【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题17 其它综合类竞赛题 （50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2019·全国·高三竞赛）计算:10112k k nn k C k +=⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑=_______.【答案】113112n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】 【详解】注意到，()01nnk kn k C x x ==+∑.两边积分得()01112200nn k kn k C x dx x dx ==+∑ 11011311212k n k nn k C k n ++=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑. 故答案为113112n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦2．（2019·全国·高三竞赛）设1234123,241,1,5,4,13P P P k P k +（，，）（，，）（，）（，）是空间中体积为1的一个四面体的四个顶点.则k ＝_______. 【答案】-2或1. 【解析】 【详解】四面体体积为()()62276k k ⇒---=1k ⇒=+1805n n a a n n N ∈＝，）或-2. 故答案为-2或1.3．（2019·全国·高三竞赛）给定函数())1f x x ≤.则函数()f x 与反函数()1f x -交点的坐标为______.【答案】()1,0，()0,1，⎝⎭. 【解析】 【详解】())1f x x ≤的反函数为()()1210f x x x -=-≥.联立方程21,y y x ⎧⎪⎨=-⎪⎩①② 由式①得()()42212211y x x x x =-+=---.把式①、②代入上式，得422y y y =-，即()()4220y y y y ---=，于是，()()2110y y y y -+-=.解得10y =，11x =；21y =，20x =；3y =（舍去负值），3x =. 故答案为()1,0，()0,1，⎝⎭. 4．（2019·全国·高三竞赛）把函数()ax bf x cx d+=+的系数按其自然位置排成两行两列，记为二阶矩阵A a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭．其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素．又记()()()()af x b f f x cf x d+=+()()()()22abc x ab bd ac cd x bc d +++=+++的系数所组成的二阶矩阵22a ab ab bd ac cd bc d ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭为A 的平方，即222A A A a bc ab bd ac cd bc d ⎛⎫++=⨯= ⎪++⎝⎭．观察二阶矩阵乘法的规律，写出1112322122A A A aa a a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭中的元素21a =________．【答案】222a c acd bc cd +++ 【解析】【详解】根据二阶矩阵乘法的规律，知111232122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭中的ij a 应是2A 中第i 行的元素分别乘以A 中第j 列对应元素的代数和，则()()222221a ac cd a bc d c a c acd bccd =+++=+++．故答案为222a c acd bc cd +++5．（2018·江西·高三竞赛）a 、b 为正整数，满足1112018a b -=，则所有正整数对(),a b 的个数为______． 【答案】4 【解析】 【详解】 由1112018a b -=，知12018a ≤<，且201820180ab a b +-=， 于是()()22220182018201821009a b -+==⋅，而020182018a <-<，20182018b +>． 因1009为质数，数2221009⋅所有可能的分解式为212018⨯，()2221009⨯⨯，241009⨯，()100941009⨯⨯．其中每一个分解式对应于(),a b 的一个解，故其解的个数为4． 故答案为46．（2018·湖南·高三竞赛）如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设A n 是第n 次挖去的小三角形面积之和（如1A 是第1次挖去的中间小三角形面积，2A 是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n 次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.3314n⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】 【详解】3而第k 次一共挖去13k -个小三角形，1334k k A -⎫=⎪⎝⎭.因此，可以采用等比级数求和公式，得到答案为1111333334134414nk n n n k k k A -==⎛⎫- ⎪⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭===-⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑. 3314n⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦7．（2018·湖南·高三竞赛）已知n 为正整数，若22310616n n n n +-+-是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____. 【答案】811【解析】 【详解】因为()()()()225231061682n n n n n n n n +-+-=--+-，当21n -=±时，若()()8,55,31n n n ++=+=，则22310616n n n n +---是一个既约分数，故当3n =时，该分数是既约分数. 所以这个分数为811. 故答案为8118．（2019·全国·高三竞赛）设k 为常数.若对一切()0,1x y ∈、，有111k k k k k k k k x y x y x y x y+-≤+-，则实数k 的取值范围是____. 【答案】](,0.-∞ 【解析】 【详解】注意到()()111111111k k k kk kk k k k k k x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+-≤+-⇔--≥-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.k k x y k ⇔≥⇔≤故答案为](,0-∞9．（2019·全国·高三竞赛）定义数列{}n a ：()34n a n n N +=+∈，令()1,n n n d a a +=.则n d 的最大值为_________. 【答案】433. 【解析】 【详解】由()()334,14n d n n +++，知()324,331n d n n n +++.则()()3234331n d n n n n ⎡⎤-++++⎣⎦，且()()222331312,331n n d n n d n n n n ++⇒+-++()()2213,331213,332n n d n n n d n n ⇒+++⇒+- ()()233233213433n n d n n d ⎡⎤⇒--++⇒⎣⎦.所以，()max 433n d ≤. 易知，()210211,433a a =. 从而，()max 433n d =. 故答案为43310．（2019·全国·高三竞赛）如图，设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD ，其中，18AB =，6CD =．若圆台的高为8，PQ 是下底面与AB 夹角为60︒的直径，则异面直线PC 、DQ 所成角的余弦值为________．【答案】1127【解析】 【详解】如图，设异面直线PC 、QD 所成角为α，向量PC 、DQ 的夹角为θ，以下底面中心O 为原点、AB 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系.则()3,0,8C 、()3,0,8D -、993,,022P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、993,,022Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 于是393,,822PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，393,,822QD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 因此1PC QD ⋅=.而127PC =，127QD =， 故1cos 127θ=. 从而，1cos cos 127αθ==. 故答案为112711．（2018·甘肃·高三竞赛）设,x y 满足24,1,2 2.x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩若z ax y =+只在点()2,0A 处取得最小值，则实数a 的取值范围是______．【答案】122a -<<【解析】 【详解】画出平面区域如下：由数形结合可得122a -<-<，即122a -<<．12．（2018·全国·高三竞赛）若函数()1y f x =+的反函数为()11y f x -=+，且()13999f =，则满足()f n n =的最小正整数n =______． 【答案】2000 【解析】 【详解】由条件得()()1111f x f x --+-=-，()113999f -=．从而，()()11399939981ff ---=-，()()11399839971f f ---=-，…，()()1111f k f k --+-=-． 相加得()()()111399940004000f k k f k k f k k ---=-⇒=-⇒-=．令40000k -=．则2000k =．13．（2018·全国·高三竞赛）方程()4sin 1cos 33x x +=______． 【答案】()π2π3x k k =+∈Z 【解析】 【详解】原方程两边平方得()()()22222716sin 1cos 161cos 12cos cos x x x x x =+=-++4316cos 32cos 32cos 110x x x ⇒+-+=()()222cos 14cos 12cos 110x x x ⇒-++=()1πcos 2π23x x k k Z ⇒=⇒=+∈． 14．（2018·全国·高三竞赛）已知,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，一元二次方程()()22222tansec 2tan sin cos 20x x θθθθθ++--=有重根.则cos θ的值是______.【解析】 【详解】由于方程有重根，故0∆=，即()()22222tan sin cos2tan sec 0θθθθθ-++=. 设2cos d θ=.则()21111210d d d d d dd --⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故()22310d d -+=，解得d =因此，cos θ. 15．（2018·全国·高三竞赛）设()f x 定义在+N 上，其值域B +⊆N ，且对任意n +∈N ，都有()()1f n f n +>，及()()3f f n n =．则()()1011f f +=________．【答案】39 【解析】 【详解】由()()13f f =，知()()()()13f f f f =． 若()11f =，则()()()3111f f f ===，矛盾． 因此，()()()()21213f f f f ≤<≤=．则()23f =，()12f =，()()()326f f f ==，()()()639f f f ==．又()()()()634569f f f f =<<<=，故()47f =，()58f =，()()()7412f f f ==，()()()12721f f f ==．因为()()()9618f f f ==，()()()()189********f f f f =<<<=，所以，()1019f =，()1120f =．因此，()()101139f f +=．16．（2018·全国·高三竞赛）已知()221f x x x =++，存在实数t ，使得当[]1,x m ∈时，()f x t x +≤恒成立.则m 的最大值是______. 【答案】4 【解析】 【详解】把()f x 的图像向右平移t -个单位，数形结合得m 的最大值是(),y x y f x t =⎧⎨=+⎩两个交点横坐标的较大者.由()11f t +=，解得1,3t t =-=-.再由()3f x x -=，得1x =（舍去），4x =. 故m 的最大值是4.17．（2018·全国·高三竞赛）直角坐标平面上两曲线3y x =与3x y =围成的图形的面积为______． 【答案】1． 【解析】 【详解】因为两曲线分别关于原点对称，从而，只需计算两曲线在第一象限围成的图形的面积A ．当1x >时，3x >；当01x <<时，3x <． 所以，两曲线在第一象限有唯一的交点()1,1．又)13A x dx =⎰441303311|44442x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以，两曲线围成的图形的面积为21A =．18．（2019·全国·高三竞赛）已知关于x 的方程()()2201000x a x a a +-+=≠的两根均为整数．则实数a 的值为______． 【答案】4024 【解析】 【详解】设方程的根为1x 、()212x x x ≤．由韦达定理得()122010x x a +=--，12x x a =．则12122010x x x x ++=，即()()12112011x x ++=．又因为2011为质数，所以，120,2010x x =⎧⎨=⎩或122012,2.x x =-⎧⎨=-⎩故0a =（舍）或4024a =．19．（2021·全国·高三竞赛）若65432()2f x x x x x =--+-+f 的值为_______．【解析】 【分析】 【详解】研究二次方程210x --=和210x -+=，即(0x x =和(0x x =．因此0x422()(1)(1)(f x x x x x x =--+-++故f =20．（2019·全国·高三竞赛）不等式()332211x x+-≥的解集为________．【答案】{}0,1 【解析】【详解】y =，则不等式化为221x y +=，331x y +≥. 故330x y ≤+()()2211x x y y =-+-()()()()221111y x x y =--+--()()()()221111y x x y =------()()()112x y x y =---++.因为2221x y x =+≥，所以1x ≤. 同理，1y ≤.故10x ±≥，10y ±≥，20x y ++≥.若20x y ++=，110x y +=+=，不满足221x y +=.因此，20x y ++>. 于是，不等式化为()()110x y --≤. 但10x -≥，10y -≥， 故()()110x y --=. 解得()()(),1,0,0,1x y =.经检验，0x =或1都是原不等式的解. 故原不等式的解集为{}0,1. 故答案为{}0,121．（2019·全国·高三竞赛）已知函数26y x ax a =+-与x 轴有两个不同的交点()()12,0,0x x 、，并且()()()()121238311+1616aa x x a x a x -=-+----，则a 的值是______．【答案】12 【解析】 【详解】由23640a a ∆+>，得0a >或19a <-,根据题意知()()2126y x ax a x x x x =+-=--则()()()1211117x x f a -+=-=-，()()121616a x a x ---- ()1617f a a =-=-于是，38317a a a-=-- 解得12a =或0a =（舍去）. 22．（2019·全国·高三竞赛）设实常数k 使得方程222250x y xy x y k +-+++=在平面直角坐标系xOy 中表示两条相交的直线,交点为P.若点A 、B 分别在这两条直线上,且||1PA PB ==,则PA PB ⋅=_____. 【答案】45±【解析】 【详解】由题设知，关于x y 、的二次多项式222250x y xy x y k +-+++=可以分解为两个一次因式的乘积.因()()2222522x y xy x y x y +-=-+-+，所以，()()2222522x y xy x y k x y a x y b +-+++=-++-++，其中，a b 、为待定的常数. 将上式展开后比较对应项的系数得 ,21,21ab k a b b a =--=+= .解得1,1,1a b k ==-=-.再由210,210,x y x y -++=⎧⎨-+-=⎩得两直线斜率为121,22k k ==，交点()1,1P .设两直线的夹角为θ（θ为锐角）.则 212134tan ,cos 145k k k k θθ-===+.故PA PB ⋅cos PA PB θ=⋅或()4cos 180cos 5PA PB PA PB θθ⋅︒-=±⋅=±.故答案为45±23．（2019·全国·高三竞赛）已知a 、b 、c 是一个直角三角形三边之长，且对大于2的自然数n ，成立()()22222n n n n n n a b c a b c ++=++．则n =______． 【答案】4 【解析】 【详解】设2nx a =，2n y b =，2nz c =，有 ()()()()22222444222022n n n n n na b c a b c x y z x y z =++-++=++-++444222222222x y z x y x z y z =++---()()()()x y z x y z y z x z x y =-+++-+-+-． （*）不妨设c 为斜边，则z x >，z y >．可知0x y z ++>，0y z x +->，0z x y +->． ∴（*）式等价于z x y =+，即221nna b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．另一方面，222a b c +=成立，或221a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为01a c <<，01b c <<，x xa b y c c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为单调减函数，仅在一个x 点处取1y =，因此，22n=，4n =． 故答案为424．（2018·山东·高三竞赛）已知a ，b ∈Z ，且a b +为方程20x ax b ++=的一个根，则b 的最大可能值为______． 【答案】9 【解析】 【详解】由题设()()20a b a a b b ++++=，则22230a ab b b +++=．因为a ，b Z ∈，则()222988b b b b b ∆=-+=-必为完全平方数．设()228b b m m N -=∈，则()22416b m --=，()()4416b m b m -+--=．所以4842b m b m -+=⎧⎨--=⎩或4444b m b m -+=⎧⎨--=⎩或4248b m b m -+=-⎧⎨--=-⎩或4444b m b m -+=-⎧⎨--=-⎩．解得9b =，8，1-,0．所以b 的最大可能值为9.25．（2018·贵州·高三竞赛）方程组()33266x y xy x y ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩的实数解为___________.【答案】13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】 【详解】因为()33266x y xy x y ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，所以()()333326188x y x y xy x y +=+++=-=，即2x y +=，代入()6xy x y +=-，得3xy =-.由23x y xy +=⎧⎨=-⎩ ⇒ 13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩. 26．（2018·全国·高三竞赛）已知αβγ、、为方程3256780x x x -+-=的三个不同的根，则()()()222222ααββββγγγγαα++++++的值为_________．【答案】1679-625【解析】 【详解】注意到，()()()()()()()()()3333332222225-5-5-++++++=5-5-5-αββγγαααββββγγγγαααββγγα⋅⋅()()()()()()()()()2222226--7-6--7-6--7-=5-5-5-αβαββγβγγαγααββγγα⋅⋅()()()36+-76+-76+-7=5αββγγα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦36666--76--76--7555=5γαβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 3111-6-6-6555=5αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 336111=---5303030αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 记()()()()5f x x x x αβγ=--- 则()()()32222224611679530625f ααββββγγγγαα⎛⎫++++++==-⎪⎝⎭. 27．（2018·全国·高三竞赛）使得方程280x ax a ++=①只有整数解的实数a 的个数为______. 【答案】8 【解析】 【详解】设方程①有整数解()m n m n ≤、.则,8m n a mn a +=-=. 于是，()()8864m n ++=.解得，()()()()()()()()(),72,9,40,10,24,12,16,16,7,56,6,24,4,8,0,0m n =-----------. 对应的()81,50,36,32,49,18,4,0,a m n =-+=---共8个.28．（2018·全国·高三竞赛）某人排版一个三角形,该三角形有一个内角为60°,该角的两边边长分别为x 和9.这个人排版时错把长x 的边排成长1x +,但发现其他两边的长度没变.则x =______.【答案】4 【解析】 【详解】 由12cos609x +=︒,得4x =.29．（2018·全国·高三竞赛）已知()3233f x x x x =-+在区间[],a b ()b a >上的值域为[],a b ．则满足条件的区间[],a b 为________． 【答案】[]0,1，[]0,2，[]1,2 【解析】 【详解】有()()2236331f x x x x =-+=-，知除1x =外，()0f x '>．故()f x 在(),-∞+∞上为增函数．依题意函数在x a =取最小值a ，在x b =取最大值b ，则()f a a =，()f b b =， 这表明a 、b 是方程()f x x =的两个根．注意到3233x x x x -+= ⇔ ()()120x x x --=．解得10x =，21x =，32x =． 故所求的区间为[]0,1，[]0,2，[]1,2．30．（2018·全国·高三竞赛）30 ！末尾最后一个不为零的数字为________. 【答案】8 【解析】 【详解】注意到2614742230!2357111317192329=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 则1914422730!23711131719232910=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ()1914422237137939mod10≡⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯.因为4437、模10均余1，且42n 模10余6，所以，()3730! 28mod1010≡≡31．（2018·全国·高三竞赛）平面区域()223,0,,sin sin sin sin 24S x y x y x x y y π⎧⎫⎡⎤=∈+⋅+≤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭、的面积等于______. 【答案】26π【解析】 【详解】由()()()()()222sin sin sin sin 22cos cos cos cos x x y y x y x y x y x y -⋅+=-+⋅-++--()()31132cos cos 2222x y x y ⎡⎤⎡⎤=-++⋅--≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 得()()11cos cos 022x y x y ⎡⎤⎡⎤++⋅--≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即2,33x y x y ππ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或2,3.3x y x y ππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩结合x 、0,2y π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得到如图的平面区域，其面积为2222126236ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.32．（2018·上海·高二竞赛）分解因式：()()()111xy x y xy ++++=_______. 【答案】(xy+x+1)(xy+y+1) 【解析】 【详解】xy =(xy+1)(xy+x+y+1)+xy=(xy+1)((xy+1)+(x+y))+xy=(xy+1)^2+(x+y)(xy+1)+xy =((xy+1)+x)((xy+1)+y)=(xy+x+1)(xy+y+1)33．（2021·全国·高三竞赛）若一个分数ab（a ，b 均为正整数）化为小数后，小数部分出现了连续的“2020”，例如20.02020299=，就称它为“好数”.则“好数”的分母的第二小的可能值为________. 【答案】193 【解析】 【分析】 【详解】我们总可以将一个“好数”适当乘一个10的方幂并减去其整数部分后使之成为一个小数点后前四位是“2020”的真分数，于是0.20200.2021ab≤<， 进而1115005476a b ≤-<，即1515005476a b b -≤<. 若51a b -=，则4765500b <≤且()4mod5b ≡，所以99b =.若52a b -=，则95251000b <≤且()3mod5b ≡，所以193,198b =. 若53a b -≥，则51428,286b b >≥. 另一方面，390.20207193≈是“好数”，因此b 的第二小的可能值为193. 故答案为：193. 二、双空题(共0分)34．（2018·全国·高三竞赛）阅读下面一道题目的证明，指出其中的一处错误．题目：平面上有六个点，任何三点都是三边互不相等三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边．证明：第一步，对已知的六个点作两两连线，可以得出15条边，记为1a ，2a ，…，15a .第二步，由于任何三点组成的都是“三边互不相等的三角形”，因此，15条边互不相等不妨设1215a a a <<<.第三步，由于“任何三点都是三边互不相等三角形的顶点”，因此，任取三条边都可以组成三角形，则1a 、2a 、3a 组成的三角形的最长边3a ，也是3a 、4a 、5a 组成的三角形的最短边,命题得证.这三步中，第______步有错误，理由是______. 【答案】 二或三 第三步有错误，理由是：不能推出“任取三条边都可以组成三角形”或第二步有错误，理由是：不能推出1215a a a <<<.【解析】 【详解】不能推出“任取三条边都可以组成三角形”，比如，从六个点1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A 中，记1A 、2A 的连线为i a ，记3A 、4A 的连线为j a ，记5A 、6A 的连线为k a （i 、j 、k 互不相等），则i a 、j a 、k a 未必能组成三角形，即使组成三角形也不是本题所说的“三点两两连线”所成的三角形．第二步也有错误，理由是三点组成的“单个三角形”内部边长互不相等， 不能推出“多个三角形”之间边长互不相等，因而，“1215a a a <<<”中的“<”也可能有“≤”．说明：虽然证明有错误，但结论是成立的，可把六个点“两两连线”的每个三角形最长边染成红色，剩下的边染成蓝色，然后证明必有同色三角形，又因为每个三角形都有红边，所以，同色三角形必有三边同红色的三角形，这个三角形的最短边便又是另一个三角形的最长边． 三、解答题(共0分)35．（2019·全国·高三竞赛）在直角坐标系中，有三只青蛙A 、B 、C ，其起始位置分别为()()(0004,62,3,6A B C 、，首先，A 以B 为中心跳到其对称点上，然后，B 以C 为中心跳到其对称点上，接着，C 以A 为中心跳到其对称点上，……依此类推．设A 、B 、C 第n 次跳到的位置分别为n n n A B C 、、，201120112011A B C ∆的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ．证明:222201730017a b c S ++>⨯ 【答案】见解析 【解析】 【详解】设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c .则由題意知1n n 1n n 1n n+1222n n n A A B B B C C C A++++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ ①②③ 由式①得 ()n 1n 12n B A A +=+ ④ 将式④代入式②得 ()n 2n+1124n n C A A A +=++ ⑤ 将式⑤代人式③并整理得 3n+21350n n n A A A A +++++=.其特征方程为323510λλλ+-+=，即()()21410λλλ-+-=.解得0121,22λλλ==-=-则n nn 12A D E F λλ=++ ⑥在式④、⑤、⑥中令n=0，得()()(12124,6112,32211622D E F D E F D E F λλλλ⎧⎪++=⎪++⎪+⋅+⋅=⎨⎪--⎪+⋅+⋅=+⎪⎩24 解得()()()0,0,1,2,3,4D E F ===.故222n n n a b c ++222n n n n n n B C C A A B =-+-+-()()()222n+2n+21n+111123442n n n n A A A A A A A +=-+-+- ()()222n+1n+1n+111=22n n A A A A A +++- ()222n+1n+11=2n A A A ++又每只青蛙跳后，三只青蛙所组成的三角形面积不变，即000A B C S S =∆=. 而()22n n 212225221nn n A EE F λλλ=+>+-，故 22222201*********a b c A A ++=+()40222514222>++)4022142S >+()(20111509S =+201130017S >⨯36．（2019·全国·高三竞赛）设异面直线a 、b 成60︒角，它们的公垂线段为EF ，且2EF =，线段AB 的长为4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动.求线段AB 中点P 的轨迹方程.【答案】2219x y +=【解析】 【详解】易知点P 在过EF 的中点O ，且与a 、b 平行的平面α内.如图所示，设a 、b 在α内的射影分别为a '、b '，点A 、B 在α内的射影分别为A '、B '，则60A OB ∠=''︒，且A B ''的中点即为AB 的中点P .又4AB =，2EF =，则23A B ''=.于是，问题转化为求定线段A B ''的两个端点分别在a '、b '上移动时，其中点P 的轨迹. 如图所示，以A OB ∠''的平分线为x 轴，O 为原点，建立直角坐标系.不失一般性，令OB n '=，OA m '=.在A OB ∆''中，22 12m n mn +-=. ①设A B ''的中点P 的坐标为(),x y ，则()()232,2,32212.232m x y x m n n x y y m n ⎧⎧=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎪⎪⎩⎩代入式①，化简整理得2219x y +=. ②这里得到的是椭圆②夹在A OB ∠''内的弧.在另外3种情形中，同样可得到椭圆②的另3段弧.综合得点P 的轨迹是椭圆2219x y +=.37．（2018·全国·高三竞赛）求所有三次多项式()P x ，使得对一切0x y ≥、，均有()()()P x y P x P y +≥+.【答案】见解析【解析】 【详解】设()()320P x ax bx cx d a =+++≠.则原不等式等价于()32axy x y bxy d ++≥（任意的x 、y 0≥） ① 令x 、y 充分大，得0a >. 令x=y=0，得0d ≤. 在这样的条件下，式①又可写成()()22332ax y axy d b xy ++-≥-（任意的x 、y 0≥） ②当2b -，即328243b a d ≥时，由基本不等式得式②成立.反之，当2b -时.若0d <，则取x 、y 使2233ax y axy d ==-，即知式②不成立；若d=0时，则要求对任意整数x 、y ，有()32a x y b +≥-，故0b ≥，矛盾.综上，所求三项多项式为()32P x ax bx cx d =+++.其中，0a >，0d ≤，328243b a d ≥ 38．（2018·全国·高三竞赛）已知多项式()()()()4322275311735f x ax a x a x a x a =+-+-+-+-，其中，a 为实数．证明：对任意的实数a ，方程()0f x =总有一个相同的实数根． 【答案】见解析 【解析】 【详解】注意到，()()()432322757323115f x a x x x x x x x =-+-++-+-()()()32221335x a x x x x x ⎡⎤=--+-+-+⎣⎦ ()()()()2221315x a x x x x ⎡⎤=--++-+⎣⎦．从而，对任意的实数a ，方程()0f x =总有根0.5x =．39．（2018·全国·高三竞赛）给定正整数n ,求1122nk k n =⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑,其中,[]x 表示不超过实数x 的最大整数. 【答案】0 【解析】 【详解】令11110222m m m m n a a a a --=++++.其中,0m a ≠.此时,122m m n +≤< ,所以,[]2log n m =.若2k m ≥+,则1212102222m k m n ++-<-=，此时1122k n ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦.若1k m =+,则11110,22222k m n n +⎡⎫-=-∈⎪⎢⎣⎭，此时1022k n ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦.若k m =,则110111222222m m t m m m k t t a a n a a ---=⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑.若1k m ≤+,则1011221222m m m k tt k m t t k k t t k n a a a -----==⎡⎤⎡⎤-=-=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑. 则[]2log 11111111111121222222n m m m m t k m m t k k k k k k k k t k n n n a a a a ------=====⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-=-+=++- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑∑ 1111111121mtm m t km m t k t k k k a a a a -----=====-++-∑∑∑∑()()()111122211m mmtm t k t k a a a m --===-+-+--∑∑m211t t t a m n m ==--=--∑.故1112111122222222nm nk k m k k k k m n n n n +===+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑()()()()2101110nk m n m n m n m =+=--++-=-----=∑40．（2018·全国·高三竞赛）试求所有的正整数n 及实数,22x x ππ⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，使得tan n xcot x +.【答案】见解析 【解析】 【详解】由tan n xcot x((()tan cot tan cot n x x n x x Q +=++，①((tan cot tan cot 3n x x n n x x Q =++∈.②由式①知存有理数q，使得tan cot n x x q +=-由式②知(tan cot n x x Q +，即(0q Q Q q -⇒⇒=.故tan cot n x x +=-设tan x y =.则1ny y +=-210ny ⇒++=y ⇒=由ny Q +=，知2n =或3. 当2n =时，y =此时，x =或. 当3n =时，y =此时，arctan 6x π⎛==- ⎝⎭. 41．（2018·全国·高三竞赛）实数333111111i i i i i y x y x ======∑∑∑满足3211123ii y x x x x =+∑，试求()11,2,3ii y a i x ==的值. 【答案】0 【解析】 【详解】令331111i i i i a a x ====∑∑.于时，()()()()()()1111111211231123231213122331y y x a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -===+++++++++.故()()()222222123122331y a a x x x x x x x x x x x -=++++. 同理，()()()333323123122331y a a x x x x x x x x x x x -=++++，()()()333111112111231223310i i i i a a x y x x x x x x x x x x ===-==++++∑∑∑. 则211,)2y y p.42．（2018·全国·高三竞赛）已知非零实数a 、b 、c 、t 满足()2,1.a tb c b c t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩（1）求证：二次方程()()()22220cx c b c x b c b c +--+-=①必有实根，且2c b a --是方程的一个实根；（2）当15a =，7b =时，求c 、t . 【答案】（1）见解析；（2）1,2c t == 【解析】 【详解】（1）解法1：由()21b c t t =++，有()22441bc c t t =++ ()22223123c c t c =++≥，得二次方程的判别式()()()222224c b c c b c b c ∆=-++- ()22430b bc c =-≥.所以，二次方程①必有实根，把2x c b a =--代入方程①有左边()()222c c b a c b c =--+-⋅ ()()()222c b a b c b c ---+-()()()222c b a c c b a c b c ⎡⎤=----+-⎣⎦ ()()22b c b c ---()()()222ac c b a b c b c =----+- ()()()()22bt c c bt b c b c b c =++--+-()()()22222c b t b t b c c b c b c ⎡⎤=++--+-⎣⎦()()222b c t t b c c ⎡⎤=++-⎣⎦ ()()22b c b c -+-()()()()2222b b c b c c b c b c ⎡⎤=-+--+-⎣⎦()()()()22220b c b c b c b c =+--+-=.因此，2c b a --是方程①的一个实根．所以，二次方程①必有实根，且2c b a --是方程的一个实根．解法2：由()2,1a tb c b c t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩消去t 得21a c a c b c b b ⎡⎤--⎛⎫=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 故()()232b c b b a c a c ⎡⎤=+-+-⎣⎦()22232ca c b c a b c bc c =+-+-+.则()()()22220ca c b c a b c b c +--+-=.②.这表明，二次方程①有实根a .由根与系数的关系得方程的另一根为()22c c b x a c b a c-=-=--.因此，二次方程①必有实根，且2c b a --是方程的一个实根．说明：当0∆=时，43b c =，12t =-，58a c =，确实有两根相等528c b a c a --==.（2）把15a =，7b =代入式②整理得32373793430c c c -+-=.观察知方程的系数和为0，故有分解式()()21363430c c c --+=，但()223634318190c c c -+=-+>，得1c =.代入a bt c =+得a ct b -=15127-==. 43．（2018·全国·高三竞赛）设a 、b 为复数，01p ≤≤．求证：pppa b a b +≤+． 【答案】见解析 【解析】 【详解】对于0p =，1p =，不等式显然成立． 对于01p <<： 若0a b +≠，则1111pppppa b a b a b a b a ba ba ba b----+++=≤=+++++． ①若{}max ,a b a b +≥，则1111ppa b a--≤+，1111ppa bb--≤+．利用式①有11pp pa b a b a ba b--+≤+++ 11p pppa b a b ab--≤+=+．不等式成立．若{}max ,a b a b +<，则{}()max ,pp ppa b a b a b +≥>+．不等式也成立．最后，若0a b +=，则0p p pa b a b +≥=+．不等式也成立． 44．（2019·全国·高三竞赛）已知非常数的整系数多项式()f x 满足()()()()32324432211xx x f x x x x f x +++=-+-+.①证明：对所有正整数()8n n ≥，()f n 至少有五个不同的质因数. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 式①等价于()()()()()()2231111x x x f x x x x f x +++=--++. ②在式②中分别令3x =-1. 则()()210f f f f -====⎝⎭⎝⎭.再在式②中令2,0x =-.则()()100f f -==. 故2-、1-、0、1()0f x =的根.则 ()()()()()()22111f x x x x x x x g x =++--+， ③其中，()g x 为实系数多项式.由式③得()()()()()()2132111f x x x x x x x g x +=++++++. ④将式③、④代入式②得()()1g x g x =+. 设()0nkk k g x a x ==∑.则()01nnkkk k k k a x a x ===+∑∑.考虑两边1n -次项系数知110n n n n a na a na --=+⇒=. 所以，()g x 为常数c .故()()()()()22111f x c x x x x x x =++---，其中，常数{}\0c Z ∈.首先证明：()()()()2118n n n n n ++-≥至少有四个不同的质因数.否则，()()()211n n n n ++-至多有三个不同的质因数2、3、()2,3p p ≠.但1n -、n 、1n +、2n +两两之间的最大公因数为1、2、3，其中两个奇数互质，则为3a 、()bp a b N +∈、.从而，两个偶数为12c +、()23dc d N +⨯∈、.故231c d -=.解得()()(),2,1,3,2c d =.因此，这两个偶数为8、6或16、18.前者不符，后者得到另两个奇数为15、17或17、19，均导致矛盾.其次，假设存在某个正整数()8n n ≥，使得21n n -+的每个质因数都是()()()211n n n n ++-的质因数，且()()()211n n n n ++-恰有四个质因数，否则，结论成立.显然，()()21,11n n n n -+-=.由()()()()21123237n n n n n n -+=+-+=+-+,知()21,11n n n -++=或3，()21,21nn n -++=或7.故()2137a b n n a b N +-+=∈、.但9|21)n n -+（不能，故{}0,1a ∈，则0b >. 由假设知2n +、1n +、n 、1n -的质因数为2、3、7、()2,3,7p p ≠.则()72n +. 考虑其中两个偶数、两个奇数的质因数集合A 、B .显然，2A ∈，2B ≥，{}3A B ⋂⊆. 故2A =或3A =且3A ∈.若{}2,3A =或{}2,7，则两个偶数为12c +、23d ⨯或12c +、27d ⨯，得231c d -=或271c d-=.故这两个偶数为16、18或16、14.前者得7 |（n+2）不能；后者使()()()211n n n n ++-有质因数2、3、5、7及13(或17），矛盾. 若{}2,A p =，则2n +为奇数，1n -为偶数. 由33|A ∈⇒(1)3|n -⇒(2)n -.故()27c n +=，3d n =，且{}21,1en n ∈+- ()2,3c d e N c d e +∈≥≥、、、. 从而，()()321,2,3d ed e -=⇒=.于是，9n =.则2117c n +=≠，矛盾.若{}2,3,7A =，则{}3,B p =，且2n +为偶数，()2,13n n +-=. 故()2372n ⨯⨯+.从而，2c n =，13d n -=，1e n p += (),3,2c d e N c d +∈≥≥、、.于是，()()231,2,1c dc d -=⇒=，矛盾.若{}2,3,A p =，则{}3,7B =，且2n +为奇数，()2,13n n +-=.故()372n ⨯+. 但(),21n n +=，则n 的奇质因数不是3、7，矛盾.45．（2019·贵州·高三竞赛）我们知道，目前最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个洞(或数字)，其相对两面之数字和必为七.显然，掷一次六面骰，只能产生六个数之一(正上面).现欲要求你设计一个“十进制骰”，使其掷一次能产生0~9这十个数之一，而且每个数字产生的可能性一样.请问：你能设计出这样的骰子吗?若能，请写出你的设计方案；若不能，写出理由.【答案】能，方案见解析 【解析】 【详解】因为不存在正十面体，所以直接产生“十进制骰”是办不到的. 但要实现“十进制骰”的要求，这样的骰子也是能设计的.即把骰子做成正二十面体，使其相对两面标同一个数字，这样0~9这十个数字就均匀分布在骰子上，当掷一次骰子时，最上面出现的数字必然是0~9这十个数字之一， 显然，每个数字出现的可能性一样故“个位骰”即为“二十面骰”.46．（2019·全国·高三竞赛）设二元函数()22,236z f x y x y y ==+-的定义域是(){}22,327,,D x y xy xy x y R =+≤∈.（1）求(),z f x y =（点(),x y ∈D ）的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得在空间直角坐标系O xyz -中，曲面(),z f x y =（点(),x y ∈D ）与另一个曲面()z xy a x y =+∈R 、相交. 【答案】(1) 81,29⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(2) 8126a -≥ 【解析】 【详解】（1）当0x =时，220,0y y ≤=，()(),0,00f x y f ==；当0x ≠时，22730y y x x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，即1302y y x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.解得132yx≤≤. 令y t x=，则3,yt y tx x ≤≤=，()222,326f x y t x x tx =+-()22326t x tx =+- ()2326x t x t ⎡⎤=+-⎣⎦先固定t ，让x 变化.显然，当x →-∞或+∞时，(),f x y →+∞. 当2332tx t =+时，(),f x y 取得最小值. ()22296,33232t f x y t t -=-+++ 368133229≥-+-+当且仅当239273,,322929t t x y tx t =====+时等号成立. 由以上讨论可知(),f x y 的取值范围是81,29⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.（2）曲面()()(),,z f x y x y D =∈与(),z xy a x y R =+∈相交⇔方程()()(),,f x y xy a x y D =+∈有实数解 ⇔ ()()22236,x y y xy a x y D +-=+∈有实数解(),x y2222236,132x t x tx tx a t ⎧+-=+⎪⇔⎨≤≤⎪⎩有实数解(),x t ()223260,132t t x tx a t ⎧-+--=⎪⇔⎨≤≤⎪⎩有实数解(),x t ()22364320,132t t t a t ⎧∆=+-+≥⎪⇔⎨≤≤⎪⎩有实数解t 229,32132t a t t t ⎧-≥⎪⎪-+⇔⎨⎪≤≤⎪⎩（显然2320t t -+>）， 221333322t a t t t -⎛⎫⇔≥--⋅≤≤ ⎪-+⎝⎭.令()2213322t g t t t t -⎛⎫=≤≤ ⎪-+⎝⎭. 欲求()g t 的最大值，只须考虑23t <≤这一情形（否则()0g t ≤，不可能是最大值）. 令2(01)t k k -=<≤，则()()()23222kg t k k =+-++211231112113kk k k k =-++⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 211231112113kk k k k ==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭21141131134k k ==⎛⎫⎡⎤++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎢⎥⎣⎦211261134≤=⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎣⎦0>，且关于k 严格递减）. 当且仅当1k =时，上式等号成立.故()g t 的最大值为126. 从而，()813326a g t -≥--≥.所以，a 的取值范围是8126a -≥.47．（2019·全国·高三竞赛）设直线与函数42y x x x =-+的图像恰有两个不同的公共点.求出所有这样的直线方程.【答案】1112y x ⎛=+ ⎝⎭【解析】 【详解】显然，直线x a =与函数42y x x x =-+的图像只有一个公共点.于是， 设直线方程为y px q =+.将其代入42y x x x =-+，得()4210x x p x q -+--=. ①方程①恰有两个不同实根，有如下3种情形：（1）()()()()4221x x p x q x u x v x Cx D -+--=--++，其中，u 、v 、C 、D R ∈，u v ≠，且24C D <.（2）()()()22421x x p x q x u x v -+--=--，其中，u 、v R ∈，且u v ≠. （3）()()()3421x x p x q x u x v -+--=--，其中，u 、v R ∈，且u v ≠.对于（1），可设()()()42221x x p x q x Ax B x Cx D -+--=++++，其中，24A B >，24C D <.展开比较系数得0A C +=，1AC B D ++=-，1BC AD p +=-，BD q =-. 由前两个方程得C A =-，21D A B =--，代入24A B >，24C D <，得 22244444B A C D A B <=<=--.所以，2844B A <-.故22221,12min ,24,4A A A AB A A ⎧-≤⎪⎧⎫-⎪<=⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩ 则3121p BC AD A AB A =--=++-，22q BD B B A B =-=+-.直线方程为()32221y A AB A x B B A B =++-++-，其中，实数A 、B 满足221min ,24A A B ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭. 比如，取0A =，则12B <-；取2B =-，则1p =，2q =.因此，直线方程为2y x =+.此时，方程①为()()22210x x -+=.对于（2），可设()()24221x x p x q x Ax B -+--=++，其中，24A B >.在（1）的方程组中令A C =，B D =，得20A =，221A B +=-，21AB p =-，2B q =-. 解得0A =，12B =-，1p =，14q =-.因此，直线方程为14y x =-.对于（3），展开比较系数得30u v +=，()231u uv +=-，3231u u v p +=-，2u v q =-.由前两个方程得3v u =-，()22331u u -=-.解得u =注意到，()()2141319163p u u v u u u =++=+-=-，341312q u v u =-==，于是，()1,112p q ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.此时，直线方程为1112y x ⎛=+ ⎝⎭. 48．（2018·全国·高三竞赛）已知12,,n x x x 为实数,且1i x ≥,对{}1,2,,x n =的子集{}12t ,,,A i i i =,定义()12t i i i S A x x x =+++.其中,规定()0S ∅=，问：从n 个这样的和中至多可以选出多少个,使得其中任何两个的差的绝对值都小于1? 【答案】n 2nC ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【详解】不妨设所有的0i x >.事实上,若有某个0i x <,则将i x 换作i x -,并将集合A 换作：{}()A A i i A =⋃∉'或{}()\A A i i A ='∈.故“和()S A ”变为()()S A S A x '=-,这样所有2n 个和均增加了i x -,任何两个“和”的差不变. 从而, 1i x ≥. 设12,,k A A A 是选出来的集合X 的子集,满足()()1i j S A S A -<.从而,必有各i A 互不包含.否则,设i j A A ⊆故()()()\1i j i j S A S A S A A -=≥.导出矛盾.由斯波那定理,知可选出的集合数n 2n C k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤.另外,取1i x =,则{}1,2,,X n =的全部n 2n C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个n 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦元子集互不包含,且对每一个i A ,有()n 2i S A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.于是,()()01i j S A S A -=<.所以,集合数的最大值为n 2n C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.49．（2018·全国·高三竞赛）(1)若正整数n 可以表示成(),2b a a b N a b 、、∈≥)的形式，则称n 为“好数”．试求与2的正整数次幂相邻的所有好数.(2) 试求不定方程2351x y z-⨯=的所有非负整数解(),,.x y z【答案】（1）9；（2）(1，0，0)，(1，1，0)，(2，1，0)，(3，2，0)，(4，l ，1)，(2，0，1). 【解析】 【详解】(1)设所求的好数为n ，(),2,2.bn a a b N a b +=∈≥≥、于是，存在正整数t (t>1)，使得2 1.t b a =±显然，a 为奇数．若b 为奇数，则()()12211.t b b a aa a --=±+⋯+ ① 而121b b a a a --+⋯+是奇数个奇数相加减的结果仍然是奇数，只可能是l ，代入 式①得b=l ，这与b≥2矛盾．若b 为偶数，则()1mod4.ba =若21t b a =+，则()212mod4.t ba =+=所以，t=1．矛盾若222111b b tba a a ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，但221,12b ba a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 故2129.bb a a -=⇒=综上，所求的所有好数只有一个n=9.(2)显然，x ≥1.当z=0时，若y≤1，易得方程的三组解(1，0，0)，(1，1，0)，(2，l ，0)； 若y≥2，由(1)的结论易知此时方程只有一组解(3，2，0). 当z≥l 时，显然，2x ≥．易知当且仅当2x =(mod 4)时，()21mod5x=-；当且仅当0x =(mod 4)时，()21mod5.x=若2351x y z -⨯= ②则()21mod5x≡，此时，()0mod4.x ≡设()4.x m m N +=∈对式②两边模4得()()111mod4.y +-≡于是，y 是奇数．设()21.y l l N =+∈ 则式②变为4212351m l z +-⨯=， 即()()2221212135.mm l z +-+=⨯。
