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中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。
如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。
【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。
【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。
结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。
初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。
正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。
正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。
小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。
②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD 重合，得折痕DG，使2AD=，求AG．【解析】：作GM⊥BD，垂足为M．由题意可知∠ADG=GDM，则△ADG≌△MDG．∴DM=DA=2． AC=GM又易知：GM=BM．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1），∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P为正方形ABCD内一点，10==，并且P点到CD边的距离也PA PB等于10，求正方形ABCD的面积？【解析】：过P作EF AB⊥于F交DC于E．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+．可得：222110(10)4x x =++．故6x =．216256ABCD S ==．例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？ 【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ． ∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒∠=，试说明EF BE DF =+。
几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2。
掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3。
正确运用正方形的性质解题。
4。
通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5.通过理解四种四边形内在联系,培养学生辩证观点。
知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结）.正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全.小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2)正方形的性质:①正方形对边平行.②正方形四边相等.③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等，互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ,使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知:GM=BM ．而BM=BD-DM=22-2=2（2—1)， ∴AG=BM=2（2-1)．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点,10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得:222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例3。
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(5、26)D2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．3.如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点．AF、CE相交于G，并且ABF∆的面积为14平方厘米，BCE∆的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF的面积是________．4. 如图，A、B、C三点在同一条直线上，2=。
分别以AB BCAB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC。
求证：FN EC=。
AB CDEF12G5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ．（1）求证：ABF DAE △≌△； （2）求证：DE EF FB =+．【纵向应用】6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 21=A D E F CG B7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 21=8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥求证：AE FG ⊥ABCDFOEG H12D GA EBCF13EG B9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE相交于点G ,GH AD⊥于点H .（1）求证：AF DE ⊥ ； （2）如果2AB =,求GH 的长； （3）求证：CG CD =例1. 已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，15PAD PDA ︒∠=∠=．求证：PBC ∆是正三角形．APCDB例 2. 如图，分别以ABC ∆的AC 和BC 为一边，在ABC ∆的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．例4. 如图，四边形ABCD 为正方形，DE AC ∥，AE AC =，AE 与CD 相交于F ．求证：CE CF =．AFD E CBP C G FBQ A D E例6. 设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF AP ⊥，CF 平分DCE∠．求证：PA PF =．例7. 已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA PB PC ++的最小值．DFEP CB A AC BPD例8. P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a =，2PB a =，3PC a =，求正方形的边长．【双基训练】1.如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD相交于O ，四边形BEFD 是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．ACBPD2.如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC•恰是一个菱形，•则EAB∠=________．【纵向应用】3.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，90∠=，且EF交正方形外AEF︒角的平分线CF于点F．（1）证明：BAE FEC∠=∠；（2）证明：AGE ECF∆≅∆；（3）求AEF∆的面积．【横向拓展】4.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN 、AM 、CM . ⑴ 求证：AMB ENB ∆≅∆；⑵ ①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM BM CM ++的最小值为13+时，求正方形的边长.EA DB CNM。
初中半角模型教案模板一、教学目标1. 让学生理解半角模型的概念及应用。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的创新思维。
二、教学内容1. 半角模型的定义及性质2. 半角模型的应用3. 相关练习题三、教学重点与难点1. 半角模型的定义和性质2. 半角模型在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究半角模型的性质和应用。
2. 利用几何画板软件，动态展示半角模型的变换过程，增强学生的直观感受。
3. 案例教学法，分析实际问题，引导学生运用半角模型解决问题。
五、教学步骤1. 导入新课1.1 教师通过展示一些实际问题，引导学生思考如何利用几何知识解决这些问题。
1.2 学生尝试分析问题，发现问题的解决关键在于理解半角模型。
2. 讲解半角模型2.1 教师给出半角模型的定义，并解释其性质。
2.2 学生通过几何画板软件，动态观察半角模型的变换过程，加深对半角模型的理解。
3. 应用半角模型解决问题3.1 教师展示几个与半角模型相关的实际问题，引导学生运用半角模型解决问题。
3.2 学生独立解决这些问题，并在课堂上分享解题思路和方法。
4. 巩固练习4.1 教师布置一些有关半角模型的练习题，让学生巩固所学知识。
4.2 学生独立完成练习题，教师进行点评和指导。
5. 总结与拓展5.1 教师引导学生总结本节课所学内容，加深对半角模型的理解。
5.2 学生结合自己的生活实际，思考半角模型在生活中的应用。
5.3 教师提出一些拓展问题，激发学生的创新思维。
六、教学评价1. 学生对半角模型的理解和掌握程度。
2. 学生运用半角模型解决实际问题的能力。
3. 学生在课堂上的参与度和合作意识。
七、教学反思教师在课后要对课堂教学进行反思，分析学生的学习情况，针对性地调整教学方法和解题策略，以提高教学效果。
同时，关注学生的学习兴趣和需求，不断丰富教学内容，提高教学质量。
几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1。
掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
4.通过四边形的从属关系渗透集合思想.5。
通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点.知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结）。
正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质,一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论,并非把结论写全。
小结:（1）正方形与矩形，菱形,平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。
②正方形四边相等.③正方形四个角都是直角.④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ,先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD,垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM, 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD —DM=22—2=2（2—1)， ∴AG=BM=2（2—1)．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点,10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10,求正方形ABCD 的面积？【解析】:过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得：222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例 3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ,AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？【解析】:要说明EF=BE+DF,只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME,△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF,AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ．∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,且45EAF ︒∠=,试说明EF BE DF =+. 【解析】：将△ADF 旋转到△ABC ，则△ADF ≌△ABG∴AF=AG ，∠ADF=∠BAG,DF=BG∵∠EAF=45°且四边形是正方形， ∴∠ADF ﹢∠BAE=45° ∴∠GAB ﹢∠BAE=45° 即∠GAE=45°∴△AEF ≌△AEG （SAS ） ∴EF=EG=EB ﹢BG=EB ﹢DF例5。
初中几何半角模型教案设计教学目标：1. 理解半角模型的定义和性质；2. 学会运用半角模型解决实际几何问题；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
教学内容：1. 半角模型的定义和性质；2. 半角模型在实际几何问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾等腰三角形的性质；2. 提问：如果有一条射线与等腰三角形的顶角相交，那么这条射线与等腰三角形的关系是什么？二、新课讲解（15分钟）1. 引入半角模型的定义：过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型；2. 讲解半角模型的性质：a. 半角模型中的两条射线与等腰三角形的两边相交，交点之间的连接线长度等于等腰三角形的两边与其最近交点之间的距离之和；b. 半角模型中的两条射线的公共端点是从射线切割顶点的两条相对边获得的直角三角形的边中心；c. 半角模型中的两条射线的端点到射线的两条相对边的交点与端点之间的连接线的距离等于正方形的边长；d. 半角模型中的两个三角形以及半角三角形外的两个小三角形分别是全等的。
三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题：如图，等腰三角形ABC，顶角为α，射线DE与BC相交于点E，射线DF与AC相交于点F，求证：EF=AB。
2. 引导学生跟随步骤，自主解答：如图，等腰三角形ABC，顶角为α，射线AE与BC相交于点E，射线AF与AC相交于点F，求证：EF=AC。
四、课堂练习（10分钟）1. 完成教材上的练习题；2. 学生之间互相讨论，解答疑问。
五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课的主要内容和知识点；2. 布置课后作业：运用半角模型解决实际几何问题。
教学反思：本节课通过讲解半角模型的定义和性质，以及运用半角模型解决实际几何问题，旨在培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
在教学过程中，要注意引导学生回顾相关知识点，如等腰三角形的性质，以及讲解例题时的步骤和思路。
正方形中的半角模型教学设计【课题】《正方形中的半角模型》【内容】九年级下期数学总复习微专题【授课对象】九年级学生【目标确定的依据】1.基于课程标准的思考《数学课程标准（2011版）》要求，在数学课程中应当注重发展学生的模型思想。
模型思想是建立学生体会和理解数学与实际世界的基本途径。
模型思想是一种重要的数学思想，它能使复杂，难于解决的问题模型化。
当问题的条件具有模型的特征时，就可通过对应模型确定答案,提高学生快速准确的数学素养.2.基于教材理解本节课内容是在学生全面复习后的二轮复习中的微专题学习，它既是对前面所学知识的综合应用，也是对这些知识的拓展与延伸，使学生更熟练运用模型思想解决问题。
3.基于学情分析对于正方形中的半角模型，有少部分学生知道，但所知的知识是零碎的。
由于这个模型涉及知识是初中三年的重要的几何知识，综合度高，所以很有必要安排专题课引领，帮助学生分析总结，找到模型的结论的处理方法.【学习目标】1. 让学生经历从已有的知识出发，多角度对半角模型探索的过程，获得模型的结论和所得结论的方法；2. 让学生掌握正方形中的半角模型结论，能够利用此模型解决相关问题；3. 通过正方形中半角模型的应用，让学生体验模型思想在数学学习中的作用。
【学习重点】正方形中的半角模型多角度的探究及运用.【学习难点】从具体的问题中抽象出半角模型，并运用半角模型解决问题.【评价任务】1.借助小组讨论交流，能够归纳总结出正方形半角模型的多角度的结论。
2.会准确选用合理的方法解决符合半角模型条件的问题。
【学习资源准备】多媒体几何画板课件、班班通资源【教学过程】一、 创设问题情境，导入新课角含半角模型，即一个角包含这它一半大小的角，这是几何图形中常见的模型。
通常出现在等腰直角三角形和正方形中，可以类推到一般四边形。
模型中蕴含着旋转，全等，相似，四点共圆等丰富的几何知识。
这节课我们就以正方形中的半角为例，来研究半角模型，获得解决半角模型的思路和方法。
初中几何半角模型教案教案标题：初中几何半角模型教案教案目标：1. 理解半角的概念和性质。
2. 掌握使用半角模型解决几何问题的方法。
3. 培养学生的空间想象力和几何思维能力。
教学重点：1. 半角的概念和性质。
2. 半角模型的应用。
教学难点：1. 运用半角模型解决几何问题。
2. 提高学生的空间想象力和几何思维能力。
教学准备：1. 教师准备好黑板、白板、彩色粉笔、半角模型等教具。
2. 学生准备好几何工具、练习册等学习材料。
教学过程：Step 1：引入1. 教师用彩色粉笔在黑板上绘制一个直角三角形ABC，角A为直角，边AB为横坐标轴，边AC为纵坐标轴。
2. 教师解释什么是半角，并引导学生观察直角三角形ABC中的半角，即角B和角C。
3. 教师提问学生，半角的度数是多少？（答案：45度）Step 2：概念讲解1. 教师在黑板上绘制一个正方形DEFG，边DE平行于边FG。
2. 教师解释正方形DEFG中的半角模型，即将正方形沿对角线DG对折，形成的两个直角三角形。
3. 教师引导学生观察半角模型中的角度关系，并解释半角模型的性质：两个直角三角形的半角是相等的。
Step 3：应用练习1. 教师提供一些几何问题，要求学生使用半角模型解决。
2. 学生独立思考并解答问题，教师适时给予指导和帮助。
3. 学生展示自己的解题过程和答案，教师进行点评和讲解。
Step 4：拓展练习1. 教师提供更复杂的几何问题，要求学生通过运用半角模型解决。
2. 学生分组合作解题，教师在小组之间进行巡回指导和帮助。
3. 学生展示解题过程和答案，教师进行综合点评和总结。
Step 5：归纳总结1. 教师带领学生回顾本节课所学的内容，总结半角的概念和性质。
2. 教师强调半角模型在解决几何问题中的重要性，并鼓励学生在以后的学习中积极运用。
3. 教师布置相关的练习作业，巩固学生的学习成果。
教学延伸：1. 学生可以自行寻找更多与半角模型相关的几何问题，并进行解答和讨论。
初中数学半角模型教案教学目标：1. 理解半角模型的概念和特点；2. 学会运用半角模型解决相关几何问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 半角模型的概念和特点；2. 运用半角模型解决几何问题。
教学难点：1. 半角模型的理解和运用；2. 解决相关几何问题。
教学准备：1. 教师准备半角模型的相关例题和练习题；2. 学生准备笔记本和文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过PPT展示半角模型的图片，引导学生观察和思考；2. 学生分享对半角模型的理解和认识。
二、新课讲解（15分钟）1. 教师讲解半角模型的概念和特点，引导学生理解和掌握；2. 教师通过例题演示如何运用半角模型解决几何问题；3. 学生跟随教师一起解答例题，巩固理解和掌握半角模型的运用。
三、课堂练习（15分钟）1. 教师给出一些有关半角模型的问题，让学生独立解答；2. 学生展示解答过程和答案，教师进行点评和指导。
四、总结和反思（5分钟）1. 教师引导学生总结半角模型的概念和特点；2. 学生分享自己在解决问题时的经验和困惑；3. 教师给出建议和指导，帮助学生进一步提高解决问题的能力。
五、课后作业（5分钟）1. 教师布置一些有关半角模型的练习题，让学生巩固所学知识；2. 学生完成作业，教师进行批改和反馈。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了半角模型的概念和特点，并能运用半角模型解决相关几何问题。
在教学过程中，教师注意引导学生观察和思考，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，通过课堂练习和课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。
在今后的教学中，教师还需注意以下几点：1. 针对不同学生的学习情况，给予个别化的指导和帮助，提高学生的学习效果；2. 增加一些拓展练习，让学生更好地理解和运用半角模型；3. 结合其他几何模型，让学生综合运用所学知识解决问题。
综上所述，本节课的教学目标是让学生理解和掌握半角模型的概念和特点，学会运用半角模型解决相关几何问题。
九下专题：正方形之“半角模型”一、复习引入正方形的性质：1.边：相等，平行2.角：相等，都等于度3.对角线：4.对称性：二、模型讲解1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且45∠=︒,连接EAFEF.(1)求证:EF=BE+DF变式1：如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD，求证：EF=BE+DF；变式2：如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD, 变式1中的结论是否仍然成立？请写出证明过程.1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且45∠=︒,连接EAFEF.(2)求证: C△CEF=2AB。
(3)求证: EA平分∠BEF,即∠1=∠2。
(4)求证:FA平分∠DFE,即∠3＝∠4。
（5）如果连接BD分别交AE，AF于点H，G，请探究线段GH，BH，DG的数量关系。
(6)如果不再增加辅助线，图中还有哪几对三角形相似？试再写出一两个关于线段的等积式、等比式。
(7)如果再连接AC，△AEC与△ADG相似吗？为什么? 试探究CE与DG的关系。
(8)追问1: 此时，△FCA与△HBA相似吗？为什么？试探究CF与BH的关系。
(9)追问2: 此时，△AEF与△AGH相似吗？为什么？试探究EF与GH的关系。
(10) 求证:BG-DG=√2BE(11)求证:BECE ∙DFCF=12(12)如果我们分别连接EG、FH，看看又可得到什么结论?[提示:可证明AG⊥EG, AH⊥FH]。
（13）如果我们将CH连接起来，看看又可得到什么结论?（14）如果点E为BC边的中点，求tan∠HCF的值。
三、课堂总结四、作业布置1．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF=45°，（1）线段BE，EF，DF之间的关系是____________（2）若正方形的边长为4，DF=2BE，则EF=______________2．在△ABC中，∠ACB＝90°，CA=CB，点E、F在AB边上，∠ECF＝45°，若AE=10，EF=15，则BF的长为__________．。
过正方形任一内角的顶点,在形内引两条 射线,使两条射线的夹角是该内角的一半(即45。
),像这样的模型，我们习惯称之为正方形的“半角模型”。
【模型讲解】如图1,在正方形ABCD t ,点E 、F 分别为BC 、DC 边上的点，厶EAF=45。
,连接 EF,求证:DF+BE=EF°【解析】一般方法是:将45。
角两边的三角 形旋转到一边，合并成新的三角形,从而进行等量代换,然后证明这个新三角形与半角(45。
角)形成的三角形全等,再通过全等的性质得出线段之间的数量关系。
【证明1WAADF 绕/1点顺时针旋转90。
得 到△ ABG,如图 2,则 AG=AF, /LGAB=ZJ)AF,ZABG=以DF=90。
，所以ZXBG+Z_4BC=180°, 所以G 、C 三点共线。
再证明△ GAEw AFAE, 就可得到 EF=GE=GB+BE=DF+BE 。
【推论】对于这样的正方形“半角模型”，除了有以上常用结论(①DF+BE=EF)之外，我们还可以推出以下常用结论:②S a 肿S 沁+AEF 中，边EF 上的高等于正方形的边长。
同学们可以自行推导哦。
【知识运用】例1如图3所示，在四边形 ABCD 中，4D 〃BC(BC>AD) ,Z j 9=90°"B=BC= 18cm,E 是 上一点，当 Z_DCE=45° 时，【解析】由厶4=厶8=90。
、AB=BC 两个条件 联想到正方形。
其实这是一个“残缺”的正方形,所以只需把被“割去”的那一部分补上就可 以了，再结合“ ADCE=45。
” ,就可以得到正方形的“半角模型”了。
如图4,作CG1AD ,交M 的延长线于G ，先 证明四边形ABCG 是正方形,再由上述结论① 可知 ED=BE + DG ,设 DE=x ,贝U DG=x_6, AD=24-x,由勾股定理得,AE 2+AD 2^DE-，即 122+(24-x)2=x 2,解得 x=15,即 DE=15cm 。
几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1。
掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
4。
通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5.通过理解四种四边形内在联系,培养学生辩证观点。
知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结）。
正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等.正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
说明:定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质,一个题设同时有四个结论,这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论,并非把结论写全。
小结:(1)正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。
②正方形四边相等.③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等,互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ,再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ,使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM, 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD-DM=22—2=2（2-1）, ∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10,求正方形ABCD 的面积？【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得：222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例3。
课堂教学设计教学时间：年月日教学环节教学活动过程课堂随记活动一：温故知新，探索模型.问题：如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°.求证：EF=DF+BE.多媒体播放微课视频“正方形中的半角模型”。
教师总结视频中解决问题的方法：方法一、利用旋转变换构造全等1.把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADE'，则△ABE≌△ADE'，F，D，E共线；2.证明△AEF≌△AE'F；3.EF=E'F=FD+DE'=FD+BE.方法二、利用轴对称变换构造全等1.作△ABE关于AE的轴对称图形△AB'E，则有△ABE≌△AB'E；2.连接FB'，证明△ADF≌△AB'F；因为∠AB'E+∠AB'F=∠ABE+∠ADF=180°，所以E、B'，F三点共线；3.EF=EB'+B'F=BE+FD.教师给出半角模型的概念及其特征：模型名称：正方形中的半角模型特征：从正方形一个顶点出发的两条线所夹的角等于正方形内角的一半，并且与正方形的边相交。
解决模型问题的方法：1.把半角一侧的三角形通过旋转变换或轴对称变换构造新的全等三角形，利用全等三角形的对应边相等或对应角相等来转化边和角，进而可以探究新的边边关系或角角关系；2. 截长补短。
活动二：变换图形，拓展模型如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，∠EAF=45°，连接BD，分别交AE，AF于M，N.求证：△DMA∽△AMN.总结拓展：连接BD，分别交AE，AF于M，N，则有△DMA∽△AMN∽△BAN∽△BME∽△DFN.活动三：简单应用，熟悉模型1.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，若△ABE，△ADF的面积分别为5和3，则△AEF的面积为___________.2.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，则△CEF的周长_______________.活动四：改变图形，运用模型1.已知△AMN的顶点M,N分别在正方形ABCD的边CB,DC的延长线上,且∠MAN=45°.（1）如图，求证：MN+BM=DN;（2）如图，作射线DB交直线AM于点P，若MN=10，CM=8，求AP的长.2.将两块等腰直角三角板按如图所示方式摆放.（1）如图1，若AD=53，AE=102，DE=5，求BC的长;（2）如图1，求证：DE2=BD2+CE2;（3）如图2，若AG交BC的延长线于点E，则等式DE2=BD2+CE2还成立吗？请说明理由.课后活动与作业如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=21∠BAD，则BE，DF，EF三条线段之间的数量关系为__________,请证明你的结论.板书设计教后反思1、正方形中的半角模型中，条件往往会给出45°角，如果题目一开始没有给出正方形，我们就想方设法地通过延长线段、翻折变换等手段构造出正方形，从而用相关结论解决问题。
正方形角含半角模型提升
例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．
例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？
例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？
例 4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使
45EAF ∠=o ，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB =
例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ︒
∠=. 求证：BE CF =.
(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点
O ,90FOH ︒∠=,4EF =.求GH 的长.
【双基训练】
1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，•其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ∆的
面积为________2
cm ．
(6) (7)
2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．
3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ∆的面积为14平方厘米，BCE ∆的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF 的面积是________．
4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。
分别以
AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。
求证：FN EC =。
图
2
A
B
C
D
E
F
12G
5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△；
（2）求证：DE EF FB =+．
【纵向应用】
6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 2
1
=
7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 21
=
8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥ 求证：AE FG ⊥
A B
C D
F O E
G
H 12D G
A E
B
C F 13
A D E F
C G
B
E B
9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE 相交于点G , GH AD ⊥于点H .
（1）求证：AF DE ⊥ ；
（2）如果2AB =,求GH 的长；
（3）求证：CG CD =
例1. 已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，15PAD PDA ︒
∠=∠=．
求证：PBC ∆是正三角形．
例2. 如图，分别以ABC ∆的AC 和BC 为一边，在ABC ∆的外侧作正方形
的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
例4. 如图，四边形ABCD 为正方形，DE AC ∥，AE AC =，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE CF =．
A P C D
B F
例6. 设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF AP ⊥，CF 平分DCE ∠． 求证：PA PF =．
例7. 已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA PB PC ++的最小值．
例8. P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a =，2PB a =，3PC a =，求正方形的边长．
【双基训练】
1.如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于O ，四边形BEFD 是菱形，若正方形的边长为6
，则菱形的面积为________．
2.如图，ABCD 是正方形，E 为BF 上一点，四边形AFEC •恰是一个菱形，•则EAB ∠=________．
D F
E
P C B
A A C
B
P
D
A
C
B
P
D
【纵向应用】
3.如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，90AEF ︒
∠=，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． （1）证明：BAE FEC ∠=∠； （2）证明：AGE ECF ∆≅∆； （3）求AEF ∆的面积．
【横向拓展】
4.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒
得到BN ，连接EN 、AM 、CM . ⑴ 求证：AMB ENB ∆≅∆；
⑵ ①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；
②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM BM CM ++的最小值为13+时，求正方形的边长.
E
A D
B C
N
M。
