关于概率论与数理统计的思考及其概括

关于概率论与数理统计的思考及其概括概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。

研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法来研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在有一些人们不能认识或者根本不知道的随机因素作用下，发生了随机现象。

这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，提示其规律性，作出决策，也可以根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。

概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其规律，透过表面的偶然性，找出其内在规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。

数理统计是以概率论为基础，基于有效地观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。

概率论应用随机变量（多维随机变量）与随机变量的概率分布、数字特征与特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析、与研究，其前提条件是假设随机现象的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中某些参数或某些数字特征是未知的。

概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论的，因此概率论的方法本质上是演绎式的， 而统计学的方法是归纳式的，从所研究对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，按照一定的统计方法得出结论的，例如，统计学家通过大量观测得到的试验数据，按照一定的统计方法得出结论：吸烟与患肺癌有关；吸烟与患支气管炎有关。

此结论不是用数学逻辑推理方法证明得到的。

因此掌握统计学的思想与方法对初学者无疑是很重要的。

下面简要概括本书内容。

第一章 随机事件与概率。

随机事件的概率是概率论研究的基本内容，可见在学习过程中，一定要把基本知识掌握，才能对后面的学习理解更透彻、消化更容易。

本章中介绍了概率论中的基本概念——随机事件与随机事件的概率。

并进一步讨论了随机事件的关系与运算以及概率的性质与计算方法。

其中事件关系中的积（或交）尤其重要。

对A,B 两个任意事件，P(A-B)=P(A)-P(AB)，P(AUB=P(A)+P(B)-P(AB)，并由此推出P(A 1∪A 2∪…∪A n )=∑P(A i )n i=1− ∑P(A i A j )i≠j + … + (-1)n+1P(A 1…A n )。

这些基本公式对后面的学习与理解具有举足轻重的作用。

另外，对概率性质的认识也要到位，因为这些性质往往是一些问题求解的前提条件，甚至有时可以直接依据这些性质来判断所求问题结果的正确性。

因此本章虽比较浅显易懂，但绝不可忽视。

第二章 条件概率与独立性。

本章进一步讨论了随机事件的关系与概率，并研究了基本事件发生与否对其他事件发生的可能性大小的影响。

有条件概率的定义P(A|B)=P(AB)/P(B)，引申出了乘法定理、全概率公式、贝叶斯公式等一些非常有意义的结果。

例如乘法定理——P(AB)=P(A)P(B|A),给我们提供了解决问题的另一种思路，即一个事件先发生，然后另一个事件在前一事件发生条件下发生，它们的乘积就是这两个事件的积（两事件同时发生）。

并且推广到n 个事件，即P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 2A 1)…P(A n |A 1A 2…A n-1)。

在事件的独立性中，定义了A,B 两事件独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B)，或者P(B|A)=P(B),[P(A)>0]；对与多个事件的独立性，则定义了，当P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A),并且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)时，则A,B,C 相互独立。

由定义可知，若三个事件相互独立，则它们一定是两两独立的，但两两独立不一定是相互独立。

对n 个事件，则有一个很重要的定理，即若事件A 1,A 2,…,A n 相互独立，则将其中任意个事件换成对立事件仍然相互独立，即事件A 1̂,A 2̂,…,A n ̂也相互独立，其中A i ̂取A i 或A i ̅(i=1,2,…,n)。

这一定理可以为我们解题带来许多便易之处。

第三章 随机变量及其分布。

由于随机事件是集合，因此无法用数学分析的工具加以研究，本章中引入的随机变量，使得概率论的研究对象由随机事件扩大为随机变量，它的建立是概率论发展史上的重大突破，对于随机变量的分布函数，可以用微积分为工具进行研究，强有力的数学分析的工具大大增强了我们研究随机变量的手段，从而使概率论的发展进入了一个新阶段。

本章主要介绍了随机变量及其分布函数，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度，常用的离散型和连续性的随机变量及随机变量函数的分布等。

其中常见的分布列有：0-1分布、二项分布（X ~B(n,p ）、泊松分布（X ~p(λ)）、几何分布（X ~G(p)）等，他们属于离散型随机变量。

在连续型随机变量中，分布函数及概率密度均有着各自的性质，他们对解题往往起到引导作用，其中常用的有均匀分布、指数分布、正态分布，它们均有着特殊的一些性质。

例如在正态分布函数中，可以将一般的正态分布N(μ,σ2)的分布函数转化为标准正态分布N(0,1)，它们之间的关系是F(x)=Φ(x−μσ)。

总之，本章中的知识大大地扩展了慨率论的作用，具有不可估量的实用价值。

第四章 多维随机变量及其分布。

在第三章中所讨论的随机现象只涉及到一个随机变量，但在很多随机现象中，往往要涉及到多个随机变量，为此本章引进多维随机变量的概念，并重点讨论了二维随机变量。

本章的主要内容有：讨论二维随机变量及其分布（包括连续性和离散型）、边缘分布及条件分布、随机变量的独立性、随机变量函数的分布等。

类似一维随机变量分布函数，本章定义了二维随机变量的分布函数，即F(x,y)=P(X ≤x,Y ≤y )。

同样，关于二维随机变量分布函数的基本性质，也具有非常重要的引导作用，往往做题就是以它们为突破口。

对于二维离散型随机变量，有F(x,y)= P(X ≤x,Y ≤y )=∑∑P ij y j ≤y x i ≤x ，其中P ij 称为随机变量的分布列，或联合分布列，它直观地向我们展现了二维离散型随机变量的一些重要数据情况，具有实用意义。

而对于连续型的二维随机变量，则定义了F(x,y)=∫∫f(u,v)dudv y −∞x −∞，其中f(x,y)称为二维随机变量的概率密度或联合概率密度。

在此情况下，二维连续型随机变量的边缘分布函数及其概率密度具有几个重要的公式：F X (x)=F(x,+∞)，F Y (y)=F(+∞,y ),以及f X (x) ∫f(x,y)dy =+∞−∞，f Y (y)=∫f(x,y)dx +∞−∞，这些公式虽基础，但应用起来具有重要作用。

此外，本章同样介绍了常见的几种分布：二维均匀分布、二维正态分布，尤其是二维均匀分布具有较大的应用意义。

对于二维随机变量的独立性，则定义了若F(x,y)= F X (x) F Y (y)，则称X 与Y 相互独立，或者若f(x,y)= f X (x)f Y (y))，则X 与Y 相互独立。

对离散型随机变量，则有若P ij =P i P j ，测X 与Y 相互独立。

在二维随机变量函数的分布中，比较重要的结论有：①两个独立的泊松分布的随机变量的和仍是一个泊松分布的随机变量，且其参数为相应的随机变量分布参数的和；②两个连续型随机变量X 与Y 之和的分布，有一个重要的卷积公式，即f Z (z)=∫f X +∞−∞(x )f Y (z −x)dx 或 f Z (z)= ∫f X +∞−∞(z −y )f Y (y)dy ，条件是X 与Y 相互独立；③n 个相互独立的正态变量的线性组合仍然是一个正态变量；④对n 个相互独立的随机变量，设X 1,X 2,…,X n 是相互独立的且分布函数分别为F X 1(x 1),F X 2(x 2),…,F X n (x n )的n 个随机变量，则max(X 1,X 2,…,X n )的分布函数F max (z )=F X 1(z )F X 2(z )…F X n (z),min(X 1,X 2,…,X n )=1−[1−F X 1(z)]…[1−F X n (z)]。

这些重要的结论对解题十分重要，当然对现实生活中的作用也不小。

在条件分布中，对于离散型随机变量有P(X =x i |Y =y j )=P(X=x i ,Y=y j )P(Y=y j )=P ij P∙j (i=1,2,…)，此式称为随机变量X 在条件Y=y j 下的条件分布；而对于离散型随机变量，则定义了P(X ≤x|Y =y )=lim ∆y→0+P(X ≤x|y −∆y <Y ≤y +∆y),简记为F X|Y (x|y),称为Y=y 的条件下X 的条件分布函数，并定义了Y=y 的条件下X 的条件概率密度f X|Y (x|y),并有F X|Y (x|y) = ∫f X|Y (u|y)du x −∞，对一切实数x 。

又由X 与Y 的联合概率密度f(x,y)与其边缘概率密度f X (x)，f Y (y)，可得到F X|Y (x|y)=∫f(u,y)f Y (y)x −∞du 。

因而可见，在Y=y 的条件下，X 的条件概率密度f X|Y (x|y)= f(x,y)f Y (y)，f Y (y)>0。

虽然本章知识点比较多，但可以看出基本上都是前几章的引伸，思想方法也类似，只是应用范围扩大了。

第五章 随机变量的数字特征与极限定理。

在第三、四两章中，可以看出随机变量的概率分布（分布函数或分布列和概率密度）能够完整地描述随机变量的统计规律，但是在许多实际问题中，求概率分布并不容易；另一方面，有时不需要知道随机变量的概率分布，而只需知道它的某些数字特征就够了。

数字特征虽不像概率分布那样完整地描述了随机变量的统计规律，但它能够集中地反映随机变量的某些统计特征，而且许多重要分布中的参数都与数字特征有关，因而它在概率论与数理统计中占有重要地位。

本章主要介绍了数学期望、方差、协方差、相关系数等数字特征，而且还介绍了几个尤为重要的极限定理。

在数学期望与方差中，重要的公式、定理等一些性质也是十分重要的。

例如，D(X)=E(X 2)-(EX)2;E(C)=0,D(C)=0, E(CX)=C ,D(CX)=C 2D(X),C 为常数;E(X 1+X 2+⋯+X n )=E(X 1)+E(X 2)+…+E(X n ); X 1,X 2,…,X n 相互独立,则E(X 1X 2…X n )= E(X 1)E(X 2)…E(X n ),D(X 1+X 2+⋯+X n )= D(X 1)+D(X 2)+…+D(X n );此外，几种常见的分布的数学期望和方差分别为：0-1分布——p 、pq ；二项分布（X ~B(n,p )——np 、npq ；泊松分布（X ~p(λ)）——λ、λ；几何分布（X ~G(p)——1p 、1−p p 2；均匀分布——a+b 2、（b−a ）212；指数分布——1λ、1λ2；正态分布——μ、σ2。