2018-2019学年数学高考(文)二轮复习专题集训：专题六 解析几何6.3-含解析

答案： B
题型二 圆锥曲线的几何性质 1．椭圆、双曲线中，a，b，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝ac＝ 1－ba2； (2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为 e＝ac＝ 1＋ba2. 2．双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±bax.注意离心率 e 与渐近 线的斜率的关系．
高考·题型突破
题型一 圆锥曲线的定义及标准方程
圆锥曲线的定义、标准方程
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义 标准方程
|PF1|＋|PF2| ＝2a(2a>
|F1F2|) ax22＋by22＝1 (a>b>0)
||PF1|－|PF2|| ＝2a(2a< |F1F2|) ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
mn 表示双曲线，则 m≠0，n≠0，方程 mx2＋ny2＝1 可化为x12＋y12＝1，由双曲线方程
mn
的形式可知m1 ，1n异号，所以 mn<0.综上，“mn<0”是“方程 mx2＋ny2＝1 表示双曲 线”的充要条件．
答案： C
2．如图，椭圆ax22＋y22＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若|PF1|
答案： B
题型三 直线与圆锥曲线的位置关系 (2017·全国卷Ⅰ)设 A，B 为曲线 C：y＝x42上两点，A 与 B 的横坐标之
和为 4. (1)求直线 AB 的斜率； (2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM⊥BM，
求直线 AB 的方程．
解析： (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1≠x2，y1＝x421，y2＝x422，x1＋x2＝4， 于是直线 AB 的斜率 k＝yx11－ －yx22＝x1＋4 x2＝1. (2)由 y＝x42，得 y′＝2x. 设 M(x3，y3)，由题设知x23＝1，解得 x3＝2，于是 M(2,1)．

2018届高三艺术班文科数学第二轮复习专题——解析几何11．“1a =-”是“直线(21)10x a y ---=和直线330x ay ++=垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知直线l ：x y m +=经过原点，则直线l 被圆2220x y y +-=截得的弦长是A ．1B ．√2C ．√3D ．23．入射光线从点A (-3，-4)发出，经过x 轴反射后光线经过点B(-2，-2)，则反射光线所在直线的方程为A ．6520x y -+=B ．6100x y --=C ．220x y -+=D ．6140x y ++= 4．已知点M 是直线3420x y +-=上的动点，点N 为圆22(1)(1)1x y +++=上的动点，则||MN 的最小值是A ．45B ．1C ．95D ．1355．若P (2，-1)为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是A ．10x y +-=B ．230x y +-=C ．03=--y xD ．052=--y x 6．已知直线l ：0ax y b -+=，圆O ：02222=+-+by ax y x ，则l 与O 在同一坐标系中的图形可以是A ．B ．C ．D ．7．若直线1l ：2y kx k =++与直线2l ：44y x =-+的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是A ．(-∞，-1)∪(2，+∞)B ．(-∞，-2)C ．(1，+∞)D ．(-1，2)8．设直线2370x y +-=与10x y ++=的交点为G ，直线l 过点G 且平行于直线230x y +-=，则直线l 的方程为 ．9．过两圆03422=--+y x y x 与05322=--++y x y x 的交点的直线方程为 ．10．如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |=2．圆C 的标准方程为 ．2018届高三艺术班文科数学第二轮复习专题——解析几何21．已知抛物线22y px =（0p >）上一点A （2，0y ）到其焦点F 的距离为5，则p =A ．6B ．5C ．3D ．22．圆034222=--++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．过（0，1）作直线，使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条4．已知1F ，2F 是椭圆191622=+y x 的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若|AB |＝5，则=+||||11BF AFA ．16B ．9C ．10D ．115．双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为A ．221279x y -= B ．221927x y -= C ．22110836x y -= D ．22136108x y -= 6．1F ，2F 为椭圆C ：225945x y +=的左，右焦点，点P 在椭圆C 上，且12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=A ．14 B ．35 C ．34 D ．457．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为1F 、2F ，过1F 作倾斜角为45︒的直线与椭圆有一个交点P ，且2PF x ⊥轴，则椭圆的离心率e 为A B ．2C 1D ．2 8．已知点P (1，2)在直线l 上的射影为P ' (-1，4)，则直线l 的方程是 ． 9．已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称，直线0234=--y x 与圆C 相交于A ，B 两点，且6=AB ，则圆C 的方程为 ．10．椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为 ．2018届高三艺术班文科数学第二轮复习专题——解析几何31．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点(1)，求椭圆E 的方程．2．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点Q 是抛物线C 上一点且Q 的纵坐标为4，点Q 到焦点F 的距离为5，求抛物线C 的方程．3．椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：x my +=F 2，且与椭圆交于P ，Q 两点，已知△F 1PQ 的周长为8，求椭圆的方程．F O A PQ y x4．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．椭圆1C ：22221x y a b += (0a b >>)的长轴长为4，椭圆2C ：22221x y n m+=(0m n >>)短轴长是1，椭圆1C 与椭圆2C 是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，求椭圆1C ，2C 的方程．5．设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆E 与x 轴正半轴于点P ，Q ，且85AP PQ =u u u r u u u r．(1)求椭圆E 的离心率；(2)若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：330x +=相切，求椭圆E 的方程．6．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，其长轴长与短轴长的和等于6，求椭圆E的方程．7．已知双曲线E ：22221x y a b-= (0a >，0b >)与圆O ：223x y +=相切，过E 的左焦点且斜率为O 相切，求双曲线E 的方程．8．已知曲线2214x y +=与x 轴交于A ，B 两点，动点P 与A ，B 连线的斜率之积为14-，求动点P 的轨迹C 的方程．x=-相切，若该动圆圆心的9．在平面直角坐标系xOy中，已知动圆经过点（1，0）且与直线1轨迹为曲线E，求曲线E的方程．10．已知点P(0，5)及圆C：22412240x y x y++-+=．(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4√3，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．2018届高三艺术班文科数学第二轮复习专题——解析几何1参考答案1．【解析】选A ．若直线ax+(2a -1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直，则1×3-(2a -1)×a=0，解得a=32或a=-1．故a=-1是两直线垂直的充分而不必要条件．2．【解析】选B ．直线l ：x+y=m 经过原点，所以m=0，圆心到直线的距离d=2=√22， 弦长是2√r 2−d 2=2√1−12=√2．3．【解析】选D ．由题意可知，点A 关于x 轴的对称点为A′(-3，4)在经过x 轴反射的反射光线上，易求得直线A′B 的方程为6140x y ++=．4．【解析】选A ．圆心(-1，-1)到点M 的距离的最小值为点(-1，-1)到直线的距离d=|−3−4−2|5=95，故点N 到点M 的距离的最小值为d -1=45． 5．【答案】C【解析】圆心为)0,1(O ，过圆心和P 点的直线的斜率为1-=k ，则直线AB 的斜率为1,方程为03=--y x ．6．【答案】B【解析】圆O 一定过原点，所以A 、C 错，又由B 、D 知圆心),(b a -在第一象限，所以0,0<>b a ；直线方程化为b ax y +=知，选项B 中斜率0>=a k ，选项D 中斜率0,0>=<a k k 与矛盾． 7．D8．【答案】082=-+y x【解析】解方程组⎩⎨⎧=++=-+010732y x y x 得点G 的坐标为)9,10(-G ，代入方程02=++C y x 得8-=C ，所以直线l 的方程为082=-+y x9．【答案】0527=-+y x【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧=--++=--+)2.........(053)1...(..........0342222y x y x y x y x （1）－（2）得交点的直线方程为0527=-+y x 10．【解析】设点C 的坐标为(x 0，y 0)，则由圆C 与x 轴相切于点T(1，0)知，点C 的横坐标为1，即x 0=1，半径r=y 0．又因为|AB|=2，所以12+12=y 02，即y 0=√2=r ，所以圆C 的标准方程为(x -1)2+(y -√2)2=2． 答案：(1)(x -1)2+(y -√2)2=22018届高三艺术班文科数学第二轮复习专题——解析几何2参考答案1．A 2．【答案】C【解析】圆心和半径分别为22),2,1(=-r C ，圆心到直线的距离为222|121|rd ==++-=，所以圆到直线的距离为2的点共有3个，其中，有两个是与直线01=++y x 平行的直线（过圆心）与圆的交点，另一个是与直线01=++y x 平行的直线与圆相切的切点． 3．【答案】B【解析】因为点（0，1）在抛物线x y 42=“外”，所以过此点的两条切线，同时过此点可作直线1=y 与其对称轴平行，它抛物线也只有一个交点．故选B ． 4．【答案】D【解析】∵82,4==a a ,由椭圆的定义知，a BF BF AF AF 4||||||||2121=+++∴11||16|)||(|4||||2211=-=+-=+AB BF AF a BF AF ，故选D ．5．【解析】选B ．由双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线方程是y =，可设双曲线的方程为x 2-y23=λ(λ>0)．因为双曲线22221x y a b -= (a >0，b >0)的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，所以(-6，0)是双曲线的左焦点，即λ+3λ=36，解得λ=9，所以双曲线的方程为221927x y -=． 6．A 7．C8．【解析】05=+-y x ．此题是求经过点)4,1(-'P ，斜率为11PP k k '=-=的直线方程05=+-y x ．9．【答案】22(1)10x y +-=【解析】抛物线的焦点为(1,0)，所以圆心坐标为(0,1)，2222(032)3105r --=+=，圆C 的方程为22(1)10x y +-=． 10．【解析】3．因为PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，所以|PF 2|=2ctan30°=2√33c ，|PF 1|=4√33c ． 又|PF 1|+|PF 2|=6√33c=2a ，则e=c a =√3=√33．2018届高三艺术班文科数学第二轮复习专题——解析几何3参考答案1．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点(1，2)，离心率是2，求椭圆E 的方程． 解：设椭圆的方程为22221x y a b += (0a b >>)，依题意得2222221112a b c caa b ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得22a =，21b =，所以椭圆的方程为2212x y +=。

=
1
1 k2
|y1-y2|及根与系数的关系,“设而不求”;有关
焦点弦长问题,要牢记圆锥曲线定义的运用,以简化运算.
(3)涉及弦中点的问题,牢记“点差法”是联系中点坐 标和弦所在直线的斜率的好方法. (4)求参数范围的问题,牢记“先找不等式,有时需要找 出两个量之间的关系,然后消去另一个量,保留要求的 量”.不等式的来源可以是Δ>0或圆锥曲线的有界性或 题目条件中的某个量的范围等.
4
处的切线方程为y-a=- a(x+2 )a,
即 ax+y+a=0.
(2)存在符合题意的点P,证明如下: 设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN的斜率分别为k1,k2. 将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0. 故x1+x2=4k,x1x2=-4a.
x
2 0
y12
x
2 0
8
x12
8(1
x02 ) 16 x12
x02 x02
8(1
x12 16
)
8 8 0.
所以,F1M⊥F2N,所以直线F1M与直线F2N的交点G在
以F1F2为直径的圆上.
【加固训练】
已知椭圆C:
x2 a2
y2 b2
1(a>b>0)的离心率e=
2 ,短轴长
2
为2 2.
(1)求椭圆C的标准方程. (2)如图,椭圆左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不 重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于 M,N两点.试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.
【解析】(1)由短轴长为2 ,2得b= ,2

A 级1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，2 B ．(1，＋∞) C ．(1,2)D ．⎝⎛⎭⎫12，1解析： 由题意可得，2k －1>2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C. 答案： C2．一个焦点为(26，0)且与双曲线y 24－x 29＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 218－x 28＝1 B ．x 218－y 28＝1C.x 216－y 210＝1 D ．y 216－x 210＝1解析： 设所求双曲线方程为y 24－x 29＝t (t ≠0)，因为一个焦点为(26，0)，所以|13t |＝26，又焦点在x 轴上，所以t ＝－2，即双曲线方程为x 218－y 28＝1.选B.答案： B3．(2017·长沙市统一模拟考试)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OF A ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2解析： 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OF A ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.选A.答案： A4．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1解析： 由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B. 答案： B5．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，离心率为255.点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，且满足|BM |＝2|MA |，则直线OM 的斜率为( )A.105 B ．1010 C.510D ．55解析： 由题意知，点M ⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又e ＝c a ＝255，故c 2a 2＝2025＝45，即a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝45，故b 2a 2＝1－45＝15，即b a ＝55，故k OM ＝13b 23a ＝b 2a ＝510，故选C. 答案： C6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为____________．解析： 由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，由|AB |＝3，知点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，代入椭圆方程得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案： x 24＋y 23＝17．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ∈[2，2]，则一条渐近线与x 轴所成角的取值范围是________．解析： ∵e ∈[2，2]，∴2≤c 2a 2≤4，又c 2＝a 2＋b 2，∴2≤a 2＋b 2a 2≤4，∴1≤b 2a 2≤3，∴1≤b a≤3，设所求角为θ，则tan θ＝ba，∴1≤tan θ≤3，∴π4≤θ≤π3.答案： ⎣⎡⎦⎤π4，π38．已知A ，B 是双曲线C 的两个顶点，直线l 与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，且与实轴所在直线垂直．若PB →·AQ →＝0，则双曲线C 的离心率e ＝________.解析： 如图所示，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，取其上一点P (m ，n )，则Q (m ，－n )，由PB →·AQ →＝0可得(a －m ，－n )·(m ＋a ，－n )＝0，化简得m 2a 2－n 2a2＝1，又m 2a 2－n 2b 2＝1可得b ＝a ， 因此双曲线的离心率为e ＝ 2. 答案：29．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．解析： (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k (x －2)＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值． 解析： (1)由题意得c ＝3， 根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16. 所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋18a2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知AF 2⊥BF 2， 因为F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫1＋18x 1x 2＋9＝0. 即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a2＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12，所以离心率e ＝32. B 级1．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析： 如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝ba x ，即bx －ay＝0，∴点A 到l 的距离d ＝ab a 2＋b2.又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ，∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32MA ＝32b ，即ab a 2＋b 2＝32b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233. 答案：2332．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是____________．解析： 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋n 2b 2，又F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则PF 1→＝(－m －1，－n )，PF 2→＝(1－m ，－n )，PF 1→·PF 2→＝n 2＋m 2－1＝n 2＋a 2⎝⎛⎭⎫1＋n 2b 2－1＝n 2⎝⎛⎭⎫1＋a 2b 2＋a 2－1≥a 2－1(当且仅当n ＝0时取等号)，所以PF 1→·PF 2→的最小值为a 2－1.由2≤1a ≤4，得14≤a ≤12，故－1516≤a 2－1≤－34，即PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1516，－34. 答案： ⎣⎡⎦⎤－1516，－34 3．(2017·成都市第一次诊断性检测)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求△ABM 的面积S 的值；(2)过点B 作直线BN ⊥l 于点N ，证明：A ，M ，N 三点共线． 解析： (1)由题意，知F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵直线l 1的倾斜角为π4，∴k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1，即x ＝y ＋1. 代入椭圆方程，可得9y 2＋8y －16＝0. ∴y 1＋y 2＝－89，y 1y 2＝－169.∴S △ABM ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－892＋4×169＝8109. (2)设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)．代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.∵直线BN ⊥l 于点N ，∴N (5，y 2)． ∴k AM ＝－y 13－x 1，k MN ＝y 22.而y 2(3－x 1)－2(－y 1)＝k (x 2－1)(3－x 1)＋2k (x 1－1)＝－k [x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋5]＝－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 2－204＋5k 2－3×10k 24＋5k 2＋5＝0， ∴k AM ＝k MN .故A ，M ，N 三点共线．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，右顶点A 是抛物线y 2＝8x 的焦点，直线l ：y ＝k (x －1)与椭圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)如果AM →＝AP →＋AQ →，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值． 解析： (1)由抛物线y 2＝8x ，可得其焦点坐标为(2,0)， 即A (2,0)，所以a ＝2. 又e ＝c a ＝32，所以c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)(点差法)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，又A (2,0)， 可得AP →＝(x 1－2，y 1)，AQ →＝(x 2－2，y 2)， 所以AM →＝AP →＋AQ →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)， 所以M (x 1＋x 2－2，y 1＋y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0(判别式Δ>0)， 则x 1＋x 2－2＝8k 24k 2＋1－2＝－24k 2＋1，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k4k 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－24k 2＋1，－2k 4k 2＋1.设N (0，y 3)，则MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋1，－k 4k 2＋1＋y 32.因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上．所以－k 4k 2＋1＋y 32＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋1－1，解得y 3＝－2k ，即N (0，－2k )．由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直， 所以－2k4k 2＋1－(－2k )－24k 2＋1－0·k ＝－1，解得k ＝±22.。