160430-双曲线的定义及离心率

《双曲线的定义》知识清单一、双曲线的定义平面内到两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，通常用$2c$表示。

需要注意的是，距离之差的绝对值要小于两焦点之间的距离。

如果距离之差的绝对值等于两焦点之间的距离，那么轨迹就是以两焦点为端点的两条射线；如果距离之差的绝对值大于两焦点之间的距离，那么轨迹不存在。

二、双曲线的标准方程1、焦点在$x$轴上的双曲线的标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），其中$a$表示双曲线的实半轴长，＄b$表示双曲线的虚半轴长，且$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$，焦点坐标为$F_1(c, 0)＄，＄F_2(c, 0)＄。

2、焦点在$y$轴上的双曲线的标准方程为：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），焦点坐标为$F_1(0,c)＄，＄F_2(0, c)＄。

三、双曲线的几何性质1、范围对于焦点在$x$轴上的双曲线$＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，＄x$的取值范围是$x ＼leq a$或$x ＼geq a$；＄y$的取值范围是$R$。

对于焦点在$y$轴上的双曲线$＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$，＄y$的取值范围是$y ＼leq a$或$y ＼geq a$；＄x$的取值范围是$R$。

2、对称性双曲线关于$x$轴、＄y$轴和原点都是对称的。

3、顶点双曲线有两个顶点。

对于焦点在$x$轴上的双曲线，顶点坐标为$（a, 0)＄和$（a, 0)＄；对于焦点在$y$轴上的双曲线，顶点坐标为$（0, a)＄和$（0, a)＄。

4、渐近线焦点在$x$轴上的双曲线$＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$的渐近线方程为$y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x$；焦点在$y$轴上的双曲线$＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$的渐近线方程为$y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x$。

关于双曲线知识点总结关于双曲线知识点总结双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。

这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。

a还叫做双曲线的实半轴。

焦点位于贯穿轴上，它们的`中间点叫做中心，中心一般位于原点处。

下面是关于双曲线知识点总结，请参考！关于双曲线知识点总结双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P 到两准线的距离比为m︰n.简证： =.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线方程知识点在高考中属于比较重要的考察点，希望考生认真复习，深入掌握。

双曲线的离心率
双曲线的离心率定义为双曲线上任意一点到它的长轴的距离除以到短轴的距离的比值，其符号表示为e，称为双曲线的离心率。

双曲线总是一种几何形状，它的定义即在任意一
点处都满足特定方程，特别是，双曲线满足椭圆方程：
$$
\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } }+\frac
{ { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } }=1
$$
这里a和b分别叫做长轴和短轴的长度，因此，双曲线离心率的定义就是指：
$$
e=\frac { a }{ b }
$$
双曲线是一类重要的曲线，在几何图形中起着重要作用，它有多种形式，可以根据离
心率来划分，离心率表示双曲线形状的大小，离心率越大，双曲线越扁，离心率越小，双
曲线越圆。

如果离心率为1，则双曲线为椭圆，离心率大于1，则双曲线称为钝心双曲线；离心率小于1，则双曲线称为锐心双曲线；当离心率等于无穷大时，双曲线变为直线。

双
曲线是非常常见的几何图形，由于其扁平程度的不同，在许多地方都有应用，比如在球面
测地学中，双曲线用来定义地球的地图投影，也可以用于计算电流在涡旋器中的流动等。

双曲线也经常被应用在求解复杂方程组以及分析特殊函数的问题中。

双曲线的特征与其离心率有关，离心率越大，双曲线越快，越圆，反之，则双曲线变
得越扁，离心率越小，因此，双曲线的离心率在双曲线中起着关键作用，它反映了双曲线
形状的大小，可以用来描述双曲线的属性，以及求解复杂的几何图形模型。

双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点、的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹称为双曲线，其中两1F 2F ()1222,0a F F a a >>定点、称为双曲线的焦点，定长称为双曲线的实轴长，线段的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线1F 2F 2a 12F F 的第一定义.【注】，此时点轨迹为两条射线.12122PF PF a F F -==P （2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的()1e e >焦点，定直线称为双曲线的准线，定值称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.e 2、双曲线的简单性质标准方程()22221,0x y a b a b -=>()22221,0y x a b a b -=>顶点坐标(),0A a ±()0,B a ±焦点坐标左焦点，右焦点()1,0F c -()2,0F c 上焦点，下焦点()10,F c ()20,F c -虚轴与虚轴实轴长、虚轴长2a 2b实轴长、虚轴长2a 2b有界性x a≥，y a ≥对称性关于轴对称，关于轴对称，同时也关于原点对称.x y 3、渐近线双曲线的渐近线为，即，或.()22221,0x y a b a b -=>22220x y a b -=0x y a b ±=by x a=±【注】①与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为；22221x y a b -=()22220x y a b λλ-=≠②渐近线为的双曲线方程可以设为；by x a=±()22220x y a b λλ-=≠③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.4、焦半径双曲线上任意一点到双曲线焦点的距离称为焦半径.若为双曲线上的任意一点，P F 00(,)P x y ()22221,0x y a b a b -=>，为双曲线的左、右焦点，则，，其中.1(,0)F c -2(,0)F c 10||PF ex a =+20||PF ex a =-ce a=5、通径过双曲线焦点作垂直于虚轴的直线，交双曲线于、两点，称线段为双曲线的通径，()22221,0x y a b a b -=>F A B AB 且.22b AB a=6、焦点三角形为双曲线上的任意一点，，为双曲线的左右焦点，称为双曲线的焦P ()22221,0x y a b a b-=>1(,0)F c -2(,0)F c 12PF F ∆点三角形.若，则焦点三角形的面积为：.12F PF θ∠=122cot 2F PF S b θ∆=7、双曲线的焦点到渐近线的距离为（虚半轴长）.b 8、双曲线的焦点三角形的内心的轨迹为()22221,0x y a b a b-=>()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线，双曲线：，则:0l Ax By C ++=Γ()22221,0x y a b a b-=>与相交；l Γ22222a A b B C ⇔->与相切；l Γ22222a A b B C ⇔-=与相离.l Γ22222a A b B C ⇔-<10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.11、焦点三角形角平分线的性质点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，是的角平分线上一点，且(,)P x y ()22221,0x y a b a b-=>12,F F M 12F PF ∠，则，即动点的点的轨迹为.20F M MP ⋅=u u u u r u u u rOM a =M ()222x y a x a +=≠±12、双曲线上任意两点的坐标性质【推广2】设直线交双曲线于两点，交直线于点．若()110l y k x m m =+≠、()22221,0x y a b a b -=>C D 、22l y k x =、E 为的中点，则.E CD 2122b k k a=13、中点弦的斜率直线过与双曲线交于两点，且，则直线的斜率l ()()000,0M x y y ≠()22221,0x y a b a b-=>,A B AM BM =l .2020ABb x k a y =14、点是双曲线上的动点，过作实轴的平行线，交渐近线于两(,)(0,0)P x y x y >>()22221,0x y a b a b-=>P ,M N 点，则定值.PM PN =2a 15、点是双曲线上的动点，过作渐近线的平行线，交渐近线于(,)(0,0)P x y x y >>()22221,0x y a b a b-=>P 两点，则定值.,M N OMPN S =Y 2ab 【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_________.20x y ±=10【变式1】若曲线表示双曲线，则的取值范围是_________.22141x y k k+=+-k【变式2】双曲线的两条渐近线的夹角为_________.22148x y -=【变式3】已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.2222135x y m n +=2222123x y m n-=【变式4】若椭圆和双曲线有相同焦点、，为两曲线的一个交221(0)x y m n m n +=>>221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F P 点，则_________.12PF PF ⋅=【变式5】如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是2y x =-22:4C x y λ+=λ（ ）A ．B .C .D . [1,1)-{}1,0-(,1][0,1)-∞-U [1,0](1,)-+∞U 【变式6】直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上的任意一点，若2=x 14:22=-y x C B A ,P C (为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）b a +=O R b a ,,∈A .B . 222a b +≥2122≥+b a C . D .222a b +≤2212a b +≤【变式7】设连接双曲线与的四个顶点为四边形面积为,连接其四个焦点的四边形面积22221x y a b -=22221y x b a-=1S 为，则的最大值为_________.2S 12S S 例2、设分别是双曲线的左右焦点,若点在双曲线上，且，则12F F 、2219y x -=P 12=0PF PF u u u r u u u u r g =_________.12PF PF +u u u r u u u u r【变式1】过双曲线的左焦点的弦，则（为右焦点）的周长为_________.221109x y -=1F 6AB =2ABF ∆2F 【变式2】双曲线的左、右焦点、，是双曲线上的动点，且，则_________.2211620x y -=1F 2F P 19PF =2PF =例3、设是双曲线的两个焦点，点是双曲线的任意一点，且，求的面12F F 、2214x y -=P 123F PF π∠=12PF F ∆积.例4、已知直线与双曲线有两个不同的交点，如果以为直径的圆恰好过原点,1y kx =+2231x y -=A B 、AB O试求的值.k 例5、已知直线与双曲线相交于两点，那么是否存在实数使得两点关于直线1y kx =+2231x y -=A B 、k A B 、对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20x y -=k 例6、已知双曲线的右焦点为,若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜221124x y -=F F 率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线:；C 21(4)x y y x -=≤（1）画出曲线的图像；C （2）若直线：与曲线有两个公共点，求的取值范围；l 1y kx =-C k （3）若，为曲线上的点，求的最小值.()0P p 、()0p >Q C PQ 【变式2】直线：与曲线：.l 10ax y --=C 2221x y -=（1）若直线与曲线有且仅有一个交点，求实数的取值范围；l C a（2）若直线被曲线截得的弦长，求实数的取值范围；l C PQ =a（3）是否存在实数，使得以为直径的圆经过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.a PQ a 例7、已知是双曲线的左焦点，,是双曲线右支上的动点，求的最小值.F 221412x y -=(14)A 、P PF PA +【变式】是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则P 221916x y -=,M N ()2254x y ++=()2251x y -+=的最大值等于_________.PM PN -例8、已知动圆与两个定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程.P ()2251x y -+=()22549x y ++=P 【变式1】的顶点为,，的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是ABC ∆()50A -、()5,0B ABC ∆3x =C _________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，线段)F1y x =-M N 、的中点的横坐标为，求此双曲线的方程.MN 23-例9、已知双曲线，若点为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.221916x y -=M例10、焦点在轴上的双曲线的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点为圆心，以1为半径的x C P 圆相切，又知双曲线的一个焦点与关于直线对称C P y x =（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线经过点及的中点，求直线在1y mx =+C ,A B l (2,0)M -AB l 轴上的截距的取值范围.n【变式】设直线的方程为，等轴双曲线：右焦点为.l 1y kx =-C 222x y a -=)（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的右支交于不同的两点,记中点为，求实数的取值范围，并用表示点l A B 、AB M k k 的坐标；M （3）设点，求直线在轴上的截距的取值范围.()1,0Q -QM y 例11、已知双曲线方程为：.C 2212y x -=（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的0x y m -+=C A B 、AB 225x y +=m 值；（2）设直线是圆：上动点（）处的切线，与双曲线交于不同的两点l O 222x y +=00(,)P x y 000x y ≠l C，证明的大小为定值.A B 、AOB ∠例12、已知中心在原点，顶点在轴上，其渐近线方程是，双曲线过点.12A A 、x y x =()6,6P （1）求双曲线的方程；（2）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问：是否存在直线，使平分线段l 12A PA ∆G M N 、l G ，证明你的结论.MN 例13、已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交1F 2F C ()01222>=-b by x 2F x x 双曲线于点，且．圆的方程是．C M ︒=∠3021F MF O 222b y x =+（1）求双曲线的方程；C （2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；C P 1P 2P 21PP PP ⋅（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：O ()00y ,x Q O l C A B AB M例14、已知双曲线：的一个焦点是，且．C ()222210,0x y a b a b-=>>()22,0F a b 3=（1）求双曲线的方程；C （2）设经过焦点的直线l 的一个法向量为，当直线与双曲线C 的右支相交于不同的两点时，求实2F )1,(m l B A ,数的取值范围；并证明中点在曲线上．m AB M 3)1(322=--y x（3）设（2）中直线与双曲线的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请l C B A ,m AOB 求出的范围；若不存在，请说明理由．m。

高二双曲线的基本知识点总结双曲线是数学中的一种重要曲线，它在高中数学中也是一个重要的学习内容。

本文将对高二双曲线的基本知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、双曲线的定义和基本属性双曲线可以通过平面上一对直角坐标轴以及两个焦点和一个给定的常数e来定义。

它具有以下基本属性：1. 双曲线有两条分支，分别接近于两条渐近线，渐近线的斜率分别是正无穷和负无穷。

2. 与坐标轴的交点是曲线的特殊点，它们被称为顶点和焦点。

3. 双曲线在顶点处对称。

4. 双曲线的离心率e大于1。

二、双曲线的方程和图像特点1. 标准方程双曲线的标准方程为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别为双曲线的半轴长。

当x轴为对称轴时，a为x轴上的顶点到焦点的距离。

当y轴为对称轴时，b为y轴上的顶点到焦点的距离。

2. 图像特点双曲线的图像呈现两个向外打开的分支，两个分支在顶点处相交，顶点是双曲线的对称中心。

双曲线的两条渐近线分别与x轴和y轴相交于双曲线的两个顶点，与x轴交点对应的坐标为(-a, 0)和(a, 0)，与y轴交点对应的坐标为(0, -b)和(0, b)。

三、双曲线的参数方程和焦点及直径方程1. 参数方程双曲线的参数方程为：x = asecθ，y = btanθ，其中θ是参数。

2. 焦点及直径方程双曲线的焦点坐标可通过以下公式计算：(±ae, 0)，其中e为离心率。

双曲线的一个焦点到曲线上任意一点的距离是常数c，满足c^2 = a^2 + b^2。

四、双曲线的性质和应用1. 双曲线的准线和离心率双曲线的准线是通过焦点的渐近线。

离心率e决定了双曲线的形状，当离心率接近于1时，双曲线的形状趋近于直线，离心率越大，双曲线的形状越扁平。

2. 双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。

例如，双曲线可以描述电磁场的分布和力学系统中的轨迹，也可以用于描述经济增长模型中的边际效应。

双曲线的离心率的取值范围一、引言双曲线是数学中的一种重要的曲线，其形状独特，具有许多特殊的性质。

在双曲线的研究中，离心率是一个非常重要的参数，它可以描述双曲线形态的“扁平程度”。

本文将详细介绍双曲线离心率的定义、计算方法和取值范围。

二、双曲线离心率的定义在直角坐标系中，设有两个定点F1(x1,y1)和F2(x2,y2)，且距离为2c(c>0)，则以这两个定点为焦点、距离差为2a(a>c>0)的所有点P(x,y)构成的图形称为双曲线。

其中，a/c称为双曲线的离心率。

三、双曲线离心率的计算方法对于标准形式下的双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点坐标分别为F1(ae,0)和F2(-ae,0)，其中e为离心率，则有：c=ae。

由此可得：$e=\frac{c}{a}$。

因此，我们只需要知道双曲线长轴和短轴长度即可计算出其离心率。

四、双曲线离心率的取值范围对于双曲线而言，其离心率的取值范围为(1,∞)。

其中，当离心率e=1时，双曲线退化为一条抛物线；当e>1时，双曲线呈现出“扁平”的形态，长轴与短轴之比越大，离心率越大；当e趋近于无穷大时，双曲线的形态趋近于两条平行直线。

五、双曲线离心率的应用在实际应用中，双曲线广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

例如，在天文学中，万有引力可以被描述为一条双曲线；在经济学中，货币汇率的变化也可以被描述为一条双曲线。

此外，在工程学中，许多结构设计都涉及到双曲线形状的物体。

六、总结本文详细介绍了双曲线离心率的定义、计算方法和取值范围，并且阐述了其在实际应用中的重要性。

对于数学爱好者和从事相关领域工作的人士而言，深入研究和掌握双曲线的离心率是非常有必要的。

双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述双曲线是一个非常重要且有趣的数学概念，它在许多科学领域中都具有广泛的应用。

双曲线的离心率和渐近线是研究双曲线性质时的两个重要方面。

本文将深入探讨双曲线的离心率和渐近线，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。

在概率统计学、物理学和工程学等领域，双曲线经常用于描述一些特定的曲线形状。

它具有许多独特的性质，如非对称、无中心和无界等，这使得双曲线在一些特定情况下成为研究对象。

首先，我们将介绍双曲线的离心率。

离心率是用来衡量双曲线扁平程度的一个参数，它决定了双曲线的形状。

通过研究离心率，我们可以更好地理解双曲线的特性，并在实际问题中应用它们。

其次，我们将深入探讨双曲线的渐近线。

渐近线是指曲线在无穷远处趋近于某一直线的情况。

对于双曲线而言，它具有两条渐近线，分别与曲线的两个分支在无穷远处平行。

渐近线的性质可以帮助我们更好地理解双曲线的走向和特征。

本文将通过详细的推导和实例分析，阐明双曲线的离心率和渐近线的定义、性质和应用。

我们将探讨它们在物理学、工程学和数学模型中的应用案例，以及如何利用这些概念来解决实际问题。

在结论部分，我们将总结双曲线的离心率和渐近线的重要性，并探讨它们在实际问题中的应用和意义。

通过深入理解和应用双曲线的离心率和渐近线，我们可以更好地解决各种问题，并在科学研究和工程实践中取得更好的成果。

在接下来的章节中，我们将逐步展开双曲线的离心率和渐近线的详细内容，希望读者能够跟随我们的步伐，深入了解这些有趣且具有应用价值的数学概念。

1.2文章结构文章结构是指文章的章节安排和组织方式。

对于这篇文章，可以按照以下方式组织文章结构：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 双曲线的离心率2.2 双曲线的渐近线3. 结论3.1 总结双曲线的离心率和渐近线3.2 对双曲线性质的应用和意义在引言部分，可以首先对双曲线的概念进行简要说明，包括其定义和特点。