概率论与数理统计学习知识资料心得与分享与分享之第一章

《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。

求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。

(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。

《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B A ⊂ 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅B}x x x { ∈∈=⋃或A B A 当A ，B 中至少有一个发生时，事件发生B A ⋃称为事件A 与事件B 的积事件，指当B}x x x { ∈∈=⋂且A B A A ，B 同时发生时，事件发生B A ⋂ 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅B}x x x { ∉∈=且—A B A 当A 发生、B 不发生时，事件发生B A —，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事φ=⋂B A 件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件且S =⋃B A φ=⋂B A A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃ 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律)()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律BA B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数称为A n 事件A 发生的频数，比值称为事件A 发生的频率n n A 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率满足下列条件：)(A P （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设是两两互不相容的事件，有n A A A ,,,21 （可以取）∑===nk k n k k A P A P 11)()( n ∞2．概率的一些重要性质：（i ）0)(=φP （ii ）若是两两互不相容的事件，则有（可以取）n A A A ,,,21 ∑===nk knk kA P A P 11)()(n ∞（iii ）设A ，B 是两个事件若，则，B A ⊂)()()(A P B P A B P -=-)A ()B (P P ≥（iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ） （逆事件的概率）)(1)(A P A P -=（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A 包含k 个基本事件，即，里}{}{}{2]1k i i i e e e A =个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑=§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且，称为事件A 发生的0)(>A P )()()|(A P AB P A B P =条件下事件B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件1。

实用文档 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 BA则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生

B}xxx{ 或ABA称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件BA发生 B}xxx{ 且ABA称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件BA发生 B}xxx{ 且—ABA称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件BA—发生 BA，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S BABA，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件 2．运算规则 交换律ABBAABBA

结合律)()( )()(CBACBACBACBA

分配律 )()B(CAACBA）（ ))(()( CABACBA 徳摩根律BABAABA B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数An称为事件A发生的频

数，比值nnA称为事件A发生的频率 概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率

1．概率)(AP满足下列条件：

（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0AP （2）规范性：对于必然事件S 1)S(P

（3）可列可加性：设nAAA,,,21是两两互不相容的事件，有nkknkkAPAP11)()(（n可以取） 实用文档 2．概率的一些重要性质： （i） 0)(P

（ii）若nAAA,,,21是两两互不相容的事件，则有nkknkkAPAP11)()(（n可以取） （iii）设A，B是两个事件若BA，则)()()(APBPABP，)A()B(PP （iv）对于任意事件A，1)(AP （v）)(1)(APAP （逆事件的概率） （vi）对于任意事件A，B有)()()()(ABPBPAPBAP §4等可能概型（古典概型） 等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同

概率与数理统计学习心得模板概率与数理统计是一门重要的数学学科，它在现代科学和工程技术中发挥着重要的作用。

在学习过程中，我从理论和实践两个方面深入学习了概率与数理统计的基本理论、方法和应用。

通过掌握了概率与数理统计的相关知识和技能，我对统计数据的分析和概率事件的评估能力得到了提升。

以下是我在学习概率与数理统计过程中的心得体会。

一、对概率的理解和应用概率是研究随机事件发生的概率大小的一种数学方法。

在学习概率的过程中，我通过学习了概率的定义、性质、基本运算法则，并了解了概率分布、随机变量等重要概念。

通过掌握了这些基本理论和方法，我能够准确地评估事件的概率。

在应用方面，概率可以帮助我们对未知事件进行预测和分析，为决策提供科学的依据。

通过学习概率与数理统计，我了解到概率在风险评估、投资分析、财务管理等领域中的应用。

例如，通过对市场走势和股票价格的概率分析，可以为投资决策提供指导；在保险业中，可以通过概率分析来确定保险赔付数额，为保险公司和投保人提供保障。

这些应用让我深刻地认识到概率在现实生活中的重要性和实用性。

二、对数理统计的理解和应用数理统计是概率论在统计实践中的应用。

在学习数理统计的过程中，我熟悉了一些重要的概念和方法，如样本、总体、估计、假设检验等。

掌握了这些知识后，我能够对收集到的数据进行分析，并对总体的特征进行推断。

在应用方面，数理统计可以帮助我们通过样本数据对总体属性进行推断。

通过学习数理统计，我了解到统计的基本过程，即数据的收集、整理、分析和解释的过程。

在实际应用中，数理统计可以应用于社会调查、市场调研、医学研究等领域。

例如，在社会调查中，可以通过对样本数据的分析，推断出总体的特征，从而为社会治理和决策提供支持；在医学研究中，可以通过对受试者的数据进行分析，推断出新药的疗效，从而为临床治疗提供依据。

这些应用使我深刻认识到数理统计在现实生活中的广泛应用。

三、理论与实践相结合在学习概率与数理统计的过程中，理论与实践是密不可分的。

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk knk kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -=（逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

概率论与数理统计学习心得学习概率论与数理统计是我大学期间的一门重要课程。

通过学习这门课程，我深刻理解到概率论和数理统计在实际生活中的广泛应用，并且掌握了一些基本的概率论和数理统计的方法和技巧。

下面是我学习概率论与数理统计的心得体会：概率论是一门研究随机现象和随机过程的数学理论，它在现实生活中有着广泛的应用。

比如，在生活中，我们经常会遇到各种各样的风险和不确定性，概率论可以帮助我们计算和评估这些风险和不确定性的大小。

通过概率论的学习，我了解到了一些重要的概念和定理，比如概率、随机变量、概率分布、条件概率等等。

这些概念和定理在实际应用中非常有用，它们可以帮助我们分析和预测各种概率事件的发生。

概率论的学习过程中，我掌握了一些重要的方法和技巧。

比如，计算复合事件的概率时，可以使用加法原理和乘法原理；计算随机变量的期望值和方差时，可以使用定义公式或者特征函数的方法；根据大数定律和中心极限定理，可以用频率来近似计算概率。

这些方法和技巧在实际应用中非常实用，可以帮助我们快速准确地计算概率。

数理统计是一门研究如何从样本中去推断总体特征的学科，它在现实生活中也有着广泛的应用。

比如，在市场调研中，我们需要通过对少数样本的调查，来推断整个市场的情况；在医学研究中，我们需要通过对少数病例的观察，来推断整个人群的病情。

通过数理统计的学习，我了解到了一些重要的概念和定理，比如样本、总体、参数、统计量、抽样分布等等。

这些概念和定理在实际应用中非常有用，它们可以帮助我们分析和推断各种统计问题。

数理统计的学习过程中，我掌握了一些重要的方法和技巧。

比如，构造适当的统计量来推断总体参数；根据大样本的性质来做假设检验和置信区间估计；构造适当的统计模型来分析实际问题。

这些方法和技巧在实际应用中非常实用，可以帮助我们进行统计推断和统计分析。

概率论与数理统计的学习过程中，我发现了一些重要的思想和原则。

比如，随机性是自然界的一种基本规律，我们必须要适应和接受这种随机性；在实际问题中，要善于抽象和建模，将实际问题转化为数学问题；要善于利用数据和信息来进行决策和判断；要注重方法的合理性和可靠性，不要盲目追求结果。

《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

《概率论与数理统计》第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

概率论第一章知识点总结
概率论第一章主要介绍了以下几个知识点：
1. 随机试验：指具有以下三个特征的试验：可以进行多次独立重复；每次试验只有两个可能结果中的一个发生；每次试验发生的概率相同。

2. 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用S表示。

3. 事件：样本空间的任意子集称为事件，通常用A、B等大写字母表示。

4. 概率：事件A发生的概率定义为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中元素的个数，n(S)表示样本空间中元素的个数。

5. 概率的性质：对于任意事件A和B，有以下性质：
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(2) P(S) = 1
(3) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
(4) 若A和B互不相容（即A∩B=），则P(A∪B) = P(A) + P(B) 6. 条件概率：事件B在事件A发生的条件下发生的概率称为条件概率，记为P(B|A)，计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。

7. 乘法公式：对于任意事件A1，A2，…，An，有P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)…P(An|A1∩A2∩…∩An-1)。

8. 全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式和贝叶斯公式是基于条件概率的重要公式，用于计算复杂事件的概率。

其中全概率公式为：
P(B) = Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)，贝叶斯公式为：P(Aj|B) = P(Aj)P(B|Aj)/Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)。