不等关系与不等式的性质

3、1不等关系与不等式学习过程知识点1、不等式的定义用不等号（<，>，≤，≥，≠）表示不等关系的式子叫不等式。

如：()()f x g x >，()()f xg x ≤等等，用“<”或“>”号连结的不等式叫做严格不等式；用“≤”或“≥”号连结的不等式，叫做非严格不等式。

知识点2、不等式的分类（1）按成立的条件分：如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能成立，这样的不等式叫绝对不等式。

如：a a >+12、45+>+x x 、1)1(2->+x 等均为绝对不等式。

如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能成立，这样的不等式叫条件不等式。

如：x x >-12、12+<x x 等均为条件不等式。

如果用无论什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式。

如1|1||1|<++-x x 、22-<a 等均为矛盾不等式。

绝对不等式、条件不等式与矛盾不等式相互之间没有包容性，即三者中任意二个都不能同时成立。

（2）按不等号开口方向分：在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式。

如：132+>+a a 与1332+>-a a 是同向不等式。

如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式。

如423+>+a a 与425322+<-a a 是异向不等式。

知识点3、不等式的性质与推论 ①对称性：a b b a <⇔>； ②传递性：b a >，c a c b >⇒>；③加法性质：c b c a b a +>+⇒>；（这是不等式移项法则的基础）推论：b a >，d b c a d c +>+⇒>；（这是同向不等式相加法则的依据，它还可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向） ④乘法性质：b a >，bc ac c >⇒>0；b a >，bc ac c <⇒<0； 推论1：0>>b a ，bd ac d c >⇒>>0推论2：0>>b a ，N n ∈，nn b a n >⇒>1；⑤开方性质：0>>b a ，N n ∈，n nb a n >⇒>1。

不等式关系与不等式一.基础知识1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础 不等式的基本性质有： （1）对称性：a>b ⇔b<a ；（2）传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； （3）可加性：a>b ⇒a+c>b+c ；（4）可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。

不等式运算性质：（1）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； （2）异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒.（3）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。

（4）乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （5）开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （6）倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a1<。

2、基本不等式（或均值不等式）利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ），该不等式可推广为a 2+b 2≥2|ab|；或变形为|ab|≤2b a 22+；当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤22b a ⎪⎭⎫⎝⎛+.3、不等式的证明（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； （3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）即:（1）和、积中的每一个数都必须是正数；（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；简记为：和定积最_____，积定和最______. （3）只有等号能够成立时，才有最值。

5月17日（一）不等式1.不等式的定义和不等好的分类2.3.铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm，设行李的长、宽、高分别为acm，bcm，ccm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式。

4.通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面 1.5m 的地方作为测量部位. 某树栽种时的树围为6cm, 以后树围每年增加约3cm。

设经过x 年后这棵树的树围才能超过30 cm，请列出x满足的关系式。

5.用适当的不等号表示下列关系：（1）a是正数；（2）x 的2倍与3的和小于4；（3）x 的一半与6的和大于x的4倍；（4）x 的3倍不大于x 与3的差.6.小结：列不等式时先抓住关键词，再选准不等号。

7.练习：用恰当的不等号表示下列关系:（1） a 是非负数；（2）直角三角形的一条直角边 a 比斜边 c 短；（3）x 与17 的和比它的 5 倍小；（4）两数的平方和不小于这两数积的 2 倍.（5）x 的 3 倍与8 的和比x 的 5 倍大；（6）x2是非负数；（二）不等式的性质1.如果5>3，那么5+2 3+2 5-2 3-2如果-1<3，那么-1+2 -1+2 -1-2 -1-2类比等式的基本性质1你能说出不等式的这个性质吗？不等式的基本性质1：不等式两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 符号语言：如果a>b, 那么a+c>b+c, a-c>b-c如果a<b, 那么a+c<b+c, a-c<b-c2.填空你能用自己的语言说一说不等式的这个性质吗？（看课本139页）3.判断正误，并口述理由4.已知a＜b，用“＜”或“＞”填空：5.将下列不等式化成“x＞a” 或“x＜a” 的形式：6.将下列不等式化成“x＞a” 或“x＜a” 的形式：。

不等关系与不等式一、学习指导不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用， 要弄清条件和结论，考试中多以小题出现，题目难度不大，学 习时，应抓好基本概念，少做偏难题．二、基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数 学符号 连接两个数或代数式以表示它们 之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ；a －b ＜0⇔ . 另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b ＜1⇔a ＜b .3．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔ ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．三、典型题型题型一 比较大小【例1】已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与 ab ＋bc ＋ca 的大小．解：∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )．A.a b ＞1B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b题型二 不等式的性质【例2】 若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b c ＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立 的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4方法总结：在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的 命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应 用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如 对数函数，指数函数的性质等．题型三 不等式性质的应用【例3】已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. 求f (－2)的取值范围．[审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式f (－2)与已知式f (－1)， f (1)之间的关系，即用f (－1)，f (1)整体表示f (－2)，再利用 不等式的性质求f (－2)的范围．解：f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.题型四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a ＞0. 证明：∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b .∴a －c ＞a －b ＞0，∴1a －b ＞1a －c ＞0. ∴1a －b ＋1c －a ＞0.又b －c ＞0，∴1b －c＞0. 1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.四 、小结。

关于不等式的基本性质的高考数学知识点总结不等式是数学中非常重要的概念之一，它在数学的各个领域和实际问题中有着广泛的应用。

在高考数学中，不等式也是一个考查频率较高的知识点。

下面是对不等式的基本性质的总结：1.不等关系性质不等关系具有自反性、对称性、传递性。

即对任意实数a，b，有：自反性：a≥a，a≤a对称性：如果a≥b，则b≤a；如果a≤b，则b≥a传递性：如果a≥b，b≥c，则a≥c；如果a≤b，b≤c，则a≤c2.加减性质对于不等式a<b和任意实数c，有：a+c<b+ca-c<b-c3.乘除性质(1)正数乘除：对于不等式a<b，如果c是正数，则有：正数乘性：ac < bc正数除性：如果c是正数且c≠0，则有：a/c<b/c(2)负数乘除：对于不等式a<b，如果c是负数，则有：负数乘性：ac > bc负数除性：如果c是负数且c≠0，则有：a/c>b/c(3)双边不等式乘除：对于不等式a<b和任意非零实数c，有：a/c<b/c（当c>0时）a/c>b/c（当c<0时）4.基本不等式基本不等式是指在特定条件下，可以将不等式简化为更为简单形式的不等式。

(1)三角形不等式：对于三角形的三边长a，b，c，有：a+b>ca+c>bb+c>a(2) 平均值不等式：对于任意n个非负实数a1，a2，...，an，有：平均值不等式：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)5.同向不等式同向不等式的性质和解法与等式类似。

对于同向不等式，如果对不等号两边同时乘除以同一个正数，或者对不等号两边同时乘除以同一个负数，则不等号方向不变。

例如，对于不等式2x+1<3x-2，可以同时减去2x，得到1<-2x-2，再同时减去1，得到0<-2x-3，再同时乘以(-1/2)，得到0>(2x+3)/2，最后反转不等号得到(2x+3)/2<0。

初中数学不等式知识点一、不等式的定义与性质1.不等关系：对于任意两个实数a和b，只有以下三种情况之一成立：a>b，a=b，a<b。

2.不等式：由不等关系得到的表达式称为不等式。

3.不等式的解：使得不等式成立的数字的范围。

4.不等式的性质：a)若a>b且b>c，则a>c。

b)若a>b，则a+c>b+c。

c) 若a>b且c>0，则ac>bc。

d) 若a>b且c<0，则ac<bc。

二、一元一次不等式1.解一元一次不等式的方法：a)变形法：根据不等式性质对不等式进行变形，以求得解的范围。

b)试值法：取不等式两边的中心值，带入不等式进行判断。

c)图解法：将不等式转化为数轴上的表示，并用图形确定解的范围。

2.一元一次不等式的特殊情况：a)严格不等式：不等号中的大于或小于号是有实际意义的，例如x>3b)非严格不等式：不等号中的大于等于或小于等于号是有实际意义的，例如x≥33.一元一次不等式的解集表示方法：a)区间表示法：解集用区间表示，如(3,+∞)表示大于3的所有实数。

b)不等式表示法：通过不等式的形式表示解集，如x>3三、一元二次不等式1.解一元二次不等式的方法：a)求解开头为正负的二次不等式：将二次不等式化为二次方程，再通过求解二次方程得到解的范围。

b)求解开头为非负的二次不等式：直接观察二次不等式的开头，确定解的范围。

2.一元二次不等式的特殊情况：a)严格不等式：不等号中的大于或小于号是有实际意义的，例如x^2>4b)非严格不等式：不等号中的大于等于或小于等于号是有实际意义的，例如x^2≥43.一元二次不等式的解集表示方法：a)区间表示法：解集用区间表示，如(-∞,-2)∪(2,+∞)表示不在(-2,2)范围内的所有实数。

b)不等式表示法：通过不等式的形式表示解集，如x<-2或x>2四、两个不等式的关系1. 不等式的加减乘除运算：若a>b且c>0，则有a+c>b+c、ac>bc （或ac<bc）、a/c>b/c（或a/c<b/c）。

2023-11-06CATALOGUE 目录•不等关系•不等式•不等式的解法•不等式在实际问题中的应用•不等式的扩展知识01不等关系不等关系是数学中的一个基本概念，它描述了两个数或量之间的大小关系。

在日常生活中，不等关系也广泛存在，例如人的身高、体重、年龄等都可以用不等式来表示。

引言如果对于任意两个实数a和b，可以用一个大于号（>）或者小于号（<）来表示它们之间的关系，那么就说a与b之间存在不等关系。

特别地，当a=b时，称a与b相等；当a>b时，称a大于b；当a<b时，称a小于b。

如果a>b且b>c，那么a>c。

不等关系的传递性如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。

不等关系的逆向性如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。

不等关系的可加性如果a>b且c>d，那么ac>bd（当c>0时）；如果a>b且c<d，那么ac<bd（当c<0时）。

不等关系的可乘性02不等式用不等号(“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”)连接两个数的式子，称为不等式。

不等式的定义严格不等式非严格不等式用严格不等号“≠”连接两个数的式子，称为严格不等式。

用“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数的式子，称为非严格不等式。

03不等式的定义0201极值定理对称性如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。

加法单调性也就是不等式方向不变。

乘法单调性积大于每一个因数。

任何数都有大于、小于、等于它自身的关系，这是自然界的普遍规律。

反身性传递性如果a>b，b>c，那么a>c。

如果f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值之差为零。

不等式的性质一元不等式只含有一个未知数的不等式。

线性不等式未知数是线性组合的不等式。

1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)1a >1b ⇔a <b (ab ≠0)．( × ) (3)a >b ，c >d ⇒ac >bd .( × ) (4)若1a <1b <0，则|a |>|b |.( × )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( √ )1．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A.1a >1bB.1a －b >1aC ．|a |>－b D.－a >－b答案 B解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a成立，即1a －b >1a 不成立． 2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ； ④a >b >0⇒1a 2>1b 2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③答案 D3．若a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0 答案 D解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．4．(教材改编)下列各组代数式的关系正确的是________． ①x 2＋5x ＋6<2x 2＋5x ＋9； ②(x －3)2<(x －2)(x －4)； ③当x >1时，x 3>x 2－x ＋1； ④x 2＋y 2＋1>2(x ＋y －1)． 答案 ①③④解析 ①2x 2＋5x ＋9－(x 2＋5x ＋6)＝x 2＋3>0，即x 2＋5x ＋6<2x 2＋5x ＋9.②(x －2)(x －4)－(x －3)2＝x 2－6x ＋8－(x 2－6x ＋9)＝－1<0， 即(x －2)(x －4)<(x －3)2.③当x >1时，x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1)>0， 即x 3>x 2－x ＋1.④x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝(x 2－2x ＋1)＋(y 2－2y ＋1)＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＋1>0， 即x 2＋y 2＋1>2(x ＋y －1)．5．(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 (1)A (2)B解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m ≤nD ．m <n(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为______________________________． 答案 (1)B (2)a <b解析 (1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1)＝12>0. 则有x ∈R 时，m >n 恒成立．故选B. (2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a <b . 题型二 不等式的性质例2 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误．∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确． ∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确，故选C. 方法二 取特殊值． 题型三 不等式性质的应用例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立； ∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0，∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立． 故选A.方法二 令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.思维升华 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a －b >1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 (1)C (2)D解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C. (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b ，又c <0，所以c a >cb ，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c <b c ，知②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．8．不等式变形中扩大变量范围致误典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m 、n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4 确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10.答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[方法与技巧]1．用同向不等式求差的范围．⎩⎨⎧ a <x <b ，c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，－d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c . 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．2．倒数关系在不等式中的作用．⎩⎨⎧ ab >0，a >b⇒1a <1b ；⎩⎨⎧ab >0，a <b ⇒1a >1b . 3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商． 4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．[失误与防范]1．a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ，当c ≤0时不成立．2．a >b ⇒1a <1b 或a <b ⇒1a >1b ，当ab ≤0时不成立．3．a >b ⇒a n >b n 对于正数a 、b 才成立．4.a b >1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立．5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎨⎧ a >b b >c .6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是() A ．ad >bc B ．ac >bdC ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋d答案 D解析 由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .2．已知a ，b ，c ∈R ，则“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由ac 2>bc 2可得a >b ，因为c 2>0，而由a >b 不一定能得到ac 2>bc 2.因为c 2可能为0.3．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |答案 D解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0.∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.4．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是()A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 当a <0时，a 2<b 2不一定成立，故A 错．因为ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，b －a >0，ab 符号不确定，所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故B 错．因为1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b ，故C 正确．D 项中b a 与a b 的大小不能确定．5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是( ) A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π6) C ．(0，π)D ．(－π6，π) 答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定 答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .7．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．解 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2，t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2，∴t 甲t 乙＝(v 1＋v 2)24v 1v 2≥(2v 1v 2)24v 1v 2＝1. ∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确； 当a <0且b <0时，可知D 不正确．12．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a ，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.13．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 A解析 由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分而不必要的条件是a >b ＋1.14．已知0<a <b <1，则( )A.1b >1aB ．(12)a <(12)bC ．(lg a )2<(lg b )2D.1lg a >1lg b 答案 D解析 因为0<a <b <1，所以1b －1a ＝a －b ab<0. 可得1b <1a ，(12)a >(12)b ，(lg a )2>(lg b )2， lg a <lg b <0.由lg a <lg b <0得1lg a >1lg b， 因此只有D 项正确．15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。

第八讲不等关系、不等式的基本性质一、知识点精讲：（一）不等式的定义：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子叫不等式。

不等符号常见的有5种：“＜”、“≤”、“＞”、“≥”及“≠”。

注意：“≠”也是不等号，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能确定哪个大，哪个小。

“≤”表示“小于或等于”或“不大于”，“≥”表示“大于或等于”或“不小于”。

（二）不等式的基本性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要变向。

注意：等式性质与不等式性质的最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变（三）不等式的解集：1．不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值，叫做不等式的解．2．不等式的解集：不等式的解的集合叫做不等式的解集．它包含两个方面的意思：第一，解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；第二，解集外的任何一个数值，都不能使该不等式成立。

因此，解集要达到不多不漏的严格要求。

3．不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，在表示的时候，要注意“两定”：一是定边界点，若边界点含于解集，为实心点，不含于解集为空心点；二是定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”．不等式的解集在数轴上的表示如下：①当不等式的解集是x＞a时.(如图1－1)图1－1②不等式的解集是x≥a时.(如图1－2)图1－2③当不等式的解集是x＜a时.(如图1－3)图1－3④当不等式的解集是x≤a 时.(如图1－4)图1－44．不等式的解与解集的区别:解是一个或几个未知数的值，解集是所有的解组成的集合.。

5．求不等式解集的过程叫做解不等式。

1. 判断不等式例1．判断下列各式哪些是不等式，哪些既不是等式又不是不等式.①y x + ；②73>x ； ③523=+； ④20x ≥； ⑤132=-y x ； ⑥01<-. 变式训练1. 下列式子2220,40,340,210,34,13a x y x y x x y a b -<-<+≥+-=+-+>-中，不等式有 个.2．据题意列不等式：例2．用不等式表示下列数量关系.⑴a 的相反数与5的和小于a 与7的差； ⑵5-与x -的和一定是负数；⑶长为2+a ,宽为a 的长方形面积小于边长为1+a 的正方形的面积.变式训练1． 用不等式表示下列数量关系.(1)a 的3倍与2的差小于a 的5倍与7的和； (2)x 的绝对值与1的和不小于1；(3)b a 、两数的平方和的2倍再加上c 小于10； (4) x 与3的和的一半时负数.3． 不等式的基本性质：例3.比较下列各题中两个式子的大小.(1) 33a -与44a-； (2)b a +与b a -.变式训练：（1）. 若由y x <得到y a x a 22<，则一定有（ ）．A ．0>aB ．0<aC ．0≠aD ．a 为任意实数（2）. 设c b a ，，的平均数为M ，b a ，的平均数为N ，N 与c 的平均数为P ，若c b a >>，则M 与P 的大小关系是（ ）． A ．P M = B ．P M > C ．P M < D ．不确定例4． 运用不等式的基本性质进行化简：1．已知b a >,则75+-a 75+-b 已知4646-<-b a ,则a b ． 考点5 图像中比较大小2．如图所示，c b a ，，分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（ ）．A ．b c a >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b a c >>变式训练（1）. 如图所示，四个小朋友玩跷跷板，体重分别为S R Q P 、、、，则他们的体重大小关系是（ ）．A ．Q S R P >>>B ．R P S Q >>>C ．R Q P S >>>D ．Q R P S >>> 考点6： 不等式的解和解集（不等式中字母的取值范围）1．已知关于x 的方程4152435-=-m m x 的解是非负数，求m 的取值范围．2．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123a y x a y x 的解满足y x >，求a 的取值范围．3． 求同时满足不等式5043874756++++x x x x 和的整数解变式训练（1）．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=-+=+5854a y x a y x 的解满足不等式954<-y x ，求a的取值范围．3．关于x 不等式a bx b ax 2+>+的解集为3>x ，求关于x 的不等式b ax <7的解集．变式训练（1）．不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为31-<x ，求关于x 的不等式b a x b a ->-2)3(的解集．4．关于x 的不等式134>+a x 的解都是不等式0312<+-x 的解，求a 的取值范围．变式1．已知不等式a x x 322434-<+（x 为未知数）的解集也是不等式21621<-x 的解集，求a 的值．A (基本训练)1．x 与4的和的2倍不大于x 的二分之一与3的差，用不等式表示为（ ） （A ）3x 21)4x (2-<+ （B ）24x ⨯+≤3x 21-（C ）)4x (2+≤3x 21- （D ）)4x (2+≤)3x (21-2．若a<b ，则下列各式中不成立的是（ ） （A ）b 3a4+-<+- （B ）a 3b 3-<- （C ）33b a < （D ）b 2a 2-<-3．若有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，在下列结论错误的是（ ）（A ）0>-b a （B ）0>ab （C ）b c a c -<- （D ）ba 11>4．如果x<0，那么x |x |-是（ ）（A ）正数 （B ）负数 （C ）非正数 （D ）非负数 5．下列不是不等式8x )5x (2-<-的解的数是（ ） （A ）－4 （B ）－5 （C ）－3 （D ）2 6．如果不等式b ax <的解集为abx <，那么a 的取值范围是（ ） （A ）a≥0 （B ）a≤0 （C ）a>0 （D ）a<0 7．如图所示，x <2用数轴表示正确的是（ ）8．不等式1x 43<的非负整数解是（ ）（A ）无数个 （B ）1 （C ）0，1 （D ）1，2 二、解答下列各题 1．用不等式表示：（1）5与x 的3倍的差是正数；（2）a 与b 的平方和不大于3； （3）a 与b 的和的平方不等于a 与b 的平方和； （4）x 除以2的商加上2，至多为5。

不等关系和不等式的基本性质【知识要点】①一般地，用符号“＜”或者“≤”、“＞”或者“≥”连接的式子叫做不等式。

②正确理解“非负数”、“不小于”、“不大于”、“至少”等数学术语。

③不等式的两边都加上（或减少）同一个整数，不等式号的方向不变。

④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

【典型例题】例1 用不等式表示（1）5与x 的3倍的差为正数。

（2）a 与b 两数和的平方不能大于3。

（3）x 2是非负数。

（4）x 的一半比－5大，比3小。

（5）3x 的绝对值不小于5。

（6）a 的6倍与3的差不大于1。

例2 判断下列结果对不对，为什么？ ①若323,2x x >>则 ②若36,2x x -<<-则③若12,12a a>->-则 ④若a>b ，则a>3b例3 根椐不等式的基本性质，把下列不等式化成“x >a ”或“x <a ”的形式。

①47x +> ②514x x <+ ③415x ->- ④2542x x +<-例4 设a<b ，用“<”或“>”填空。

（1）a+6 b+6 （2）4a 4b （3）8a -8b -例5 判断下列说法是否正确。

（1）若a>b ，则22ac bc > （2）若22,ac bc a b >>则 （3）若,c ab c a b>>则 （4）若,0a b a b ->>则 （5）若0,0,0ab a b >>>则例6 有一个两位数，个位上的数是m ，十位上的数是n ，如果把这个两位数的个位数与十位数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么m 与n 哪个大？【练习】1．用不等式表示下列数量关系。

①a 与b 的和大于a 的2倍。