第五章： 对称性及守恒定律
［１］证明力学量A
ˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[2
22
H H A
A dt
d -=
（H ˆ是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A
ˆ 不显含t ，有
]ˆ,ˆ[1H A
i dt
A d
=
（１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量
]ˆ,ˆ[1H A
i
的平均值，则有： ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1
[
1222
H H A H H A i i dt
A d -==
（２） 此式遍乘2 即得待证式。
［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。
（证明）设A
ˆ是个不含t 的物理量，ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一，求A ˆ在ψ态中的平均值，有：
⎰⎰⎰=
τ
τψψ
d A A ˆ*
将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）
⎰⎰⎰-≡=
τ
τψψd A
H H
A i
H A i dt
A d )ˆˆˆˆ(*1]ˆ,ˆ[1
（１） 今ψ代表H
ˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H
=ˆ （E 为本征值） （２） 又因为H
ˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτ
d A H
d A H
⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ
(*)ˆ()~
(ˆ* （３）
（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量） （２）（３）代入（１）得：
τψψτψψd A H i
d H A i
dt
A d )ˆ
(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰
-=
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰-=
τψψ
τψψd A
i
E d A i
E ˆ**ˆ* 因*E E =，而0=dt
A d
［３］设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H
+=μ
。
（１） 证明
V r p p r dt
d ∀⋅-=⋅ μ/)(2
。
（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2
（证明）（１）z y x p z p y p x
p r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅
，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p r
d t d
⋅=⋅
)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V p
p z p y p x H p r z y x +++=⋅μ )],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[2
22z y x V p p p
p z p y p x
z y x z y x +++++=μ
)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[2
2
2z y x V zp yp xp p p p p z p y p x
z y x z y x z y x +++++++=μ
（２）
分动量算符仅与一个座标有关，例如x
i p x ∂∂
= ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式
可简化成：
]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r
μ
μμ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p x
z y x +++
],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[2122
2
V p z V p y V p x
p p z
p p y p p x z y x z z y y x x ++++
+
=
μ
μ
μ
（３）
前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：
x x x x p x p
p x p p x ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[23
2-= x x x x x x p x p
p x p p x p p x ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ22
23-+-= x x x x x p p x p
p p x ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x p
i p i p i =+= （４） ],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p x
x x x x x x =-=-= x
V x i ∂∂=ˆˆ （５）
将（４）（５）代入（３），得：
}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222z
V z y V y x V x i p p p i H p r z y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ
}ˆ{2V r p
i ∀⋅+=
μ
代入（１），证得题给公式：
V r p p r dt
d ∀⋅-=⋅
μ
2ˆ)( （６）
（２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量A ˆ的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r A
ˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2
=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰
V r p d p r p r dt
d
τ
μ
τψψ （７）
但动能平均值 μ
τψμ
ψ
τ
22ˆ*
2
2p
d p T =
≡
⎰⎰⎰
由前式 V r T ∀⋅⋅=
2
1
［４］设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ） T V n 2= 式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：
（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-=
