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2014年全国新课标Ⅱ卷高考理科数学压轴卷(含解析)

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2014新课标II 高考压轴卷理科数学选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.的共轭复数为（3. 由y=f （x）的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin 的图象，则 f （x ）为（ ）4.已知函数，则的值是（ ）D5. 设随机变量~X N (3，1)，若(4)P X p >=，，则P(2<X<4)= ( A)12p + ( B)l —p (C)l-2p (D)12p - 6. 6．运行右面框图输出的S 是254，则①应为(A) n ≤5 (B) n ≤6 (C)n ≤7 (D) n ≤8 7. 若曲线在点（a ，f （a ））处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=（ ）8.已知A 、B 是圆22:1O x y +=上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当AOB ∆的面积最大时，则AO AP ⋅-2AP 的最大值是（ ）A.1-B.0C.81D.21 9.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图的面积为 A ．3 B ．25 C ．2 D ．2710. .已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ． 0B ．100-C ．100D ．1020011．设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（ ）C 12．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R ），λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）BCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm 的概率为 ．14.已知1cos21sin cos ααα-=，1tan()3βα-=-，则tan(2)βα-的值为 ．15.函数43y x x =++(3)x >-的最小值是 ． 16.已知函数f(x)＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f(mx －2)＋f(x)<0恒成立，则x 的取值范围为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17.已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ． （Ⅰ）求函数(3)1y f x =-+的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知ABC ∆中的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若锐角A满足()26A f π-=且7a =，sin sin B C +=，求ABC ∆的面积． 18.随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表：⑴根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？⑵从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．（注：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=为样本容量．）19.已知正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，12,4==AB AA . （Ⅰ）求证：1BD AC ⊥；（Ⅱ）求二面角11--A AC D 的余弦值；（Ⅲ）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11ACD ⊥平面PBD ，若存在，求出1CPPC 的值；若不存在，请说明理由.20.已知动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点. （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（Ⅲ）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值. 21.已知0t >，函数()3x tf x x t-=+. (1)1t =时，写出()f x 的增区间；(2)记()f x 在区间[0,6]上的最大值为()g t ，求()g t 的表达式；(3)是否存在t ，使函数()y f x =在区间(0,6)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.选修4﹣1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CE 和⊙O 切于点C ，AD 丄CE ，垂足为D ． （I ） 求证：AC 平分∠BAD；（II ） 若AB=4AD ，求∠BAD 的大小．23.选修4﹣4：坐标系与参数方程将圆x2+y2=4上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C；将直线3x﹣2y﹣8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l．（I）求直线l与曲线C的方程；（II）求C上的点到直线l的最大距离．24. 选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值范围．2014新课标II高考压轴卷理科数学参考答案1. 【答案】A.【解析】由A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4}，所以A∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}．所以A∩B中元素的个数为2．故选C．2. 【答案】A.【解析】由z•i=2﹣i，得，∴．故选：A．3. 【答案】B.【解析】由题意可得y=2sin的图象上各个点的横坐标变为原来的，可得函数y=2sin（6x﹣）的图象．再把函数y=2sin （6x ﹣）的图象向右平移个单位，即可得到f （x ）=2sin[6（x ﹣）﹣）]=2sin （6x ﹣2π﹣）=2sin的图象，故选B ．4. 【答案】C. 【解析】=f （log 2）=f （log 22﹣2）=f （﹣2）=3﹣2=，故选C ．5. 【答案】C.【解析】因为(4)(2)P X P X p >=<=，所以P(2<X<4)= 1(4)(2)12P X P X p ->-<=-，选C. 6. 【答案】C.【解析】本程序计算的是212(12)2222212n nn S +-=+++==--，由122254n +-=，得12256n +=，解得7n =。

此时18n +=，不满足条件，输出，所以①应为7n ≤，选C.7. 【答案】A. 【解析】∵，（x ＞0），∴f'（x ）=，∴在点（a ，f （a ））处的切线斜率k=f'（a ）=（a ＞0）．且f （a ）=，∴切线方程为y ﹣=（x ﹣a ），令x=0，则y=，令y=0，则x=3a ，即切线与坐标轴的交点坐标为（0，），（3a ，0），∴三角形的面积为，即，∴a=64． 故选：A ． 8. 【答案】C 【解析】9. 【答案】A【解析】设O （0，0，0），A （0，2，0），B （0，2，2），C （0，0，1），易知该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图为直角梯形OABC,其中OA=1，AB=2，OA=2，所以S=3. 10. 【答案】B 【解析】因为2()c o s ()f n n n π=，所以123100a a a a ++++=[(1)(2)(100)][(2)(101)]f f f f f ++++++(1)(2)(100)f f f +++=222222123499100-+-+--+222222(21)(43)(10099)=-+-+-50(3199)3719950502+=+++==，(2)(101)f f ++=22222223499100101-+--+-222222=2345+100101-+-+-（）（）（）50(5201)5920151502--=----==-，所以123100a a a a ++++=[(1)(2)(100)][(2)(101f f f f f ++++++51505050100=-+=-,选B.11. 【答案】A.【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12．因此，+=（+）³（4a+6b）=2+（），∵a＞0，b＞0，可得≥=12，∴当且仅当即2a=3b=3时，的最小值为12，相应地，+=2+（）有最小值为4．故选：A12. 【答案】C.【解析】双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），∵，∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），∴λ+μ=1，λ﹣μ=，解得λ=，μ=，又由λμ=得=，解得=，∴e==故选C．13. 【答案】【解析】根据题意，棉花纤维的长度小于20mm的有三组，[5，10）这一组的频率为5³0.01=0.05，有100³0.05=5根棉花纤维在这一组， [10，15）这一组的频率为5³0.01=0.05，有100³0.05=5根棉花纤维在这一组， [15，20）这一组的频率为5³0.04=0.2，有100³0.2=20根棉花纤维在这一组， 则长度小于20mm 的有5+5+20=30根，则从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，其长度小于20mm 的概率为=；故答案为．14. 【答案】.1-【解析】由1cos21sin cos ααα-=得221(12sin )2sin 2tan 1sin cos sin cos ααααααα--====，所以1tan 2α=。

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2014新课标全国卷Ⅱ(理科数学)精准解析

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2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ(理科数学)1．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( )A ．{1}B ．{2}C ．{0，1}D ．{1，2}1．D [解析] 集合N ＝[1，2]，故M ∩N ＝{1，2}． 2．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i2．A [解析] 由题知z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5. 3．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．53．A [解析] 由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1.4．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．14．B [解析] 根据三角形面积公式，得12BA ·BC ·sin B ＝12，即12×1×2×sin B ＝12，得sin B ＝22，其中C <A .若B 为锐角，则B ＝π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×22＝1＝AB ，易知A 为直角，此时△ABC 为直角三角形，所以B 为钝角，即B ＝3π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝ 5.5．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.455．A [解析] 设“第一天空气质量为优良”为事件A ，“第二天空气质量为优良”为事件B ，则P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6，由题知要求的是在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，根据条件概率公式得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.60.75＝0.8. 6．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 如图11，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.136．C [解析] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为π×32×2＋π×22×4＝34π(cm 3)，原毛坯的体积为π×32×6＝54π(cm 3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm 3)，故所求的比值为20π54π＝1027.7．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 执行如图12所示的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．77．D [解析] 逐次计算，可得M ＝2，S ＝5，k ＝2；M ＝2，S ＝7，k ＝3，此时输出S ＝7. 8．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．D [解析] y ′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3.9．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．29．B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (5，2)10．、[2014高考真题·F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.9410．D [解析] 抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫34，0，则过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即x ＝3y ＋34，代入抛物线方程得y 2－3 3y －94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝3 3，y 1y 2＝－94，则S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12×34×（33）2－4×⎝⎛⎭⎫－94＝94. 11．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.2211．C [解析] 如图，E 为BC 的中点．由于M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，故MN ∥B 1C 1且MN ＝12B 1C 1，故MN 綊BE ，所以四边形MNEB 为平行四边形，所以EN 綊BM ，所以直线AN ，NE 所成的角即为直线BM ，AN所成的角．设BC ＝1，则B 1M ＝12B 1A 1＝22，所以MB ＝1＋12＝62＝NE ，AN ＝AE ＝52，在△ANE 中，根据余弦定理得cos ∠ANE ＝64＋54－542×6×5＝3010.12．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin m，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．C [解析] 函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝⎛⎭⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝⎛⎭⎫k 0＋122＋3<m 2.因为⎝⎛⎭⎫k ＋122的最小值为14，所以只要14m 2＋3<m 2成立即可，即m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．13． [2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] (x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________．(用数字填写答案)13.12[解析] 展开式中x 7的系数为C 310a 3＝15， 即a 3＝18，解得a ＝12.14．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 14．1 [解析] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin x ，故其最大值为1.15．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．15．(－1，3) [解析] 根据偶函数的性质，易知f (x )>0的解集为(－2，2)，若f (x －1)>0，则－2<x －1<2，解得－1<x <3.16．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．16．[－1，1] [解析] 在△OMN 中，OM ＝1＋x 20≥1＝ON ，所以设∠ONM ＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得1＋x 20sin α＝1sin 45°，所以1＋x 20＝2sin α∈[1，2]，所以0≤x 20≤1，即－1≤x 0≤1，故符合条件的x 0的取值范围为[－1，1]．17．、、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n 1，即1a n ＝23n－1≤13n 1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.18．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 如图13，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角DAEC 为60°，AP ＝118．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直． 如图，以A 为坐标原点，，AD ，AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系Axyz ，则D ()0，3，0，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，＝⎝⎛⎭⎫0，32，12.设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 则即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝⎛⎭⎫3m ，－1，3.又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥EACD 的高为12.三棱锥EACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.19．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数(1)求(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ＝，＝－.19．解：(1)由所给数据计算得＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，(t i －)(y i －)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，＝＝1428＝0.5，＝－＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回归方程为＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9，代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8， 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．20．、、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝ 5|F 1N |，求a ，b .20．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b2a＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.21．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝e x －e －x －2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x ＞0时，g (x )＞0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．21．解：(1)f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立， 所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )＝e 2x －e －2x －4b (e x －e －x )＋(8b －4)x ，g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x －2b ＋2)．(i)当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．而g (0)＝0，所以对任意x >0，g (x )>0.(ii)当b >2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2，即0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g ′(x )<0.而g (0)＝0，因此当0<x <ln(b－1＋b 2－2b )时，g (x )<0.综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g (ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g (ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b 2－2b )＝ln 2，g (ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693. 22．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 选修41：几何证明选讲如图14，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，证明：(1)BE ＝EC ； (2)AD ·DE ＝2PB 2.22．证明：(1)连接AB ，AC .由题设知P A ＝PD ， 故∠P AD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ， ∠P AD ＝∠BAD ＋∠P AB ， ∠DCA ＝∠P AB ，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ＝EC . 因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC .因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2. 23．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．23．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t ，(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.24．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 选修45：不等式选讲设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．24．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2，所以f (x )≥2. (2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.。

2014年新课标II高考理科数学试题及答案(Word版)

2014年新课标II高考理科数学试题及答案(Word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝【答案】D 【KS5U 解析】把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。

所以选D.2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i【答案】A 【KS5U 解析】.,5-4-1-∴,2-,2212211A z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=Θ3.设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5【答案】A 【KS5U 解析】.,1,62-102∴,6|-|,10||2222A b a b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+Θ4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( )A. 5B.5 C. 2 D. 1【答案】B 【KS5U 解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。

为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==Θ5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45【答案】 A 【KS5U 解析】.,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. 1727B. 59C. 1027D. 13【答案】 C 【KS5U 解析】..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴πΘΘ7.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】 D 【KS5U 解析】8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D 【KS5U 解析】..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(D a f f x a x f x ax x f 故选联立解得且==′=∴+=′∴+=Θ9.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】 B 【KS5U 解析】..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A.33 B.93 C. 6332 D. 94【答案】 D【KS5U 解析】..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C.30D.2 【答案】 C 【KS5U 解析】..10305641-0θcos 2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111C AN BM N M B A C C BC AC Z Y X C C A C B C 故选）。

2014年高考全国卷Ⅱ理科数学试题及答案

2014年高考全国卷Ⅱ理科数学试题及答案

）
≤ 0 ，则 z x 3y 1 3x ≥0 5
D. 2
A. 10 【答案】 【解析】 B
B. 8
画出区域，可知区域为 三角形，经比较斜率， 可知目标函数 z = 2x - y在两条直线 x - 3y + 1 = 0与 x + y - 7 = 0的交点 ( 5,2) 处 , 取得最大值 z = 8.故选 B.
C. 2 D. 3
y
2 x ，则 a
B. 1 D
x+1 ∴ f ( 0) = 0, 且 f ′ ( 0) = 2 .联立解得 a = 3 .故选 D .
f ( x) = ax - ln( x+ 1), ∴ f ′ ( x) = a -
1
.
x
9.设 x, y 满足约束条件
y y
C. 3
7≤ 0 2x y 的最大值为（
3 3 3 2 m = 2 ? + 3m, 2n = 2 ? - 3 n ，解得 m = ( 2 + 4 4 2 1 3 9 ∴SΔ OAB = ? ? ( m + n) = .故选 D . 2 4 4
11.直三棱柱 点，
ABC A1 B1C1 中，
BCA
90 ， M , N 分别是 A1B1 ， AC 1 1 的中
1
∴ sin B =
2
,
【答案】
【解析】 本题考查条件概率，记第一天空气质量优良为事件 天的空气质量也为优良为事件
A ，随后一
B ，则 AB 表示连续两天空气质量都为优 P ( AB ) P( A) 0.6 0.75 0.8
良，则所求概率为
P( B | A)
6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 由一个底面半径为 比值为（ A. ）
2014年全国卷2 理科数学试题及答案

2014年全国卷2 理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝【答案】D 【解析】把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。

所以选D.2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i【答案】B【解析】.,5-4-1-∴,2-,2212211B z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=3.设向量a,b 满足|a+b|a-ba ⋅b = ( ) A. 1 B. 2C. 3D. 5【答案】A【解析】.,1,62-102∴,6|-|,10||2222A 故选联立方程解得，==+=++==+4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1【答案】B【解】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。

为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45【答案】 A 【解析】.,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13【答案】 C 【解析】..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π7.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】 C 【解析】.3 7 22 5 2 13 1 ,2,2C K S M t x 故选变量变化情况如下：==8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D 【解析】..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(D a f f x a x f x ax x f 故选联立解得且==′=∴+=′∴+=9.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】 B 【解析】..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A.B.C. 6332D. 94【答案】 D【解析】..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C.D.【答案】 C【解析】..10305641-0||||θcos 2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111C AN BM AN BM N M B A C C BC AC Z Y X C C A C B C 故选）。