2021届重庆市南开中学高三第五次教学质量检测考试理科数学(原卷版)参照模板

重庆南开中学2020级高三第五次教学质量检测考试数学(文科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},B x y y x ==，则AB 的元素个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】先由2y x y x ⎧=⎨=⎩求解，确定2yx 与y x =交点个数，即可得出结果.【详解】由2y x y x ⎧=⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即2y x 与y x =有两个交点，所以AB 的元素个数为2个.故选：C.【点睛】本题主要考查交集中元素的个数，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 2.已知复数z 满足()22z i i -=-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，得到33z i =-，进而可确定其对应点的位置. 【详解】因为()2224434z i i i i i -=-=-+=-，所以33z i =-， 所以其对应的点为(3,3)-，位于第四象限. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数对应点的位置，以及复数的乘法运算，熟记复数乘法运算法则，以及复数的几何意义即可，属于基础题型.3.已知0.2log a π=,0.2b π=,0.2c π=,则( ) A. a b c << B. c b a << C. a c b << D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】因为0.2log 0a π=<,0.21b π=>,由0.2c π=得:01c <<,即可求得答案. 【详解】 根据0.2log y x =图像可知:0.2log 0a π=<又0.21b π=>,根据0.2xy =图像,由0.2c π=∴ 01c <<综上所述,a c b <<. 故选:C.【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系. 4.已知向量()1,1a =，向量()2,1b =，若()(2//2)a b a b λ+-，则实数λ=( ) A. 1 B. 2C. 4D. 4-【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先得到向量2a b +与2a b λ-的坐标，再由向量共线，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为向量()1,1a =，向量()2,1b =， 所以2(5,3)a b +=，2(22,2)a b λλλ-=--， 又()(2//2)a b a b λ+-， 所以5(2)3(22)0λλ⨯---=， 解得：4λ=-.故选：D.【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型. 5.为了解观众对某综艺节目的评价情况，栏目组随机抽取了1000名观众进行评分调查(满分100分)，并统计得到如图所示的频率分布直方图，以下说法错误的是()A. 参与评分的观众评分在[)80,90的有250人B. 观众评分的众数约为75分C. 观众评分的平均分约为80分D. 观众评分的中位数约为75分 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，由频率分布直方图可得：参与评分的观众评分在[)80,90的频率为100.0250.25⨯=，所以评分在[)80,90的人数为10000.25250⨯=，A 正确；B 选项，由频率分布直方图可得，参与评分的观众评分在[)70,80的频率最大，因此观众评分的众数约为75分，B 正确；C 选项，由频率分布直方图可得，观众评分的平均分约为()550.01650.02750.04850.025950.0051074.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故C 错；D 选项，由频率分布直方图可得，观众评分的中位数约为0.27010750.4+⨯=，D 正确. 故选：C.【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求众数，中位数，平均数等，属于基础题型.6.已知三角形ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos ,b C a b c bc a =+-=，则角C =( )A.6πB.4π C.3π D.2π 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理求出2B π=；由余弦定理求出3A π=，进而可求出结果.【详解】因为cos b C a =，由正弦定理可得：sin cos sin sin cos cos sin B C A B C B C ==+， 所以cos sin 0B C =，因为,,A B C 为三角形内角，所以cos 0B =，解得2B π=；又222b c bc a +-=，由余弦定理可得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，所以3A π=，因此6C A B ππ=--=.故选：A.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.7.已知函数()()2,02,0xx f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 5f =( )A. 5B.54C.58D.516【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算，结合函数解析式得到，()22255log 5log log 416f f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，进而可求出结果. 【详解】因为()()2,02,0x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，2log 50>，所以()()22222555log 5log 52log log 2log 4416f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=-=-⎭=，又225log log 1016<=， 所以()25log 16225log 5log 165216f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭=. 故选：D.【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，熟记对数运算性质即可，属于常考题型.8.《九章算术》中有一题：今有牛、马羊食人苗，苗主贵之粟五斗，羊主日：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说： “我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，则牛主人比羊主人多赔偿几斗粟( ) A.207B.157C.107D.57【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可得，羊马牛的主人需赔偿的粟构成等比数列，由题意确定公比，求出首项，进而可求出结果. 【详解】由题意，羊马牛的主人需赔偿的粟，依次成等比数列{}n a ，且公比2q，因为一共赔偿五斗粟，所以1235a a a ++=，即21115a a q a q ++=，即175a =，所以157a =，因此312047a a ==，所以31157a a -=. 即牛主人比羊主人多赔偿157斗粟.故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型.9.直线240x y -+=交圆224x y +=于,A B 两点，角,αβ的顶点为原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别过,A B 两点，则tan()αβ+=( ) A.43B.12C. 1-D. 43-【答案】A 【解析】 【分析】先由直线与圆的方程联立，求出两点坐标，根据三角函数的定义，得到对应的三角函数值，，再由两角和的正弦与余弦公式，以及同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】由222404x y x y -+=⎧⎨+=⎩解得：8565x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或02x y =⎧⎨=⎩， 不妨令(0,2)A ，86,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由三角函数的定义，可得：sin 1α==，cos 0α=；63sin 5β==，84cos 5β-==-，所以()4sin cos 5αββ+==-，()3cos sin 5αββ+=-=-， 因此sin()4tan()cos()3αβαβαβ++==+.故选：A.【点睛】本题主要考查用两角和与差的正弦与余弦公式求值的问题，熟记两角和与差的正弦与余弦公式，同角三角函数基本关系，三角函数的定义，以及直线与圆的交点的求法即可，属于常考题型.10.数列:1,1,2,3,5,8,13,...，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.该数列前两项均为1，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.设计如图所示的程序框图，若输出“兔子数列”的第n 项*)3(n N n ∈≥且，则图中①，②处应分别填入( )A. ,b a b i n =+>B. ,b a c i n =+>C. ,b a b i n =+≥D. ,b a c i n =+≥【答案】D 【解析】 【分析】根据框图的作用，结合题意，即可得出结果.【详解】由题意，可得，该框图用于计算“兔子数列”的第n 项，因此i n ≥时，要输出结果，故②应填i n ≥；而最终输出的结果即是b ，所以由题意，①中计算的结果，应是b a c =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查补全循环程序框图，根据题意，分析框图的作用即可，属于常考题型. 11.正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点， 2PA =，2AB =，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为( )A. 13,45ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. [],2ππ D. 3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】根据题中数据，结合正棱锥的结构特征，得到,,PB PA PC 两两垂直，可将正三棱锥P ABC -看作正方体的一角，设正方体的体对角线的中点为O ，得到点O 是正三棱锥P ABC -外接球的球心，记外接球半径为R ，过球心的截面圆面积最大；再求出OQ =，根据球的结构特征可得，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆面积最小，结合题中数据，即可求出结果.【详解】因为正三棱锥P ABC -，PB PC PA ===2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥， 因此正三棱锥P ABC -可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心， 所以点O 也是正三棱锥P ABC -外接球的球心，记外接球半径为R ，则R ==， 因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最大为2max 32S R ππ==；又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得122OQ PA ==；由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小为1r ==，所以2min S r ππ==.因此，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，球的截面的相关计算，熟记简单几何体的结构特征即可，属于常考题型.12.已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>左焦点为F ，P Q 、分别在双曲线左右支上，//PQ x 轴，且PQ 与双曲线两渐近线从左至右依次交于,A B ，4PA AQ ⋅=，则以PF 为直径的圆上的点到原点的最近距离为( ) A. 1 B.2 C. 2 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】先设()00,P x y ，得到(),o o Q x y -，根据双曲线得到其渐近线方程，由题意，不妨设A 在by x a=-上，则00,a y y b A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据4PA AQ ⋅=，求出2a =；设PF 中点为M ，则12OM PF '=(F '为右焦点)，结合图像，即可得到圆上点到O 的最近距离为12OM PF -，进而可求出结果. 【详解】设()00,P x y ，则(),o o Q x y -因为双曲线()22221,0xy a b a b-=>的渐近线方程为：b y x a =±，不妨设A 在b y x a =-上，则00,a y y b A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以2220000002,0,0a a a PA AQ y x x y x y b b b ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于2200221x y a b-=，2222002a x y a b ∴-=，又4PA AQ ⋅=，所以24a =，2a ∴=， 设PF 中点为M ，则12OM PF '=(F '为右焦点)，∴圆上点到O 的最近距离为12OM PF -()1112222PF PF PF PF a ''=-=-==. 故选：C【点睛】本题主要考查圆与双曲线的综合，熟记双曲线的定义及双曲线的简单性质，以及点到圆的距离的最值问题的解法即可，属于常考题型.二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知实数,x y 满足不等式组230x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最大值为__________．【答案】6【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数23z x y =+为233z y x =-+，则z 表示直线233zy x =-+在y 轴截距的3倍，根据图像，即可得出结果.【详解】由约束条件230x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩作出可行域如下，因为目标函数23z x y =+可化为233z y x =-+，则z 表示直线233zy x =-+在y 轴截距的3倍，由图像可得，当直线233zy x =-+过点A 时，在y 轴截距最大，即23z x y =+取最大值； 易知(0,2)A ， 所以max 6z =. 故答案为：6.【点睛】本题主要考查求简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像求解，属于常考题型.14.已知函数()()sin 2cos()2(2)f x x x πϕϕϕ=+++<为奇函数，则ϕ=__________．【答案】4π- 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，得到()si s 0n co 0f ϕϕ=+=，推出tan 1ϕ=-，再由题中范围，即可得出结果.【详解】因为函数()()sin 2cos()2(2)f x x x πϕϕϕ=+++<为奇函数，所以()si s 0n co 0f ϕϕ=+=，即tan 1ϕ=-， 因此,4k k Z πϕπ=-+∈，又2πϕ<，所以4πϕ=-.故答案为：4π-. 【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性求参数，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.15.已知,,O A B 为平面上不共线三点，OC aOA bOB =+时.任取[]0,2a ∈，[]0,1b ∈，使得点C 在三角形OAB 内(含边界)的概率为__________．【答案】14【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线的充要条件，先得到只需满足001a b a b ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，即可使点C 在三角形OAB内(含边界)，再作出平面区域，分别求出001a b a b ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩对应区域的面积，以及0201a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩对应区域的面积，面积比即为所求概率.【详解】因为OC aOA bOB =+，为使点C 在三角形OAB 内(含边界)，必有0,0a b ≥≥； 若C 线段AB 上，则A ，B ，C 三点共线，根据三点共线的充要条件，必有1a b +=，因此，只需满足001a b a b ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，即可使点C 在三角形OAB 内(含边界)，在平面直角坐标系内表示该平面区域如下(阴影部分)，其面积为1111122S =⨯⨯=，而0201a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域为矩形区域，其面积为212S =⨯=，所以点C 在三角形OAB 内(含边界)的概率为111224S P S ===. 故答案为：14.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率的计算公式，二元一次不等式组所表示的平面区域，以及平面向量的基本定理即可，属于常考题型.16.已知函数()33,,x x x tf x x x t ⎧-+≤=⎨>⎩，若()()1f x f ≥-对x R ∀∈恒成立，则t 的取值范围是__________．【答案】[]1,2- 【解析】 【分析】先令3()3g x x x =-+，对其求导，用导数的方法研究()g x 的单调性，根据()g x 单调性，由()33,,x x x t f x x x t⎧-+≤=⎨>⎩作出函数()f x 的图像，由题意，得到()f x 在1x =-取最小，根据函数图像，即可得出结果.【详解】令3()3g x x x =-+，则()()23(1)331x g x x x -+=--'+=，由()0g x '>得11x -<<；由()0g x '<得1x >或1x <-，因此函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在(1,1)-上单调递增，在()1,+∞上单调递减，画出函数()33,,x x x tf x x x t⎧-+≤=⎨>⎩的图像如下:因为()()1f x f ≥-对x R ∀∈恒成立，所以()f x 在1x =-取最小，1t ∴≥-可使()33g x x x =-+能取得极小值且()f x 不能比()1g -更小，又t 不能超过()()12g x g =-=-的另一根由332x x -+=-得()()2120x x x +⋅--=，∴另一根为2，2t ∴≤，综上：12t -≤≤. 故答案为：[]1,2-.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，以及导数的应用，熟记分段函数性质，以及导数的方法研究函数的单调性即可，属于常考题型.三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且()2n n S a n =+. (1)求证:{}2n a -为等比数列; (2)求n a 和n S .【答案】(1)见解析；(2)122n n a +=-，2422n n S n +=+-【解析】 【分析】(1)先由()2n n S a n =+，得112)2,(1n n S a n n --=+-≥，两式作差，整理，即可证明结论成立； (2)根据(1)的结论，由等比数列的通项公式即可求出结果，再由题中条件，即可得出n S . 【详解】(1)因为()2n n S a n =+，所以112)2,(1n n S a n n --=+-≥， 两式相减得11)2(n n n a a a -=-+，122n n a a -=-. 所以()1222n n a a --=-；又()1121n a a +=+得112,20a a =--≠所以{}2n a -为首项为4-，公比为2的等比数列；(2)由(1)可得：1242n n a --=-⋅，所以122n n a +=-， 所以2(22)42n n n S a n n +=+=+-.【点睛】本题主要考查由递推关系证明等比数列，以及数列的求和，熟记等比数列的定义，以及等比数列的通项公式即可，属于常考题型.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，Q 为线段PC 上一点，3PA =，222AD BC CD ===，2PQ CQ =.(1)求证://PA 平面QBD ；(2)若BC CD ⊥，求三棱锥P BQD -的体积.【答案】(1)见解析；(2)13【解析】 【分析】(1)连接AC 交BD 于O ，根据线面平行的判定定理，即可证明//PA 平面QBD ； (2)由(1)推出QO ⊥平面ABCD ，根据()13P BQD P BDC Q BDC BDCV V V S PA QO ---=-=⋅-，即可求出结果.【详解】(1)连接AC 交BD 于O ，因为// AD BC ，2AD BC =，所以20AO C =，又因为2PQ CQ =，所以// PA QO ，而PA ⊄平面QBD ，QO ⊂平面QBD ， 所以//PA 平面QBD ；(2)由(1)知//PA QO 且3PA QO =，因为PA ⊥平面ABCD ，所以QO ⊥平面ABCD ， 所以()13P BQD P BDC Q BDC BDCV V V S PA QO ---=-=⋅-111112323⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求三棱锥的体积，熟记线面平行的判定定理，以及三棱锥的体积公式即可，属于常考题型.19.某公司决定投人资金进行产品研发以提高产品售价.已知每件产品的制造成本为5元，若投人的总的研发成本x (万元)与每件产品的销售单价y (元)的关系如下表:(1)求y 关于x 的线性回归方程;(2)市场部发现，销售单价y (元)与销量z (件)存在以下关系：1009000z y =-+，()5,90y ∈.根据(1)中结果预测，当x 为何值时，可获得最高利润？附:1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.【答案】(1)415y x =-；(2)12.5x =时，获得最大利润 【解析】 【分析】(1)先由题中数据得7.5x =，15y =，根据最小二乘法估计，求出b ，a ，即可得出回归直线方程； (2)根据(1)的结果，由题意，得到销售利润为()()()25900010010000 100164002100y y x x x ---=-+-，结合二次函数的性质，即可求出结果.【详解】(1)由题中数据可得，67897.54x +++==，10121622154y +++==，所以2222261071281692247.5154704504678947.5230225b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-===+++-⨯-； 所以1547.515a =-⨯=-，因此y 关于x 的线性回归方程为415y x =-； (2)由题意，销售利润为()()()()5900010010000100420105410000y y x x x x ---=---()2 100164002100x x =-+-，显然其对应的二次函数开口向下，对称轴为252x =； 所以12.5x =，412.51535y =⨯-=时，利润取得最大值40000元.【点睛】本题主要考查用最小二乘法求线性回归方程，以及线性回归方程求预测值，属于常考题型. 20.函数()()1ln f x x x +⋅=. (1)若函数()f x 图象在x t =处的切线过()0,2-，求t 的值；(2)()()1f x a x >-在()1,+∞恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)1；(2)2a ≤. 【解析】 【分析】(1)先对函数求导，得到()1ln 1x x f x '=++，根据题意，得到()()20f t f t t +'=-，推出ln 10t t -+=，设()ln 1g t t t =-+，0t >，对其求导，研究其单调性，求出最小值，即可得出结果；(2)先由题意，将()()1f x a x >-在()1,+∞恒成立，转化为1ln 1x x a x ->⋅+在()1,+∞恒成立，设()1ln 1x h x x a x -=-⋅+，1x >，对其求导，分[]0,2a ∈，0a <，2a >三种情况讨论，研究其单调性，得到其大致范围，即可得出结果.【详解】(1)因为()()1ln f x x x +⋅=，所以()()11ln 1ln 1x x f x x x x++⋅=++'=， 由于在x t =处的切线过()0,2-，所以()()20f t f t t +'=-，即ln ln 21ln 1t t t t t t ++=++， 化简得ln 21t t +=+，即ln 10t t -+=， 设()ln 1g t t t =-+，0t >，则()11g t t'=-，由()110g t t '=->得01t <<；由()110g t t'=-<得1t >；从而()g t 在()0,1单调递增，再(1,)+∞单调递减；因此()min (1)0g t g ==， 所以()0g t =有唯一根1t =；(2)由()()1f x a x >-得()1ln (1)x x a x +⋅>-，因为1x >，所以1ln 1x x a x ->⋅+， 因此，()()1f x a x >-在()1,+∞恒成立，即是1ln 1x x a x ->⋅+在()1,+∞恒成立； 设()1ln 1x h x x a x -=-⋅+，1x >， 则()()()()2222211211x a x h x a x x x x +-+'=-⋅=++， 当[]0,2a ∈时，()22240a ∆=--≤，此时()()()2222101x a x h x x x +-+'=≥+恒成立，所以()h x 单增，因此()()10h x h >=，满足题意； 当0a <时，()()21201h x a x x '=-⋅>+显然恒成立，此时()h x 单增，所以()()10h x h >=，也满足题意； 当2a >时，由()()()2222101x a x h x x x +-+'==+得()22210x a x +-+=，()22224484(2)0a a a a a ∆=--=-=->，所以方程()22210x a x +-+=必有两不等实根，不妨设为21x x <，由根与系数关系，211x x ⋅=，所以方程()22210x a x +-+=在(1,)+∞有唯一根1x ，即()0h x '=在(1,)+∞有唯一根1x ，所以易得：()h x 在()11,x 单减，()1,x +∞单增， 则()()10h x h <=，与题意矛盾，不成立； 综上，2a ≤.【点睛】本题主要考查由函数的切线过某点求参数，以及由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.21.已知抛物线22y px =焦点为F ，()01,P y 为抛物线上在第一象限内一点，O 为原点，POF 面积为1. (1)求抛物线方程；(2)过P 点作两条直线分别交抛物线于异于点P 的两点A ，B ，且两直线斜率之和为()0m m ≠， (i )若m 为常数，求证直线AB 过定点Q ； (ii )当m 改变时，求(i )中距离F 最近的点Q 的坐标. 【答案】(1)24y x =；(2)( i )见解析；(ii )()0,1Q -【解析】 【分析】(1)先将()01,P y 代入抛物线的方程，根据三角形面积，求出2p =，即可得出抛物线方程；(2)(i )先设直线:(AB x ty t b =+不存在时没有两个交点，不成立)，()()1122, ,,A x y B x y ，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，得到12124,4y y b y y t =-+=，表示出PA PB k k +，化简整理，得到4421tb t m+=+-，代入直线方程，即可得出结果； (ii )由(i )得到定点441,2mQ m ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭在直线1x y +=-上，易得，距离()1,0最近时为()0,1-，进而可求出结果.【详解】(1)由题意，将()01,P y 代入抛物线22y px =得o y =，所以POF面积为1122pS =⋅=， 38p ∴=，解得2p =，所以抛物线方程为24y x =；(2)(i )由题意，设直线:(AB x ty t b =+不存在时没有两个交点，不成立)，()()1122, ,,A x y B x y ，联立24x ty b y x=+⎧⎨=⎩得244y ty b =+，所以12124,4y y b y y t =-+=，所以12121222441122PA PB y y k k m x x y y --+=+=+=--++， 则()()121212424y y y y y y m+++++=，从而1616484t b t m +-++=，4421tb t m+=+- 带入得直线4444:2121AB x ty t t t y m m m m ⎛⎫=++--=+--+ ⎪⎝⎭ 所以过定点441,2mQ m ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭(ii )由(i )，令41x m =-+，42y m=-+，所以1x y +=-， 即定点441,2mQ m ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭在直线1x y +=-上，因为过点()1,0的直线1y x =-与1x y +=-垂直，由11y x x y =-⎧⎨+=-⎩得01x y =⎧⎨=-⎩，所以距离()1,0最近时Q 为()0,1-.【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，以及抛物线中的定点问题，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆1C 的极坐标方程为2ρ=，圆2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.(1)求1C 与2C 交点的极坐标;(2)若点,A B 分别为圆1C ，2C 上的点，且3AOB π∠=，求AB 的最小值. 【答案】(1)2,,2,33ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2【解析】【分析】(1)先由圆的直角坐标方程得到其极坐标方程，由两圆极坐标方程联立求解，即可得出结果；(2)根据题意，由(1)中圆的极坐标方程，得到2A OA ρ==，4cos B OB ρθ==，再由余弦定理，得到222212cos 16cos 334AB OA OB OA OB πθ⎛⎫=+-⋅=-+ ⎪⎝⎭，进而可求出结果. 【详解】(1)因为()2224x y -+=可化为2240x x y -+=，根据直角坐标与极坐标的互化公式可得：圆2C 极坐标方程为4cos ρθ=，由4cos 2ρθρ=⎧⎨=⎩解得:1cos 2θ=，所以3πθ=±， 因此交点极坐标为2,,2,33ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)因为点,A B 分别为圆1C ，2C 上的点，由(1)可得：2A OA ρ==，4cos B OB ρθ== 又3AOB π∠=，所以由余弦定理2222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅ 22211416cos 8cos 16cos cos 416cos 324θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，当1cos 4θ=时取得最小值3，所以AB. 【点睛】本题主要考查求两圆的交点的极坐标，以及极坐标下的弦长问题，熟记极坐标与直角坐标的互化公式即可，属于常考题型.23.已知函数()124f x x x =-+-.(1)求不等式()7f x ≤的解集S ；(2)若S 的元素中最大值为m ，若a b m +=，求223a b +的最小值.【答案】(1)2,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；(2)12 【解析】【分析】(1)根据分类讨论的方法，分别讨论2x >，12x ≤≤，1x <三种情况，解对应的不等式，即可得出结果；(2)先由(1)得4a b m +==，再由柯西不等式，即可得出结果. 【详解】(1)()3521243,1253,1x x f x x x x x x x ->⎧⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-<⎩，，当2x >时，不等式()7f x ≤可化为357x -≤，解得4x ≤，所以24x <≤；当12x ≤≤时，不等式()7f x ≤可化为37x -≤，解得4x ≥-，所以12x ≤≤；当1x <时，不等式()7f x ≤可化为537x -≤，解得23x ≥-，所以213x -<≤； 综上，不等式()7f x ≤的解集S 为2,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； (2)由题意，4a b m +==由柯西不等式()()2221313a b a b ⎛++≥ ⎪⎝+⎫⎭. 所以()22243312a b a b +≥+⋅= 当且仅当229a b =，即3,1a b ==时取得最小值.【点睛】本题主要考查解含绝对值不等式，以及由柯西不等式求最值，熟记绝对值不等式的解法，以及柯西不等式即可，属于常考题型.百度文库精品文档1、想想自己一路走来的心路历程，真的很颓废一事无成。

重庆南开中学2020级高三第五次教学质量检测考试数学（理科）2020.1注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.已知集合}032|{2<--=x x x A ，}3,2,1,0,1{-=B ，则=B A A.}1,0,1{- B.}0,1{-C.}1,0{ D.}2,1,0{2.已知随机变量X ～),2(2σN )0(>σ，若7.0)4(=<X P ，则=<)0(X P A.2.0 B.3.0C.5.0 D.7.03.已知π2.0log =a ，2.0π=b ，π2.0=c ，则A.c b a << B.a b c <<C.bc a << D.ac b <<4.2016年1月6日，中国物流与采购联合会正式发布了中国仓储指数，中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系，如图所示的折线图是2019年甲企业和乙企业的仓储指数走势情况.根据该折线图，下列结论中不正确的是A.2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大B.甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数C.两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份D.2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅高于甲企业5.已知各项均为正数的等比数列}{n a 的前4项和为45，且4352a a a +=，则=2a A.6 B.9C.12 D.156.若314sin(=-πα，则=α2sin A.92- B.91C.97D.987.42)1)(2(-+-x x x 的展开式中x 项的系数为A.9-B.5-C.7D.88.数列：1,1,2,3,5,8,13,….称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔于繁殖为例而引人，故又称为“兔子数列".该数列前两项均为1，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，某同学设计如图所示的程序框图，当输人正整数)3(≥n n 时，输出结果恰好为“兔子数列”的第n 项，则图中空白处应填入A.b a b +=B.c a b +=C.c b a +=D.ca c +=9.随机变量X 的分布列如右表所示，在0)(>X E 的前提条件下，不等式02>++a x x 对R x ∈∀恒成立的概率为A.121B.41C.31 D.2110.已知双曲线C :12222=-by a x )0,0(>>b a 的右焦点为)0,(c F ，若存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ，且c AF =||，则双曲线C 的离心率的取值范围是A.]3,1(B.)2,1(C.)2,2[ D.),2(+∞11.已知定义在区间),1[+∞上的函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=2),2(2121,2)(x x f x x f x ，若函数x k x f x g -=)()(有无穷多个零点，则实数k 的取值范围是A.)2,1( B.]4,2(C.]8,2( D.]8,4[12.已知椭圆C ：12222=+by a x )0(>>b a 的左焦点为)0,(c F -，上顶点为A ，离心率为23，直线FA 与抛物线E :cx y 42=交于M ，N 两点，则=+||||NA MA A.a 32 B.a 5C.a34 D.a10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年高三第一学期第五次质检数学试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，3}2．已知随机变量X～N（2，σ2）（σ＞0），若P（X＜4）＝0.7，则P（X＜0）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.73．已知a＝log0.2π，b＝π0.2，c＝0.2π，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a4．2016年1月6日，中国物流与采购联合会正式发布了中国仓储指数，中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系，如图所示的折线图是2019年甲企业和乙企业的仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论中不正确的是（）A．2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大B．甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数C．两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份D．2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅高于甲企业5．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为45，且a5＝2a3+a4，则a2＝（）A．6 B．9 C．12 D．156．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．7．（x2﹣x+2）（x﹣1）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣9 B．﹣5 C．7 D．88．数列：1，1，2，3，5，8，13，…．称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔于繁殖为例而引人，故又称为“兔子数列“．该数列前两项均为1，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，某同学设计如图所示的程序框图，当输入正整数n（n≥3）时，输出结果恰好为“兔子数列”的第n项，则图中空白处应填入（）A．b＝a+b B．b＝a+c C．a＝b+c D．c＝a+c9．随机变量X的分布列如表所示，在E（X）＞0的前提条件下，不等式x2+x+a＞0对∀x ∈R恒成立的概率为（）X﹣1 0 1P a a b A．B．C．D．10．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），若存在过点F的直线l与双曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A，且|AF|＝c，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，] B．（1，2）C．[，2）D．（2，+∞）11．已知定义在区间[1，+∞）上的函数，若函数有无穷多个零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，4] C．（2，8] D．[4，8]12．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），上顶点为A，离心率为，直线FA与抛物线E：y2＝4cx交于M，N两点，则|MA|+|NA|＝（）A．B．5a C．D．10a二、填空题13．曲线y＝（2x﹣1）e x在点（0，﹣1）处的切线方程为．14．设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是．15．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成一个无重复数字的六位数，要求偶数互不相邻，0和5必须相邻，则满足条件的六位数的个数为．（用数字作答）16．已知梯形ABCD中，，AB＝AD＝CD，若平面内一点P满足：，，其x＞0，y＞0，则x+y的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足a1＝1，．（n∈N*）（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前n项和．18．已知函数f（x）＝2cos x sin（x+φ）﹣sin x，φ∈（0，），且f（φ）＝0．（1）求φ；（2）如图，在△ABC中，A＝φ，AC＝1，D是边AB的中点，BC＝2CD，求AB．19．《中国诗词大会》是由CCTV﹣10自主研发的一档大型文化益智节目，以“赏中华诗词，寻文化基因品生活之美”为宗旨，带动全民重温经典、从古人的智慧和情怀中汲取营养、涵养心灵，节目广受好评还因为其颇具新意的比赛规则：每场比赛，106位挑战者全部参赛，分为单人追逐赛和擂主争霸赛两部分单人追逐赛的最终优胜者作为攻擂者与守擂擂主进行比拼，竞争该场比赛的擂主，擂主争霸赛以抢答的形式展开，共九道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得五分者获胜，成为本场擂主，比赛结束已知某场擂主争霸赛中，攻擂者与守擂擂主都参与每一次抢题且两人抢到每道题的概率都是，攻擂者与守擂擂主正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立．（1）比赛开始，求攻擂者率先得一分的概率；（2）比赛进行中，攻擂者暂时以3：2领先，设两人共继续抢答了X道题比赛结束，求随机变量X的分布列和数学期望．20．已知椭图C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，离心率为，且△MF1F2的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A，B位于x轴的同侧，设直线l与x轴交于点Q.，若λ1+λ2＝﹣2，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝﹣（2lna+2）x+2（x+a）ln（x+a）﹣2alna﹣bx2，a ＞0，b∈R．（1）若a＝b＝1，求函数f（x）的最小值；（2）当a＞0时，f（x）≥0恒成立，求b的取值范围．请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C1的极坐标方程为ρ＝1，圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1．（1）求C1与C2在第一象限的交点的极坐标；（2）若点A，B分别为圆C1，C2上位于第一条限的点，且，求|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣3|+|x﹣1|．（1）若f（x）≥x+m对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（2）记函数f（x）的最小值为s，若a，b，c＞0，且a+b+c＝s，证明：4ab+bc+ac≥8abc．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，3}解：集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝{0，1，2}，故选：B．2．已知随机变量X～N（2，σ2）（σ＞0），若P（X＜4）＝0.7，则P（X＜0）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7解：∵随机变量X～N（2，σ2）（σ＞0），∴正态分布曲线的对称轴为x＝2，由P（X＜4）＝0.7，得P（X＞4）＝1﹣0.7＝0.3，∴P（X＜0）＝P（X＞4）＝0.3，故选：B．3．已知a＝log0.2π，b＝π0.2，c＝0.2π，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a解：∵a＝log0.2π＜log0.21＝0，b＝π0.2＞π0＝1，0＜c＝0.2π＜0.20＝1，∴a＜c＜b．故选：C．4．2016年1月6日，中国物流与采购联合会正式发布了中国仓储指数，中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系，如图所示的折线图是2019年甲企业和乙企业的仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论中不正确的是（）A．2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大B．甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数C．两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份D．2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅高于甲企业解：由2019年甲企业和乙企业的仓储指数走势情况折线图，知：在A中，2019年1月至4月甲企业的仓储指数波动较大，乙企业的仓储指数波动较小，故A正确；在B中，甲企业2019年的年平均仓储指数低于乙企业2019年的年平均仓储指数，故B 正确；在C中，两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份，故C正确；在D中，2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅低于甲企业，故D错误．故选：D．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为45，且a5＝2a3+a4，则a2＝（）A．6 B．9 C．12 D．15解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a5＝2a3+a4，则有q2＝2+q，变形可得q2﹣q﹣2＝0，解可得q＝2或﹣1，又由等比数列{a n}各项均为正数，故q＝2，又由等比数列{a n}的前4项和为45，则有＝45，解可得a1＝3，则a2＝a1×q＝3×2＝6，故选：A．6．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．解：若＝﹣sin（﹣α），sin（﹣α）＝﹣，则sin2α＝cos（﹣2α）＝1﹣2＝1﹣2•＝，故选：C．7．（x2﹣x+2）（x﹣1）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣9 B．﹣5 C．7 D．8解：∵（x2﹣x+2）（x﹣1）4 ＝（x2﹣x+2）（x4﹣4x3+6x2﹣4x+1），故它的的展开式中x项的系数为﹣1×1+2×（﹣4）＝﹣9，故选：A．8．数列：1，1，2，3，5，8，13，…．称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔于繁殖为例而引人，故又称为“兔子数列“．该数列前两项均为1，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，某同学设计如图所示的程序框图，当输入正整数n（n≥3）时，输出结果恰好为“兔子数列”的第n项，则图中空白处应填入（）A．b＝a+b B．b＝a+c C．a＝b+c D．c＝a+c解：按循环程序，a＝1，b＝1，i＝2，c＝a表示把a的值赋值给c，a＝b，表示把b的值赋值给a，因为从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，所以空白处应该为b＝a+c，即把a+c的值赋值给b，满足要求．故选：B．9．随机变量X的分布列如表所示，在E（X）＞0的前提条件下，不等式x2+x+a＞0对∀x ∈R恒成立的概率为（）X﹣1 0 1P a a b A．B．C．D．解：由随机变量X的分布列和E（X）＞0，得：，a∈[0，1]，b∈[0，1]，解得0，∵不等式x2+x+a＞0对∀x∈R恒成立，∴△＝1﹣4a＜0，解得a＞，∴在E（X）＞0的前提条件下，不等式x2+x+a＞0对∀x∈R恒成立的概率为：P＝＝．故选：B．10．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），若存在过点F的直线l与双曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A，且|AF|＝c，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，] B．（1，2）C．[，2）D．（2，+∞）解：设∠AOF＝θ，根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A，且|AF|＝c，∴∠AFO＝π﹣2θ，∠BOM＝θ，若存在过点F的直线l与双曲线的右支交于不同的两点，需保证∠BOM＜∠AFO．∴∠BOM＜∠AFO，则θ＜π﹣2θ，∴θ＜．根据双曲线的渐近线为y＝±x，则tan，∴∵根据双曲线C的离心率e＝＝，∵根据双曲线C的离心率e＞1，∴1＜e＜2．故选：B．11．已知定义在区间[1，+∞）上的函数，若函数有无穷多个零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，4] C．（2，8] D．[4，8]解：令，得，如图，由f（x）图象可知，，∵2n•23﹣n＝8，2n﹣1•22﹣n＝2，∴分别在函数上，∴k∈（2，8]．故选：C．12．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），上顶点为A，离心率为，直线FA与抛物线E：y2＝4cx交于M，N两点，则|MA|+|NA|＝（）A．B．5a C．D．10a解：如图所示，∵＝，∴a＝，∴b＝＝c．∴k AF＝＝，设直线AF的倾斜角为θ．∴tanθ＝，∴θ＝．设M（x1，y1），N（x2，y2）．设直线FA的方程为：，代入抛物线E：y2＝4cx，化为：3t2﹣20ct+4c2＝0，可得：|MA|+|NA|＝c＝a＝10a．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝（2x﹣1）e x在点（0，﹣1）处的切线方程为y＝x﹣1 ．解：由y＝（2x﹣1）e x，得y′＝2e x+（2x﹣1）e x＝（2x+1）e x，∴y′|x＝0＝1，则曲线y＝（2x﹣1）e x在点（0，﹣1）处的切线方程为y＝x﹣1．故答案为：y＝x﹣1．14．设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是[，] ．解：作出不等式组对应的平面区域如图：z＝的几何意义为区域内的点到定点O（0，0）的斜率，由图象知AO的斜率最大，BO的斜率最小，⇒A（，）⇒k OA＝；⇒B（，）⇒k OB＝；所以：的取值范围是：[，]．故答案为：[，]．15．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成一个无重复数字的六位数，要求偶数互不相邻，0和5必须相邻，则满足条件的六位数的个数为60 ．（用数字作答）解：根据题意，0和5必须相邻，与05和50两种情况，分2种情况讨论：①，0和5两个数按“50”的顺序，将“50”看成一个整体与1、3全排列，排好后，要求偶数互不相邻，则有3个空位可选，再将“2”和“4”插入到3个空位中，有A33A32＝36种排法，即有36个符合条件的六位数；②，0和5两个数按“05”的顺序，将“05”看成一个整体与1、3全排列，再将“2”和“4”插入到空位中，又由“05”不能排在第一位，则此时有A33A32﹣A22A32＝36﹣12＝24种排法，即有24个符合条件的六位数；则一共有36+24＝60个满足条件的六位数；故答案为：60．16．已知梯形ABCD中，，AB＝AD＝CD，若平面内一点P满足：，，其x＞0，y＞0，则x+y的最小值为 3 ．解：∵，∴，∴点P的轨迹是以BC为直径的圆，∵，AB＝AD＝CD，∴∠BDC＝90°，∠BAC＝90°，∴A，D两点都在以BC为直径的圆上，又，∴点P只能在劣弧AC上运动（不含A，C两点），如图，设PB与AC交于点Q，，则，且A，Q，C三点共线，∴，∴λ＝x+y，，∴当点P运动至距AC最远时λ最小，且AD＝CD，∴点P和点D重合时，λ最小，此时，∴λ＝3．故答案为：3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足a1＝1，．（n∈N*）（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前n项和．【解答】（1）证明：∵a1＝1，．可得＝，可得，又，数列是以1为首项，2为公比的等比数列；（2）解：∵数列是以1为首项，2为公比的等比数列；∴＝2n﹣1，∴＝＝，∴数列的前n项和：+＝2n﹣1．18．已知函数f（x）＝2cos x sin（x+φ）﹣sin x，φ∈（0，），且f（φ）＝0．（1）求φ；（2）如图，在△ABC中，A＝φ，AC＝1，D是边AB的中点，BC＝2CD，求AB．解：（1）函数f（x）＝2cos x sin（x+φ）﹣sinκ，φ∈（0，），且f（φ）＝0．所以2cosφsin2φ﹣sinφ＝0，整理得sinφ（4cos2φ﹣1）＝0，由于sinφ，cosφ＞0，所以cosφ＝，解得φ＝．（2）设AD＝BD＝x，CB＝2CD＝2y，在△ACD中，利用余弦定理y2＝x2+1﹣2x cos60°，在△ABC中，利用余弦定理4y2＝1+4x2﹣2×2x cos60°＝4x2﹣2x+1．联立消去y，解得：x＝，AB＝2x＝3．19．《中国诗词大会》是由CCTV﹣10自主研发的一档大型文化益智节目，以“赏中华诗词，寻文化基因品生活之美”为宗旨，带动全民重温经典、从古人的智慧和情怀中汲取营养、涵养心灵，节目广受好评还因为其颇具新意的比赛规则：每场比赛，106位挑战者全部参赛，分为单人追逐赛和擂主争霸赛两部分单人追逐赛的最终优胜者作为攻擂者与守擂擂主进行比拼，竞争该场比赛的擂主，擂主争霸赛以抢答的形式展开，共九道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得五分者获胜，成为本场擂主，比赛结束已知某场擂主争霸赛中，攻擂者与守擂擂主都参与每一次抢题且两人抢到每道题的概率都是，攻擂者与守擂擂主正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立．（1）比赛开始，求攻擂者率先得一分的概率；（2）比赛进行中，攻擂者暂时以3：2领先，设两人共继续抢答了X道题比赛结束，求随机变量X的分布列和数学期望．解：（1）每道题的抢答中，记攻擂者得一分为事件M，M发生有两种可能：抢到题且答对，对方抢到题且答错，∴攻擂者率先得一分的概率P（M）＝＝．（2）由（1）知，在每道题的抢答中，攻擂者与守擂主得一分的概率分别为，根据比赛规则，X的所有可能取值分别为2，3，4，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，∴X的分布列为：X 2 3 4P∴E（X）＝＝．20．已知椭图C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，离心率为，且△MF1F2的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A，B位于x轴的同侧，设直线l与x轴交于点Q.，若λ1+λ2＝﹣2，求直线l的方程．解：（1）由题意知：e＝＝，＝，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为：＝1；（2）由题意设直线l的方程为：x＝t（y﹣），设A（x，y），B（x'，y'），联立与椭圆的方程整理得：（4+t2）y2﹣2t2y+2t2﹣4＝0，△＝8t4﹣4（4+t2）（2t2﹣4）＞0∴t2＜4，y+y'＝，yy'＝，t2＞2，由题意Q（﹣，0），因为，∴﹣＝λ1y＝﹣λ2y'，∴λ1+λ2＝﹣＝＝﹣2，∴（y﹣y'）2＝12（yy'）2即：（y+y'）2﹣4yy'＝12（yy'）2∴﹣＝12，即3t4﹣11t2+8＝0，解得：t2＝1（舍）或t2＝，所以直线l的方程为：y＝x+．21．已知函数f（x）＝﹣（2lna+2）x+2（x+a）ln（x+a）﹣2alna﹣bx2，a ＞0，b∈R．（1）若a＝b＝1，求函数f（x）的最小值；（2）当a＞0时，f（x）≥0恒成立，求b的取值范围．解：（1）当a＝b＝1时，，则，∵，∴f′（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，又f′（0）＝0，∴函数f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝0；（2），，①当时，，∴f′（x）在（﹣a，+∞）上单调递增，又f′（0）＝0，∴函数f（x）在（﹣a，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）＝0满足条件；②若，则方程存在两个不相等正根a0，a1（a0＜a1），取a＝a0，此时，令f′（x）＜0解得a0＜x+a0＜a1，即0＜x＜a1﹣a0，∴f′（x）在（0，a1﹣a0）上单调递减，又f′（0）＝0，∴函数f（x）在（0，a1﹣a0）上单调递减，即当x∈（0，a1﹣a0）时，f（x）＜f（0）＝0，不符合条件；综上，实数b的取值范围为．请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C1的极坐标方程为ρ＝1，圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1．（1）求C1与C2在第一象限的交点的极坐标；（2）若点A，B分别为圆C1，C2上位于第一条限的点，且，求|AB|的取值范围．解：（1）圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1．转换为极坐标方程为ρ＝2cosθ．已知圆C1的极坐标方程为ρ＝1，联立方程组得cos，所以，所求的极坐标为（1，）．（2）设点B（2cosθ，θ），在△AOB中，利用余弦定理|AB|2＝12+4cos2θ﹣2×1×2cos θ＝4cos2θ﹣2cosθ+1．由于A、B在第一象限．所以，则cos，故|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣3|+|x﹣1|．（1）若f（x）≥x+m对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（2）记函数f（x）的最小值为s，若a，b，c＞0，且a+b+c＝s，证明：4ab+bc+ac≥8abc．解：（1）设g（x）＝f（x）﹣x＝|x﹣3|+|x﹣1|﹣x＝，画出图象如下：g（x）的最小值为g（3）＝﹣1，故m≤﹣1；（2）证明：由f（x）＝|x﹣2|+|x﹣1|≥|x﹣3﹣x+1|＝2，当且仅当1≤x≤3时，取等号，所以s＝2，即a+b+c＝2，4ab+bc+ac≥8abc可化为，由柯西不等式，（a+b+c）（）≥（1+1+2）2＝16，当且仅当2a＝2b＝c＝1时，取等号，所以，故原命题成立．。

2021年重庆市南开中学高考数学第五次质检试卷（3月份）一、单项选择题（共12小题）.1．已知a，b∈R，集合A＝{a+5，a2﹣1}，B＝{a，b}，若A∩B＝{3}，则A∪B＝（）A．{﹣2，3}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{2，3，7}2．已知i是虚数单位，若复数，其中a，b为实数，则|a+bi|的值为（）A．B．10C．D．23．设m是直线，α、β是两个不同的平面，且α⊥β，则“m∥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．二项式的展开式中，常数项为（）A．﹣672B．672C．﹣84D．845．将函数（ω＞0）的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于直线对称，则当ω取最小值时，函数f（x）的最小正周期为（）A．3πB．2πC．D．6．已知函数，则＝（）A．B．C．﹣2D．7．过抛物线C：y2＝4x的焦点F作倾斜角为的直线l交C于A、B两点，以C的准线上一点M为圆心作圆M经过A、B两点，则圆M的面积为（）A．96πB．48πC．32πD．16π8．已知实数a、b，满足a＝log23+log64，3a+4a＝5b，则关于a、b下列判断正确的是（）A．a＜b＜2B．b＜a＜2C．2＜a＜b D．2＜b＜a二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．“读书破万卷，下笔如有神”、“腹有诗书气自华”，读书不仅能丰富知识、开阔视野，还能陶冶情操．但是随着学业内容的增加、升学压力的增大，学生的课外阅读也受到较大的影响．某小学为了了解学生的课外阅读情况，计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的10%进行调查，已知四、五、六三个年级的学生人数之比为9：7：10，则下列说法正确的是（）A．应该采用系统抽样的方法B．应该采用分层抽样的方法C．每个学生被抽到的概率为D．若样本中五年级的学生比六年级的学生少12人，则三个年级的学生总共有1140人10．设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则与同向C．若，则D．若，则11．设集合S是由一些复数组成的一个非空集合，如果∀a，b∈S，总有a+b，a﹣b，a•b∈S，则称S是一个数环．例如：整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．则下列命题正确的是（）A．集合S＝{2n|n∈Z}是一个数环B．集合是一个数环C．对任意两个数环S、T，S∩T都不是空集D．对任意两个数环S、T、S∩T都是数环12．已知图1中的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，体积为2，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（）A．A2B2∥平面ABCB．C．四边形ABA2B2为正方形D．正三棱柱ABC﹣A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球的体积相等三、填空题（共4小题）.13．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线的离心率为．14．已知向量，，若，则tan2θ＝．15．李华应聘一家上市公司，规则是从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试．李华可以答对这10道题目中的6道题．若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为．16．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到．现按照这种思想，以一个内角为30°、斜边长为2个单位的直角三角形的每一条边向外作正方形得到“类勾股树”，图1为第1代“类勾股树”，重复图1的作法得到第2代“类（如图2），如此继续．则第2代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为；勾股树”第n（n∈N*）代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为．四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在条件①（a﹣b）（sin A+sin B）＝c（sin C﹣sin B）；②b sin＝a sin B；③cos2A﹣cos2B＝2sin C（sin B﹣sin C）中任选一个，补充以下问题并解答：如图所示，△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，____，且BC＝3，D在AC 上，AB＝AD．（1）若BD＝2，求sin∠ACB；（2）若BD＝2CD，求AC长．18．已知S n为等差数列{a n}的前n项和．（1）求证：a n+12≥a n a n+2；（2）若a2＝3，a3是a1和S3的等差中项，设，T n为数列{b n}的前n项和，求证：T n＜．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD满足AB∥CD，∠BCD＝90°，且PD＝AD＝DC＝2，AB＝3，E为PC中点，，．（1）求证：D，E，F，G四点共面；（2）求四面体D﹣EFC的体积．20．2020年是脱贫攻坚的收宫之年，国务院扶贫办确定的贫困县已全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为我国全面建成小康社会，实现第一个百年目标打下了坚实基础．在扶贫政策的大力支持下，某县汽车配件厂经营得十分红火，不仅解决了就业也为脱贫作出了重大贡献．现该厂为了了解其主打产品的质量，从流水线上随机抽取200件该产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：根据经验，产品的质量指数在[50，70）的称为A类产品，在[70，90）的称为B类产品，在[90，110]的称为C类产品，A、B、C三类产品的销售利润分别为每件3、7、11（单位：元）．以这200件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该厂为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用x i和年销售量y i（i＝1，2，3，4，5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．，，，，其中u i＝lnx i，v i＝lny i，，．根据散点图判断，y＝a•x b可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程．（ⅰ）建立y关于x的回归方程；（ⅱ）若该厂规定企业最终收益为销售利润减去营销费用以及和营销费用等额的员工奖金，请你用（ⅰ）所求的回归方程估计该厂应投入多少营销费，才能使得该产品一年的最终收益达到最大？参考公式和参考数据：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，e4.159＝64．21．已知为椭圆C1：＝1（a＞b＞0）上一点，过点D作抛物线C2：x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B．（1）求AB所在直线方程；（2）若直线AB与椭圆C1相交于P，Q两点，O为坐标原点，设直线PQ，DP，DQ的斜率分别为k，k1，k2，是否存在符合条件的椭圆使得k1+k2＝8k成立？若存在，求出椭圆方程；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣a（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的零点个数；（2）当a＞1时，实数x0为函数f（x）的小于1的零点，求证：①；②．参考答案一、单项选择题（共12小题）.1．已知a，b∈R，集合A＝{a+5，a2﹣1}，B＝{a，b}，若A∩B＝{3}，则A∪B＝（）A．{﹣2，3}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{2，3，7}解：∵A＝{a+5，a2﹣1}，B＝{a，b}，若A∩B＝{3}，则3∈A且3∈B，若a+5＝3，则a＝﹣2，此时a2﹣1＝3，集合A违背集合中元素的互异性；若a2﹣1＝3，则a＝±2，a＝﹣2时集合A违背集合中元素的互异性，故a＝2，此时A＝{7，3}，B＝{2，3}，则A∪B＝{2，3，7}．故选：D．2．已知i是虚数单位，若复数，其中a，b为实数，则|a+bi|的值为（）A．B．10C．D．2【解答】由得a﹣i＝（1﹣2i）（b+i）＝b﹣2bi+i+2，即a﹣i＝（b+2）+（1﹣2b）i，故得所以，故选：A．3．设m是直线，α、β是两个不同的平面，且α⊥β，则“m∥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由m∥β，α⊥β，能够得到m⊥α或m∥α或m在平面α内，不能够推出m⊥α，反之，由m⊥α，α⊥β，不一定得到m∥β，m可能在β内．∴“m∥β”是“m⊥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．4．二项式的展开式中，常数项为（）A．﹣672B．672C．﹣84D．84解：二项式的展开式的通项是T r+1＝（）9﹣r（﹣）r＝（﹣）r •29﹣r•，令＝0，解得r＝3．故二项式的展开式中的常数项是T4＝•（﹣）3•29﹣3＝﹣672．故选：A．5．将函数（ω＞0）的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于直线对称，则当ω取最小值时，函数f（x）的最小正周期为（）A．3πB．2πC．D．解：将函数（ω＞0）的图象向左平移个单位后所得函数为，因为g（x）的图象关于直线对称，则有，解得，因为ω＞0，所以ω的最小值为，故函数f（x）的最小正周期为．故选：A．6．已知函数，则＝（）A．B．C．﹣2D．解：根据题意，函数，当x＞1时，f（x）＝﹣f（x﹣1），则当x＞2时，f（x）＝﹣f（x﹣1）＝f（x﹣2），则f（）＝f（504+1+）＝f（1+）＝﹣f（），f（）＝＝2，则f（）＝﹣2，故选：C．7．过抛物线C：y2＝4x的焦点F作倾斜角为的直线l交C于A、B两点，以C的准线上一点M为圆心作圆M经过A、B两点，则圆M的面积为（）A．96πB．48πC．32πD．16π解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），其准线为x＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵直线l过点F且斜角为，∴直线l的方程为y＝﹣x+1，联立方程组，消y可得x2﹣6x+1＝0，∴x1+x2＝6，x1x2＝1，∴y1+y2＝﹣（x1+x2）+2＝﹣4，作AB的垂直平分线MD，垂足为D，∴D（，）即D（3，﹣2），∴直线MD的方程为y+2＝x﹣3，即y＝x﹣5，联立，解得x＝﹣1，y＝﹣6，即M（﹣1，﹣6），解方程x2﹣6x+1＝0可得A（3﹣2，2﹣2），∴圆M的半径r2＝|MA|2＝（3﹣2+1）2+（2﹣2+6）2＝48，∴圆M的面积为48π．故选：B．8．已知实数a、b，满足a＝log23+log64，3a+4a＝5b，则关于a、b下列判断正确的是（）A．a＜b＜2B．b＜a＜2C．2＜a＜b D．2＜b＜a解：先比较a与2的大小，因为log23＞1，所以，所以a﹣2＝log23+log64﹣2＝log23+﹣2＝＞0，即a＞2，故排除A，B，再比较b与2 的大小，易得，当b＝2时，由3a+4a＝5b，得a＝2与a＞2矛盾，舍去，故a＞2，则有3a+4a＝5b，得b＞2，令f（x）＝3x+4x﹣5x，x＞2，令t＝x﹣2，则x＝t+2，故g（t）＝9×3t+16×4t﹣25×5t＜25•4t﹣25•5t＜0，故3a+4a＝5b＜5a，从而2＜b＜a．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．“读书破万卷，下笔如有神”、“腹有诗书气自华”，读书不仅能丰富知识、开阔视野，还能陶冶情操．但是随着学业内容的增加、升学压力的增大，学生的课外阅读也受到较大的影响．某小学为了了解学生的课外阅读情况，计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的10%进行调查，已知四、五、六三个年级的学生人数之比为9：7：10，则下列说法正确的是（）A．应该采用系统抽样的方法B．应该采用分层抽样的方法C．每个学生被抽到的概率为D．若样本中五年级的学生比六年级的学生少12人，则三个年级的学生总共有1140人解：因为四、五、六三个年级的学生人数各不相等，故应该采取分层抽样，故A错误，B 正确；利用频率表示概率，根据计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的10%进行调查，可得每个学生被抽到的概率为，故C正确；设四、五、六三个年级的学生人数之比为9x，7x，10x，由样本中五年级的学生比六年级的学生少12人，可得10x﹣7x＝12，解得x＝4，故样本容量为（9+7+10）×4＝104，于是可估计三个年级的学生总共有1040人，故D错误．故选：BC．10．设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则与同向C．若，则D．若，则解：当＝时，显然不一定成立，A错误；若，则向量夹角θ＝0或π，与同向或反向，B错误；若，两边平方得，＝0，即，C正确；若，则＝，其中，，根据向量共线定理得，，D正确．故选：CD．11．设集合S是由一些复数组成的一个非空集合，如果∀a，b∈S，总有a+b，a﹣b，a•b∈S，则称S是一个数环．例如：整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．则下列命题正确的是（）A．集合S＝{2n|n∈Z}是一个数环B．集合是一个数环C．对任意两个数环S、T，S∩T都不是空集D．对任意两个数环S、T、S∩T都是数环解：对于A：设a，b∈S，则a＝2n1，b＝2n2，n1∈Z，n2∈Z，于是a+b＝2（n1+n2），a﹣b＝2（n1﹣n2），ab＝2（2n1n2），n1+n2∈Z，n1﹣n2∈Z，2n1•n2∈Z，即有a+b，a﹣b．a •b∈S，故S是一个数环，故A正确；对于B：设a，b∈S，则a＝，b＝，n1∈Z，n2∈Z，则，显然∉Z，故S不是一个数环，故B错误；对于C：对于任意一个数环，取a＝b，则0＝a﹣b，必在此环中，故0一定是S∩T中，S∩T都不是空集，故C正确；对于D：设a，b∈S∩T，因S是一个数环，故a+b，a﹣b，a•b∈S，而T是一个数环，故a+b，a﹣b，a•b∈T，所以a+b，a﹣b，a•b∈S∩T，故S∩T是数环，故D正确．故选：ACD．12．已知图1中的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，体积为2，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（）A．A2B2∥平面ABCB．C．四边形ABA2B2为正方形D．正三棱柱ABC﹣A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球的体积相等解：对于A：因旋转前后，A1，B1，C1，A2，B2，C2，共面，由棱柱的性质得知：平面A2B2C2∥平面ABC，从而A2B2∥平面ABC，故A正确；对于B：因棱柱体积，解得，设H为B2在平面ABC上的射影，如图所示：则：点H在BO的延长线上，且OH＝OB＝，又，从而AH＝AO＝BO，所以，故B错误；对于C：因为A2B2∥A1B1∥AB，且A1B1＝A2B2＝AB，故四边形ABB2A2为平行四边形，由对称性可知：AA2＝BB2，又AB2＝AB＝2，所以四边形ABA2B2为正方形，故C正确；对于D：因旋转前后正三棱柱ABC﹣A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球都是是以OO2为直径的球G上，故球的体积相等，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题．13．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线的离心率为．解：由题意可知双曲线的渐近线方程为y＝，∴，∴＝，故答案为：．14．已知向量，，若，则tan2θ＝．解：因为向量，，且，所以sinθ﹣cosθ﹣3sinθ＝0，即，所以．故答案为：．15．李华应聘一家上市公司，规则是从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试．李华可以答对这10道题目中的6道题．若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为．解：从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试．李华可以答对这10道题目中的6道题．若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的情况为：李华可以答对剩下9道题目中的5道题，且李华抽取3题，至少答对2道题，∴李华进入面试的概率为：P＝+＝．故答案为：．16．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到．现按照这种思想，以一个内角为30°、斜边长为2个单位的直角三角形的每一条边向外作正方形得到“类勾股树”，图1为第1代“类勾股树”，重复图1的作法得到第2代“类勾股树”（如图2），如此继续．则第2代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为12；第n（n∈N*）代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为4n+4．解：记a n表示第n代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和，则a1＝8，第2代“类勾股树”在第1代的最上面的每佣正方形上各增加两个小正方形，由勾股定理知，增加的两个小正方形的面积之和恰好等于原来的正方形的面积，∴a2﹣a1＝4，以此类推，故{a n}是以8为首项，公差为4的等差数列，∴a n＝8+（n﹣1）×4＝4n+4．故答案为：4n+4．四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在条件①（a﹣b）（sin A+sin B）＝c（sin C﹣sin B）；②b sin＝a sin B；③cos2A﹣cos2B＝2sin C（sin B﹣sin C）中任选一个，补充以下问题并解答：如图所示，△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，____，且BC＝3，D在AC 上，AB＝AD．（1）若BD＝2，求sin∠ACB；（2）若BD＝2CD，求AC长．解：选①（a﹣b）（sin A+sin B）＝c（sin C﹣sin B），由正弦定理得，（a﹣b）（a+b）＝c（c﹣b），整理得，b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，cos A＝＝，由A为三角形内角得，A＝；选②b sin＝a sin B，由B+C＝π﹣A得，sin B sin（）＝sin A sin B，因为sin B＞0，所以sin（）＝sin A，即cos＝sin A＝2sin cos，由于cos＞0，所以2sin＝1，即sin＝，故A＝；选③cos2A﹣cos2B＝2sin C（sin B﹣sin C），所以1﹣2sin2A﹣1+2sin2B＝2sin C（sin B﹣sin C），整理得，sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理得，b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，cos A＝＝，由A为三角形内角得，A＝；（1）因为A＝，BD＝2，且AB＝AD，所以△ABD为等边三角形，所以∠BDC＝120°，BD＝2，BC＝3，△BDC中，由正弦定理得，，即＝，所以sin∠ACB＝sin∠BCD＝；（2）设DC＝x，则AD＝AB＝BD＝2x，AC＝3x，△ABC中，由余弦定理得，cos60°＝＝，故x＝，AC＝．18．已知S n为等差数列{a n}的前n项和．（1）求证：a n+12≥a n a n+2；（2）若a2＝3，a3是a1和S3的等差中项，设，T n为数列{b n}的前n项和，求证：T n＜．【解答】证明：（1）∵数列{a n}为等差数列，∴2a n+1＝a n+a n+2，得＝≥4a n a n+2，∴，当且仅当a n＝a n+2时等号成立，故a n+12≥a n a n+2；（2）设公差为d，∵a3是a1和S3的等差中项，∴2（a1+2d）＝a1+3a1+3d，得d＝2a1，又a2＝3，∴a1+d＝3a1＝3，得a1＝1，d＝2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴＝＝，∴T n＝b1+b2+…+b n＝＝＜．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD满足AB∥CD，∠BCD＝90°，且PD＝AD＝DC＝2，AB＝3，E为PC中点，，．（1）求证：D，E，F，G四点共面；（2）求四面体D﹣EFC的体积．解：（1）取FB的中点H，连接CH，GH，由题知G，H分别为PA，PB的三等分点，所以GH∥AB，GH＝AB，又AB∥CD，AB＝3，CD＝2，所以GH∥CD，GH＝CD，所以CDGH为平行四边形，所以DG∥CH，另一方面，E，F分别为PH，PC的中点，所以EF∥CH，则DG∥EF，所以D，E，F，G四点共面；（2）由PD⊥平面ABCD得PD⊥BC，又由题知BC⊥CD，PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，另一方面，在三角形PDC中，PD＝DC＝2，E为PC中点，所以DE⊥PC，BC∩PC＝C，从而DE⊥平面PBC，在梯形ABCD中，BC＝，PC＝，故Rt△PBC中，S△EFC＝S△PBC＝，所以四面体D﹣EFC的体积V＝S△EFC•DE＝．20．2020年是脱贫攻坚的收宫之年，国务院扶贫办确定的贫困县已全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为我国全面建成小康社会，实现第一个百年目标打下了坚实基础．在扶贫政策的大力支持下，某县汽车配件厂经营得十分红火，不仅解决了就业也为脱贫作出了重大贡献．现该厂为了了解其主打产品的质量，从流水线上随机抽取200件该产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：根据经验，产品的质量指数在[50，70）的称为A类产品，在[70，90）的称为B类产品，在[90，110]的称为C类产品，A、B、C三类产品的销售利润分别为每件3、7、11（单位：元）．以这200件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该厂为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用x i和年销售量y i（i＝1，2，3，4，5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．，，，，其中u i＝lnx i，v i＝lny i，，．根据散点图判断，y＝a•x b可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程．（ⅰ）建立y关于x的回归方程；（ⅱ）若该厂规定企业最终收益为销售利润减去营销费用以及和营销费用等额的员工奖金，请你用（ⅰ）所求的回归方程估计该厂应投入多少营销费，才能使得该产品一年的最终收益达到最大？参考公式和参考数据：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，e4.159＝64．解：（1）由题知，产品为A，B，C类产品的频率（概率）分别为0.15，0.45，0.4，记每件产品的销售利润为ξ，则ξ的分布列为ξ3711p0.150.450.4每件产品的平均销售利润Eξ＝3×0.15+7×0.45+11×0.4＝8（元）．（2）（ⅰ）由y＝a•x b，得lny＝blnx+lna，令u＝lnx，v＝lny，c＝lna，则v＝bu+c，所以＝＝＝0.25，所以＝﹣＝﹣0.25×＝4.159．所以＝0.25u+4.159，所以ln＝0.25lnx+4.159，所以＝e4.159x，即＝64x．（ⅱ）设年收益为z万元，则z＝（Eξ）y﹣2x＝8×64x﹣2x，令x＝t，所以z＝f（t）＝8×64t﹣2t4，所以f′（t）＝8×64﹣8t3，所以f′（t）＝0，得t＝4，当t∈（0，4）时，f′（t）＞0，f（t）单调递增，当t∈（4，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）单调递减，所以z max＝f（x）max＝f（4）＝768，此时x＝256，即当投入256万元营消费，能使得该产品一年的最终收益达到最大，最大值为768万元．21．已知为椭圆C1：＝1（a＞b＞0）上一点，过点D作抛物线C2：x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B．（1）求AB所在直线方程；（2）若直线AB与椭圆C1相交于P，Q两点，O为坐标原点，设直线PQ，DP，DQ的斜率分别为k，k1，k2，是否存在符合条件的椭圆使得k1+k2＝8k成立？若存在，求出椭圆方程；若不存在，请说明理由．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由x2＝4y，得y＝，则y′＝，故抛物线在A点处的切线方程为，即，可得，①同理可得抛物线在B点处的切线方程为，②将点D（，﹣3）代入①②得：x1﹣y1+3＝0，x2﹣y2+3＝0．∴AB所在直线方程为x﹣y+3＝0；（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），联立，得（b2+a2）x2+6a2x+9a2﹣a2b2＝0（*）．∴，，＝8k PQ＝8k AB＝8，∴（x3+3）x4+（x4+3）x3＝8x3x4，得x3+x4＝2x3x4，代入根与系数的关系，可得，化简得b2＝12．又点在椭圆上，可得，得a2＝48，此时（*）的判别式大于0，符合题意，故存在符合条件的椭圆，使得k1+k2＝8k成立．22．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣a（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的零点个数；（2）当a＞1时，实数x0为函数f（x）的小于1的零点，求证：①；②．解：（1）f′（x）＝1﹣（x＞0），令f′（x）＝0得x＝1，所以在x∈（0，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在x∈（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝1﹣a，当a＜1时，f（x）＞0，函数f（x）没有零点，当a＝1时，函数f（x）有一个零点x＝1，当a＞1时，f（1）＜0，且x→0时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞，故函数有两个零点．（2）由（1）知当a＞1时，f（x）有两个零点，设x0为较小的零点，即0＜x0＜1，且a＝x0﹣lnx0＝lne+ln＝ln（e），所以e a＝e，①要证x0++1＜e a，即证x0++1＜e，即证e＞x02+x0+1（x0∈（0，1）），令φ（x）＝e x﹣x2﹣x﹣1（0＜x＜1），所以φ′（x）＝e x﹣x﹣1，φ″（x）＝e x﹣1，所以φ″（x）＞0，所以φ′（x）在（0，1）上单调递增，所以φ′（x）＞φ′（0）＝0，所以φ（x）在（0，1）上单调递增，所以φ（x）＞φ（0）＝0（0＜x＜1），所以e＞x02+x0+1成立．②解法一：因为a＞1，所以lna＞0，所以2a﹣lna＜2a，故要证＞2a﹣lna，即可证＞2a，即证x0+＞2（x0﹣lnx0），也即证2lnx0+﹣x0＞0（0＜x0＜1），令h（x）＝2lnx+﹣x，所以h′（x）＝﹣﹣1＝＝＜0，所以h（x）在（0，1）单调递减，所以h（x）＞h（1）＝0，所以2lnx0+﹣x0＞0（0＜x0＜1），令h（x）＝2lnx+﹣x，所以h′（x）＝﹣﹣1＝＝＜0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）＝0，所以2lnx0+﹣x0＞0（0＜x0＜1）成立，从而原不等式得证．解法二：要证＞2a﹣lna，即证x0+﹣2（x0﹣lnx0）+ln（x0﹣lnx0）＞0，即证﹣x0+2lnx0+ln（x0+ln）＞0，也即证（﹣ln）﹣[（x0+ln）﹣ln（x0+ln）＞0，令t＝，则t＞1，故只需证（t﹣lnt）＞（+lnt）﹣ln（+lnt）成立，即需f（t）＞f（+lnt）成立即可，注意到（+lnt）′＝﹣＝＞0，所以+lnt＞1，由于f（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，只需t＞+lnt（t＞1）成立即可，令m（t）＝t﹣﹣lnt，所以m′（t）＝1+﹣＝，显然m′（t）＞0恒成立，所以m（t）＞m（1）＝0，所以t＞+lnt（t＞1）成立，从而原不等式得证．。

南开中学2021届高三数学第五次教学质量检测考试试题 理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

考前须知：1.答卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上.2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上，写在套本套试卷上无效.3.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项是符合题目要求的.{}2|230A x x x =--<,{}1,0,1,2,3B =-,那么A B =〔 〕A. {}1,0,1-B. {}1,0-C. {}0,1D. {}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】化简集合{}2|230A x x x =--<,根据交集定义即可求得答案. 【详解】 {})(2|2301,3A x x x =--<=-又{}1,0,1,2,3B =-∴ {}0,1,2A B =应选:D.【点睛】此题考察了集合的交集,在集合运算比拟复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于根底题.()()22,0XN σσ>，假设()40.7P X <=，那么()0P X <=〔 〕【答案】B 【解析】 【分析】 由随机变量()()22,0XN σσ>,当()40.7P X <=,结合()20.5P X <=,即可求得()240.2P X <<=,根据正态分布的对称性,即可求得答案.【详解】随机变量()()22,0XN σσ>当()40.7P X <= 又()20.5P X <=,可得()240.2P X <<=根据正态分布的对称性可得: ()020.2P X <<=∴ ()00.50.20.3P X <=-=应选:B.【点睛】此题主要考察正态分布的对称性,意在考察对根底知识的掌握与应用,属于根底题. 3.0.2log a π=,0.2b π=,0.2c π=,那么〔 〕 A. a b c << B. c b a << C. a c b << D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】因为0.2log 0a π=<,0.21b π=>,由0.2c π=得:01c <<,即可求得答案. 【详解】 根据0.2log y x =图像可知:0.2log 0a π=<又0.21b π=>,根据0.2x y =图像,由0.2c π=∴ 01c <<综上所述,a c b <<. 应选:C.【点睛】此题考察比拟数值大小,这类大小比拟一般是借助中间值,与中间值比拟后可得它们的大小关系.4.2021年1月6日，中国物流与采购结合会正式发布了中国仓储指数，中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系，如下图的折线图是2021年甲企业和乙企业的仓储指数走势情况.根据该折线图，以下结论中不正确的选项是〔 〕A. 2021年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大B. 甲企业2021年的年平均仓储指数明显低于乙企业2021年的年平均仓储指数C. 两企业2021年的最大仓储指数都出如今4月份D. 2021年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅高于甲企业 【答案】D 【解析】 【分析】先对图表数据分析处理,再结合简单的合情推理,对每个选项逐一判断即可得到答案.【详解】对于A,从图可以看出, 2021年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大,故A 结论正确;对于B,从图可以看出,甲企业2021年的年平均仓储指数明显低于乙企业2021年的年平均仓储指数,故B 结论正确;对于C,从图可以看出,两企业2021年的最大仓储指数都出如今4月份,故C 结论正确; 对于D,从图可以看出,2021年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅低于甲企业,故D 结论错误. 应选:D.【点睛】此题考察了折线图,掌握折线图相关知识是解题关键,考察了分析才能,属于根底题.{}n a 的前4项和为45，且5342a a a =+，那么2a =〔 〕A. 6B. 9C. 12D. 15【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,由等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q-=-和等比数列通项公式11n n a a q -=,结合即可求得答案.【详解】5342a a a =+根据等比数列通项公式11n n a a q -=∴ 4231112a q a q a q =+∴ 22q q =+ 即(2)(1)0q q -+=解得:2q或者1q =-(舍去)等比数列{}n a 的前4项和为45 根据等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q-=-可得()4141451a q S q-==-,解得13a =故: 126a a q == 应选:A.【点睛】此题主要考察等比数列的通项公式,等比数列的前n n 项和公式,考察了计算才能,属于中档题1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭，那么sin 2α=〔 〕A. 29- B.19 C.79D. 89【答案】C 【解析】 【分析】 由1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭,可得1sin 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,根据2cos 212sin 24ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求得答案.【详解】1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭,可得1sin 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭227cos 212sin 12499ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7sin 2cos 229παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 应选: C.【点睛】此题考察了诱导公式及二倍角的余弦公式,解题的关键是根据条件选用余弦的二倍角公式来解决问题. 7.()()4221x x x -+-的展开式中x 项的系数为〔 〕A. 9-B. 5-C. 7D. 8【答案】A 【解析】 【分析】 将()()4221x x x -+-化简为:2444(1)(1)2(1)x x x x x --+--,写出4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅-,即可求得答案.【详解】()()42244421(1)(1)2(1)x x x x x x x x -+---+-=-4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅- 24(1)x x -中不含x 项,无需求解.4(1)x x --中含x 项,即当4r =时(44444)(1)x C xx --⋅⋅=--42(1)x -中含x 项,即当3r =时(43)34328(1)C x x -⋅=-- ∴ ()()4221x x x -+-的展开式中x 项9x -应选:A.【点睛】此题考察求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考察分析才能和计算才能,属根底题.8.数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入,故又称为“兔子数列〞.该数列前两项均为1,从第三项开场,每项等于其前相邻两项之和,某同学设计如下图的程序框图,当输入正整数()3n n ≥时,输出结果恰好为“兔子数列〞的第n 项,那么图中空白处应填入〔 〕A. b a b =+B. b a c =+C. a b c =+D. c a c =+【答案】B 【解析】 【分析】由数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯可得数列-12n n n a a a -=+,()3n n ≥.结合程序框图即可得出答案. 【详解】由数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯∴ 可得数列-12n n n a a a -=+,()3n n ≥结合程序框图可得空白处为:b a c =+ 应选:B.【点睛】此题考察斐波那契数列的理解和运用,解题关键是可以理解程序框图,考察了分析才能,属于根底题.X 的分布列如下表所示,在()0E X >的前提条件下,不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立的概率为A.112 B.14C. 13D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据112233()E X x p x p x p =++,那么()a X E b =-+,可得0a b -+> .根据1231p p p ++= 得21a b +=.要保证不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立,需满足140a -<,即可求得答案. 【详解】112233()E X x p x p x p =++∴ ()a X E b =-+,结合()0E X >可得0a b-+>根据1231p p p ++=得21a b +=故00021a b a b a b ≥⎧⎪≥⎪⎨-+>⎪⎪+=⎩ 解得:103a ≤<要保证不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立,需满足140a -< 解得:14a >那么不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立的概率为:11134143-=【点睛】此题考察利用古典概型求解概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题,纯熟掌握求几何型概率的方法是解题关键,属于根底题.C :()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ,假设存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =,那么双曲线C 的离心率的取值范围是〔 〕 A. (1,3⎤⎦ B. ()1,2 C. )2,2⎡⎣ D. ()2,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出其几何图像,设AOF θ∠=,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =那么1802AFO θ︒∠=-,BOM θ∠=,假设存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,需保证BOM AFO ∠<∠,根据双曲线的渐近线为by x a =±,那么tan b aθ=,即可求得离心率范围. 【详解】根据题意画出其几何图像:设AOF θ∠=,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =∴ 1802AFO θ︒∠=-,BOM θ∠=假设存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,需保证BOM AFO ∠<∠∴BOM AFO ∠<∠,那么1802θθ︒<- ∴ 60θ︒<根据双曲线的渐近线为by x a =±,那么tan b aθ= ∴ba<根据双曲线C的离心率c e a ==∴2e <==根据双曲线C 的离心率1e >∴ 12e <<应选:B.【点睛】此题考察了求双曲线离心率的范围问题,解题关键是根据条件画出其几何图像,数形结合.考察分析才能和计算才能,属于中档题.[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩,假设函数()()kg x f x x =-有无穷多个零点,那么实数k 的取值范围是〔 〕 A. ()1,2 B. (]2,4 C. (]2,8 D. []4,8【答案】C 【解析】 【分析】因为定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩,画出其函数图像,求函数()()kg x f x x =-零点个数,即求()kf x x=交点个数,即可求得实数k 的取值范围.【详解】求函数()()kg x f x x =-零点个数, 即求()y f x =与k y x=交点个数 因为定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩令24x <≤,那么211()2222xx f x f ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭令48x <≤,那么411()2224xx f x f ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭画出8y x =和2y x =,()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩图像:∴ 由图像可知实数k 的取值范围在(]2,8时,()kf x x=交点个数是无穷多个. 应选:C.【点睛】此题考察了分段函数和方程零点问题.解题关键是画出其函数图像,结合函数图像,将函数的求零点问题转化图像交点问题,考察了分析才能和理解才能,属于中档题.C :()222210x y a b a b +=>>的左焦点为(),0F c -,上顶点为A ,3直线FA 与抛物线E :24y cx =交于M ,N 两点,那么MA NA +=〔 〕A. B. 5aC. D. 10a【答案】D 【解析】 【分析】设点(),M M M x y ,(),N N N x y ,由题意可知FA k =,故)M N MA x N x A +=+,设MN 的中点坐标为()00,x y ,由中点坐标公式和点差法即可求得答案. 【详解】设点(),M M M x y ,(),N N N x y由题意可知FA k =∴)M N MA x N x A +=+， 设MN 的中点坐标为()00,x y ，由中点坐标公式: 0022M N M N x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩24M M y cx =┄①,24N N y cx =┄②由①-②,点差法可得:02y c =，即0y =，又FA:)y x c =+,故05x c =， ∴ 0210M N x x x c +==，∴10MA NA a +==. 应选:D.【点睛】此题考察求椭圆方程与抛物线方程,解题关键是掌握椭圆和抛物线的相关知识,和纯熟使用点差法,考察了分析才能和计算才能,属于中档题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.()21x y x e =-在点()0,1-处的切线方程为__________.【答案】1y x =- 【解析】 【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数,求出切线斜率,再利用直线方程的点斜式,即可求出切线方程. 【详解】()21xy x e =-∴ ()221x x y e x e '=+-∴函数()21x y x e =-在0x =处的切线斜率为1，又切点坐标为()0,1-，∴切线方程为1y x =-．故答案为:1y x =-．【点睛】此题主要考察了利用导数的几何意义求解切线的方程,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考察了推理与运算才能,属于根底题.x ,y 满足约束条件26024020x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,那么yz x =的取值范围是__________.【答案】17,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域,yz x=可看作是可行域上的点与原点()0,0O 两点的斜率,结合图像即可求得yzx=的取值范围.【详解】根据实数x,y满足约束条件26024020x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,作出不等式组所表示的可行域,如图:由260240x yx y+-=⎧⎨-+=⎩解得:85145xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即814,55A⎛⎫⎪⎝⎭那么74 OAk=由26020 x yx y+-=⎧⎨--=⎩解得:8323xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即82,33B⎛⎫⎪⎝⎭那么14OBk=yzx=可看作是可行域上的点与原点()0,0O两点的斜率∴yzx=的取值范围是:17,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为:17,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】此题考察线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目的函数.在平面区域中,求线性目的函数的最优解,要注意分析线性目的函数所表示的几何意义,从而确定目的函数在何处获得最优解.0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数,要求偶数互不相邻0和5必须相邻,那么满足条件的六位数的个数为__________.〔用数字答题〕 【答案】60 【解析】 【分析】由题意可知用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数,要求偶数互不相邻0和5必须相邻,将数字0和5捆绑在一起,按05和50两种次序和数字1,3进展排列,数字2,4插空处理. 【详解】数字0和5捆绑在一起,按50次序和数字1,3进展排列,数字2,4插空处理满足此条件的六位数的个数为:223336A A ⋅=数字0和5捆绑在一起,按05次序和数字1,3进展排列,数字2,4插空处理满足此条件的六位数的个数为:223336A A ⋅=当05排在首位不符合题意,此时排列个数为:222312A A ⋅=故:满足条件的六位数的个数为:36+361260-= 故答案为:60.【点睛】此题考察排列的简单应用.在排列的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,相邻元素捆绑排这样一个原那么.ABCD 中,2BC AD =,AB AD CD ==,假设平面内一点P 满足：0PB PC ⋅=,PB xPA yPC =+,其0x >,0y >,那么x y +的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】画出其几何图像,由0PB PC ⋅=知,点P 的轨迹是以BC 为直径的圆,设PB 与AC 交于点Q ,PB PQ λ=,故xyPQ PA PC λλ=+,A ,Q ,C 三点一共线知1xyλλ+=,可得:x y λ=+,结合图像即可求得x y+的最小值. 【详解】画出其几何图像:由0PB PC⋅=知,点P的轨迹是以BC为直径的圆,又0x>,0y>,∴点P只能在劣弧AC上运动〔不含A,C两点〕设PB与AC交于点Q,PB PQλ=∴x yPQ PA PCλλ=+,∴A,Q,C三点一共线知1x yλλ+=,可得:x yλ=+又而PBPQλ=,结合图形知:当点P运动至距AC最远时λ最小,又DA DC=,∴点P与点D重合时λ最小,此时12PQ ADQB BC==,可得3PBPQλ==∴3λ=.故答案为:3.【点睛】此题考察了向量的一共线和向量的运算,熟悉向量相关知识点和数形结合是解题的关键,考察了分析才能和计算才能,属于根底题.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.{}na满足11a=,()*124nnnaa n Na+=∈-.〔1〕证明:数列21n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列; 〔2〕求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕1122n n --+【解析】 【分析】 〔1〕由()*124n n n a a n N a +=∈-,可得12421221n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭,根据等比数列概念即可得出答案; 〔2〕由〔1〕知1212n n a --=,可得121211222n n n a --+==+,采用分组求和方法,即可求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】〔1〕()*124nn na a n N a +=∈- ∴ 1412122n n n n a a a a +-==-， 那么12421221n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又12110a -=≠，∴21n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列. 〔2〕由〔1〕知1212n na --=， ∴121211222n n n a --+==+， 故其前n 项和为:()11121221222nn n n n S ---=+=+-.∴ 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为:1122n n --+.【点睛】此题主要考察判断数列是否为等比数列和分组求和,解题关键是掌握等比数列的前n 项和公式和等差数列前n 项和公式,考察了计算才能,属于根底题.()()2cos sin sin f x x x ϕϕ=+-,0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()0f ϕ=.〔1〕求ϕ;〔2〕如图,在ABC 中,A ϕ=,1AC =,D 是边AB 的中点,2BC CD =,求AB . 【答案】〔1〕3πϕ=〔2〕3AB =【解析】 【分析】〔1〕由()0fϕ=,可得2cos sin 2sin 0ϕϕϕ-=,结合0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即可求得ϕ值;〔2〕设AD DB x ==,22CB CD y ==,在ACD 和ABC 分别使用余弦定理,即可求得AB . 【详解】〔1〕由()0fϕ=得:2cos sin 2sin 0ϕϕϕ-=∴ ()2sin 4cos 10ϕϕ-=由0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin ,cos 0ϕϕ> ∴1cos 2ϕ=,3πϕ=.〔2〕设AD DB x ==,22CB CD y ==在ACD 中,由余弦定理22212cos 601y x x x x =+-︒=+-┄①在ABC 中,由余弦定理22241422cos 60421y x x x x =+-⋅︒=-+┄②∴ 联立①②消去y 解得32x = ∴23AB x ==.【点睛】此题考察了余弦定理解三角形,解题关键是灵敏使用余弦定理,考察了分析才能和计算才能,属于根底题.19.?中国诗词大会?是由CCTV -10自主研发的一档大型文化益智节目,以“赏中华诗词,寻文化基因品生活之美〞为宗旨,带动全民重温经典、从古人的智慧和情怀中汲取营养、修养心灵,节目广受好评还因为其颇具新意的比赛规那么:每场比赛,106位挑战者全部参赛,分为单人追逐赛和擂主争霸赛两局部单人追逐赛的最终优胜者作为攻擂者与守擂擂主进展比拼,竞争该场比赛的擂主,擂主争霸赛以抢答的形式展开,一共九道题,抢到并答复正确者得一分,答错那么对方得一分,先得五分者获胜,成为本场擂主,比赛完毕某场擂主争霸赛中,攻擂者与守擂擂主都参与每一次抢题且两人抢到每道题的概率都是12,攻擂者与守擂擂主正确答复每道题的概率分别为35,45,且两人各道题是否答复正确均互相HY. 〔1〕比赛开场,求攻擂者率先得一分的概率;〔2〕比赛进展中,攻擂者暂时以3:2领先,设两人一共继续抢答了X 道题比赛完毕,求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】〔1〕25〔2〕答案见解析 【解析】 【分析】〔1〕由题意可知:每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件M ,M 发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错,即可求得攻擂者率先得一分的概率;〔2〕由〔1〕知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为25,35.根据比赛规那么,X 的所有可能取值分别为234，，,求出()2P X =,()3P X =和4P X ,即可求得随机变量X 的分布列和数学期望.【详解】〔1〕每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件M .M 发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错,∴ ()1311225255P M =⨯+⨯= ∴ 比赛开场,求攻擂者率先得一分的概率为:25. 〔2〕由〔1〕知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为25,35根据比赛规那么,X 的所有可能取值分别为234，，,那么()2245225P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭=()3212332515552531C P X ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ()451541251251425P X ==--= X 的分布列为:∴ ()4515440923425125125125E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题考察了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考察计算才能.C :()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,上顶点为M ,且1MF F 的面积.〔1〕求椭圆C 的方程;〔2〕过点(P 的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,且点A ,B 位于x 轴的同侧,设直线l 与x 轴交于点Q ,12PQ QA BQ λλ==,假设12λλ+=-求直线l 的方程.【答案】〔1〕2214x y +=〔2〕y x =+【解析】【分析】〔1可得c a =12MF F △可得12122MF F S c b =⋅⋅=,根据椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>,可得222a b c =+,即可求得椭圆C 的方程; 〔2〕设直线l:(x t y =,联立椭圆C 方程和直线l 方程,通过韦达定理即可求得直线l 的方程. 【详解】〔1〕可得c a =又12MF F △可得12122MF F S c b =⋅⋅=┄② 根据椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>,可得222a b c =+┄③ 联立①②③解得:24a =,21b =，∴ 椭圆方程为2214x y += 〔2〕设直线l:(x t y =，()11,A x y ，()22,B x y ，由(2214x t y x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩ ,消掉x 得:()22224240t y y t +-+-=， 根据韦达定理:21224y y t +=+,21222404t y y t -=>+,22t >， ()()422844240t t t ∆=-+->，24t <，12PQ QA BQ λλ==，∴1122y y λλ==-，故)12121212y yy y y yλλ-+=-+==-∴()222121212y y y y-=，即()222121212412y y y y y y+-=，∴()()()22422222224881612444tt ttt t---=⋅+++，即4231180t t-+=，解得21t=〔舍〕或者283t=，∴直线l:4y x=±+【点睛】此题主要考察直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.()()()()322112ln22ln2ln62x ax a x x a x a a bx a xf=+-++++--，0a>,b R∈.〔1〕假设1a b==,求函数()f x的最小值;〔2〕当0a>时,()0f x≥恒成立,求b的取值范围.【答案】〔1〕()min0f x=〔2〕(b∈-∞【解析】【分析】〔1〕将1a b==代入()f x可得, ()()()3211221ln162x x xf x x x=--+++,求其导数()()212ln12'x x xf x=-++,且()2101''f x xx=-+>+,即可求得函数()f x的最小值;〔2〕因为()()212l'n2ln22x ax a x a bxf x=+-++-,求()'f x和()''f x,通过讨论b≤b >:()f x 最小值,即可求得b 的取值范围.【详解】〔1〕 ()()()()322112ln 22ln 2ln 62x ax a x x a x a a b x a x f =+-++++-- 当1a b ==时可得:()()()3211221ln 162x x x f x x x =--+++，()1,x ∈-+∞， ∴ ()()212ln 12'x x x f x =-++， ∴()1''21x f x x =-++， ()212201''x x f x =++-≥>+， ∴()'f x 在()1,-+∞上单调递增，又()'00f =，∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故:()()min 00f x f ==〔2〕 ()()()()322112ln 22ln 2ln 62x ax a x x a x a a b x a x f =+-++++-- ∴()()212l 'n 2ln 22x ax a x a bx f x =+-++-， ∴()22''x a b af x x =++-+，①当b ≤,()2220''x a b b x a f x =++-≥≥+， ∴()f x 在(),a -+∞上单调递增，又()'00f =，∴()f x 在(),0a -上单调递减,在()0,∞+上单调递增，∴()()00f x f ≥=满足条件;②假设b >那么方程22x a b x a ++=+存在两个不相等正根()0101,a a a a <， 取0a a =，此时()002''2x a f x b x a =++-+， 令()''0f x <,解得001a x a a <+<即100x a a <<-，∴()'f x 在()100,a a -上单调递减,又()'00f =，∴()f x 在()100,a a -上单调递减即当()100,x a a ∈-,()()00f x f <=,不符合条件;综上所述,(b ∈-∞.【点睛】此题主要考察导数的几何意义和导数在函数中的应用,通常需要对函数求导,通过研究函数的单调性和最值等求解,考察了分析才能和计算才能,难度较大请考生在第22，23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.答题时需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆1C 的极坐标方程为1ρ=,圆2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=.〔1〕求1C 与2C 在第一象限的交点的极坐标;〔2〕假设点A ,B 分别为圆1C ,2C 上位于第一条限的点,且3AOB π∠=,求AB 的取值范围.【答案】〔1〕1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭〔2〕AB ∈ 【解析】【分析】 〔1〕根据极坐标与直角坐标互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,由圆2C :2220x y x +-=,可得极坐标方程为2cos ρθ=,即可求得1C 与2C 在第一象限的交点的极坐标;〔2〕设点B 的极坐标为()2cos ,θθ,在AOB 中,由余弦定理求得AB ,结合A 、B 都要在第一象限,即可求得AB 的取值范围.【详解】〔1〕圆2C :2220x y x +-=,其极坐标方程为2cos ρθ=,联立1C :1ρ=得1cos 2θ=,3πθ=±, ∴ 所求点的极坐标为1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭〔2〕设点B 的极坐标为()2cos ,θθ在AOB 中,由余弦定理得:222214cos 212cos cos4cos 2cos 13AB πθθθθ=+-⋅⋅⋅=-+, 又A 、B 都要在第一象限,∴0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos θ⎫∈⎪⎪⎝⎭,∴ AB ∈. 【点睛】此题主要考察直角坐标方程和极坐标方程的互化,解题关键是掌握极坐标与直角坐标互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,意在考察学生的转化才能,计算才能,难度中等. ()31f x x x =-+-.〔1〕假设()f x x m ≥+对任意x ∈R 恒成立,务实数m 的取值范围；〔2〕记函数()f x 的最小值为s ,假设,,0a b c >,且a b c s ++=,证明:48ab bc ac abc ++≥.【答案】〔1〕(],1m ∈-∞-〔2〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕设()()31g x f x x x x x =-=-+--,画出其函数图像,当()g x m ≥恒成立时,结合函数图像,即可求得实数m 的取值范围;〔2〕()()()31312f x x x x x =-+-≥---=,当且仅当13x ≤≤时等号成立,得2s =,故2a b c ++=,原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式即可求得答案. 【详解】〔1〕设()()31g x f x x x x x =-=-+--()g x m ≥恒成立∴ ()4,32,13,43,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩ 其图像如下图:故()()min 31g x g ==-，∴ (],1m ∈-∞-〔2〕()()()31312f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时等号成立，∴2s =，即2a b c ++=，原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式得: ()211416a b c a b c a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭=， ∴1148a b c++≥， 当且仅当12a =,12b =,1c =时等号成立， ∴ 48ab bc ac abc ++≥成立.【点睛】此题主要考察了含绝对值不等式的求解,以及含绝对值不等式的恒成立问题,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考察了分类讨论思想,以及推理与运算才能,属于中档试题,本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

2021年高三第五次质量检测理科数学试题第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={－1，0，1}，B={y|y=cosx，x∈A}，则AB= （）A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{－1，0，1}2．设x是实数，则“x>0”是“|x|>0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．//B．//,////C．//D．//,////4．设变量满足约束条件，则目标函数＝2+4的最大值为（）A．10 B．12C．13 D．145．执行如图的程序框图，如果输入，则输出的（）A．B．C．D．6．设向量,满足:, , , 则与的夹角是（）A．B．C．D．7．一个多面体的三视图分别是正方形．等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为9 （）（第5题）A．B．C．D．8．已知，则下列结论中正确的是（）A．函数的周期为2；B．函数的最大值为1；C．将的图象向左平移个单位后得到的图象；D．将的图象向右平移个单位后得到的图象；9．过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．10．，对使，则ɑ的取值范围是（）A．B．C．D．试卷Ⅱ（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）．11．若，其中是虚数单位，则 ．12．从5名男医生．4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男．女医生都有，则不同的组队方案共有 种 （数字回答）．13．在平面几何里，有：“若的三边长分别为内切圆半径为，则三角形面积为”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，则四面体的体积为 ”14．定义在R 上的偶函数满足且在[—1，0]上是增函数，给出下列四个命题：①是周期函数；②的图像关于对称；③在[1，2]上是减函数；④，其中正确命题的序号是 。

2021年重庆市南开中学高考数学五模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.(2021·重庆市市辖区·模拟题)下列命题为真命题的是()A. ∀x∈R，x2−|x|+1≤0B. ∀x∈R，−1≤1cosx≤1C. ∃x0∈R，(lnx0)2≤0D. ∃x0∈R，sinx0=32.(2021·山西省吕梁市·模拟题)四书五经是四书、五经的合称，泛指儒家经典著作.四书指的是《大学》《中庸》《论语》《孟子》.五经指的是《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》五部.某同学计划从“《大学》《论语》《孟子》《诗经》《春秋》”5种课程中选2种参加兴趣班课程进行学习，则恰好安排了1个课程为四书、1个课程为五经的概率为()A. 34B. 25C. 35D. 233.(2021·江西省九江市·模拟题)下列说法错误的是()A. “若x≠3，则x2−2x−3≠0”的逆否命题是“若x2−2x−3=0，则x=3”B. “∀x∈R，x2−2x−3≠0”的否定是“∃x0∈R，x02−2x0−3=0”C. “x>3”是“x2−2x−3>0”的必要不充分条件D. “x<−1或x>3”是“x2−2x−3>0”的充要条件4.(2021·浙江省·模拟题)如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1与C2在第二、四象限的公共点，若AF1⊥BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则8e1+e2的最小值为()A. 6+3√22B. 4√3+√62C. 5√102D. 5√525.(2020·广东省广州市·单元测试)已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为A1B1的中点，下列说法中正确的是()A. ED1与B1C所成的角大于60°B. 点E到平面ABC1D1的距离为1C. 三棱锥E −ABC 1的外接球的表面积为125√224π D. 直线CE 与平面ADB 1所成的角为π46. (2020·内蒙古自治区赤峰市·模拟题)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=2，S 7=35，将a 3，a 7，a 11，a 15中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{b n }的前三项，则数列{a n b n }的前10项的和T 10=( )A. 10⋅212B. 9⋅212C. 11⋅212D. 12⋅2127. (2021·四川省成都市·模拟题)已知点P(1,a)(a >1)在抛物线y 2=2px(p >0)上，过P 作圆(x −1)2+y 2=1的两条切线，分别交抛物线于点A ，B ，若直线AB 的斜率为−1，则抛物线的方程为( )A. y 2=4xB. y 2=2xC. y 2=xD. y 2=x48. (2020·浙江省台州市·模拟题)已知函数f(x)=x 2+ax +b(a,b ∈R)在区间[2,3]上有零点，则a 2+ab 的取值范围是( )A. (−∞,4]B. (−∞,818]C. [4,818]D. [818,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. (2021·河北省邯郸市·模拟题)已知函数f(x)=sin n x +cos n x(n ∈N ∗)，则( )A. 对任意正奇数n ，f(x)为奇函数B. 当n =4时，f(x)的单调递增区间是[−π4+kπ,kπ](k ∈Z)C. 当n =3时，f(x)在[0,π2]上的最小值为√22D. 对任意正整数n ，f(x)的图象都关于直线x =π4对称10. (2021·江苏省南京市·模拟题)设z 为复数，则下列命题中正确的是( )A. |z|2=zz −B. z 2=|z|2C. 若|z|=1，则|z +i|的最大值为2D. 若|z −1|=1，则0≤|z|≤211. (2021·江苏省·模拟题)在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、DD 1的中点，则下列结论中正确的是( )A. 平面A 1BD ⊥平面A 1ACC 1B. 直线BC 1与平面ACC 1A 1所成角为30°C. 直线A 1E 与直线AC 所成角为45°D. 四棱锥A −A 1ECF 的体积为1312. (2021·重庆市市辖区·模拟题)在Rt △ABC 中，AB =AC ，BC =4，在边AB ，AC 上分别取M ，N 两点，沿MN 将△AMN 翻折，若顶点A 正好可以落在边BC 上，则AM 的长可以为( )A. √2B. 3√22 C. 4−√22D. 4−2√2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·重庆市市辖区·模拟题)若复数z =1−2i(i 为虚数单位)，则z −z= ______ ．14. (2021·浙江省金华市·单元测试)定义域为R 的奇函数y =f(x)在(−∞,0]上单调递减.设g(x)=xf(x)，若对于任意x ∈[1,2]，都有g(2+x)≤g(ax)，则实数a 的取值范围为______ ．15. (2021·重庆市市辖区·模拟题)已知函数f(x)=x 2−2mx +e 2x −2me x +2m 2，若存在实数x 0，使得f(x 0)≤12成立，则实数m = ______ ．16. (2020·云南省昆明市·单元测试)已知P ，E ，F 都在球面C 上，且P 在△EFG 所在平面外，PE ⊥EF ，PE ⊥EG ，PE =2GF =2EG =4，∠EGF =120°，在球C 内任取一点，则该点落在三棱锥P −EFG 内的概率为______． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. (2021·江苏省·模拟题)已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n +r ，其中r 为常数．(1)求r 的值；(2)设b n =2(1+log 2a n )，若数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原来的顺序组成数列{c n }，求c 1+c 2+c 3+⋯+c 100的值．18. (2021·湖南省·模拟题)已知函数f(x)=Msin(ωx +φ)(M >0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式；(2)在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2=ac ，求f(B)的取值范围．19.(2021·全国·模拟题)2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年.为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛.现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图．(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分x−(同一组中的数据用该组区间中点值代表)；(2)在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在[85,95]内的概率；(3)假设竞赛成绩服从正态分布N(μ,σ2)，已知样本数据的方差为121，用平均分x−作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该校本次竞赛的及格率(60分及以上为及格)．参考数据：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−2σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973．20.(2021·重庆市市辖区·模拟题)光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抹一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱ABC−A′B′C′中，AB⊥AC，AB=AC=AA′=a，现经过AB作与底面ABC所成角为θ的截面，且截面与B′C′，A′C′分别交于不同的两点E，F．(1)试求截面面积S随θ变化的函数关系式S(θ)；(2)当E和F分别为B′C′和A′C′的中点时，需要在线段AF上寻找一个点Q，用纳米纤维导管连接EQ，使得EQ与AB′所在直线的夹角最小，试求出纤维导管EQ的长．21.(2021·重庆市市辖区·模拟题)已知直线l：y=kx+4与抛物线C：y=ax2交于A、B两点，O为坐标原点，OA⊥OB．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若过点A的另一条直线l1与抛物线C交于另一点M，与y轴交于点N，且满足|AN|=|AM|，求|BM|的最小值．22.(2021·重庆市市辖区·模拟题)如图，某市一学校H位于该市火车站O北偏东45°方向，且OH=4√2km，已知OM，ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路，CE，DF及圆弧CD⏜都是学校道路，其中CE//OM，DF//ON，以学校H为圆心，半径为2km的四分之一圆弧分别与CE，DF相切于点C，D.当地政府欲投资开发△AOB区域发展经济，其中A，B分别在公路OM，ON上，且AB与圆弧CD⏜相切，设∠OAB=θ，△AOB的面积为Skm2．(1)求S关于θ的函数解析式；(2)当θ为何值时，△AOB面积S为最小，政府投资最低？答案和解析1.【答案】C【知识点】命题及其关系、全称量词、存在量词【解析】解：对于A ，∀x ∈R ，x 2−|x|+1=(|x|−12)2+34>0，恒成立，所以A 是假命题．对于B ，∀x ∈R ，−1≤1cosx ≤1，不正确，反例x =π3时，1cosx =2，所以B 是假命题； 对于C ，∃x 0∈R ，例如x 0=1，(lnx 0)2=0，所以C 是真命题； 对于D ，∀x ∈R ，sinx ∈[−1,1]，所以D 是假命题． 故选：C ．利用分析法判断A ，特殊值判断BC ，正弦函数的圆心判断D ． 本题考查命题的真假的判断，特称命题与全称命题的判断，是基础题．2.【答案】C【知识点】古典概型的计算与应用【解析】解：四书指的是《大学》《中庸》《论语》《孟子》． 五经指的是《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》五部．某同学计划从“《大学》《论语》《孟子》《诗经》《春秋》”5种课程中选2种参加兴趣班课程进行学习，基本事件总数n =C 52=10，恰好安排了1个课程为四书、1个课程为五经包含的基本事件个数m =C 31C 21=6，则恰好安排了1个课程为四书、1个课程为五经的概率为P =m n=610=35．故选：C ．基本事件总数n =″C 52=10，恰好安排了1个课程为四书、1个课程为五经包含的基本事件个数m =C 31C 21=6，由此能求出恰好安排了1个课程为四书、1个课程为五经的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．3.【答案】C【知识点】命题及其关系、区别否命题与命题的否定、必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】解：对于A ，“若x ≠3，则x 2−2x −3≠0”的逆否命题是“若x 2−2x −3=0，则x =3”，正确；对于B ，“∀x ∈R ，x 2−2x −3≠0”的否定是∃x 0∈R ，x 02−2x 0−3=0”，正确；对于C ，“x 2−2x −3>0”等价于“x <−1或x >3”， ∴“x >3”是“x 2−2x −3>0”的充分不必要条件，错误；对于D ，“x <−1或x >3”是“x 2−2x −3>0”的充要条件，正确． 故选：C ．利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可．本题考查命题的真假的判断，充要条件的应用，命题的否定的判断四种命题的逆否关系的应用，是基础题．4.【答案】C【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、双曲线的性质及几何意义 【解析】解：连接AF 2，BF 2，则由对称性及AF 1⊥BF 1，得矩形AF 1BF 1，故AF 12+AF 22=(2c)2．由e 1=2c AF 1+AF 2,e 2=2c AF 2−AF 1，得1e 12+1e 22=2．令e2e 1=t(t >1)，则e 1=√t 2+1√2t ，8e 1+e 2=(8+t)e 1=(8+t)√t 2+1√2t．设f(t)=(8+t)√t 2+1√2t ，由f′(t)=t 3−8√2t 2√t 2+1=0，得t =2，当1<t <2时，f′(t)<0，函数是减函数，t >2时，f′(t)>0，函数是增函数， t =2时，函数取得最小值， 故f(t)min =f(2)=5√102， 故选：C ．连接AF 2，BF 2，说明矩形AF 1BF 1，利用勾股定理，结合离心率推出8e 1+e 2的表达式，利用函数的导数求解最小值即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．5.【答案】D【知识点】球的表面积和体积、全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定、直线与平面所成角、利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】解：如图，对于A ，取DC 的中点F ，连接EF ，D 1F ，则∠D 1EF 为ED 1与B 1C 所成的角，∵D 1F =D 1E =√5，EF =2√2，∴tan∠D 1EF =√3√2<√3，故A 错误；对于B ，由于A 1B 1//平面ABC 1D 1，故B 1到平面ABC 1D 1 的距离即点E 到平面ABC 1D 1 的距离， 连接B 1C 角BC 1于G ，可得B 1G ⊥平面ABC 1D 1，而B 1G =√2， ∴点E 到平面ABC 1D 1的距离为√2，故B 错误；对于C ，三棱锥E −ABC 1的外接球即四棱锥E −ABC 1D 1的外接球， ∵ABC 1D 1为矩形，且AB =2，BC 1=2√2，EA =EB =EC 1=ED 1=√5， 四棱锥E −ABC 1D 1的高为√2，设四棱锥E −ABC 1D 1的外接球的半径为R ，则R 2=(√3)2+(√2−R)2，解得R =5√24．∴三棱锥的外接球的表面积S =4π×(5√24)2=25π2，故C 错误；对于D ，连接DC 1，取DC 1的中点H ，连接DB 1交EC 于K ，连接CH ，HK ， ∵EB 1//DC ，∴∠CKH 是直线CE 与平面ADB 1所成的角， 在直角三角形CKH 中，CK =23CE =2，CH =√2， ∴sin∠CKH =CHCK =√22，故D 正确．故选：D ．对于A ，取DC 的中点F ，连接EF ，D 1F ，则∠D 1EF 为ED 1与B 1C 所成的角，求出角的正切值与√3比较判断；对于B ，把B 1到平面ABC 1D 1 的距离转化为点E 到平面ABC 1D 1 的距离，求出点E 到平面ABC 1D 1的距离判断；对于C ，三棱锥E −ABC 1的外接球即四棱锥E −ABC 1D 1的外接球，由勾股定理列式求出四棱锥E −ABC 1D 1的外接球的半径为R ，进一步求出外接球的表面积判断； 对于D ，连接DC 1，取DC 1的中点H ，连接DB 1交EC 于K ，连接CH ，HK ，可得∠CKH 是直线CE 与平面ADB 1所成的角，求解三角形得其正弦值判断．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．6.【答案】A【知识点】等差数列与等比数列的综合应用【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，×7×6d=35，由a1=2，S7=35，可得7×2+12解得d=1，则a n=2+n−1=n+1，可得a3=4，a7=8，a11=12，a15=16，由题意可得4，8，16为等比数列{b n}的前三项，即有b1=4，公比q=2，则b n=4⋅2n−1=2n+1，a nb n=(n+1)⋅2n+1，T n=2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n+(n+1)⋅2n+1，2T n=2⋅23+3⋅24+⋯+n⋅2n+1+(n+1)⋅2n+2，上面两式相减可得−T n=8+23+24+⋯+2n+2n+1−(n+1)⋅2n+2=4+4(1−2n)−(n+1)⋅2n+2，1−2化简可得T n=n⋅2n+2，则数列{a n b n}的前10项的T10=10⋅212，故选：A．设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的求和公式，解方程可得d，求得a n，可得4，8，16为等比数列{b n}的前三项，求得{b n}的通项公式，结合数列的错位相减法求和，即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．7.【答案】A【知识点】抛物线的概念及标准方程、抛物线的性质及几何意义、直线与圆的位置关系及判定【解析】解：根据题意，设圆(x−1)2+y2=1的圆心为M，则M的坐标为(1,0)，再设A(x1,y1)，B(x2,y2)，过点P(1,a)作圆(x −1)2+y 2=1的两条切线，则PA 、PB 关于直线x =1对称， 则有K PA =−K PB ，又由K PA =a−y 11−x 1=a−y 1a 22p −y 122p=2pa+y 1，同理K PB =2p a+y2， 则有2p a+y 1−2pa+y 2，变形可得(a +y 1)=−(a +y 2)，则有y 1+y 2=−2a ，又由直线AB 的斜率为−1，即y 1−y 2x 1−x 2=y 1−y 2y 122p −y 222p=2py1+y 2=2p2a =−1，变形可得p =a ，即p 的坐标为(1,p)，则有p 2=2p ，解可得p =2， 即抛物线的方程为y 2=4x ， 故选：A ．根据题意，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，分析可得直线PA 、PB 关于直线x =1对称，则有K PA =−K PB ，用a 、p 表示K PA 和K PB ，变形可得y 1+y 2=−2a ，又由直线AB 的斜率为−1，即y 1−y 2x 1−x 2=y 1−y 2y 122p −y 222p=2p y 1+y 2=2p 2a=−1，变形可得p =a ，即p 的坐标为(1,p)，代入抛物线的方程，计算可得p 的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及抛物线的性质，属于中档题．8.【答案】B【知识点】函数的零点与方程根的关系、二次函数、基本不等式【解析】解：不妨设x 1，x 2为函数f(x)的两个零点，其中x 1∈[2,3]，x 2∈R ， 则x 1+x 2=−a ，x 1x 2=b ．则a 2+ab =(x 1+x 2)2−(x 1+x 2)⋅x 1x 2=(1−x 1)x 22+(2x 1−x 12)x 2+x 12， 由1−x 1<0，x 2∈R ，所以(1−x 1)x 22+(2x 1−x 12)x 2+x 12≤4(1−x 1)x 12−(2x 1−x 12)24(1−x 1)=x 144(x 1−1)，可令g(x 1)=x 144(x 1−1)，g′(x 1)=x 13(3x 1−4)4(x 1−1)，当x 1∈[2,3]，g′(x 1)>0恒成立，所以g(x 1)∈[g(2),g(3)]=[4,818]. 则g(x 1)的最大值为818，此时x 1=3，还应满足x 2=−2x 1−x 122(1−x 1)=−34，显然x 1=3，x 2=−34时，a =b =−94，a 2+ab =818．故选：B ．不妨设x 1，x 2为函数f(x)的两个零点，其中x 1∈[2,3]，x 2∈R ，运用韦达定理和主元法、二次函数的最值，构造函数g(x 1)，求得导数，判断单调性，可得所求范围． 本题考查函数的零点问题，注意函数方程的转化、韦达定理的运用和构造函数法，考查【知识点】三角函数的最值【解析】解：取n=1，则f(x)=sinx+cosx，从而f(0)=1≠0，此时f(x)不是奇函数，则A错误，当n=4时，f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x=1−12sin22x=1−1−cos4x4=14cos4x+34，则f(x)的递增区间为[−π4+kπ2,kπ2](k∈Z)，则B错误，当n=3时，f′(x)=3sin2xcosx−3cos2xsinx=3sinxcosx(sinx−cosx)，当x∈[0,π4)时，f′(x)<0，当x∈(π4,π2]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,π4)上单调递减，在(π4,π2]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(π4)=(√22)3+(√22)3=√22，故C正确，因为f(π2−x)=sin n(π2−x)+cos n(π2−x)=cos n x+sin n x=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=π4对称，则D正确．故选：CD．利用三角函数的图象和性质进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】ACD【知识点】复数的模【解析】解：设z=a+bi，对于A，|z|2=a2+b2，zz−=(a+bi)(a−bi)=a2+b2，故选项A正确；对于B，z2=(a+bi)2=a2−b2+2abi，|z|2=a2+b2，故选项B错误；对于C，|z|=1表示z对应的点Z在单位圆上，|z+i|表示点Z对应的点与(0,−1)的距离，故|z+i|的最大值为2，故选项C正确；对于D，|z−1|=1表示z对应的点Z在以(1,0)为圆心，1为半径的圆上，|z|表示z对应的点Z与原点(0,0)的距离，故0≤|z|≤2，故选项D正确．故选：ACD．利用复数模的计算方法以及复数模的几何意义对四个选项进行逐一的判断即可．本题考查了复数模的理解和应用，主要考查了复数模的几何意义的运用，考查了逻辑推【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、异面直线所成角、面面垂直的判定、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征【解析】解：对于A，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，又AC⊥BD，AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面AA1C1C，故BD⊥平面AA1C1C，又BD⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面AA1C1C，故选项A正确；对于B，因为BD⊥平面AA1C1C，故BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面AA1C1C的一个法向量，因为△BC1D为等边三角形，故BC 1与BD的夹角为60°，则BC1与平面ACC1A1所成的角为30°，故选项B正确；对于C，因为△A1EC1为等腰三角形，而A1E与A1C1的夹角不为45°，所以A1E与AC的夹角不是45°，故选项C错误；对于D，因为A1，E，C，F四点共面，故四边形A1ECF为菱形，设点A到平面A1ECF的距离为d，所以四棱锥A−A1ECF的体积为V=13⋅S菱形A1ECF ⋅d=13×12⋅A1C⋅EF⋅AA1⋅ACA1C=13，故选项D正确．故选：ABD．利用线面垂直的判定定理判断选项A；利用线面角的定义即可判断选项B；利用A1E与A1C1的夹角即可判断选项C；利用锥体的体积公式进行求解，即可判断选项D．本题以命题的真假为载体考查了立体几何的综合应用，主要考查了面面垂直的判定定理，线面角，异面直线所成的角，锥体的体积，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．12.【答案】ABD【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用【解析】解：以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线为x ，y 轴，建立直角坐标系，可得B(2√2,0)，C(0,2√2)，BC 的方程为x +y −2√2=0， 设M(0,t)，(0≤t ≤2√2)，MN 的方程设为y =kx +t(k <0)，由A′为A 的对称点，可得OA′的方程为y =−1k x ， 联立直线BC 的方程，解得A′(2√2k k−1,2√21−k)， 由对称性可得AA′的中点在直线MN 上， 可得√2k 1−k=k ⋅√2kk−1+t ，解得t =√2(1+k 2)1−k，由1−k >0，设m =1−k(m >1)， 可得√2(1+k 2)1−k=√2(m 2−2m+2)m=√2(m +2m −2)≥√2(−2+2√2)=4−2√2，当且仅当m =√2，即k =1−√2时，上式取得等号， 则t 的最小值为4−2√2，且t 的最大值为2√2， 对照选项，可得ABD 成立，C 不成立． 故选：ABD ．以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线为x ，y 轴，建立直角坐标系，求得B ，C 的坐标，以及BC 的方程，设M(0,t)，(0≤t ≤2√2)，MN 的方程设为y =kx +t(k <0)，求得A 关于A′的坐标，再由中点坐标公式，以及中点在直线MN 上，求得t ，进而得到t 的范围，可得所求结论．本题考查三角形中的对称问题，注意运用点关于直线的对称解法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．13.【答案】−35+45i【知识点】复数的四则运算【解析】解：因为复数z =1−2i(i 为虚数单位)，所以z −z =1+2i1−2i =(1+2i)2(1−2i)(1+2i)=1−4+4i 12+22=−35+45i ，故答案为：−35+45i.直接根据复数z =1−2i ，计算z −z即可．本题考查了复数的运算法则、共轭复数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】[−2,2]【知识点】函数的奇偶性【解析】解：由题意得f(−x)=−f(x)，所以g(−x)=−xf(−x)=xf(x)=g(x)，即g(x)为偶函数，因为奇函数y=f(x)在(−∞,0]上单调递减且f(x)>0，根据奇函数对称性可知，f′(x)≥0恒成立，当x<0时，g′(x)=f(x)+xf′(x)>0，故g(x)在(−∞,0)上单调递增，根据偶函数对称性可知，g(x)在(0,+∞)上单调递减，因为对于任意x∈[1,2]，都有g(2+x)≤g(ax)，所以|2+x|≥|ax|在[1,2]上恒成立，所以−(x+2)≤ax≤2+x，所以−1−2x ≤a≤1+2x在[1,2]上恒成立，所以−2≤a≤2．故答案为：[−2,2]．先判断函数g(x)的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性即可直接求解．本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用，还考查了不等的恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想的应用．15.【答案】12【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值【解析】解：f(x)=x2−2mx+e2x−2me x+2m2=(x−m)2+(e x−m)2，则存在实数x0，使得f(x0)⩽12成立，等价于f(x0)min⩽12，则可作是点P(x0,e x0)与点Q(m,m)距离的平方的最小值小于等于12，因为P 在曲线y =e x 上，点Q 在直线y =x 上，则|PQ|的最小值与y =e x 相切且与y =x 平行的直线与y =x 的距离， 对于y =e x ，y′=e x ，令e x =1，解得x =0，则切点为M(0,1)， 即点M(0,1)到直线y =x 的距离最小，且距离为1√2=√22,(√22)2=12，要使f(x 0)⩽12，则f(x 0)=12，此时MQ 垂直于直线y =x ， 则k MQ =m−1m =−1，解得m =12．故答案为：12．化简可得题目等价于点P(x 0,e x 0)与点Q(m,m)距离的平方的最小值小于等于12，转化为|PQ|的最小值为与y =e x 相切且与y =x 平行的直线与y =x 的距离，利用导数求出y =e x 的切线即可求出．本题考查导数的几何意义，考查切线的应用，考查直观想象和逻辑推理的核心素养，属于难题．16.【答案】√632π【知识点】球的表面积和体积、与体积有关的几何概型、几何概型 【解析】解：如图，在三角形EGF 中，由已知可得EG =GF =2，∠EGF =120°， 可得EF =2√3，设三角形EFG 的外接圆的半径为r ，由2√3sin120°=2r ，可得r =2．再设△EGF 的外心为G 1，过G 1 作底面EGF 的垂线G 1O ，且使G 1O =12PE =2． 连接OE ，则OE =2√2为三棱锥P −EFG 的外接球的半径． 则V 球=43π×(2√2)3=64√23π；V P−EGF =13×12×2×2×sin120°×4=4√33． 由测度比为体积比，可得在球C 内任取一点，则该点落在三棱锥P −EFG 内的概率为4√3364√23π=√632π．故答案为：√632π．由题意画出图形，求出三棱锥外接球的半径，再分别求出三棱锥及其外接球的体积，由测度比为体积比得答案．本题考查球内接多面体及其体积、考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)因为S n=2n+r，所以当n=1时，S1=a1=2+r．当n=2时，S2=a1+a2=4+r，故a2=2．当n=3时，S3=a1+a2+a3=8+r，故a3=4．因为{a n}是等比数列，所以a22=a1a3，化简得2+r=1，解得r=−1，此时S n=2n−1．当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1−2n−1−1=2n−1，当n=1时，a1=S1=1，a n=2n−1，所以r=−1满足题意．(2)因为a n=2n−1，所以b n=2(1+log2a n)=2n．因为a1=1，a2=2=b1，a3=4=b2，a4=8=b4，a5=16=b8，a6=32=b16，a7=64=b32，a8=128=b64，a9=256=b128，所以c1+c2+c3+⋯+c100=(b1+b2+b3+⋯+b107)−(a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8)=107×(2+214)2−2(1−27)1−2=11302．【知识点】等比数列的性质、等比数列的求和【解析】(1)S n=2n+r，推导出a1=2+r，a2=2，a3=4，由{a n}是等比数列，能求出r的值．(2)由a n=2n−1，得b n=2n.推导出c1+c2+c3+⋯+c100=(b1+b2+b3+⋯+b107)−(a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8)，由此能求出结果．本题考查等比数列的运算，涉及到等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等数学核心素养，是基础题．18.【答案】解：(1)由图象知M=2，T=2(11π12−5π12)=π，∴ω=2，∴f(x)=2sin(2x+φ)∵图象过(5π12,2)，将点(5π12,2)代入，得sin(5π6+φ)=1，∴5π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，∴φ=−π3+2kπ，k∈Z，∵|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=2sin(2x −π3).(2)f(B)=2sin(2B −π3).由b 2=ac ，a 2+c 2≥2ac ， 根据余弦定理，得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac2ac≥ac 2ac=12，当且仅当a =c 时取等号，∴cosB ≥12，∵B ∈(0,π)，∴B ∈(0,π3]，∴2B −π3∈(−π3,π3]， ∴sin(2B −π3)∈(−√32,√32]， ∴f(B)∈(−√3,√3]，【知识点】函数y =A sin(ωx +φ)的图象与性质【解析】(1)根据图象求出M ，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式．(2)用余弦定理和基本不等式求出cos B 的范围，进而求出B 的范围，再结合正弦函数的图象和性质即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键． 19.【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质知，(0.005+0.010+0.025×2+a)×10=1，解得a =0.035．平均分x −=(50×0.005+60×0.025+70×0.035+80×0.025+90×0.010)×10=71．(2)成绩在[75,85)和[85,95]的人数比例为0.0250.010=52，所以抽取的7人中，成绩在[75,85)和[85,95]的人数分别为5人和2人， 设“3人中至少有1人成绩在[85,95]“为事件A ， 则P(A)=C 21C 52+C 22C 51C 73=57，所以这3人中至少有1人成绩在[85,95]内的概率为57． (3)由题意知，μ=71，σ=11，所以P(μ−σ<ξ≤μ+σ)=P(60<ξ≤82)≈0.6827， 所以P(ξ<60)=0.5−0.68272=0.15865，所以P(ξ≥60)=1−P(ξ<60)=0.84135，故该校本次竞赛的及格率(60分及以上为及格)为0.84135．【知识点】正态曲线及其性质、频率分布直方图【解析】(1)由频率和为1，可得a的值；根据平均数的计算方法可得x−的值；(2)由分层抽样法可知，抽取的7人中，成绩在[75,85)和[85,95]的人数分别为5人和2人，再结合组合数与古典概型，即可得解；(3)由题意知，μ=71，σ=11，再根据正态分布的性质，求得P(60<ξ≤82)的值，进而得P(ξ≥60)的值，即可．本题考查频率分布直方图的性质，组合数与概率，以及正态分布的性质与应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)该几何体是直棱柱，故平面AA′C′C⊥平面ABC，而平面AA′C′C∩平面ABC=AC，AB⊥AC，故AB⊥平面AA′C′C，因为过AB的截面与平面AA′C′C的交线都与AB垂直，又平面ABC//平面A′B′C′，平面ABC∩平面ABEF=EF，所以AB//EF，所以截面ABEF为直角梯形，且截面与底面ABC的平面角为∠FAC，则∠FAC=θ,π4<θ<π2，过F作FD⊥AC于点D，则FD=AA′=a,AF=asinθ,A′F=atanθ，所以梯形ABEE面积S=12(EF+AB)⋅AF=12(C′F+AB)⋅AF=12(a−A′F+AB)⋅AF=12(2a−atanθ)⋅asinθ=a2(2sinθ−cosθ)2sin2θ，所以S(θ)=a2(2sinθ−cosθ)2sin2θ,π4<θ<π2．(2)以A为坐标原点，直线AC、AB、AA′分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，则A(0,0，0)，A′(0,0，a)，B′(0,a，a)，C′(a,0，a)，而E和F分别为B′C′和A′C′的中点，故E(a 2,a 2,a),F(a 2,0,a),AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,a)， 设AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1),Q(x,y,z)， 则(x,y,z)=λ⋅(a2,0,a)，则Q(λa2,0,λa)，所以QE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2−λa 2,a 2,a −λa)．设EQ 与AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α， 则cosα=|cos〈AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,QE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|QE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|32a 2−λa 2|√2a 2⋅√(a2)(1−λ)+(a 2)+(1−λ)a ，=32−λ√2⋅√14(1−λ)2+14+(1−λ)2=32−λ√2⋅√54λ2−52λ+32，设32−λ=t ，则t ∈[12,32]，则cos 2α=t 252t 2−52t+98=198(1t−109)2+109≤910，当且仅当t =910时，即λ=35时，cosα取得最大值，为3√1010．因为余弦函数y =cosx 在(0,π2)上单调递减，所以当λ=35时直线EQ 与AB′的夹角最小，此时，QE ⃗⃗⃗⃗⃗=(a 5,a 2,2a5)， 所以|QE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(a 5)2+(a 2)2+(2a5)2=3√5a10， 所以纤维导管EQ 的长为3√5a10．【知识点】函数模型的应用【解析】(1)利用直棱柱的结果特征确定截面的形状，然后利用相关量的位置关系和数量关系求解S(θ)的解析式即可；(2)建立适当的空间直角坐标系，得到相关的坐标，设AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，根据向量的夹角公式并利用换元法求得满足题目要求时点Q 的坐标，进而求出BQ 的长． 本题考查空间向量的应用，考查直线与平面所成角，考查三角函数性质，考查数学建模和数学运算的核心素养，属于难题．21.【答案】解：(1)由题意可得A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =ax 2y =kx +4，得ax 2−kx −4=0， 所以{k 2+16a >0x 1x 2=−4a ，因为OA ⊥OB ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， 即x 1x 2+a 2x 12x 22=0，所以−4a +16=0，解得a =14，所以抛物线C 的方程为x 2=4y ．(2)由题意知，若直线BM 的斜率不存在，则该直线与抛物线C 有且只有一个公共点，不合题意，所以直线BM 的斜率存在，设直线BM 的方程为y =tx +m ，点M(x 3,y 3)， 由{x 2=4y y =tx +m，得x 2−4tx −4m =0， 所以{16t 2+16m >0x 2+x 3=4t x 2x 3=−4m，由(1)知x 1x 2=−16，所以x 1x 3=x 1x 2x 2x 3=−16−4m =4m ①， 由题意知A ，M ，N 三点共线，且A 为线段MN 的中点，设N(0,n)，则x 1=x 3+02，即x 1x 3=12②， 由①②得m =8，所以{16t 2+16×8>0x 2+x 3=4t x 2x 3=−32，所以|BM|=√1+t 2|x 2−x 3|=√1+t 2√(x 2+x 3)2−4x 2x 3=√1+t 2√(4t)2−4×(−32)=4√(1+t 2)(8+t 2)=4√t 4+9t 2+8≥8√2(t 2≥0)，当且仅当t =0时，等号成立，所以|BM|的最小值为8√2．【知识点】抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系【解析】(1)联立直线l 与抛物线C 的方程，结合韦达定理，由已知条件可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出a 的值，即可得出抛物线C 的标准方程．(2)设直线BM 的方程为y =tx +m ，点M(x 3,y 3)，将直线BM 的方程与抛物线C 的方程联立，结合韦达定理，由已知条件可得x 1x 3=12，代入韦达定理求出m 的值，再利用弦长公式可求得|BM|的最小值．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)连结OH 交AB 于K ，作OL ⊥AB 于L ，∵∠AOH =π4，∴∠OKB =∠AOH +∠OAB =π4+θ， ∴∠CKH =∠OKB =π4+θ， ∴HK =CH sin(π4+θ)=2sin(π4+θ)． ∵OH =4√2，∴OK =4√2−2sin(π4+θ)， ∴OL =OKsin(π4+θ)=4√2sin(π4+θ)−2， ∴OA =OL sinθ=4√2sin(π4+θ)sinθ−2sinθ=4+4cosθsinθ−2sinθ， OB =OL sin(π2−θ)=4√2sin(π4+θ)cosθ−2cosθ=4sinθcosθ+4−2cosθ， ∴S =12OA ⋅OB =12⋅(4+4cosθsinθ−2sinθ)⋅(4sinθcosθ+4−2cosθ)，=2(2+2cosθsinθ−1sinθ)(2sinθcosθ+2−1cosθ) =2(4sinθcosθ+4cosθsinθ+4−2sinθ−2cosθ+1sinθcosθ) =2(4−2sinθ−2cosθ+5sinθcosθ) =8−4sinθ−4cosθ+10sinθcosθ,θ∈(0,π2)．(2)令t =sinθ+cosθ∈(1,√2],则sinθcosθ=t 2−12， S =8+10−4(sinθ+cosθ)sinθcosθ=8+10−4tt 2−12=8+45−2tt 2−1， 令r =5−2t ∈[5−2√2,3),则S=8+4r(5−r2)2−1=8+161r+21r−10，∵r+21r−10在[5−2√2,3)单调递减，∴r=5−2√2时，(r+21r −10)max=20+8√217，S min=28−8√2，此时θ=π4．答：当θ=π4时，△AOB面积S为最小，政府投资最低．【知识点】函数模型的应用【解析】(1)求出HK，再求出OK，再求出OL，进而求出OA，OB，再求△AOB的面积为S；(2)令t=sinθ+cosθ∈(1,√2]，则sinθcosθ=t2−12，把问题转化为分式函数最值问题求解即可．本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题．。

2021届重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）9月月考数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，则A ∩（∁U B ）等于（ ）A ．{2}B ．{2，3，5}C ．{1，4，6}D ．{5}2．f （）=，则f （2）=（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ．3．函数f （x ）=的定义域为（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B ．（﹣2，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D ．（1，2） 4．已知log a ＞log b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．ln （a ﹣b ）＞0B ．C ．3a ﹣b ＜1D ．log a 2＜log b 2 5．已知f （x ）=a x 过（1，3），则以下函数图象正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知实数x ，y 满足，2x +4y =1，则x+2y 的最大值是（ ）A ．﹣2B ．4C ．D ．﹣17．已知命题p ：“已知f （x ）为定义在R 上的偶函数，则f （x+1）的图象关于直线x=﹣1对称”，命题q ：“若﹣1≤a ≤1，则方程ax 2+2x+a=0有实数解”，则（ ）A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 假q 真D ．p 真q 假8．若x ，y 满足且z=2x+y 的最大值为4，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若函数f （x ）=ln （1﹣x ）﹣ln （1+x ）+a 在x ∈[﹣，]的最大值为M ，最小值为N ，且M+N=1，则a 的值是（ ）A ．1B ．C ．﹣1D ．10．已知函数f （x ）=，若f （﹣a ）+f （a ）≤2f （1），则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1]∪[1，+∞）B ．[﹣1，0]C ．[0，1]D ．[﹣1，1]11．已知函数f （x ）=，若方程f （x ）+2x ﹣8=0恰有两个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．[﹣4，2]C ．D ． 12．己知集合A=[0，1），B=[1，+∞），函数f （x ）=，若对任意x 0∈A ，都有f （f （x 0））∈B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2）B ．[﹣1，+∞）C ．[0，+∞）D ．（﹣2，1]二、填空题：本题4小题，每小题5分．13．log 26﹣log 23﹣3+（）= ． 14．函数f （x ）=lg （x 2﹣2x ﹣3）的递增区间是 ．15．已知f （x ）是定义在实数集上的函数，当x ∈（0，1]时，f （x ）=2x ，且对任意x 都有f （x+1）=，则f （log 25）= ．16．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x+2）=f （x ），若f （x ）满足：①x ∈[0，2）时，f （x ）=a ﹣|x ﹣b|，②f （x ）是定义在R 上的周期函数，③存在m 使得f （x+m ）=﹣f （m ﹣x ）则a+b 的值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．函数f （x ）=+a 关于（1，0）对称． （1）求a 得值；（2）解不等式f （x ）＜．18．二次函数f （x ）开口向上，且满足f （x+1）=f （3﹣x ）恒成立．已知它的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形．（1）求f （x ）的解析式；（2）讨论f （x ）在[t ，t+3]的最小值．19．四棱锥P ﹣ABCD 中，PC=AB=1，BC=a ，∠ABC=60°，底面ABCD 为平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别为AD ，PC 的中点．（1）求证：MN ∥平面PAB ；（2）若∠PAB=90°，求二面角B ﹣AP ﹣D 的正弦值．20．已知抛物线E：y2=4x焦点为F，准线为l，P为l上任意点．过P作E的两条切线，切点分别为Q，R．（1）若P在x轴上，求|QR|；（2）求证：以PQ为直径的圆恒过定点．21．已知函数f（x）=x2﹣ax•lnx+ax恰有两个零点x1，x2．（1）求a的范围；（2）求证：x1x2＞e4．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l将于点A、B，若点M的坐标为（1，4），求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等f（x）+f（x+1）≥5；（2）若|a|＞1且f（ab）＞|a|•f（），证明：|b|＞2．2021届重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）9月月考数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分．B）等于（）1．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，则A∩（∁UA．{2} B．{2，3，5} C．{1，4，6} D．{5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，故CB={1，2，4，6}，由此能求出UB）．A∩（∁U【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，B={1，2，4，6}，∴CUB）={2}．∴A∩（∁U故选A．2．f（）=，则f（2）=（）A．3 B．1 C．2 D．【考点】函数的值．【分析】由f（2）=f（），能求出结果．【解答】解：∵f（）=，∴f（2）=f（）==3．故选：A．3．函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣2，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（1，2）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据导数的性质，二次根式的性质得不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：1＜x＜2，故选：D．4．已知log a ＞log b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．ln （a ﹣b ）＞0B ．C ．3a ﹣b ＜1D ．log a 2＜log b 2 【考点】对数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式．【分析】直接利用对数函数的单调性判断即可．【解答】解：log a ＞log b ，可得0＜a ＜b ．所以a ﹣b ＜0，∴3a ﹣b ＜1．故选：C ．5．已知f （x ）=a x 过（1，3），则以下函数图象正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据幂函数的性质即可求出．【解答】解：f （x ）=a x 过（1，3），∴3=a ，∴f （x ）=3x ，该函数为增函数，且过点（1，1），故选：B6．已知实数x ，y 满足，2x +4y =1，则x+2y 的最大值是（ ）A ．﹣2B ．4C ．D ．﹣1【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的应用条件直接应用即可．【解答】解：1=2x +4y =2x +22x ≥2，则x+2y ≤﹣2，故选A ．7．已知命题p ：“已知f （x ）为定义在R 上的偶函数，则f （x+1）的图象关于直线x=﹣1对称”，命题q ：“若﹣1≤a ≤1，则方程ax 2+2x+a=0有实数解”，则（ ）A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 假q 真D ．p 真q 假【考点】命题的真假判断与应用．【分析】复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．【解答】解：f（x）为定义在R上的偶函数，对称轴为：x=0，则f（x+1）的图象看作y=f（x）的图象向左平移1个单位得到的，函数的图象关于直线x=﹣1对称，命题q为真．命题q：﹣1≤a≤1，则方程ax2+2x+a=0，可得△=4﹣4a2≥0，方程有实数解，所以命题q是真命题，所以p且q为真．故选A．8．若x，y满足且z=2x+y的最大值为4，则k的值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出求出直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），即可求解k值．【解答】解：先作出不等式组对应的平面区域，直线kx﹣y+3=0过定点（0，3），∵z=2x+y的最大值为4，∴作出直线2x+y=4，由图象知直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），同时B也在直线kx﹣y+3=0上，代入直线得2k+3=0，即k=，故选：A．9．若函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+a在x∈[﹣，]的最大值为M，最小值为N，且M+N=1，则a 的值是（）A．1 B．C．﹣1 D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由求出f′（x）=，且x∈[﹣]时，f（x）是减函数，从而M=f（﹣），N=f（），由此能求出a的值．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+a，，∴f′（x）=，﹣1＜x＜1．当x∈[﹣]时，f′（x）＜0，∴x∈[﹣]时，f（x）是减函数，∵在x∈[﹣，]的最大值为M，最小值为N，∴M=f（﹣）=ln（1+）﹣ln（1﹣）+a=ln﹣ln+a=ln3+a，N=f（）=ln（1﹣）﹣ln（1+）+a=ln﹣ln=﹣ln3+a，∵M+N=1，∴M+N=ln3+a﹣ln3+a=2a=1，解得a=．∴a的值是．故选：B．10．已知函数f（x）=，若f（﹣a）+f（a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪[1，+∞） B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，1]【考点】分段函数的应用．【分析】先判断函数为偶函数，再判断在（0，+∞）上为增函数，即可求出a的范围．【解答】解：∵f（x）=，∴f（x）为偶函数，∵f（﹣a）+f（a）≤2f（1），∴2f（a）≤2f（1），∴f（a）≤f（1），∵当x≥0时，函数f（x）为增函数，∴|a|≤1，∴﹣1≤a≤1，故选：D11．已知函数f （x ）=，若方程f （x ）+2x ﹣8=0恰有两个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．[﹣4，2]C ．D ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f （x ）的图象与函数y=﹣2x+8共有两个交点，可能为：两个交点均为y=﹣2x+8与二次函数y=x 2的交点，也可能为：两个交点为y=﹣2x+8与y=2x+3的交点，另一个是y=﹣2x+8与二次函数y=x 2的交点，进而得到答案．【解答】解：y=x 2与y=﹣2x+8共有两个交点（﹣4，16），（2，4），y=2x+3与y=﹣2x+8有一个交点（，），若方程f （x ）+2x ﹣8=0恰有两个不同实根，则函数f （x ）的图象与函数y=﹣2x+8共有两个交点，若两个交点均为y=﹣2x+8与二次函数y=x 2的交点，则a ≥2，若两个交点为y=﹣2x+8与y=2x+3的交点，另一个是y=﹣2x+8与二次函数y=x 2的交点，则﹣4≤a ≤， 综相所述，a ∈， 故选：A ．12．己知集合A=[0，1），B=[1，+∞），函数f （x ）=，若对任意x 0∈A ，都有f （f （x 0））∈B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2）B ．[﹣1，+∞）C ．[0，+∞）D ．（﹣2，1]【考点】分段函数的应用．【分析】求得函数y=2x ﹣x 2，x ∈[0，1）的导数和单调性，可得最大值及值域，再由二次函数的值域求法，注意对称轴和区间的关系，求得有f （f （x 0））的值域，再由集合的包含关系，解不等式可得a 的范围．【解答】解：当x 0∈A ，即x 0∈[0，1），f （x 0）=2x0﹣x 02，由函数y=2x ﹣x 2，x ∈[0，1），导数y ′=2x ln2﹣2x ，即有y ″=2x ln 22﹣2，由0＜x ＜1，可得y ″＜0，即函数y ′=2x ln2﹣2x 在（0，1）递减，且x=0时，20ln2=ln2＞0；x=1时，2ln2﹣2＜0，由零点存在定理可得，y ′=2x ln2﹣2x 只有一个零点，设为m ∈（0，1）．则函数y=2x ﹣x 2在x ∈[0，m ）递增，在（m ，1）递减．又x=m 取得最大值t ，又x=0时，y=1；x=1时，y=1．则函数y=2x ﹣x 2的值域为[1，t]．当x ≥1时，f （x ）=2x 2﹣x+a=2（x ﹣）2+a ﹣，由f （x 0）的值域为[1，t]，可得f[f （x 0）]的值域为[1+a ，2t 2﹣t+a]．再由f（f（x））∈B，可得1+a≥1，解得a≥0．故选：C．二、填空题：本题4小题，每小题5分．13．log26﹣log23﹣3+（）= ．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数函数的性质、运算法则求解．【解答】解：log26﹣log23﹣3+（）=﹣=1﹣=．故答案为：．14．函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的递增区间是（3，+∞）．【考点】复合函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，确定内、外函数的单调性，即可求得结论．【解答】解：令t=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则函数在（1，+∞）上单调递增当x2﹣2x﹣3＞0时，可得x＞3或x＜﹣1∵f（t）=lgt在（0，+∞）上单调增∴函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的递增区间是（3，+∞）故答案为：（3，+∞）15．已知f（x）是定义在实数集上的函数，当x∈（0，1]时，f（x）=2x，且对任意x都有f（x+1）=，则f（log25）= ．【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】根据当x∈（0，1]时，f（x）=2x，先求f（log25﹣2）的值，进而根据f（x+1）=迭代可得答案．【解答】解：∵log25∈（2，3），∴log25﹣2∈（0，1），又∵当x∈（0，1]时，f（x）=2x，∴f（log25﹣2）=，又∵对任意x都有f（x+1）=，5﹣1）===﹣∴f（log25﹣2）===，f（log2故答案为：．16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x+2）=f（x），若f（x）满足：①x∈[0，2）时，f（x）=a﹣|x﹣b|，②f（x）是定义在R上的周期函数，③存在m使得f（x+m）=﹣f（m﹣x）则a+b的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系，判断函数的对称性，利用对称性建立方程进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x+2）=f（x），∴当x≥0时，f（x+2）=f（x）=f（﹣x），即此时函数关于x=1∵x∈[0，2）时，f（x）=a﹣|x﹣b|，∴对称轴x=b，则b=1，则f（x）=a﹣|x﹣1|，若存在m使得f（x+m）=﹣f（m﹣x），则f（x+m）=﹣f（m﹣x）=﹣f（x﹣m），即f（x+2m）=﹣f（x），则f（x+4m）=﹣f（x+2m）=f（x），∵f（x+2）=f（x），∴函数的周期是2，则4m=2，则m=，则f（x+）=﹣f（﹣x），则f（0）=﹣f（1），则a﹣1=﹣（a﹣0）=﹣a，则a=，则a+b=+1=，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．函数f（x）=+a关于（1，0）对称．（1）求a得值；（2）解不等式f（x）＜．【考点】其他不等式的解法；函数的图象．【分析】（1）利用函数f（x）=+a关于（1，0）对称，得到f（0）+f（2）=0，解得a．（2）将解析式代入，解分式型不等式．【解答】解：（1）因为函数f（x）=+a关于（1，0）对称，所以f（0）+f（2）=0，解得a=；（2）不等式f（x）＜为，化简得，即，所以2x＞3或2x＜2，解3或x＜1．得x＞log218．二次函数f（x）开口向上，且满足f（x+1）=f（3﹣x）恒成立．已知它的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形．（1）求f（x）的解析式；（2）讨论f（x）在[t，t+3]的最小值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）f（x）的对称轴为x=2，从而得出f（x）的零点和顶点坐标，利用待定系数法求出解析式；（2）讨论对称轴和区间[t，t+3]的位置关系，得出f（x）的单调性，根据单调性计算最小值．【解答】解：（1）∵f（x+1）=f（3﹣x），∴f（x）的对称轴为x==2，∵f（x）的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形，且f（x）开口向上，∴f（x）的两个零点为1，3，顶点坐标为（2，﹣），设f（x）=a（x﹣1）（x﹣3），则f（2）=﹣，即﹣a=﹣，∴a=．∴f（x）=（x﹣1）（x﹣3）．（2）若2≤t，则f（x）在[t，t+3]上是增函数，（x）=f（t）=（t﹣1）（t﹣3），∴fmin若t＜2＜t+3，即﹣1＜t＜2时，f（x）在[t，t+3]上先减后增，∴f（x）=f（2）=﹣，min若2≥t+3，即t≤﹣1时，f（x）在[t，t+3]上是减函数，（x）=f（t+3）=t（t+2）．∴fmin（x）=．综上，fmin19．四棱锥P﹣ABCD中，PC=AB=1，BC=a，∠ABC=60°，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD，点M，N 分别为AD，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若∠PAB=90°，求二面角B﹣AP﹣D的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PB为中点Q，连结NQ，QA，推导出四边形AMNQ为平行四边形，从而MN∥AQ，由此能证明MN∥平面PAB．（2）以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B ﹣AP﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）取PB为中点Q，连结NQ，QA，∵点M，N分别为AD，PC的中点，∴QN是中位线，∴QN∥BC，又∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∥QN，∵M是AD中点，∴QN=BC=AD=AM，∴四边形AMNQ为平行四边形，∴MN∥AQ，又MN⊄平面PAB，AQ⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB．解：（2）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AB，又∵PA⊥AB，∴AB⊥面PAC，AB⊥AC，∴a=2，CD⊥AC，以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，，0），B（﹣1，，0），P（0，0，1），=（0，﹣，1），=（﹣1，0，0），=（1，﹣，0），设面ABP的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，），设面APD的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（），∴cos＜＞==，∴二面角B﹣AP﹣D的正弦值为=．20．已知抛物线E：y2=4x焦点为F，准线为l，P为l上任意点．过P作E的两条切线，切点分别为Q，R．（1）若P在x轴上，求|QR|；（2）求证：以PQ为直径的圆恒过定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由P（﹣1，0），设直线PQ方程，代入抛物线方程，由△=0，求得直线的斜率，代入方程求得切点分别为Q，R坐标，即可求得求|QR|；（2）由对称性可知：该点必在x轴上，设M（m，0），设Q（，y0），P（﹣1，t），则切线为yy=2x+，求得t=y﹣，根据•=0，即可求得m的值．【解答】解：（1）由已知可知：抛物线y2=4x焦点为F（1，0），∴P（﹣1，0），设PQ：y=k（x+1），∴，整理得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，①由△=0，即（2k2﹣4）2﹣4•k2•k2=0，解得：k=±1，代入①求得x=1，y=±2，∴切点分别为Q和R坐标为（1，±2），∴|QR|=4；（2）证明：由对称性可知：该点必在x 轴上，设M （m ，0），设Q （，y 0），P （﹣1，t ），则切线为yy 0=2x+，∴t=y 0﹣，由题意可知： •=0，即（m ﹣）（m+1）+y 0•（y 0﹣）=0，整理得：（m 2+m ﹣2）+（1﹣m ）=0∴m=1，∴恒过点M （1，0）．21．已知函数f （x ）=x 2﹣ax •lnx+ax 恰有两个零点x 1，x 2．（1）求a 的范围；（2）求证：x 1x 2＞e 4．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）要使得f （x ）=x （x ﹣alnx+a ）有两个零点，即g （x ）=x ﹣alnx+a 有两个零点，即求g （x ）的最小值要小于0即可．（2）要求证x 1x 2＞e 4 即求证lnx 1x 2＞4；令，lnx 1x 2=+2=；所以，原不等式即证：【解答】解：（1）f （x ）=x （x ﹣alnx+a ），函数的定义域为（0，+∞）设g （x ）=x ﹣alnx+a ，所以g （x ）有两个零点，g'（x ）=，a ≤0时，g （x ）单调递增，显然不成立；a ＞0时，令g'（x ）=0，则导函数零点为x=a ；所以f （x ）在（0，a ）上单调递减，（a ，+∞）上单调递增， 故g （x ）最小值为g （a ）=a ﹣alna+a ，要使得g （x ）有两个零点，则g （a ）＜0，解得：e 2＜a所以a 的取值范围为：（e 2，+∞）证明：（2）因为①； x 2﹣alnx 2+a=0 ②；①+②：； ①﹣②：；令，lnx1x2=+2=所以，原不等式即证：即证：设h（t）=lnt﹣2，有h'（t）=所以h（t）单调递增，所以h（t）＞h（1）=0，所以不等式得证．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l将于点A、B，若点M的坐标为（1，4），求|MA|+|MB|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，能求出圆C的直角坐标方程．（2）将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程，化简整理，再由韦达定理和t的几何意义能求出|MA|+|MB|的值．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=4sinθ，∴ρ2=4ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0．即x2+（y﹣2）2=4．（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，整理，得t2﹣3t+1=0，△=18﹣4=14＞0，设t1，t2为方程的两个实根，则t1+t2=3，t1t2=1，∴t1，t2均为正数，又直线l过M（1，4），由t的几何意义得：|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等f（x）+f（x+1）≥5；（2）若|a|＞1且f（ab）＞|a|•f（），证明：|b|＞2．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，解不等式即可；（2）求出f（ab）和f（），代入不等式，问题转化为|ab﹣2|＞|b﹣2a|，平方证明即可．【解答】（1）解：原不等式等价于|x﹣2|+|x﹣1|≥5，当x＞2时，不等式可化为：（x﹣2）+（x﹣1）≥5，解得：x≥4，当1≤x≤2时，不等式可化为（2﹣x）+（x﹣1）≥5，1≥5，无解，x＜1时，不等式可化为：（2﹣x）+（1﹣x）≥5，解得：x≤﹣1，综上，不等式的解集是{x|x≥4或x≤﹣1}；（2）证明：⇔|ab﹣2|＞|a||﹣2|⇔|ab﹣2|＞|b﹣2a|⇔（ab﹣2）2＞（b﹣2a）2⇔a2b2+4﹣b2﹣4a2＞0⇔（a2﹣1）（b2﹣4）＞0，∵|a|＞1，∴a2﹣1＞0，∴b2﹣4＞0，∴|b|＞2，证毕．。