电磁感应中微元法的应用技巧及实例

电磁感应中的“微元法”和“牛顿第四定律”江苏省特级教师 江苏省丰县中学 戴儒京所谓：“微元法”所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。

1.什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变变速运动（非匀变速运动）时，可考虑用微元法解题。

2. 关于微元法。

在时间t ∆很短或位移x ∆很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以x t v ∆=∆，s x l t lv ∆=∆=∆。

微元法体现了微分思想。

3. 关于求和∑。

许多小的梯形加起来为大的梯形，即∑∆=∆S s ，（注意：前面的s 为小写，后面的S 为大写），并且0v v v -=∆∑，当末速度0=v 时，有∑=∆0v v ，或初速度00=v 时，有∑=∆v v ，这个求和的方法体现了积分思想。

4. 无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理,都可以用微元法. 如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。

对于使用老教科书的地区，这两种解法用哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，因为课程标准教科书把动量的内容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。

微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力。

电磁感应中的微元法一些以“电磁感应”为题材的题目。

可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生感应电动势为B L v E =，感应电流为R BLvI =，受安培力为v RL B B I L F 22==，因为是变力问题，所以可以用微元法.1.只受安培力的情况例1. 如图所示，宽度为L 的光滑金属导轨一端封闭，电阻不计，足够长，水平部分有竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中。

质量为m 、电阻为r 的导体棒从高度为h 的斜轨上从静止开始滑下，由于在磁场中受安培力的作用，在水平导轨上滑行的距离为S 而停下。

（1） 求导体棒刚滑到水平面时的速度0v ；（2） 写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v 与在水平导轨上滑行的距离x 的函数关系，并画出x v -关系草图。

电磁感应中的“微元法”和“牛顿第四定律”江苏省特级教师，江苏省丰县中学——戴儒京所谓：“微元法”所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。

1.什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变变速运动（非匀变速运动）时，可考虑用微元法解题。

2. 关于微元法。

在时间t ∆很短或位移x ∆很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以x t v ∆=∆，s x l t lv ∆=∆=∆。

微元法体现了微分思想。

3. 关于求和∑。

许多小的梯形加起来为大的梯形，即∑∆=∆S s ，（注意：前面的s 为小写，后面的S 为大写），并且0vv v -=∆∑，当末速度0=v 时，有∑=∆0v v ，或初速度00=v 时，有∑=∆v v ，这个求和的方法体现了积分思想。

4. 无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理,都可以用微元法.如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。

对于使用老教科书的地区，这两种解法用哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，因为课程标准教科书把动量的内容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。

微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力。

电磁感应中的微元法一些以“电磁感应”为题材的题目。

可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生感应电动势为BL v E =，感应电流为RB L vI =，受安培力为v RL B B I L F 22==，因为是变力问题，所以可以用微元法.1.只受安培力的情况例1. 如图所示，宽度为L 的光滑金属导轨一端封闭，电阻不计，足够长，水平部分有竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场。

质量为m 、电阻为r 的导体棒从高度为h 的斜轨上从静止开始滑下，由于在磁场中受安培力的作用，在水平导轨上滑行的距离为S 而停下。

（1） 求导体棒刚滑到水平面时的速度0v ；（2） 写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v 与在水平导轨上滑行的距离x 的函数关系，并画出x v -关系草图。

微元法在电磁学中的应用
微元法在电磁学中的应用非常广泛，可以用来解决电荷分布、电场、电势、电磁感应等问题。

1. 电荷分布：微元法可以用于计算不规则形状电荷分布的总电荷量。

将电荷分布划分为许多微小电荷元，然后对每个微小电荷元进行求和，就可以得到整个电荷分布的总电荷量。

2. 电场：微元法可以用于计算电荷在某点产生的电场。

通过将电荷分布划分为微小电荷元，然后计算每个微小电荷元对某一点的电场贡献，再将所有微小电荷元的贡献相加，就可以得到该点的总电场。

3. 电势：微元法可以用于计算电荷在某一点产生的电势。

通过将电荷分布划分为微小电荷元，然后计算每个微小电荷元对某一点的电势贡献，再将所有微小电荷元的贡献相加，就可以得到该点的总电势。

4. 电磁感应：在计算电磁感应时，可以使用微元法来计算由磁场引起的感应电动势。

将磁场分布划分为微小磁场元，然后计算每个微小磁场元对某一回路的感应电动势贡献，再将所有微小磁场元的贡献相加，就可以得到该回路的总感应电动势。

微元法在电磁学中可以帮助我们计算复杂的电荷分布、电场、电势和电磁感应问题，通过将问题划分为微小元素并进行求和，使得计算更加简化和准确。

电磁感应中的“微元法”1走近微元法微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。

用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。

在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学思想或物理方法处理，进而使问题求解。

使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种常用方法。

2如何用微元法1.什么情况下用微元法解题？在变力求功，变力求冲量，变化电流求电量等等情况下，可考虑用微元法解题。

2. 关于微元法。

一般是以时间和位移为自变量，在时间t ∆很短或位移x ∆很小时，此元过程内的变量可以认为是定值。

比如非匀变速运动求位移时在时间t ∆很短时可以看作匀速运动，在求速度的变化量时在时间t ∆很短时可以看作匀变速运动。

运动图象中的梯形可以看作很多的小矩形，所以，s x t v ∆=∆=∆。

微元法体现了微分的思想。

3. 关于求和∑。

许多小的梯形加起来为大的梯形，即∑∆=∆S s ，（注意：前面的s 为小写，后面的S 为大写），比如0v v v -=∆∑，当末速度0=v 时，有∑-=∆0v v ，或初速度00=v 时，有∑=∆v v ，这个求和的方法体现了积分思想。

4.物理量有三种可能的变化情况✍不变（大小以及方向）。

可以直接求解，比如恒力的功，恒力的冲量，恒定电流的电量和焦耳热。

✍线性变化（方向不变，大小线性变化）。

比如力随位移线性变化可用平均力来求功，力随时间线性变化可用平均力来求冲量，电流随时间线性变化可用平均电流来求电量。

电流的平方随时间线性变化可用平方的平均值来求焦耳热。

✍非线性变化。

可以考虑用微元法。

值得注意微元法不是万能的，有时反而会误入歧途，微元法解题，本质上是用现了微分和积分的思想，是一种直接的求解方法，很多时候物理量的非线性变化可以间接求解，比如动能定理求变力的功，动量定理求变力的冲量，能量方程求焦耳热等等。

电磁感应中微元法的应用技巧及实例无锡市第六高级中学 曹钱建摘要：微元法是电磁学中极其重要的一种研究方法，电磁学中无时无刻都在利用微元法处理问题，使复杂问题简化和纯化，从而确定变量为常量达到理想化的效果。

间题中的信息进行提炼加工，突出主要因素，忽略次要因素，恰当处理，构建新的物理模型，从而更好地应用微元法，学好电磁感应这部分内容。

关键词：微元法；电磁感应；高考新课标物理教材中涉及到微分的思想，相应的派生出大量的相关问题。

而微元法与电磁感应相结合的问题更是常考点也是难点，本文将就此类问题的解决提供一套简便实用的方法，及部分经典实例。

电磁感应问题中的动生电动势模型中，金属杆在达到稳定之前的过程是一个变加速过程（其中涉及到的v 、E 、I 、安F 、a 都是变量），常规的原理、公式都无法直接使用，使得很多学生遇到此类问题都觉得无从下手，但此类问题却在近两年各地模拟卷和江苏高考卷中，作为压轴题出现。

其实这时可以采取“微元法”，即将所研究的变加速物理过程，分割成许多微小的单元，从而将非理想物理模型变成理想物理模型；将变加速运动过程变成匀加速运动过程，然后选择微小的单元，利用下面介绍的方法进行分析和讨论，可用一种比较简单且相对固定的模式解决此类问题。

例1、如图甲所示，光滑绝缘 水平面上一矩形金属线圈 abcd 的质量为m 、电阻为R 、ad 边长度为L ，其右侧是有左右边界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B ，ab 边长度与有界磁场区域宽度相等，在t =0时刻线圈以初速度v 0进入磁场，在t=T 时刻线圈刚好全部进入磁场且速度为v l ，此时对线圈施加一沿运动方向的变力F ，使线圈在t =2T 时刻线圈全部离开该磁场区，若上述过程中线圈的v —t 图象如图乙所示，整个图象关于t=T 轴对称．(1)求t=0时刻线圈的电功率；(2)线圈进入磁场的过程中产生的焦耳热和穿过磁场过程中外力F 所做的功分别为多少?(3)若线圈的面积为S ，请运用牛顿第二运动定律和电磁学规律证明：在线圈进入磁场过程中m RLS B v v 210=- 解：t =0时，E=BLv 0 线圈电功率Rv L B R E P 20222==(2)线圈进入磁场的过程中动能转化为焦耳热 21202121mv mv Q -= 外力做功一是增加动能，二是克服安培力做功 2120mv mv W F -=(3)根据微元法思想，将时间分为若干等分，每一等分可看成匀变速，利用牛顿第二定律分析可得：Bv v 乙m Rv L B m BLI a 22==： 等式两边同时乘以t ∆可得：t Lv mRL B t v mR L B t a ∆=∆=∆222 因为时间t ∆极短，则a 可认为恒定不变，所以t a ∆等于此极短时间内的速度改变量v ∆，同理v 也可认为恒定不变，所以t v ∆等于此极短时间内的位移x ∆。

微元法在电磁学中的应用
微元法在电磁学中的应用
在电磁学中，微元法是一种常见的数学方法，它用于解决涉及电磁场的微分方程问题。

微元法可以将一个复杂的系统分解成许多微小的元素，再对每个微小元素进行推导和计算，最终得到整个系统的解。

下面我们将介绍微元法在电磁学中的应用。

1.微元法在电荷分布和电场强度的计算中的应用
在确定电荷分布和电场强度时，我们可以使用微元法。

我们将空间分成许多小微元，对于每个微元，我们可以计算出其内部的电荷分布和电场强度，然后将所有微元的电场强度叠加起来得到整个空间的电场强度。

微元法可以显著提高计算的准确性和效率。

2.微元法在感应电流和磁场的计算中的应用
在感应电流和磁场的计算中，我们也可以使用微元法。

对于磁场的计算，我们将空间分成许多小微元，对于每个微元，我们可以通过安培定理计算出其内部的电流密度和磁场强度，然后将所有微元的磁场强度叠加起来得到整个空间的磁场。

微元法同样可以显著提高计算的准确性和效率。

3.微元法在电磁波传播中的应用
在电磁波传播中，微元法同样有着重要的应用。

我们将空间划分为许多微小的区域，对于每个区域，我们可以计算出其中的电场和磁场，
然后应用麦克斯韦方程式求得整个空间的电场和磁场。

微元法可以帮助我们更准确、更细致地分析电磁波的传播过程。

综上所述，微元法在电磁学中有着重要的应用。

它可以帮助我们精确地计算电场和磁场、电荷分布、感应电流和磁场等等，为我们深入理解电磁现象提供了有效的数学工具和分析方法。

微元法在电磁学问题中的应用作者：黄卫红石超郭旺来源：《中学教学参考·理科版》2010年第02期2006年至2009年连续四年江苏高考压轴题中都用到了微元法,可见微元法是高考题中的一个考查重点,它能很好地考查学生的能力,这一方法在处理变加速运动过程中的位移、电量、速度、能量等物理量时非常方便,但学生在使用微元法解题时往往感到无从下手,下面笔者谈谈这一方法在电磁学问题中的应用。

一、受安培力作用图1【例1】如图1所示,水平放置的导体电阻为R,电阻R与两根光滑的平行金属导轨相连,导轨间距为L,其间有垂直导轨平面磁感应强度为B的匀强磁场。

导轨上有一导体棒ab质量为m,以初速度向右运动。

求:(1)导体棒将做什么运动?(2)描绘出运动的v-t图像;(3)导体棒的总位移;(4)流过导体棒的电量。

解析:(1)(2)略。

(3)使用微元法求解:选初速度方向为正方向,在导体棒运动的全过程,取一元过程,Δt极小。

则有:①由牛顿第二定律得a=B2L2vRm代入①式得∑-B2L2-②对②式化简得:-B2L2-③将代入③式有B2L2得B2L2即2L2;(4)由∑--化简得得。

小结:(1)物体做变加速直线运动,全过程可分解为众多微小的“元过程”,每个“元过程”所遵循的规律相同,分析这些“元过程”,然后再将“元过程”进行累计求和(或积分)使问题得以求解。

主要方程-注意方程的矢量性);(2)本题中加速度选择a=B2L2vRm和a=BILm两公式求和后使和分别得到位移和电量,所以解题过程中要恰当选择a的表达式。

二、受外力和安培力共同作用图2【例2】 (江苏2009年高考)如图2所示,两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上,导轨间距为l、足够长且电阻忽略不计,导轨平面的倾角为α,条形匀强磁场的宽度为d,磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。

长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置,总质量为m,置于导轨上。

《磁场 电磁感应》方法与技巧一、微元法1、质量为m 的跨接杆可以无摩擦地沿水平的平行导轨滑行，两轨间宽为 ，导轨与电阻R 连接，放在竖直向上的匀强磁场中，磁感强度为B ，跨接杆的初速度为v 0，如图所示，试求跨接杆到停下来所滑行的距离。

2、质量为m 的金属杆可以沿与水平面成α角的导轨无摩擦地滑动，两导轨间距离为 。

在两导轨的下部接有电容为C 的电容器，整个装置放在竖直向上的磁感强度为B 的匀强磁场中，如图所示，金属杆在导轨上某一位置静止起释放，试求杆下滑的距离随时间变化的规律。

3、如图所示，一质量均匀分布的细圆环，其半径为R ，质量为m ，令此环均匀带正电，总电阻为Q 。

现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上，并处于磁感强度为B 的均匀磁场中，磁场方向竖直向下，当此环绕通过其中心的竖直轴以角速度ω沿图示方向旋转时，环中的张力增加多少？二、等效法1、一导线围成半径为D 的圆环abcd ，在圆环所围成的区域内有一半径为D/2的圆环匀强磁场区域，其周界与圆环相切于C 点，如图所示，磁场的磁感强度随时间增大，其变化率为△B/△t=k=常量。

导线ab 是圆环的一条直径，与在磁场分布的圆形区域的周界相切。

设导线ab 以及被其所分割的两个半圆环的电阻都是r 。

今用一内阻为r 的电流计G 接在a 、b两点之间，电流计位于纸面内。

圆形区域外的磁场可忽略不计，试问在下列情况下通过电流计的电流I G为多少？（1）半圆环acd与adb都位于纸面内并分别位于直径ab的两侧。

（2）半圆环adb绕直径ab转过900，折成与纸面垂直。

（3）半圆环adb绕直径再转过900，折成与acb重合。

2、如图所示，一个半径为a的均匀圆环，其电阻为r，放在均匀的磁场中，磁感强度B的方向垂直纸面向里，大小随时间均匀增大，即△B/△t=b=恒量，图中P、Q是环上的两点，对圆环中心的张角为900。

现将一非常小的电压表用导线跨接在P、Q两点，电压表的内阻为R，连接电压表的导线电阻不计，并设上述磁场对电压表内部的影响也不计。

巧用微元法求解电磁感应问题的几类模型摘要：微元法是高中物理教学中一种重要的思维方法。

本文结合电磁感应问题中的几类模型，利用微元法的思想有效快速地解决了问题，并收到了良好的教学效果。

在教学中进行“微元法”的训练，能提高学生思维能力和分析解决问题的能力。

关键词：微元法电磁感应模型在高中物理中，由于数学知识学习上的局限，对于高等数学中可以使用积分来进行计算的一些问题，在高中很难加以解决，成为一大难题。

但是如果应用积分的思想，化整为零，化曲为直，采用“微元法”，可以很好地解决这类问题。

“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，这个方法充分体现了积分的思想。

本文结合电磁感应中的几种疑难问题，对微元法的灵活应用加以分析说明。

一、“切割类”模型导体切割磁感线是高中物理常见的产生感应电动势的基本模型之一，我们将这种模型简称为“切割类”模型。

直线切割比较简单，但对于不规则形状的切割可以利用微元法来求解。

具体如下例：例1：如图1所示，ab是半径为r的半圆形金属导体，当ab以v水平向右运动时，求ab两端的感应电动势多大？解析：高中生利用法拉第电磁感应定律可以推导出直线切割时的感应电动势为：e=blv，但是对于不规则导体切割磁感线的情况则感到束手无策。

此时不妨利用微元法，将金属导体ab分为无数条小段，如下图2所示：在图2中选取任意一小段导体l，将其无限放大后如图3所示，由于导体l本身比较短，可以将导体l等效为直线，则导体l可以正交分解为水平分量lx和竖直分量ly，水平分量lx不会切割磁感线，竖直分量ly切割磁感线产生的感应电动势大小为el=blyv，以此类推，每一小段导体切割的感应电动势都可以按照正交分解的办法，所有竖直分量叠加起来即为大导体ab的直径2r，故导体ab产生的感应电动势大小为：e=b2rv=2brv.二、“插入类”模型当条形磁铁插入或者拔出闭合金属环时，金属环内会产生感应电流，电流方向可以用楞次定律判定。

电磁感应中的“微元法”和“牛顿第四定律”所谓：“微元法”所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。

1.什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变变速运动（非匀变速运动）时，可考虑用微元法解题。

2. 关于微元法。

在时间t ∆很短或位移x ∆很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以x t v ∆=∆，s x l t lv ∆=∆=∆。

微元法体现了微分思想。

3. 关于求和∑。

许多小的梯形加起来为大的梯形，即∑∆=∆S s ，（注意：前面的s 为小写，后面的S 为大写），并且0v v v -=∆∑，当末速度0=v 时，有∑=∆0v v ，或初速度00=v 时，有∑=∆v v ，这个求和的方法体现了积分思想。

4. 无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理,都可以用微元法.如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。

对于使用老教科书的地区，这两种解法用哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，因为课程标准教科书把动量的内容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。

微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力。

电磁感应中的微元法一些以“电磁感应”为题材的题目。

可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生感应电动势为BLv E =，感应电流为RBLv I =，受安培力为v RL B BIL F 22==，因为是变力问题，所以可以用微元法.1.只受安培力的情况例1. 如图所示，宽度为L 的光滑金属导轨一端封闭，电阻不计，足够长，水平部分有竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中。

质量为m 、电阻为r 的导体棒从高度为h 的斜轨上从静止开始滑下，由于在磁场中受安培力的作用，在水平导轨上滑行的距离为S 而停下。

（1） 求导体棒刚滑到水平面时的速度0v ； （2） 写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v 与在水平导轨上滑行的距离x 的函数关系，并画出x v -关系草图。