入离散化后的Ｒａｙｌｅｉｇｈ波与Ｌｏｖｅ波代数特征方程的方法：２、利用状态空间法求出上述代数特征方程的特征值及规格化特征向量，并给出了相应的正交关系，利用求得的特征值与特征向量给出了各种荷载作用下位移的表达式，即格林函数公式：３、对不同的边界条件下位移响应进行比较，指出它们的适用范围；４、指出求得的位移公式应用于桩一土动力相互作用的方法，并举例说明了它们的具体应用以及场地横观各向性质等参数对横观各向同性场地中桩一土动力相互作用的影、响：５、通过与试验结果的对比，检验了本文方法的有效性。

善，为今后在桩一通过上述二部分的研究，土一结构动力相互作用分析中关ｔ词ｚ桩一土一结构动力相互作用，横观各向同性层状场地，平面入射波，响应上、动力分析，边界条件，特征值鸟特征向量，格林函数｛ＡＢＳＴＲＡＣＴＲｅｖｉｅｗｉｎｇｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｓｏｉｌ・ｐｉｌｅ—ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｒｅｓｅａｒｃｈ，ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｌｙｉｓｏｔｒｏｐｉｃｌａｙｅｒｅｄｓｔｒａｔｕｍａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓａｒｅｃｈｏｓｅｎａｓｔｈｅｔｏｐｉｃｏｆｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ，ｗｈｉｃｈａｒｅｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｄｙｎａｍｉｃｓｏｉｌ－ｐｉｌｅ－ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅｔｈｅｓｉｓｉｓｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏ懈ｏｐａｒｔｓ．Ｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｐａｒｔ，ｔｈｅｒｅｓｐｏｎｓｅｓｏｆｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｌｙｉｓｏｔｒｏｐｉｃｌａｙｅｒｅｄｓｔｒａｔｕｍｔｏｉｎｃｉｄｅｎｔｐｌａｎｅｗａｖｅｓａｎｄｔｈｅｉｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．ＴｂｅｍａｉｎＣｏｎｔｅｎｔｓａｒｅａｓｆｏｌｌｏｗｉｎｇ：１．ＴｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｔｉｆｆｎｅｓｓｍａｔｒｉｃｅｓｏｆｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｌｙｉｓｏｔｒｏｐｉｃｓｏｉｌｌａｙｅｒｔｏｉｎｃｉｄｅｎｔｐｌａｎｅＳＨａｎｄＰ－ＳＶｗａｖｅｓａｒｅｄｅｒｉｖｅｄ，ｗｈｉｃｈａｒｅｉｎｔｈｅＣａｒｔｅｓｉａｎｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ；２．ＴｈｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｏｆｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｌｙｉｓｏｔｒｏｐｉｃｌａｙｅｒｅｄｓｔｒａｔｕｍｒｅｓｐｏｎｓｅｓｔｏｉｎｃｉｄｅｎｔｐｌａｎｅＳＨａｎｄＰ・ＳＶｗａｖｅｓａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．ａｎｄｔｈｅｉｎｃｉｄｅｎｔｐｌａｎｅＳＨｗａｖｅｉｓｔａｋｅｎ∞ｔｈｅｅｘａｍｐｌｅｔｏｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｈｏｗｔｏＨｕｅｔｈｅｓｅｍｅｔｈｏｄｓｔｏｅｖａｌｕａｔｅｔｈｅｒｅｓｐｏｎｓｅｓｏｆｔｈｅｓｔｒａｔｕｍ；ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｙ，３．ＴｈｅｅｆｆｅｃｔｓｏｆｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｌｙｉｓｏｔｒｏｐｉｃｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆｓｏｉｌｏｎｔｈｅｅａｒｔｈｑｕａｋｅｒｅｓｐｏｎｓｅｓｅＩｃ．Ｏｆｔｈｅｌａｙｅｒｅｄｓｔｒａｔｕｍａｒｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄ，ｉｎｗｈｉｃｈｔｈｅｒｕｌｅｏｆｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｆ『ｅｑｕｅｎｃｙｖａｒｙｉｎｇｗｉｔｈｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｌｙｉｓｏｔｒｏｐｉｃｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆｔｈｅｓｔｒａｔｕｍｉｓｆｏｕｎｄｆｏｒｔｈｅｆｉｒｓｔｔｉｍｅ．／ｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｐａｎ，ｔｈｅｒｅｓｐｏｎｓｅｓｏｆＵａｎｓｖａｒｓｅｌｙｉｓｏｔｒｏｐｉｃｌａｙｅｒｅｄｓｔｒａｔｕｍｔｏｅｘｔｅｒｎａｌｌｏａｄｓａｎｄｔｈｅｉｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓａｒｅｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅｍａｉｎｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓａｒｅａｓｆｏｌｌｏｗｉｎｇ：１Ｔｈｅｄａｍｐｉｎｇａｎｄｈａｌｆｓｐａｃｅｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｔｔｈｅｂｏｔｔｏｍｏｆｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｌｙｉｓｏｔｒｏｐｉｃｌａｙｅｒｅｄｓｔｒａｔｕｍａｒｅｆｏｒｍｕｌａｔｅｄ，ａｎｄｔｈｅｍｅｔｈｏｄｓ，ｃｏｍｂｉｎｉｎｇｔｈｅｍｉｎｔｏｔｈｅａｌｇｅｂｒａｉｃｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＲａｙｌｅｉｇｈａｎｄＬｏｖｅｗａｖｅｓ，ａｒｅａｌｓｏｐｒｅｓｅｎｔｅｄ；２．Ｔｈｅｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓａｎｄｎｏｒｍａｌｉｚｅｄｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓｆｕｒａｂｏｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｓａｒｅｅｖａｌｕａｔｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｓｔａｔｅｓｐａｃｅｍｅｔｈｏｄ．ａｎｄｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｉｔｙｒｅｌａｔｉｏｎｓａｒｅａｌｓｏｇｉｖｅｎ．１１１ｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｆｏｒｍｕｌ∞ｔｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔｅｘｔｅｒｎａｌｌｏａｄｓ，ｉｎｏｔｈｅｒＷＯｒｄｓ，ｔｈｅＧｒｅｅｎ’Ｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ａｎｄｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｍ；ａｌｅｅｘｐｒｅｓｓｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｓｅｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ３．Ｔｈｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｒｅｓｐｏｎｓｅｓｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｔｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ａｒｅｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｅａｃｈｏｔｈｅｒ，ａｎｄｔｈｅａｐｐｌｉｃａｂｌｅｒａｎｇｅｓｏｆｔｈｅｓｅｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｓｕｇｇｅｓｔｅｄ；４．Ｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｏｆａｂｏｖｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｆｏｒｍｕｌａｅｉｎｄｙｎａｍｉｃｓｏｉｌ－ｐｉｌｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｈｒｏｕｌｇｈｓｏｍｅｅｘａｍｐｌｅｓ，ｅｎｄｔｈｅｅｆｆｅｃｔｓｏｆｓｏｉｌｔｒａｎｓｖｅｍｅｌｙａｎａｌｙｓｉｓａｒｅｄｙｎａｍｉｃｓｏｉｌ’ｐｉｌｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎａｒｅｒｅｖｅａｌｅｄ；ｉｓｏｔｒｏｐｉｅｐｒｏｐｅｒｔｙｅｔｃ．ｏｎｔｈｅ５．Ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｍｅｔｈｏｄｓｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｉｓｅｘａｍｉｎｅｄｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｗｉｔｈｔｅｓｔｉｎｇｒｅｓｕｌｔｓ，Ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｔｕｄｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄａｂｏｖｅ，ｔｈｅｍｏｄｅｌｏｆｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｌｙｉｓｏｔｒｏｐｉｃｌａｙｅｒｅｄｓｔｒａｔｕｍｉｓｍａｄｅｍｏｒｅｃｏｍｐｌｅｔｅｔｈａｎｅｖｅｒｂｅｆｏｒｅ，ｗｈｉｃｈｗｉｌｌｐｒｏｍｏｔｅｔｈｅｗｉｄｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｉｓｍｏｄｅｌｉｎｔｈｅｄｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆｓｏｉｌ－ｐｉｌｅ－ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｙｎａｍｉｃｓｏｉｌ－ｐｉｌｅ－ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ，ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｌｙｉｓｏｔｒｏｐｉｃｌａｙｅｒｅｄｓｔｒａｔｕｍｉｎｃｉｄｅｎｔｐｌａｎｅｗａｖｅｓ，ｒｅｓｐｏｎｓｅ，ｄｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓ，ｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ａｎｄｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓ，Ｇｒｅｅｎ’Ｓｆｕｎｃｔｉｏｎ・ｅｉｇｅｎｖａｔｕｅｓ簟论绪论桩基础是土建结构中广泛采用的基础形式，许多重要的工程往往都采用桩基础，如高层及超高层建筑，核电站主厂房结构，海洋平台结构，桥梁的桥墩．悬索桥斜拉桥主塔结构，高耸结构（如电视塔、高压电线塔架等等）以及大型工业厂房、大型动力设备基础等等。

综合测试试题一一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。

每小题5分，共10分。

）1、简述固体材料弹性变形的主要特点。

请参见教材第49页。

2、试列出弹塑性力学中的理想弹塑性力学模型（又称弹性完全塑性模型）的应力与应变表达式，并绘出应力应变曲线。

二、填空题：（每空2分，共8分）1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的___个独立的应力分量，它们分别是__。

（参照oxyz直角坐标系）。

2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫___方程，它的缩写式为___。

三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。

每小题4分，共16分。

）1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。

裂纹展布的方向是：_________。

A、沿圆柱纵向（轴向）B、沿圆柱横向（环向）C、与纵向呈45°角D、与纵向呈30°角2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。

该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。

A、2B、3C、4D、53、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。

）则在该点处的应变_________。

A、一定不为零B、一定为零C、可能为零D、不能确定4、以下________表示一个二阶张量。

A、B、C、D、四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分）1、；（i ，j = 1，2，3 ）；2、；五、计算题（共计64分。

）1、试说明下列应变状态是否可能存在：；（）上式中c为已知常数，且。

2、已知一受力物体中某点的应力状态为：式中a 为已知常数，且a ＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量之和。

为平均应力。

并说明这样分解的物理意义。

3、一很长的（沿z 轴方向）直角六面体，上表面受均布压q 作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。

横观各向同性岩体位移解析解与数值解对比研究李永涛;张志增;杨子胜;胡江春【摘要】在横观各向同性岩体中巷道的位移解析解的基础上,运用数值计算软件FLAC3D,得到了不同倾角下的数值解,并将初始状态下的位移解析解同不同倾角下的数值解进行对比研究,通过误差分析得出了解析解的工程适用范围.【期刊名称】《中原工学院学报》【年(卷),期】2012(023)005【总页数】5页(P46-50)【关键词】横观各向同性;解析解;数值解;工程适用范围【作者】李永涛;张志增;杨子胜;胡江春【作者单位】中原工学院,郑州450007;中原工学院,郑州450007;中原工学院,郑州450007;中原工学院,郑州450007【正文语种】中文【中图分类】TU471+.6各向异性是岩体的一个重要性质，随着岩石力学理论和试验研究的不断深入，逐渐被人们所认识.由于分布有一组占绝对优势的结构面，层状岩体的变形和强度特性具有明显的各向异性，因此与各向同性岩体相比，其稳定性和破坏条件也表现得较为复杂，这对工程的施工及建筑物的稳定性会产生某些特殊的影响［1］.各向异性使岩体的力学问题变得复杂，若将层状岩体当作各向同性岩体来进行工程设计和计算，将导致不可忽视的误差.对于层状岩体，一般在力学上可将其处理成横观各向同性岩体［2］.所谓横观各向同性岩体，是指岩体在平行于层面的任意方向都具有相同的材料常数，而平行层面和垂直层面的材料参数则不同.近年来，伴随着计算机技术的飞速发展，用于岩体稳定性分析的数值计算方法日臻成熟.当前应用于岩体工程问题的主要数值分析方法有：有限单元法、边界元法、有限差分法、离散单元法、无限元法、界面单元法、无单元法、非连续变形分析法、流形元法以及由以上各种方法相组合而得到的混合数值计算方法等.当岩体被裂隙切割成块体集合时，非连续的数值计算方法如离散单元法、非连续变形分析法等可以更逼真地反映岩体的内部结构，但块体的拓扑分析过于繁杂.所以目前在岩土工程的数值计算中，应用较广的还是基于连续介质力学的数值计算方法.本文在横观各向同性岩体中巷道的位移解析解［3］的基础上，运用数值计算软件FLAC3D，得到了不同倾角下的数值解，并将初始状态下的位移解析解同不同倾角下的数值解进行对比研究.通过误差分析，首先得到了初始应力下的解析解的工程适用范围；然后改变水平初始地应力，验证了解析解的工程适用范围的适用性.对于圆形巷道，作如下假设：（1）围岩为连续、均质、线弹性、横观各向同性岩体，位移和应变是微小的. （2）巷道横断面平行于横观各向同性面，巷道横断面为圆形，a为巷道半径. （3）巷道横断面尺寸远小于其轴向长度，因此，体积应变可以简化为平面应变进行求解.（4）巷道埋深大于其半径的10倍，这种类型的巷道可以假设为深埋巷道.在巷道开挖前，巷道上部和下部位置的初始应力场是不等的.由于假设巷道为深埋，这种应力差可以忽略［4］.（5）初始地应力为二向不等压应力状态，竖直方向的初始地应力为p，水平方向的初始地应力为q.（6）巷道围岩的自重相对于整个初始地应力来说较小，所以计算时可忽略影响范围内的自重.这样就构成了二向不等压应力条件下横观各向同性岩体中圆形巷道的理想模型，如图1所示.横观各向同性岩体中圆形巷道的位移公式［3］如下：式中：ur为横观各向同性岩体中圆形巷道的径向位移；E为横观各向同性面上的杨氏模量；μ为横观各向同性面上的泊松比；E′为垂直各向同性面上的杨氏模量；μ′为垂直各向同性面上的泊松比；r为极坐标下的半径；θ为极坐标下的倾角.模型的计算区域为50m×50m，划分的网格见图2，其中xy平面为横观各向同性面.巷道的边界条件为：模型左侧和右侧限制水平方向移动，模型底部限制竖直方向移动.巷道半径α＝2m；工程参数设为：p＝10MPa，q＝20MPa，E＝1GPa，E′＝0.8GPa，μ＝0.25，μ′＝0.3 .图3所示为计算得到的径向位移云图.此时，dd ＝0°，dip＝0°（dd代表在xy 平面内测得的各向同性的倾向；dip代表在xy平面内测得的沿z轴负方向的各向同性平面的倾角）.倾向与倾角是岩层产状3个要素中的2个要素（见图4）.岩层在空间的位置，称为岩层产状.倾斜岩层的产状，是用岩层层面的走向、倾向和倾角3个产状要素来表示的.走向是岩层层面与水平面交线的方位角.岩层的走向表示岩层在空间延伸的方向. 倾向是垂直走向顺着倾斜面向下引出一条直线，此直线在水平面的投影的方位角.岩层的倾向，表示岩层在空间的倾斜方向.倾角是岩层层面与水平面所夹的锐角.岩层的倾角表示岩层在空间倾斜角度的大小. 由于对称性，只在1／4的区域选取几个测点（见图5），然后将用FLAC3D计算得到的数值解与位移解析解进行对比分析.当p＝10MPa，q＝20MPa，dd＝0°，倾角为5°、10°、15°、20°时，数值解与位移解析解见表1－表4（数值解与解析解的负号表示位移沿着径向指向开挖面）.根据模型计算区域的大小及实际工程的情况，本文将最大允许误差控制在0.50cm 左右.由表1可以看出：当倾角为5°时，8个测点中的最大绝对误差（数值解与解析解之差的绝对值）为0.19cm，误差平均值为0.119cm.由表2可以看出：当倾角为10°时，8个测点中的最大绝对误差为0.35cm，误差平均值为0.196cm.由表3可以看出：当倾角为15°时，8个测点中的最大绝对误差为0.61cm，误差平均值为0.319cm，此时的最大绝对误差已经超出了允许范围，但误差平均值仍然在误差允许范围内.由表4可以看出：当倾角为20°时，8个测点中的最大绝对误差为0.93cm，误差平均值为0.470cm，此时的最大绝对误差已经远远超出了误差允许范围，误差平均值也接近误差允许范围.通过统计分析，将不同倾角下的误差均值做成曲线图，见图6.对比分析不同倾角下的绝对误差值，并从图6所示的误差均值曲线可知：当倾角为20°时，误差平均值为0.470cm，最大绝对误差值为0.93cm，均方差为0.297cm；当倾角为15°时，误差平均值为0.319cm，最大绝对误差值为0.61cm，均方差为0.191cm.比较这2组数据可以看出：当倾角为20°时，由均方差反映的离散程度比倾角为15°时的离散程度大，且最大绝对误差值已经远远超出误差允许范围，误差平均值也非常接近误差允许范围，此时的解析解已经不适用.通过综合分析可以得出：在p＝10MPa，q＝20MPa，dd＝0°，dip＝0°的状态下，解析解的工程适用范围为倾角0°～15°.当p＝10MPa，dd＝0°，dip＝15°，水平初始地应力分别为30MPa、80MPa时，数值解与位移解析解见表5和表6.改变水平初始地应力后，绝对误差就不能正确反映数据的对比情况，因此采用相对误差（绝对误差值与解析解的比值）进行分析.由表5可以得出，当水平初始地应力为30MPa、竖直方向初始地应力为10MPa、倾向为0°、倾角为15°时，相对误差为0.139；由表6可以得出，当水平初始地应力为80MPa、竖直方向初始地应力为10MPa、倾向为0°、倾角为15°时，相对误差为0.151.通过对比可知：当水平初始地应力改变幅度较大时，相对误差仍然保持相对稳定，即解析解的工程适用范围仍然适用.将不同水平初始地应力下得到的位移解析解与数值解进行对比，经误差分析，得到p＝10MPa，dd＝0°，dip＝15°，水平初始地应力为20～80MPa时的相对误差，见表7.由表7可以看出：当水平初始地应力为20～80MPa时，相对误差基本控制在0.147左右，变化幅度基本不超过0.01，最大变化幅度也仅为0.012（接近0.01）.因此，当水平初始地应力改变时，解析解的工程适用范围——倾角0°～15°仍然符合要求.通过对横观各向同性岩体中巷道的解析解与数值解的对比研究，得出以下主要结论：（1）在竖直初始地应力为10MPa、水平初始地应力为20MPa、倾向为水平面、倾角为0°的条件下，位移解析解的工程适用范围为倾角0°～15°.（2）当水平初始地应力改变时，解析解的工程适用范围——倾角0°～15°仍然符合要求.【相关文献】［1］ Serrano A，Olalla C.Ultimate Bearing Capacity of an Anisotropic DiscontinuousRock Mass，Part I：Basic Modes of Failure［J］.International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences ＆ Geomechanics Abstracts，1998，35（3）：301－324.［2］张玉军，刘谊平.层状岩体抗剪强度的方向性及剪切破坏面的确定［J］.岩土力学，2001，22（3）：254－257.［3］张志增.横观各向同性岩体位移反分析的理论与应用研究［D］.北京：清华大学，2010. ［4］谭学术，鲜学福.复合岩体力学理论及其应用［M］.北京：煤炭工业出版社，1994.［5］蔡美峰，何满潮，刘东燕.岩石力学与工程［M］.北京：科学出版社，2002.［6］段靓靓，梁锴，方理刚.岩石横观各向同性参数试验研究［J］.土工基础，2008，22（3）：80－82.［7］彭文斌.FLAC3D实用教程［M］.北京：机械工业出版社，2011.。

文章编号:1000_0887(2001)01_0016_07横观各向同性层合矩形板弯曲、振动和稳定的三维精确分析X丁皓江, 陈伟球, 徐荣桥(浙江大学土木系,杭州310027)(我刊编委丁皓江来稿)摘要: 针对四边简支的横观各向同性矩形板的弯曲、振动和稳定给出了新的状态空间分析方法# 从横观各向同性弹性力学的三维基本方程出发,通过引入位移函数和应力函数,构造了两类相互独立的状态空间方程,不仅使原方程得到解耦而且降低了阶数,十分有利于具体问题的求解# 对于四边简支的矩形板,建立了层合板上下表面状态变量间的关系式# 特别针对矩形板的自由振动(稳定)问题,发现存在两类彼此无关的形式,一类对应板的纯面内振动(稳定),而另一类则是一般意义上的板的弯曲振动(稳定)# 给出了数值结果,并考察了相关参数的影响# 关 键 词: 横观各向同性; 矩形板; 状态空间法中图分类号: O34311 文献标识码: A引 言矩形板的静动力学研究一直是固体力学的一个重要方向,其中新材料和新结构的不断出现为这一研究注入了无穷的生机和活力# 对于厚板,经典板理论不再适用;当材料是各向异性时,各阶修正的板理论也存在不同程度的缺陷,特别是不能充分反映所有弹性常数的影响# 问题的完满解决只有依赖于三维精确分析,可以用双三角函数展开方法来获得四边简支各向同性矩形板的三维精确解,这一方法同样可推广应用于正交各向异性板以及相应的层合板# 基于状态空间方程的分析方法(也称为初始函数法)与传统解法相比,最后的求解矩阵的阶数不随层数的增加而扩大,因此特别适用于层合结构的分析[1]# Fan 和Ye [2]通过对原方程的重新安排,构造了对应正交各向异性弹性理论的一个状态空间方程,并应用于正交各向异性层合板的分析# Ding 等[3]最近结合有限Hankel 变换考察了横观各向同性层合圆板的轴对称自由振动#本文针对横观各向同性层合矩形板(假设各向同性面和板的中面相平行)的弯曲、振动和稳定问题进行了分析# 通过引入两个位移函数和两个应力函数,我们发现可将横观各向同性弹性力学的三维基本方程化为两个相互独立的状态空间方程# 这使得本文方法不仅具有一般状态空间方法的优越性,而且使原方程得到解耦和降低,从而极大简化了具体问题的求解# 针16应用数学和力学,第22卷第1期(2001年1月)Applied Mathematics and Mec hanics应用数学和力学编委会编重庆出版社出版X收稿日期: 1999_11_23;修订日期:2000_10_13基金项目: 国家自然科学基金资助课题(198720260)作者简介: 丁皓江(1934)),男,江苏常州人,教授,博导.对四边简支的层合矩形板的弯曲、振动和稳定问题,分别导出了最终的求解方程,并给出了具体算例#1基本方程对于横观各向同性弹性体,在直角坐标系中其广义Hooke定理可表示如下R x=c115u5x+c125v5y+c135w5z,S xz=c445w5x+5u5z,R y=c125u5x+c115v5y+c135w5z,S yz=c445w5y+5v5z,R z=c135u+c135v+c335w,S xy=c665u5y+5v5x,(1)式中记u、v和w分别为x、y和z方向的位移分量,c i j是弹性常数,其中c11-c12=2c66#控制微分方程为[4]5R x 5x+5S xy5y+5S xz5z=Ku,5S xy 5x+5R y5y+5S yz5z=Kv,5S xz 5x+5S yz5y+5R z5z=Kw,(2)对应于弯曲、振动和稳定问题,式中K分别等于0、Q52/5t2和T152/5x2+T252/5y2,这里Q为材料密度,T1和T2分别是矩形板沿x和y方向所承受的均匀压力#几何关系可以在任何一本弹性力学专著中找到,这里不再重述#2状态空间法列式对位移u和v,剪应力S xz和S yz作如下变量替换u=-5W5y-5G5x,v=5W5x-5G5y,S xz=-5S15y-5S25x,S yz=5S15x-5S25y#(3)将式(3)代入式(1)中S xz和S yz的表达式,得-55y S1-c445W5z-55x S2+c44w-c445G5z=0,55x S1-c445W5z-55y S2+c44w-c445G5z=0#(4)根据文[5]附录A的证明,由式(4)可得S1-c445W5z=0,(5) S2+c44w-c445G5z=0#(6)将式(1)和(3)代入式(2)的前两式得-55y A-55x B=0,55x A-55y B=0,(7)式中A=c66+W+5S15z-K W,(8)17丁皓江陈伟球徐荣桥B =c 11+G -c 135w 5z +5S 25z -KG,(9)其中+=52/5x 2+52/5y 2为平面Laplace 算子# 同理由式(7)得A =0,(10)B =0,(11)另利用式(3)分别由式(1)的第五式和式(2)的第三式,得5w 5z =c 13c 33+G +1c 33R z,(12)5R z5z=Kw ++S 2# (13)将式(12)代入式(9)消去5w /5z ,则由式(10)和(11)得5S 1/5z 和5S 2/5z 的表达式# 式(5)、(6)、(10)、(11)、(12)和(13)可写成如下矩阵形式:55z WS 1=01/c 44K -c 66+0W S 1,(14)55z GRz S 2w =001/c 4410+K K -(c 11-c 213/c 33)+c 13/c 33(c 13/c 33)+1/c 3300G R z S 2w#(15)可以看出,六个状态变量W 、S 1、G 、R z 、S 2和w 分成相互独立的二组:状态空间方程(14)和(15)与原方程相比,都得到了降阶,有利于具体问题的求解#利用本构关系式(1)容易将另三个应力分量用状态变量来表示,即R x +R y =-c 11+c 12-2c 213c 33+G +2c 13c 33R z,R x -R y =-2c 66252W5x 5y+525x 2-525y2G ,S xy =c 66525x 2-525y 2W -252G 5x 5y#(16)3 矩形板的弯曲、振动和稳定考虑总层数为p 的横观各向同性层合板形板,各向同性平面平行于板中面,取坐标如图1所示# 可以假设W S 1=E ]m=0E ]n=0h 2 W (F )hc (1)44 S 1(F )cos (m PN )cos (n PG )exp (i X t),(17)G R z S 2w =E ]m=1E]n=1h 2 G (F )c (1)44 R z (F )hc (1)44 S 2(F )h w (F )sin (m PN )sin (n PG )exp (i X t),(18)其中F =z /h 、N =x /a 和G =y /b 为无量纲坐标,c (1)44代表第一层的弹性模量# 对于振动问题X 为谐振动的圆频率;对于弯曲或稳定问题,则X =0# 按照式(17)和(18)的假设,可知边界上满足如下三维的简支条件:18横观各向同性层合矩形板弯曲、振动和稳定的三维精确分析图1 层合矩形板的几何示意图当x =0,a 时;R x =v =w =0;当y =0,b 时:R y =u =w =0#将式(17)和(18)代入式(14)和(15)两式,利用三角函数的正交性质,对于任何一对模态数组合(m,n)可得dd F V 1(F )=M 1V 1(F ),(19)dd FV 2(F )=M 2V 2(F ),(20)式中V 1=[ W , S 1]T,V 2=[ G , R z ,S 2, w ]T,且M 1=c (1)44c 44c 66Ac (1)44-f 0, M 2=0c (1)44c 4410-A -f (c 33c 11-c 213)Ac 33c (1)44-f c 13c 33-c 13A c 33c (1)44c 3300,(21)其中A =k 21+k 22,k 1=(h/a)m P ,k 2=(h/b)n P # 对于弯曲、振动和稳定问题,分别有f =0、f =82Q /Q (1)和f =T 1k 21/c (1)44+T 2k 22/C (1)44,这里82=Q (1)X 2h 2/c (1)44为量纲一的频率,Q (1)代表第一层材料的密度#式(19)和(20)为常微分形式的状态空间方程,利用矩阵理论,可以得到其解为V 1(F )=exp [M 1(F -F j-1)]V 1(F j-1) (F j-1[F [F j ;j =1,2,,,p ),(22)V 2(F )=exp [M 2(F -F j-1)]V 2(F j-1) (F j-1[F [F j ;j =1,2,,,p ),(23)其中F 0=0,F j =E ji=1h i /h #指数矩阵函数exp [M k (F -F j )]通常被称为传递矩阵,可用Cay-ley_Hamilton 定理将其表示成矩阵M k 的多项式[6]#对于完全粘合的层合板,在层间要求u ,v ,w ,R z ,S xz 和S yz 连续,在这里转化为状态变量在界面上要连续,于是从式(22)和(23)出发,可得到如下关系式V 1(1)=T 1V 1(0),(24)V 2(1)=T 2V 2(0),(25)式中T 1=F 1j=pexp [M 1(Fj -F j-1)]和T 2=F 1j =pexp [M 2(Fj -F j-1)]分别为二阶和四阶的方阵#对应于弯曲、振动和稳定问题,利用层合板上下表面条件可从式(24)和(25)出发导出最后的求解矩阵#1)弯曲假设板的下表面自由,上表面承受任意分布荷载q (x ,y ),则首先可将q (x ,t)展开成如下形式:q (x ,y )=E]m,n=1q mn sin (m PN )sin (n PG ),(26)其中q mn =4Q 10Q 1q (N ,G )sin (m PN )sin (n PG )d N d G #此时易知 W = S 1=0,同时因在上下表面19丁 皓 江 陈 伟 球 徐 荣 桥有 S 2(0)= S 2(1)= R 2(0)=0, R z (0)=-q mn /c (1)44,于是由式(25)中的第二、三式可得到 G (0) w (0)=q mn c (1)44T 221T 224T 231T 234-1T 222T 232,(27)式中T 2ij 为矩阵T 2的元素# 上表面的状态变量已知后,任意点的状态变量可由下式求出V k (F )=exp [M k (F -F j-1)]F 1i=j-1exp [M k (F -F i -1)]V k (0),(k =1,2;F j-1[F [F j ),(28)而其它导出变量由式(16)给出#2)自由振动对于自由振动问题,板的上下表面为自由,相应的条件可表示为 R z = S 1= S 2=0 (F =0,1)#(29)由式(24)和(25)可导出对应两类不同振动形式的频率方程T 121=0,(30)T 221T 224T 231T 234=0,(31)其中频率方程(30)对应板的平面内振动,而频率方程(31)则对应一般的弯曲振动# 由式(30)或(31)可以求出无量纲频率8,然后由式(24)或(25)及式(28)可定出状态矢量的振动模态,其它导出变量的振动模态由式(16)决定#3)稳定对于稳定问题最后的方程也归结为式(30)和(31),此时由式(30)或(31)可以求出等效的临界应力T cr =T 1k 21/c (1)44+T 2k 22/c (1)44#同自由振动问题的一样,稳定也存在两类形式,即对应式(30)的面内稳定及对应式(31)的弯曲稳定#4 算 例首先考察一个三层的四边简支矩形板受正弦荷载q sin (P N )sin(PG )的作用的问题# 设上下两层的材料相同,为横观各向同性,材料的弹性常数如下:图2 板中心点正应力沿厚度方向的分布c 11=20@1010Pa , c 12=12@1010Pa ,c 13=c 33=2@1010Pa , c 44=1@1010Pa ,中间层为各向同性,其泊松比M =013,弹性模量E =21@1010Pa # 对于各向同性材料有:c 11=c 33=E (1-M )(1+M )(1-2M ),c 12=c 13=E M(1+M )(1-2M ),c 44=c 66=E2(1+M )#(32)设上中下三层的厚度比为014:012:014,板的长厚比和宽厚比分别为a/h =10和b/h =5# 图2给出了板中心点三个无量纲正应为R i /q(i =x ,y ,z )沿板厚方向的分布# 从图2可以看出正应力R x 和R y 要比正应力R z 大,在材料界面处R z 是连续的,而R x 和R y 出现跳跃#其次考察前述三层板的自由振动问题,进一步假设各向同性材料和横观各向同性材料的20横观各向同性层合矩形板弯曲、振动和稳定的三维精确分析密度比为210# 图3和图4分别给出了第一类和第二类振动的各模态最低阶频率曲线# 需要指出的是对应第一类振动,我们可取m 和n 中的一个为零,但不能同时为零;对应第二类振动则m 和n 都必须大于零,这一点可从式(3)、(17)和(18)看出# 从图中可以看出最低阶无量纲频率8随模态数m 和n 的增大而增大#图3 第一类自由振动最低阶频率 图4 第二类自由振动最低阶频率5 结 论1)横观各向同性弹性体的状态空间方程也可从三维理论出发以u,v ,w ,R z ,S xz 和S yz 为状态变量直接导出,不过这样做将导致一个六变量的状态空间方程,比本文所得到的要复杂,且后续求解也显得复杂#2)引进位移及应力分解式(3),能够方便地得出板的自由振动(稳定)存在两类独立的形式的结论,这也是本文方法的一大优点#3)由于文章长度的限制,本文仅给出了三个图例# 其它的数值结果表明,对于厚板R z 与R x 和R y 相比不可忽略,因此那些忽略R z 影响的板理论在厚板情形是不适用的#4)从式(14)和(15)可知,这两个方程在圆柱坐标系中也是适用的,因此可以用来分析圆板的非轴对称变形和振动等问题#[参 考 文 献][1] Das Y C,Setlur A V.Method of initial functions in two_dimensional elastodynam ic problems[J].JAppl Mech ,1970,7(1):137)140.[2] Fan J R,Ye J Q.An exact solution for the statics and dynamics of laminated thick plate with or -thotropic layers[J].Int J Solids Stru ct ,1990,26(5/6):655)662.[3] D ING Hao_jiang,XU Rong _qiao,CHEN Wei _qiu,Chi Y W.Free axisym metric vibration of transverse -ly isotropic lam inated circulal plates[J].Acta M echan ica Solida Sinica ,1998,11(3):209)215.[4] 丁皓江,梁剑,邹道勤,等.横观各向同性弹性力学[M].杭州:浙江大学出版社,1997.[5] D ING Hao _jiang,Chen B,Liang J.On the general solutions for coupled equation for piezoelectric me -dia[J].Int J Solids Str uct ,1996,33(16):2283)2298.[6] 罗家洪.矩阵分析引论[M].广州:华南理工大学出版社,1992.21丁 皓 江 陈 伟 球 徐 荣 桥22横观各向同性层合矩形板弯曲、振动和稳定的三维精确分析On the Bending,Vibration and Stability ofLaminated Rectangular Plates WithTransve rsely Isotropic LayersD ING Hao_jiang,CHEN Wei_qiu,XU Rong_qiao(Depar tm ent of Civil Engin eer in g,Zhejian g Un iver sity,Han gzhou310027,P R Chin a)Abs tract:A m ethod based on newly presented state space formulations is developed for analyzing the bending,vibra tion and stability of lamina ted transversely isotropic rectangular plates with simply sup-ported edges.By introduc ing two displacement functions and two stress functions,two independent state equations were constructed based on the three_dimensiona l elasticity equations for transverse isotropy.The original diffe rential equations are thus decoupled with the order reduced that will fac il-i tate obtaining solutions of various problems.For the simply supported rec tangula r plate,two relations between the state variables at the top and bottom surfaces were established.In pa rticula r,for the free vibration(stability)problem,it is found that there exist two independent classes:O ne corresponds to the pure in_plane vibration(stability)a nd the other to the general bending vibra tion(stability).Nu-merical examples are finally presented and the effec ts of som e parameters are discussed.Key wo rds:transverse isotropy;rectangular plate;state space method。

横观各向同性双参数地基上矩形薄板的弯曲何芳社;悦峰【摘要】弹性地基板是建筑工程中常见的构件,对其进行分析具有重要意义.对于工程中的大量由沉积作用形成的天然地基和分层碾压填筑而成的人工地基,采用横观各向同性地基模型更接近工程实际地基.本文将地基—板作为一个整体系统,利用最小势能原理,经过变分运算,推导建立了横观各向同性双参数弹性地基上矩形薄板弯曲的控制方程及其相应的边界条件.然后选取合理的挠度试函数,采用里兹法,对受横向荷载作用的四边自由矩形薄板进行了数值分析.计算表明:通过与其他文献的结果对比,两者吻合良好.所用理论在研究地基板的相互作用中具有普适性,为横观各向同性双参数弹性地基的应用奠定了基础.【期刊名称】《西安建筑科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(050)005【总页数】6页(P755-760)【关键词】横观各向同性;双参数地基;最小势能原理;矩形薄板;里兹法【作者】何芳社;悦峰【作者单位】西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055;西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055【正文语种】中文【中图分类】TU348研究结构物基础与支撑土介质间的相互作用对结构工程和岩土工程均具有重要意义.随着建设项目的不断增多，出现了许多梁状、板状和壳型的结构物，相应地对于基础与地基提出更高的标准和要求.特别是基础工程具有隐蔽性，对于结构的安全和经济方面会有重大的影响；工程中质量事故有一部分出现在基础与地基中，不但损失巨大，而且难以采取合适的措施来加固.学术界和工程界致力于如何将这些工程实例合理地简化为相应的弹性地基上的梁、板、壳的问题，并进行更加准确且简便的计算.针对弹性地基上梁、板、壳的模型，国内外专家学者都进行了许多富有成果的工作.比如 Vallabhan C V G等对双参数地基上板、梁的能量和参数及内力、边界条件进行了求解说明[1].Yang用有限元法分析双参数地基时指出还没有方法可以计算参数值[2].Jones和Xenophontos推导出了双参数地基中参数和表面变形的联系[3].Nogami和Lam分析了地基板的双参数模型，然而此方法仅限于平面应变[4].Celep Z分析研究了无拉力情形下弹性地基上矩形板的弯曲[5].国内方面，王克林、黄义[6]和张福范、黄晓梅[7]用叠加法分析探讨了地基上矩形板体的弯曲；陈叔陶等根据变分原理通过Ritz法分析求解了弹性地基上板体的弯曲[8]；阎红梅、崔维成等引入新挠度函数，通过伽辽金法对弹性地基上矩形板进行了研究[9].前人对地基板经典问题的研究存在有待深入探讨的方面.比如现有的弹性地基理论体系认为介质是连续、线弹性、均匀和各向同性的，且服从小变形假设.对应的弹性地基模型可总结为：文克尔模型、双参数模型和弹性半空间模型[10].但试验表明许多地基的性质更接近于横观各向同性.鉴于目前对横观各向同性地基上矩形板的研究并不充分，本文考虑地基横观各向同性，研究双参数地基上矩形板的弯曲问题，对地基与矩形薄板的相互作用进行系统的分析.首先利用最小势能原理，经过变分运算，建立了横观各向同性弹性地基上板的控制微分方程和边界条件，该结果可退化到经典的双参数弹性地基板理论.综上所述，本文的创新之处在于：从能量角度出发，考虑实际土体的横观各向同性的属性，改进和丰富了符拉索夫双参数弹性地基模型，具有一定的学术与应用价值.为验证理论正确性，最后利用里兹法进行了数值计算，效果较好.1 系统形变势能将地基—板作为一个整体，该系统的总势能泛函[11-12]为U=UP+US+Uq(1)式中，各物理量依次为总势能，板的形变势能，地基的形变势能和外力势能.根据弹性薄板理论[13]，得板的形变势能(2)其中：是板的弯曲刚度；E和μ是板的弹性模量和泊松比；w是板的挠度；Ω是矩形薄板区域，即x∈[0,a],y∈[0,b].根据弹性理论中弹性体的形变势能，有∭(σxεx+σyεy+σzεz+τxyγxy+τyzγyz+τzxγzx)dxdydz(3)假定地基的水平位移分量us=0,vs=0，竖直位移分量ws(x,y,z)=w(x,y)φ(z)，φ(z)为衰减函数，且满足条件φ(0)=1,φ(H)=0.令E1,μ1为各向同性面内变形模量和泊松比，E2,μ2为各向同性面法线方向变形模量和泊松比，G为与各向同性面垂直的平面内剪切模量.则横观各向同性弹性地基的本构关系和几何关系[14][15]为(4)其中的Cij是地基土的物性常数，与工程常用的材料弹性常数有如下关系(5b)(6a)(6b)将上面(4)和(6)式代入(3)式，得地基的形变势能(7)其中：VS为地基体积区域；ΩS为地基表面区域.(8)外力势能为(9)2 控制方程和边界条件由最小势能原理，经过变分，可得板控制方程D4w=q-kw+Gp2w(10)及板外地基控制方程-kws+Gp2ws=0(11)图1 弹性地基板示意图Fig.1 Element of plate and foundation现将地基ΩS区域划分为为板下区域和板外区域进一步将板外地基范围分为四个边域(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ)和四个角域(A,B,C,D)，如上图1所示.假设ws(x,y)按指数规律衰减，子域地基表面位移形式如表1所示，其中的α由(11)式及位移连续性可确定为α2=k/Gp (12)表1 地基挠度的表达式Tab.1 Deflection expression of foundation子域地基挠度表达式Ⅰws=w(a,y)e-α(x-a)Ⅱws=w(x,b)e-α(y-b)Ⅲws=w(0,y)eαxⅣws=w(x,0)eαyAws=w(a,b)e-α(x-a)e-α(y-b)Bws=w(0,b)eαxe-α(y-b)Cws=w(0,0)eαxeαyDws=w(a,0)e-α(x-a)eαyΩws=w(x,y)经过计算，并注意到变分项的任意性，可得关于x=a边和(a,b)角点的边界条件如下若边界为固定边，则挠度与转角为零，即(13)若边界为简支边，则挠度与弯矩为零，即(14)若边界情况为自由边，得(15)Mx|x=a=0(16)当(a,b)为自由角点时，则δw为零，得(18)矩形薄板其它边界和角点的条件与上类似.令物性常数E1=E2=Es,μ1=μ2=μs,C44=Gs，可将横观各向同性地基退化为各向同性地基，得到那么式(10)—式(18)退化后与传统的各向同性双参数地基上矩形板的控制方程和边界条件保持一致[16-17]，即方程表达形式没有变化，但其中地基土的双参数发生变化.表明土体的各向同性属性是横观各向同性属性的一种特殊情况，而横观各向同性则更具有普遍的意义.3 算例采用里兹法对弹性地基上矩形薄板进行计算.对于四边自由的边界条件而言，可以选取如下的挠曲试函数(19)其中：而w0,θx,θy,Amn,Bm,Cn是待定系数.具体分析如下：w0+xθx+yθy为整个板的刚体位移，中间的为板任意位置上的二维挠度，最后两项表示板在对应方向上的挠曲.由下列各式20)(21)分别整理后可以得到如下系列方程组，即[kab+2Gpα(a+b)+3Gp]w0+(23)(24)…[1-(-1)n]Bm+[1-(-1)m]Cn=(m,n=1,2,3,···)(25)(m,n=1,2,3,…)(26)(m,n=1,2,3,…)(27)可见未知数的数目和方程的个数相等，问题可解.以下算例中均取m=50,n=50. 例1 取板的弹性模量E=1.96×104 MPa，泊松比为μ=0.167，地基的弹性模量为Es=39.2 MPa，泊松比为μs=0.4，深度为H=0.6 m，地基参数γ=1.55，板宽a=1 m，板厚h=0.04 m，集中力P=98 kN，均布荷载q=9.8 kN/m2.图2是依据本法绘制的双参数地基上矩形薄板的挠度图，图3是弯矩图，宏观定性看出图形的趋势走向及数值大小与实际符合.表2中第一行是双参数地基矩形薄板的精确解[18-19]，第二行是本文由横观各向同性弹性地基退化为各向同性弹性地基的计算结果.微观定量进行比较，两者结果吻合良好，百分误差都在可接受的较小范围之内，证明了分析结果的可靠性.图2 矩形板的挠度分布Fig.2 Deflection distribution of rectangular plate图3 矩形板的弯矩分布Fig.3 Bending moment of rectangular plate表2 例1中板的挠度值/mTab.2 Deflection of rectangle plate in Example1x/my/m0.5000.6250.7500.8750.5000.002 70.002 00.001 10.000 40.002690.001 970.001 130.000 520.6250.002 00.001 60.000 90.000 30.001970.001 600.000 960.000 460.7500.001 10.000 90.000 50.000 20.001130.000 960.000 630.000 310.8750.000 40.000 30.000 2-0.000 1 0.000 520.000 460.000 310.000 14例2 矩形薄板的物理和几何参数，荷载情况同例1，横观各向同性地基参数选取如下，Es1=39.2 MPa,Es2=29.4 MPa,μ1=0.4,μ2=0.4,G=14 MPa,计算结果见文后的表3.由于现有文献中没有关于横观各向同性双参数地基上矩形薄板受横向荷载作用的弯曲挠度，所以本算例只与退化后的各向同性双参数地基上矩形薄板的结果相比较. 首先，经过编程运算，横观各向同性双参数地基上受横向荷载作用的矩形薄板的变形图与图2相似，也就是图形的趋势走向及数值大小与实际吻合.其次，定量地分析，表3中第一行是本文各向同性双参数地基板的挠度，第二行是本文横观各向同性双参数地基板的计算结果.经过比较，同性地基情况解略大于横观各向同性地基情况的解.定性分析原因在于地基土体假设为横观各向同性体，相比于各向同性体而言，土体的本构关系有所不同；也就是在对横观各向同性地基假定弹性常数时，弹性模量比各向同性地基土的较小，从而导致横观各同性双参数的地基参数k变大，所以板与地基的变形局部变小.最后，值得一提的是，关于结果符合工程实际的讨论中，本文只在理论上给出证明，即采用更接近工程实际情况的横观各向同性地基来推导计算，核心在于其本构关系不同于经典的各向同性双参数地基；缺少通过原位试验来测量矩形薄板受载后的变形结果，或者利用有限元软件来模拟计算，这将是之后科研的方向和目标.另外，参考文献[18-19]中采用了一些旧的单位制，为了既可方便地与已有结果进行对比，同时又遵循国标单位制，现给出基本的单位换算关系1 t=103 kg,1Pa=1 N/m2,g=9.8 m/s2表3 例2中板的挠度值(m)Tab.3 Deflection of rectangle plate in Example2x/my/m0.5000.6250.7500.8750.5000.002 690.001 970.001 130.000520.002 500.001 800.001 000.000 450.6250.001 970.001 600.000 960.000 460.001 800.001 440.000 850.000 390.7500.001 130.000 960.000 630.000 310.001 000.000 850.000 550.000 260.8750.000 520.000 460.000 310.000 140.000 450.000 390.000 260.000 124 结论分析了横观各向同性双参数弹性地基上矩形薄板的弯曲问题，主要工作为：考虑地基土体的横观各向同性，推导出地基—板系统的形变势能，利用最小势能原理，通过变分运算，建立了弹性地基上矩形薄板弯曲的控制方程和边界条件；然后选取挠度试函数，采用里兹法求解四边自由矩形板受横向荷载的弯曲挠度.得到如下几点结论：(1)从能量方面出发，利用最小势能原理推导出横观各向同性双参数地基上矩形薄板弯曲的控制方程和边界及角点条件.考虑实际地基土体的横观各向同性，改进和丰富了符拉索夫双参数弹性地基模型，可促进其更加广泛地应用.(2)横观各向同性双参数弹性地基模型，与Vlasov双参数弹性地基模型一样，用两个独立参数表示抗压和抗剪性能.主要区别在于考虑地基土体横观各向同性时，由土体本构关系不同而导致的双参数具体计算表达形式不同.(3)选取合适的挠度函数，将地基上板受横向荷载作用的控制微分方程问题转化为代数方程组的求解问题.算例分为退化成各向同性双参数和横观各向同性双参数地基两种.模型退化过程中，通过与其他文献的计算结果对比，两者吻合良好，证明了本文理论推导和计算结果的正确性.(4)结果表明，考虑地基土体的横观各向同性属性时，矩形板和地基的变形会与各向同性弹性地基的情况不同，即地基模型的假设简化会对板的弯曲产生一定的影响，所受影响的大小由选取的横观各向同性地基土体的物性常数来决定.总之，本文对于横观各向同性双参数地基上四边自由矩形薄板的弯曲问题进行了相关研究.修正的模型和方法具有一定的创新性，相关成果和结论具有重要的理论意义，同时对于实际工程问题的解决和设计仿真软件的开发等方面均具有指导价值和参考作用.参考文献 References【相关文献】[1] VALLABHAN C V G,DAS Y C.Modified Vlasov model for beams on elastic foundations[J].Journal of Geotechnical Geoenvironmental Engineering,1991,117(6):956-966.[2] YANG T Y.A finite element analysis of plates on a two-parameter foundationmodel[J].Comput.Struct.,1972,(2):593-614.[3] 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横观各向同性层状岩石地基对高拱坝的影响
杨令强;武甲庆;秦冰
【期刊名称】《水资源与水工程学报》
【年(卷),期】2007(18)3
【摘要】层状岩体具有明显的各向异性,其材料参数和屈服准则是层面方向的函数,本文给出了线弹性和弹塑性横观各向同性体的本构关系,并对横观各向同性对高拱坝的动、静力影响进行了研究,结果表明,横观各向同性对拱坝的位移和应力影响是非常明显的,特别是两岸岩层分布不一致的情况下影响更严重;横观各向同性对拱坝动力特性的影响比对静力的影响显著,不但对频率有所影响,而且振型也变化很大,并且对高阶振型的影响要比低阶振型严重。

【总页数】4页(P6-9)
【关键词】高拱坝;横观各向同性;弹塑性;动力特性
【作者】杨令强;武甲庆;秦冰
【作者单位】济南大学土木建筑学院;山东省水利厅;山东水利设计院
【正文语种】中文
【中图分类】TV31
【相关文献】
1.层状横观各向同性地基上刚性条形基础动力刚度系数 [J], 巴振宁;胡黎明;梁建文
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横观各向同性地基模型的理论分析及其应用
乔世范;顿志林;刘宝琛
【期刊名称】《岩土工程技术》
【年(卷),期】2003(000)004
【摘要】根据横观各向同性体各向同性面水平时本构方程推导出了横观各向同性面倾斜时的本构方程并得出了横观各向同性地基在上述两种情况下的自重应力计算公式.运用本论文的理论,从自重应力角度能很好的解释水平应力大于竖直应力和水平应力的各向异性这些重要的实测现象.
【总页数】7页(P213-219)
【作者】乔世范;顿志林;刘宝琛
【作者单位】中南大学士建学院,长沙,410075;焦作工学院土建系,焦作,454000;中南大学士建学院,长沙,410075
【正文语种】中文
【中图分类】TU47
【相关文献】
1.基于横观各向同性超弹性理论的短纤维增强橡胶本构模型的建立与应用 [J], 董金平;张志强
2.倾斜横观各向同性单层地基模型的研究 [J], 尹久仁;吴文虎;常瑞鼎;徐勣辉;谢威
3.横观各向同性在抗滑桩加固边坡中的应用 [J], 胡聪;张永攀
4.应用横观各向同性材料模型的钢缆接触分析 [J], 段立志;高超
5.惯性熵理论在横观各向同性圆柱壳中的应用 [J], 王蔚;赵社戌
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横观各向同性岩体地基中赋存裂纹断裂力学分析
王炳军;党彦;孙凌志
【期刊名称】《水利与建筑工程学报》
【年(卷),期】2013(000)006
【摘要】采用无双材料对偶边界元方法分析了半无限横观各向同性岩体地基中赋存的正方形裂纹，裂纹面上作用着法向均布力，横观各向同性岩体地基的各向同性面平行于半无限域自由面。

数值计算得到了该类裂纹的应力强度因子值。

根据数值结果讨论了横观各向同性岩体地基弹性参数、裂纹面对各向同性面的倾角赋存裂纹应力强度因子的影响。

结果表明，岩体地基弹性系数、裂纹面对各向同性面的倾角对裂尖应力强度因子有明显影响。

在弹性系数中，弹性模量对应力强度因子的影响最为敏感。

【总页数】3页(P82-84)
【作者】王炳军;党彦;孙凌志
【作者单位】山东科技大学土木建筑学院，山东青岛 266510;青岛滨海学院机电工程学院，山东青岛 266555;山东科技大学土木建筑学院，山东青岛 266510【正文语种】中文
【中图分类】O346.1
【相关文献】
1.横观各向同性岩体中复杂地应力反演参数敏感度分析 [J], 张志增;张欣
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5.自由面压力作用下横观各向同性地基多裂纹分析 [J], 王炳军;肖洪天;党彦;岑达因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

横观各向同性地基各向异性对应力场影响研究王炳军;肖洪天;党彦;孙凌志【期刊名称】《四川大学学报（工程科学版）》【年(卷),期】2015(047)006【摘要】在重力的作用下,岩层和土层往往呈现横观各向同性.基于横观各向同性双材料基本解,发展了横观各向同性地基弹性场的分析方法,并编写了相应的Fortran 程序.该方法能分析加载域为任意形状和荷载为非均匀分布的半无限地基问题,并且能获得很高的计算精度.采用建议方法分析了法向或切向均布力作用下平行与垂直层面方向的弹性模量、剪切模量和泊松比的各向异性对矩形基底中心点与角点下附加应力的影响.结果表明:弹性模量的各向异性仅对法向均布力时中心点与角点下的附加应力有明显影响;剪切模量的各向异性除对角点下平行层面的附加应力基本无影响外,其他均影响明显;泊松比的各向异性基本无影响.【总页数】9页(P40-48)【作者】王炳军;肖洪天;党彦;孙凌志【作者单位】山东科技大学土木工程与建筑学院山东省土木工程防灾减灾重点实验室,山东青岛266590;山东科技大学土木工程与建筑学院山东省土木工程防灾减灾重点实验室,山东青岛266590;青岛滨海学院建筑工程学院,山东青岛266555;山东科技大学土木工程与建筑学院山东省土木工程防灾减灾重点实验室,山东青岛266590【正文语种】中文【中图分类】TU431【相关文献】1.板面为各向异性面的横观各向同性拉伸板的精化理论 [J], 李荣荣;赵宝生2.板面为各向异性面的横观各向同性弯曲板的精化理论 [J], 李荣荣;赵宝生3.自由面压力作用下横观各向同性地基多裂纹分析 [J], 王炳军;肖洪天;党彦;岑达4.横观各向同性双参数地基上矩形薄板的弯曲 [J], 何芳社;悦峰5.基于FLAC3D横观各向同性模型的煤矿井田初始地应力场反演方法 [J], 余大军;杨张杰;郭运华;杨永刚;王波因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

强厚度横观各向同性地基板的精确解
高荣誉;范家让
【期刊名称】《安徽建筑工业学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】1996(000)003
【摘要】基于三维弹性力学的基本方程,抛弃任何有关应力或位移模式的人为假定,建立横观各向同性地基板的状态方程,给出薄的、中等厚度的以及强厚度的地基板的状态方程解析解。

此解计及5个弹性常数,并能求出地基反力。

数值结果和SAP5有限元解进行了对比。

【总页数】7页(P10-16)
【作者】高荣誉;范家让
【作者单位】[1]安徽建筑工业学院计算机工程系!合肥230022;[2]合肥工业大学【正文语种】中文
【中图分类】TU470
【相关文献】
1.横观各向同性功能梯度圆板弯曲问题的精确解 [J], 郑磊
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3.四边简支强厚度的地基板的精确解 [J], 高荣誉;范家让
4.任意厚度横观各向同性地基板的混合变分解 [J], 高荣誉;盛宏玉
5.具有固支边横观各向同性叠层地基板的三维解 [J], 高荣誉
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层内竖向变剪模横向同性层状地基—基础共同作用分析的开题报告题目：层内竖向变剪模横向同性层状地基—基础共同作用分析一、研究背景随着建筑物的高度和重量的增加，地基和基础的稳定性问题日益引起人们的关注。

其中，层状地基—基础结构是一种常见且重要的结构类型。

在层内竖向变剪模横向同性层状地基—基础结构中，横向剪切变形对地基的影响很大，会引起地基沉降、倾斜等问题，对建筑物的使用安全造成潜在威胁。

因此，研究层内竖向变剪模横向同性层状地基—基础共同作用的力学特性和变形规律，对于提高建筑物的稳定性和安全性具有重要意义。

二、研究目的本研究旨在探讨层内竖向变剪模横向同性层状地基—基础结构在外力作用下的变形规律和力学特性，分析层状地基的变形机制和基础的承载能力，从而提出相应的防护措施和完善建筑物的设计和施工。

三、研究内容与方法1.研究层内竖向变剪模横向同性层状地基—基础结构的共同作用机制和力学特性。

2.建立数学模型和力学模型，对层内竖向变剪模横向同性层状地基—基础结构进行力学分析和模拟计算。

3.通过有限元分析软件对模型进行计算分析，得出层状地基和基础的位移、变形等力学参数，探讨层内竖向变剪模横向同性层状地基—基础结构的稳定性和安全性。

4.通过现有同类型案例分析，提出层内竖向变剪模横向同性层状地基—基础结构设计和施工的防护措施和建议。

四、研究意义本研究对于提高建筑物的稳定性和安全性具有重要意义。

通过对层内竖向变剪模横向同性层状地基—基础结构的共同作用分析，可以深入理解层状地基和基础的变形机制和力学特性，为建筑物的设计和施工提供科学的参考和指导。

同时，本研究可以为层状地基和基础的健康监测和保护提供科学依据，提高建筑物的可持续发展能力。

五、研究计划1.研究文献资料搜集：2022年1月-2022年2月2.数学模型和力学模型建立：2022年3月-2022年5月3.有限元分析计算：2022年6月-2022年7月4.分析结果总结，撰写论文：2022年8月-2022年10月5.论文修改、完善：2022年11月-2022年12月。

横观各向同性地基轴对称问题的应力和沉降分析
顿志林;刘干斌;乔世范;任良
【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2002(021)001
【摘要】通过实验发现岩土地基中普遍存在各向异性现象,而目前按照各向同性地基模型计算势必会引起较大误差,为了提高地基中应力和沉降计算的精确度,本文将各向同性轴对称问题下的拉甫位移函数推广到横观各向同性地基轴对称问题,得到了位移分量与横观各向同性下拉甫位移函数的关系式,并通过积分变换得到了横观各向同性地基应力和沉降的通解.
【总页数】5页(P64-68)
【作者】顿志林;刘干斌;乔世范;任良
【作者单位】焦作工学院土木建筑工程系,河南,焦作,454000;焦作工学院土木建筑工程系,河南,焦作,454000;中南大学,湖南长沙,410083;焦作工学院土木建筑工程系,河南,焦作,454000
【正文语种】中文
【中图分类】TB12
【相关文献】
1.横观各向同性多层地基中单桩的弹性沉降分析 [J], 施金坤;陈志祥;徐满清
2.横观各向同性地基上的碾压混凝土重力坝应力应变研究 [J], 苏超;董安雨;刘崇巍;何志亮;徐汇
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4.层状横观各向同性地基轴对称问题的位移解法 [J], 顿志林;刘干斌;苌向阳
5.几种常见荷载作用下横观各向同性地基轴对称问题的解析解 [J], 顿志林;刘干斌因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。