6、找最大公因数

巧求最大公因数作者：黄旭军来源：《数学大王·中高年级》2019年第10期老师走进教室门口，听到教室里吵成一团。

原来同学们都在指着黑板上的例题议论纷纷。

例题：求6和8的最大公因数。

写出6的因数：1，2，3，6。

写出8的因数：1，2，4，8。

所以6和8的最大公因数是2。

老师说：“很好呀，没错呀！”数学课代表说：“老师，有很大的问题，我发现数字要是大一点，这个方法做起来就太复杂了！”“对，太复杂了！”很多同学应和道。

老师说：“求最大公因数除了上面这种方法，还有短除法和辗转相除法（更相减损术，这两种方法原理相同）！既然大家这么好学，今天就告诉大家一些“独家秘方”吧！”例1 一个房间地面长450厘米，宽330厘米，现在计划用正方形的方砖铺房间的地面，请问方砖的边长最长为多少厘米，才能正好将房间的地面无空隙地铺满？方砖边长的值需要既是450的因数，又是330的因数。

所以方砖边长的值需要是450和330的公因数。

求方砖的最长边长也就转化成求450和330的最大公因数。

写出450的因数：1，2，6，9，10，15，18，25，30，45，60，225，450。

写出330的因数：1，2，3，5，6，10，11，15，22，30，33，55，66，110，165，330。

找出二者所有的公因数：1，2，6，10，15，30。

由此可见，450和330的最大公因数是30。

答：方砖的边长最长为30厘米，才能正好将房间地面无空隙地铺满。

求450和330的最大公因数，可以用短除法。

短除法就是先找出两个数的公因数，再用原数分别除以这个因数，把商写下来之后，再继续找这两个商的因数，以此类推。

直到最后所剩数的公因数为1。

再将左侧一列的数相乘，所得结果便是我们要求的最大公因数。

用短除法求450和330的最大公因数的具体计算过程如右图，所以450和330的最大公因数是5×3×2=30。

答：方砖的边长最长为30厘米，才能正好将房间地面无空隙地铺满。

五年级上册数学找最大公因数一、最大公因数的概念。

1. 定义。

- 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

例如，12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。

12和18公有的因数有1、2、3、6，其中6是12和18的最大公因数。

2. 表示方法。

- 我们可以用符号“(a,b)”来表示a和b的最大公因数。

例如，(12,18)=6。

二、找最大公因数的方法。

1. 列举法。

- 步骤：- 分别找出每个数的因数。

例如，找15和20的最大公因数。

- 15的因数有1、3、5、15。

- 20的因数有1、2、4、5、10、20。

- 找出它们公有的因数，15和20公有的因数有1、5。

- 其中最大的公因数就是5。

2. 筛选法。

- 步骤：- 先找出其中一个数的因数。

例如，找18和24的最大公因数，先找出18的因数有1、2、3、6、9、18。

- 从这些因数中找出也是另一个数因数的数，18的因数中1、2、3、6也是24的因数。

- 其中最大的就是最大公因数，所以(18,24)=6。

3. 分解质因数法。

- 步骤：- 把每个数分解质因数。

例如，找36和48的最大公因数。

- 36 = 2×2×3×3。

- 48 = 2×2×2×2×3。

- 找出公有的质因数，36和48公有的质因数是2和3。

- 将公有的质因数相乘，2×2×3 = 12，所以(36,48)=12。

4. 短除法。

- 步骤：- 用这几个数公有的质因数去除这几个数。

例如，求24和30的最大公因数。

- 先用2去除24和30，得到12和15。

- 再用3去除12和15，得到4和5。

此时4和5互质（除了1以外没有其他公因数）。

- 把所有的除数相乘，2×3 = 6，所以(24,30)=6。

三、特殊情况。

1. 两个数是倍数关系。

1.观察法（1）当两个数互质（互质数就是两个数只有公因数1）时，最大公因数就是1。

（2）当两个数中的一个是另一个的倍数时，最大公因数就是其中较小的那个数。

2.列举法方法1：先列出两个数的因数，再找出两个数的公因数，最后找出两个数的最大公因数。

例如：用列举法找8和6的最大公因数8的因数有1、2、4、86的因数有1、2、3、68和6的最大因数数是2。

方法2：先列出较小数的因数，再从大到小依次找其中哪些是较大数的因数，最后找它们的最大公因数。

例如：用列举法找8和6的最大公因数6的因数有1、2、3、6，从大到小依次检测，6、3都不是8的因数，2是8的因数，所以 8和6的最大因数数是2。

3.分解质因数法用分解质因数方法找二个数的最大公因数，是分解质因数后，找出相同的质因数，把相同的质因数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。

例如：用分解质因数的方法找下面12和18的最大公因数12=2×2×318=2×3×312和18相同的质因数是2×3，所以12和18的最大公因数是2×3=6 。

4.短除法。

用短除法求二个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商（只有公因数1）为止。

然后把最后所有的除数连乘，就得到了二个数最大公因数。

例如：用短除法找48和36的最大公因数1.观察法（1）当两个数互质（互质数就是两个数只有公因数1）时，最小公倍数就是这两个数的乘积。

（2）当两个数中的一个是另一个的倍数时，最小公倍数就是其中较大的那个数。

2.列举法方法1：先分别写各自的倍数，再找它们的公倍数，然后在公倍数里找它们的最小公倍数。

例如：用列举法找出6和8的最小公倍数。

6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，……8的倍数有：8，16，24，32，40，48，……6和8的公倍数：24，48，……其中24是6和8的最小公倍数。

方法2：先列较大数的倍数，再从小打大依次找其中哪些是较小数的倍数，最后找它们的最小公倍数。

五年级上册数学教案－第5单元第6课时找最大公因数｜北师大版教案：五年级上册数学教案－第5单元第6课时找最大公因数｜北师大版我作为一名经验丰富的教师，对于本节课的教学内容、教学目标、教学难点与重点、教具与学具准备、教学过程、板书设计、作业设计等方面有着清晰的认识和规划。

一、教学内容本节课的教学内容来自于北师大版五年级上册的数学教材，主要涵盖第5单元的第6课时，即找最大公因数。

在这一课时中，学生需要掌握两个数的公因数的概念，并能找出两个数的最大公因数。

二、教学目标1. 理解公因数的概念，并能找出两个数的公因数；2. 掌握求两个数的最大公因数的方法；3. 能够运用最大公因数解决实际问题。

三、教学难点与重点本节课的教学难点是让学生理解公因数的概念，以及如何找出两个数的最大公因数。

教学重点则是让学生能够运用最大公因数解决实际问题。

四、教具与学具准备1. PPT课件，用于展示教学内容和解题方法；2. 练习题，用于巩固学生的学习成果；3. 黑板和粉笔，用于板书和解答学生的疑问。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个实际问题，引出公因数和最大公因数的概念。

例如：小明有一串珠子，共有30个，他想把这些珠子平均分给他的3个朋友，每个朋友可以分到多少个珠子？让学生思考并讨论。

2. 概念讲解：利用PPT课件，详细讲解公因数和最大公因数的定义。

通过举例子的方式，让学生理解公因数的概念，并能找出两个数的公因数。

3. 方法讲解：讲解如何找出两个数的最大公因数。

通过PPT课件和板书，展示解题方法，并引导学生进行思考和讨论。

4. 随堂练习：让学生运用所学的知识，解决一些实际问题。

例如：找出两个数的最大公因数，并解释原因。

六、板书设计1. 公因数的定义；2. 最大公因数的定义；3. 找出两个数的最大公因数的方法。

七、作业设计1. 找出两个数的公因数，并找出最大公因数；2. 运用最大公因数解决实际问题。

八、课后反思及拓展延伸拓展延伸：让学生思考，除了找出两个数的最大公因数，还能找出两个数的最大公倍数吗？如何求解？重点和难点解析：在上述教案中，有几个关键的细节是需要特别关注的。

《最大公因数》讲义一、什么是最大公因数在数学的世界里，我们经常会碰到“最大公因数”这个概念。

那什么是最大公因数呢？简单来说，最大公因数就是几个整数共有的因数中最大的那个。

比如说，我们来看 12 和 18 这两个数。

12 的因数有 1、2、3、4、6、12；18 的因数有1、2、3、6、9、18。

它们共有的因数有1、2、3、6，其中最大的就是 6，所以 12 和 18 的最大公因数就是 6。

为了更清楚地理解最大公因数，我们还可以从因数的定义说起。

因数就是能够整除一个数的数。

而几个数共有的因数，就是它们的公因数。

在这些公因数中，数值最大的那个就是最大公因数。

二、如何求最大公因数接下来，我们来学习一下如何求出两个数的最大公因数。

1、列举法这是最直观的方法。

就像我们刚才求 12 和 18 的最大公因数那样，分别列出两个数的因数，然后找出它们共有的因数，再从中找出最大的那个。

2、分解质因数法先把这两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。

例如，求 24 和 36 的最大公因数。

24 ＝ 2×2×2×336 ＝ 2×2×3×3它们公有的质因数是 2、2、3，相乘得到 12，所以 24 和 36 的最大公因数是 12。

3、短除法短除法是一种比较常用且有效的方法。

比如求 30 和 45 的最大公因数。

先用 30 和 45 同时除以它们的一个公约数，比如 5，得到 6 和 9；再用 6 和 9 同时除以 3，得到 2 和 3。

此时，2 和 3 互质，所以 30 和 45 的最大公因数就是 5×3 ＝ 15。

三、最大公因数的性质了解了求最大公因数的方法，我们再来看看最大公因数的一些性质。

1、两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质的。

比如 12 和 18 的最大公因数是 6，12÷6 ＝ 2，18÷6 ＝ 3，2 和 3 是互质的。

找最大公因数和最小公倍数的几种方法一、找最小公倍数的方法1、列举法方法1、先分别写各自的（倍数），再找它们的（公倍数），然后在公倍数里找它们的（最小公数）。

例题1：找出6和8的最小公倍数。

6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，……8的倍数有：8，16，24，32，40，48，……6和8的公倍数：24，48，……其中24是6和8的最小公倍数。

方法2：先找较大数的（倍数），再找其中哪些是（较小）的倍数，最后找它们的（最小公倍数）例题2 ：找出8和6的公倍数和最小公倍数8的倍数有：8、16、24、32 、40、48 、56、64......其中：24、48......也是6的倍数。

8和6的最小公倍数是：24.2、分解质因数法。

这种方法是分解质因数后，找出二个数相同的（质因数），，及二个数各自独有的（质因数），然后把二个数相同的（质因数，只取一个。

）和二个数各自独有的（质因数），全部乘进去，所得的积就是这两个数的最小公倍数。

例题3：用分解质因数求60和42的最小公倍数。

60=2×2×3×542=2 ×3 ×760和42的最小公倍数=2×3 ×2×5×7=420 。

3、短除法。

用短除法求两个数的最小公倍数，一般用这两个数除以它们的（公因数），一直除到所得的两个商（只有公因数1）为止。

把所有的（除数）和最后的两个（商）连乘起来，就得到这两个数的(最小公倍数)。

例题4：用短除法求18和24的最小公倍数。

2 18 24 …………先同时除以公因数23 9 12 …………再同时除以公因数33 4 ……..... 除到两个商只有公因数1为止。

18和24的最小公倍数是2×3×3×4=724、特殊方法（观察法）1）两个数具有倍数关系的，它们的最小公倍数就是其中（较大）的数。

例题5：用观察法写出16和4的最小公倍数因为16是4的倍数，所以16和4的最小公倍数是：16.2)两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最小公倍数是二个数的（乘积）。

求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：1、倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。

）2、互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35）二、一般情况：1求最大公因数：列举法、单列举法、短除法。

①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数：18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27公因数：1、3、9最后找出最大公因数：9②单列举法：如，求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数：9③短除法：3 18 273 6 9 除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘2 3 3×3=92、求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、短除法。

①列举法：如，求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48再找出两个数的最小公倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48②单列举法：如，求18和12的最小公倍数先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数：36③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。

如，求18和12的最小公倍数。

可以把18翻倍：18×2=36，36又是12的倍数，所以36是18和12的最小公倍数。

第五单元《找最大公因数》导学单【学习目标】1.探索找两个数的公因数的方法，会用列举法找出两个数的公因数和最大公因数，并且理解公因数和最大公因数的意义。

2.通过学生的自主探究，感受数学思考的条理性，培养学生观察、比较、分析、总结与归纳等思维能力。

3.通过探究新知，感受数学知识之间的相互联系，提高学生对学习数学的兴趣。

【学习重点】探索找两个数的公因数的方法，会用列举法找出两个数的公因数和最大公因数。

【学习难点】经历找两个数的公因数的过程，理解公因数和最大公因数的意义。

【知识链接】1.说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

4×5=20 72÷8=92.填一填。

16=1×（）=2×（）=（）×（）16的全部因数：___________________24=24÷1=24÷（）=24÷（）=24÷（）24的全部因数：___________________我还知道：一个数的因数的个数是（）的，最小的因数是（），最大的因数是（）。

3.工人叔叔要把长18厘米，宽12厘米的铁板裁成最大的正方形而且没有剩余。

这个正方形的边长最大是多少？思考：1.想想正方形的边长是多少时才没有剩余？2.正方形的四条边都相等，说明了什么？3.还有需要补充的吗？4.关于最大公因数，你们想知道什么？【合作探究】一、教材第77页问题一：找出12和18的全部因数，并与同伴交流你是怎么找的。

1.用乘法找。

1×（）=12 2×（）=12 （）×（）=121×（）=18 （）×（）=18 （）×（）=1812的因数：______________________18的因数：______________________2.用除法找。

12÷1=（），所以（）和（）是12的因数；12÷（）=（），12÷（）=（），所以（）、（）、（）和（）都是12的因数。

6《找最大公因数》一等奖创新教学设计《找最大公因数》教学设计课题找最大公因数单元第五单元学科数学年级五年级教材分析《找最大公因数》是新北师大版五年级上册数学第五单元第6节。

学习本课之前，本册教材已经安排了认识因数和找一个数的所有因数，这些内容与本节课紧密相联，是学习本课的铺垫和基础。

同时，找最大公因数又是约分的基础，而约分又是分数四则运算的重要基础，因此，理解和掌握最大公因数就显得尤为重要。

教材编写本节课时，贯彻数学课程标准的理念，非常注意促使学生经历观察、操作、比较、讨论、归纳等学习活动，在“找最大公因数”的过程中发展抽象概括的能力，培养学生的实践能力和创新意识，帮助学生实现可持续发展发挥。

学习目标1.学习目标描述：经历找两个数的最大公因数的过程，理解公因数和最大公因数的意义。

探索找公因数的方法，会正确找出两个数的公因数和最大公因数。

2.学习内容分析：本课时是在学生找一个数的因数基础上学习的,同时又为以后学习约分打下基础。

教材中直接呈现了找出公因数的一般方法：先用想乘法算式的方法，分别找12、18的因数，再找公因数和最大公因数。

在此基础上，引出公因数和最大公因数。

教材采用的集合的方式呈现探索的过程。

3.学科核心素养分析：结合具体实例，渗透集合思想，培养学生有序思考的能力，让学生养成不重复、不遗漏、有序的思考习惯，建立数感和数据意识。

重点经历找两个数的最大公因数的过程，理解公因数和最大公因数的意义。

难点会用列举法求两个数的公因数和最大公因数，并用集合圈记录、呈现思考过程。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课复习旧知1.找出下面各数的全部因数。

14的全部因数：_______18的全部因数：_______提问：怎样找一个数的因数？揭示：找一个数的因数，可以利用乘法和除法算式，按顺序一组一组地找。

2.对于因数，你还知道什么？反馈：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。