最新精品范文-新数学竞赛讲座(第四讲)

周期问题知识概述1、在日常生活的数学中，我们常常看到有些事物按一定的顺序反复出现的现象，比如一年四季，“春、夏、秋、冬”的顺序交替更换的。

“星期日、星期一、星期二、。

星期六”交替出现，我们把具有这种规律性的问题称为周期问题，此类现象称为“周期现象”它们都具有“周期性”。

2、研究周期问题就是要发现问题的周期性和确定周期，而从解决有关问题。

我们可以通过枚举法、图表法等方法确定一个周期和周期的长度，将某一变化过程按要求继续进行下去，从而找到变化的周期。

3、解决周期问题的基本步骤：（1）确定周期的长度；（2）确定第一周期；（3）确定指定的事物在周期中的位置。

1.使学生结合具体情境，探索并发现简单周期现象中的排列规律，能根据规律确定某个序号所代表的物体或图形。

2.使学生主动经历自主探索、合作交流的过程，体会画图、列举、计算等解决问题的不同策略以及逐步实现方法的优化。

3.使学生能熟练解决各种常见周期问题。

名师点题我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。

已知如果1940年是龙年，那么，2000年是什么年？ 【解析】我们把1940年作为第一年，那么第一个周期的生肖为龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪、鼠、牛、虎、兔，2000-1940+1=61，所以2000年是第61年或者说是周期中的第61个数，61÷12=5……1，所以2000年是龙年。

至慧兔和迷你猫玩跳跳毯，每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，至慧兔从标有数“1”的圆圈按顺时针方向跳了 100 步，落在一个圆圈里．迷你猫也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了 200 步，落在另一个圆圈里．那么这两个圆圈里的数乘积是多少？【解析】不论顺时针还是逆时针都是 7 步一个周期，那么顺时针跳100步：100 ÷ 7 = 14……2 ，相当于顺时针跳 2 步，落在3 号圈中；逆时针跳200步：200 ÷ 7 = 28……4 ，相当于逆时针跳 4 步，落在 4 号圈中， 乘积为3×4= 12．【巩固拓展】1、我国用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。

第四讲 四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1 “四点共圆”作为证题目的 例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ，N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM .欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2. ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ②由②即得①，命题得证.例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ，△OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克) 分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA .由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1 O ，O 1，O 2，O 3共圆.利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM＝∠CBK .求证：∠DMA ＝∠CKB .（第二届袓冲之杯初中竞赛）A B CK MN P Q B ′C ′A B CO O O O 123？？C D分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆⇒∠CMD ＝∠DKC . 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB .(2)证线垂直例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和 M .求证：∠BMO =90°. (第26届IMO 第五题)分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 连接OC ，OK ，MC ，MK ，延长BM 到G .易得∠GMC =∠BAC =∠BNK =∠BMK .而∠COK =2·∠BAC =∠GMC + ∠BMK =180°-∠CMK ，∴∠COK +∠CMK =180°⇒C ，O ，K ，M 四点共圆. 在这个圆中，由OC =OK ⇒ OC =OK ⇒∠OMC =∠OMK . 但∠GMC =∠BMK ， 故∠BMO =90°. (3)判断图形形状例5．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D . 试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时 ∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC ，∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ，∴∠AI C I D +∠AI C I B=360°-21(∠ABC +∠ADC )=360°-21×180°=270°.故∠I B I C I D =90°.A BO K N CMG A BC D I C I DA I I B同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形. (4)计算例6．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，PA :PB =5:14.则PB =__________ (1989，全国初中联赛) 分析：答案是PB =42㎝.怎样得到的呢？连接OA ，OB .易知O ，P ，A ，B 四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°. 故PA 2+PB 2=AB 2=1989.由于PA :PB =5:14，可求PB .(5)其他例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断). (1978，全国高中联赛)分析：设△EFG 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F ，G 两点在正方形的一组对边上. 作正△EFG 的高EK ，易知E ，K ，G ，D 四点共圆⇒∠KDE =∠KGE =60°.同理，∠KAE =60°.故△KAD 也是一个正 三角形，K 必为一个定点. 又正三角形面积取决于它的边长，当KF 丄AB 时，边长为1，这时边长最小，而面积S =43也最小.当KF 通过B 点时，边长为2·32-，这时边长最大，面积S =23-3也最大.例8．NS 是⊙O 的直径，弦AB 丄NS 于M ，P 为ANB 上异于N 的任一点，PS交AB 于R ，PM 的延长线交⊙O 于Q .求证：RS ＞MQ . (1991，江苏省初中竞赛)分析：连接NP ，NQ ，NR ，NR 的延长线交⊙O 于Q ′.连接MQ ′，SQ ′.易证N ，M ，R ，P 四点共圆，从而，∠SNQ ′=∠MNR =∠MPR =∠SPQ =∠SNQ .根据圆的轴对称性质可知Q 与Q ′关于NS 成轴对称⇒MQ ′=MQ . 又易证M ，S ，Q ′，R 四点共圆，且RS 是这个圆的直径(∠RMS =90°)，MQ ′是一条弦(∠MSQ ′＜90°)，故RS ＞MQ ′.但MQ =MQ ′，所以，RS ＞MQ .练习题1.⊙O 1交⊙O 2 于A ，B 两点，射线O 1A 交⊙O 2 于C 点，射线O 2A 交⊙O 1 于D 点.求证：点A 是△BCD 的内心.(提示：设法证明C ，D ，O 1，B 四点共圆，再证C ，D ，B ，O 2··P O A B C D A BC D E F KG ······四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°.)3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD.(提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)。

初一数学竞赛讲座(四)有理数的有关知识一、 知识要点1、绝对值x 的绝对值x 的意义如下：x =⎩⎨⎧<-≥00x x x x ，如果，如果x 是一个非负数，当且仅当x=0时，x =0绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：b a -表示数轴上a 点到b 点的距离。

2、倒数1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。

如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。

3、相反数绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。

两个互为相反数的数的和等于0。

二、 例题精讲例1 化简 6312-+--+x x x分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。

解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6当21-<x 时，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+2当321<≤-x 时，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4 当63<≤x 时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10当x ≥6时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2∴原式=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-+-<+-时当，时当，时当，时当，6x 2-2x 63 103 42 222121x x x x x评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。

例2 已知312351312+----≥--x x x x x ，求的最大值和最小值。

(第六届迎春杯决赛试题) 分析：先解不等式，求出x 的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。

解：解不等式2351312x x x --≥--得： 117≤x117 31+--x x 的几何意义是x 到1的距离与x 到-3的距离的差，从上图中可以看出：当x ≤-3时这差取得最大值4，因117≤x ，则当117=x 时这差取得最小值1133-.评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。

第四讲进位制与位值原理（二）模块一、进制的互化与计算:一、认识进制n进制：“逢n进一，借一当n”，如：十进制的特点是“逢10进一，借一当十”。

N进制的四则混合运算和十进制一样：先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

二、进制转换n进制化十进制：位值原理法。

十进制化n进制：倒取余数法。

n进制化m进制：先把n进制化成十进制，在把十进制化成m进制。

特别地，n进制化n a进制：从低位到高位，取a合一；n a进制化n进制：从低位到高位，取一分a，不足位补0.三、进制判断判断一个式子在何种进制下成立，一般依靠下列两个方法：1．数字特征：在n进制下，每个数字都不能大于(n−1)，如在八进制下，每个数字都不能大于7；反过来说，若n进制下出现7这个数字，则n必定大于7，起码为八进制；2．尾数特征：观察这个式子的尾数在十进制下应运算出什么结果，在对比式子结果的尾数，找出进位进了多少，在推断进制。

（1）把下列各数转化为十进制数。

(大写英文字母表示10以上进制中的数，如：A表示10，B表示11，……)例1．(463)8=；(2BA)12=；(5FC)16=.（2）(1001101010111100)2=()4=()8=()16.（3）请将十进制数90转化成七进制数是；(125)7转化为八进制数是。

解：（1）(463)8=4×82+6×8+3=307；(2BA)12=2×122+11×12+10=430；(5FC)16=5×162+15*16+12=1532.（2）(1001101010111100)2=(21222330)4=(115274)8=(9ABC)16.（3）90=72+5×7+6=(156)7，(125)7=72+2×7+5=68=82+0×8+4=(104)8.例2．（1）计算：(231)5+(124)5=，(251)6+(434)6=；（2）计算：(11000111)2−(10101)2÷(11)2=()2；（3）计算：(45)8×(12)8−(456)8=()8.解：（1）(231)5+(124)5=(410)5，(251)6+(434)6=(1125)6.（2）(11000111)2−(10101)2÷(11)2=(11000111)2−(111)2=(11000000)2.（3）(45)8×(12)8−(456)8=(562)8−(456)8=(104)8.例3．（1）算式1534×25=43214是进制的乘法。

数学兴趣小组教案第四讲绝对值初一数学兴趣小组(2课时)一、教学目标1掌握绝对值的两种定义，并在此基础上理解绝对值的基本性质；2领会并应用绝对值的基本性质；3 体会渗透在绝对值中的几何（数形结合）思想。

二、教学重点根据绝对值的两种定义，领会并应用绝对值的基本性质三、教学难点体会用数形结合的思想去绝对值符号四、教学方法启发教授五、教学手段六、教学过程（一）复习引入1回忆绝对值的代数和几何定义；、答：代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；几何定义：一个数的绝对值是这个数在数轴上所表示的点到原点的距离。

2根据定义理解教材中关于绝对值的几个基本性质；非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数；可以用符号语言表示：ａ＞＝０，｜ａ｜＝ａ；ａ＜＝０，｜ａ｜＝－ａ３几个问题：（1）|a|与|-a|的关系；（2）如果|a|=|b|,则a与b的关系；（3）|a|*|a|与|a*a|,a*a的关系；（4）|ab|与|a||b|的关系；（5）|a/b|与|a|/|b|（b不等于0）的关系。

小结：通过几个问题，根据定义，引出绝对值的几个有用的性质。

（二）教授新知识1基础知识绝对值的基本性质（1）|a|＝|-a|；（2）如果|a|=|b|,则a＝b或a＝－b；（3）|a|*|a|＝|a*a|＝a*a；（4）|ab｜＝|ａ｜|b|；（5）|a/b|＝|a|/|b|（b不等于0）。

注意：在绝对值中涉及一个重要的数学思想方法：分类讨论的思想。

2例题例题1若|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。

小结：|x-x0|它的几何意义是：表示x到x0的距离。

我们知道一个数的绝对值表示这个数到原点的距离，例如：|a|表示a到原点0的距离，|a|=|a-0|.两个点之间的距离求法：用较大的数减去较小的数。

例题2已知：m>4,化简|m-4|+|7-2m|小结：要化简含有绝对值符号的式子，首先判断绝对值符号里边的数的正负，然后利用绝对值的定义去绝对值符号，在这里，题目中已经给出m的取值范围，只需根据条件求出m-4,7-2m的取值范围即可。

数学竞赛讲课稿初中生范文大家好！今天我要给大家讲解一道数学竞赛题目，希望大家能够认真听讲并积极思考。

题目是这样的：已知函数f(x)的定义域为实数集，且对于任意实数x，都有f(x)+f(2-x) = 1，求f(x)的表达式。

首先，我们可以通过观察题目中已知的等式来寻找一些规律。

首先，我们可以选择一个特定的x值来代入等式中。

假设x=0，那么根据等式，我们可以得到f(0)+f(2-0)=1。

由于我们不知道f(x)的具体表达式，暂时无法求得f(0)的值。

但我们可以观察到0和2-0是对称的关系，也就是说，f(0)和f(2-0)的和是1，它们之间可能存在一些对称关系。

接下来，我们选择x=1来代入等式，得到f(1)+f(2-1)=1，即f(1)+f(1)=1。

从这个等式中，我们可以推断出f(1)的值，即f(1)=1/2。

然后，我们选择x=2来代入等式，得到f(2)+f(2-2)=1，即f(2)+f(0)=1。

这个等式告诉我们f(2)和f(0)的和是1，也就是说，它们之间存在对称关系。

通过以上的观察，我们可以发现函数f(x)在定义域内可能有一些对称关系。

为了找出这种关系，我们可以选择一些其他的x值来代入等式进行验证。

例如，我们选择x=-1来代入等式，得到f(-1)+f(2-(-1))=1，即f(-1)+f(3)=1。

这个等式告诉我们f(-1)和f(3)的和是1，也许它们之间存在对称关系。

综合以上的观察，我们可以猜测函数f(x)的表达式为f(x) = 1/2 - |x-1/2|。

为了验证我们的猜测，我们可以将f(x) = 1/2 - |x-1/2|代入原等式进行计算。

代入x=0，我们得到f(0)+f(2-0)=1/2 - |0-1/2| + 1/2 - |2-1/2| = 1/2 + 1/2 = 1。

代入其他的x值进行计算，发现这个函数可以满足题目中的等式。

所以，经过推测和验证，我们得出函数f(x)的表达式为f(x) = 1/2 - |x-1/2|。

第4讲集合与元素（数学竞赛）第4讲集合与元素[知识点⾦]元素与集合只有属于和不属于两种关系，但如何判定⼀个元素是否属于该集合，有时要进⾏适当甚⾄灵活的变形，达到集合所要求的形式.[例题精析]例1 设A= },{22Z y x y x a a ∈-=、求证：（1）⼀切奇数属于A（2）偶数 4k – 2（k ∈z ）不属于A（3）属于A 的两个整数，其积仍属于A分析关键构造出集合元素所需形式.证明（1）设a 为任意奇数，则 a = 2k –1（k ∈Z ）因为 2k –1 = k 2 -（k-1）2 ,k ，k-1∈Z, 故a ∈A由a 的任意性知，⼀切奇数属于A.（2）假设4k – 2∈A ，则存在x 、y ∈Z 使 4k – 2 = x 2 – y 2即（x + y ）（x - y ）= 2（2k-1）… ①①式说明x + y 与 x – y 必有⼀个是偶数，但x + y 与 x – y 具有相同的奇偶性，这是⼀对⽭盾，故①不成⽴.所以 4k – 2 ?A（3）设a 、b ∈A ，则a = 2221y x -，b = 2222y x - （Z y y x x ∈2121,,,）因为 a b =（2121y x -）（2222y x -）= +2221x x 2221y y -2221y x -2122y x = （2121y y x x -）2 -（1221y x y x -）2⽽ Z y y x x ∈-2121，1221y x y x -Z ∈, 所以 a b ∈A.例2 （全国⼥⼦数学奥林匹克）如果存在 1，2，...，n 的⼀个排列1a ，2a ，…，n a 使得 k+k a （k=1, 2, ..., n ）都是完全平⽅数，就称n 为“好数”.试问：在集合 {11, 13, 15, 17, 19} 中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由.解除了11之外都是“好数”.（1）易知11只能与5相加得到24，⽽4也只能与5相加得到23，因此，不存在满⾜条件的数列，所以11不是“好数”.(2)13是“好数”，因为如下的排列中，)13,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数：13121110987654321:k 34567191011121328:k a（3）15是“好数”，因为如下的排列中，)15,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数：151413121110987654321:k123456789101112131415:k a （4）17是“好数”，因为如下的排列中，)17,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数：1716151413121110987654321:k 8911112131415161721045673:k a 其中⽤到了轮换).15,10,6,3,1(（5）19是“好数”，因为如下的排列中，)19,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数： 19181716151413121110987654321:k 17181991011121314151612345678:k a 评注这⾥的关键问题在于构造满⾜条件的排列.例3 （亚太地区数学竞赛）求所有由正整数组成的有限⾮空集合S ，满⾜：若S n m ∈、，则n m S n m n m 、、(,)(∈+不必须不同）. 分析我们由特殊的情形，先得知S ∈2，进⽽循序渐进探索集合S 中可能含有的其他元素，发现集合中可能只有2这⼀个元素，之后如何进⾏简捷的表达呢？.解令m=n,则S ∈2，由于S 是⾮空有限集合，.若S 中存在奇数，则S k k k ∈+=+2)2,(2，以此类推，,...6,4++k k 都属于S,与其是有限集⽭盾,所以S 中的元素都是偶数，如果除了2以外还有其他偶数，不妨设除2以外的最⼩数为k （k>2）,则S k k k ∈+=+12)2,(2，并且k k <+<122，⽽由前⾯讨论知12+k 应该为偶数，这与k 为除2以外的最⼩数⽭盾，所以 S={2}.评注这⾥应⽤极端原理使得表达简捷.例4 321,,S S S 为⾮空集合，对于1，2，3的任意⼀个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈-.证明：三个集合中⾄少有两个相等.证明若j i S y S x ∈∈,，则i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,所以每个集合中均有⾮负元素.当三个集合中的元素都为零时，命题显然成⽴.否则，设321,,S S S 中的最⼩正元素为a ，不妨设1S a ∈，设b 为32,S S 中最⼩的⾮负元素，不妨设,2S b ∈则b －a ∈3S .若b ＞0,则b a b <-≤0，与b 的取法⽭盾。

调和点列与调和线束定义对于线段AB 的内分点C 和外分点D 满足AC ADCB DB，则称C 、D 调和分割线段AB 或者A 、B 、C 、D 是调和点列。

我们允许无穷远点的存在，即规定如果D 为无穷远点，则1ADDB，也可以说，当C 平分线段AB 时，A 、B 、C 以及直线AC 上的无穷远点四点成调和点列。

性质1 设,,,A B C D 是共线四点，点M 是线段AB 的中点，则,C D 调和分割线段AB 的充要条件是满足下列六个条件之一： （1） 点,A B 调和分割CD （2） 112AC AD AB（3） 22AB CD AD BC AC DB （4） CA CB CM CD （5） DA DB DM DC （6） 22MA MB MC MD性质2 （调和点列的角元形式）设A 、C 、B 、D 是共线四点，过共点直线外一点P 引射线PA ，PC ，PB ，PD ．令1APC θ ，2CPB θ ，3BPD θ ，则AC BD CB AD 的充要条件132123sin sin sin sin()θθθθθθ ．性质3 设,,,A B C D 是共线四点，过共点的直线外一点P 引射线,,,PA PC PB PD ，则,C D 调和分割线段AB 的充分必要条件是满足下列两个条件之一：（1） 线束,,,PA PC PB PD 其中一射线的任一平行线被其他三条射线截出相等的两线段；l 分别交射线,,,PA PC PB PD 于点（2） 另一直线',',','A C B D 时，点','C D 调和分割线段''A B 。

性质4对线段AB 的内分点C 和外分点D ，以及直线外一点P ，给出如下四个论断：AM CBD（1） PC 是APB 的平分线 （2） PD 是APB 的外角平分线 （3） ,C D 调和分割线段AB（4） PC PD以上四个论断中，任意两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题。

第四讲 辗转相除法与最大公因数一、基础知识：1．带余除法：若a ，b 是两个整数，b ＞0，则存在两个整数q 和r ，使得a =bq+r （0≤r ＜b ）成立，且q ，r 是唯一的。

证明：【存在性】作整数序列…，-3b ，-2b ，-b ，0，b ，2b ，3b ，…则a 必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数q 使得qb ≤a <(q +1)b 成立。

令a -qb =r ，即证存在性。

【唯一性】设q 1、r 1是满足a =bq+r ，0≤r <b 的另一对整数，因为bq 1+r 1=bq +r ,于是b (q-q 1)=r 1-r 故b |q-q 1|=|r 1-r |由于r 及r 1都是小于b 的非负整数，所以上式右边是小于b 的。

如果q ≠q 1，则上式左边≥b ，这是不可能的。

即证唯一性。

【说明】特别地，如果r =0，那么a=bq 。

这时，a 被b 整除，记作b|a ，对任意整数a ，b 且b ≠0，存在唯一的整数q ，r ，使a =bq +r ，其中0≤r <|b |，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。

2．最大公因数：若c |a ，c |b ，则称c 是a ，b 的公因数。

若d 是a ，b 的公因数，且d 可被a ，b 的任意公因数整除则称d 是a ，b 的最大公因数。

记为：(a ，b )=d当d ≥0时，d 是a ，b 公因数中最大者。

若a ，b 的最大公因数等于1，则称a ，b 互素。

记为：(a ，b )=13．辗转相除法：累次利用带余除法可以求出a ，b 的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。

又称欧几里得算法。

例如，一般的，设a ，b 是任意两个正整数，由带余数除法，我们有下面的系列等式： a =11bq r ，0<1r <b ，b =1r 2q +2r ，0<2r <1r ， ……………2n r -=1n r -n q +n r ，0<n r <1n r -， (1) 1n r -=n r 1n q ++1n r +，1n r +=0因为每进行一次带余数除法，余数就至少减一，而b 是有限的，所以我们最多进行b 次带余数除法，总可以得到一个余数是零的等式，即1n r +=0 (1)式所指出的计算方法，叫作辗转相除法。

一、课程名称：数学竞赛辅导课二、教学对象：参加数学竞赛的学生三、教学目标：1. 提高学生对数学竞赛的认识和兴趣。

2. 培养学生的逻辑思维能力和解题技巧。

3. 帮助学生在竞赛中取得优异成绩。

四、教学内容：1. 数学竞赛的基本知识2. 数学竞赛的题型及解题方法3. 数学竞赛的备考策略五、教学过程：第一课时：一、导入1. 向学生介绍数学竞赛的意义和重要性。

2. 提问：什么是数学竞赛？为什么参加数学竞赛？二、数学竞赛的基本知识1. 介绍数学竞赛的起源、发展及在我国的发展现状。

2. 介绍数学竞赛的种类：全国中学生数学竞赛、国际数学奥林匹克竞赛等。

三、课堂小结1. 总结本节课的主要内容。

2. 布置课后作业，让学生预习下一节课的内容。

第二课时：一、复习导入1. 回顾上节课所学的数学竞赛的基本知识。

2. 提问：同学们对数学竞赛有哪些疑问？二、数学竞赛的题型及解题方法1. 介绍数学竞赛的常见题型：填空题、选择题、解答题等。

2. 分析各类题型的特点和解题方法。

3. 通过例题讲解，让学生掌握解题技巧。

三、课堂小结1. 总结本节课的主要内容。

2. 布置课后作业，让学生练习各类题型。

第三课时：一、复习导入1. 回顾上节课所学的数学竞赛的题型及解题方法。

2. 提问：同学们在练习过程中遇到哪些问题？二、数学竞赛的备考策略1. 分析数学竞赛的备考方法，如：基础知识、解题技巧、心理素质等。

2. 介绍数学竞赛的备考计划，让学生了解备考流程。

3. 分享成功参赛者的经验，激发学生的学习热情。

三、课堂小结1. 总结本节课的主要内容。

2. 布置课后作业，让学生制定个人备考计划。

第四课时：一、复习导入1. 回顾上节课所学的数学竞赛的备考策略。

2. 提问：同学们在制定备考计划过程中遇到哪些困难？二、模拟试题讲解1. 出示数学竞赛模拟试题，让学生进行练习。

2. 分析试题，讲解解题思路和方法。

3. 指出学生在解题过程中存在的问题，进行针对性指导。

高一数学竞赛讲座（第四讲：函数的性质）例1 求函数y=)65(log 25232++-x x x 的定义域例2已知函数y=f(x)的定义域是[0，1]，求函数φ(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域例3求下列函数的值域（1）y=x 321222++++x x x (2)y=6210222---+x x x x例4 函数f(x)=)4()1()12()82()3()1(22-+++--++++k x k x k k x k x k 的定义域用D 表示，则使f(x)＞0对于任何x ∈D 均成立的实数k 的集合是什么？例5 求下列函数的解析式（1） f(2x-3)=4x 12-,求f(x) (2)f(x+x 1)=x 221x +,求f(x) (3)对任意实数x 有2f(x)+f(1-x)=x 2,求f(x)例6 设函数f(x)的定义域是N ，求f(x)使它满足条件：（1）f(m+n)=f(m)+f(n)+mn, n,m ∈N ，（2）f(1)=1例7 已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)对一切实数x,y 都成立，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数例8 函数f(x)=x 2-bx+c,且f(0)=3,f(2-x)=f(x)，则有（ ）（A ）f(b )x ≥f(c )x （B ） f(b )x ≤f(c )x（C ）f(b )x < f(c )x (D) f(b )x 与 f(c )x 大小不确定例9 已知函数f(x)在（0，2）上是减函数，且关于x 的函数y=f(x+2)是偶函数，则f(21),f(25),f(3)的大小关系如何？例10 函数f(x)定义在实数集上，且对一切实数x 满足等式f(x+2)=f(2-x)和f(7+x)=f(7-x),设f(x)=0的一个根是x=0,记f(x)=0在区间[-1000，1000]中根的个数为N ，求N 的最小值例11 函数f(x)的定义域关于原点对称但不包括数0，对定义域中任意的数x ，存在定义域中的x 1,x 2,使x= x 1-x 2,f(x 1)≠f(x 2),且满足：（1）x 1,x 2是f(x)定义域中的数，f(x1)≠f(x 2)，若0<| x 1-x 2|<2a,则f(x 1-x 2)=)()(1)().(2121x f x f x f x f -+, (2)f(a)=1,(a>0) （3）当0<x<2a 时，f(x)>0 求证：（1）f(x)是奇函数(2) f(x)在（0，4）内为减函数练习题1．选择题（1）已知定义域为R 的偶函数y=f(x)的一个单调增区间是（2，6），则函数y=f(2-x)的（ ）（A ）对称轴为x=-2，一个单调减区间为（4，8）（B ）对称轴为x=-2，一个单调减区间为（0，4）（C ）对称轴为x=2，一个单调增区间为（4，8）（D ）对称轴为x=2，一个单调增区间为（0，4）(2)f(x)是定义在全体实数上的偶函数，它的图象关于x=2为对称轴，已知当x ∈（-2，2]时f(x)的表达式为-2x 2+1,则当x ∈（-6，-2）时f(x)的表达式为（ ）（A ）-x 2+1 （B ）-（x-2）2+1（C ）-（x+2）2+1 （D ）-（x+4）2+1（3）与函数y=f(x-a)+b 的图象关于直线y=x 对称的图象所对应的函数是（A ）y=f 1- (x-a)+b (B) y=f 1- (x+a)-b(C) y=f 1- (x-b)+a (D) y=f 1- (x+b)-a2.填空题（1）函数f(x)对任意x ∈R ，有f(2+x)=f(2-x)，若f(x)=0恰有4个不同的根，则这些根之和为（2）x ∈R,则y=4522++x x 的最小值为 （3）f(x)=2x.f(x1)+1对x ≠0均成立，则f(x)= 3.设函数f(x)满足 f(-x)= -f(x) ，x ∈（-1，1），且f(x)是单调减函数，f(1-a)+f(1-a 2)≤0，求a 的取值范围。

初中数学竞赛几何讲座(共5讲)第一讲 注意添加平行线证题 第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题 第三讲 点共线、线共点 第四讲 四点共圆问题 第五讲 三角形的五心第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．平行线是初中平面几何最基本的，也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时，若能依据证题的需要，添加恰当的平行线，则能使证明顺畅、简洁．添加平行线证题，一般有如下四种情况.1 为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要。

例1 设P 、Q 为线段上两点，且=， Ａ为外一动点（如图1).当点A 运动到使 ∠=∠时,△是什么三角形？试 证明你的结论。

答: 当点A 运动到使∠=∠时，△为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作、的平行线得交点D .连结．在△=∠中,显然 ∠=∠,∠=∠C . 由＝，可知 △≌△． 有=,∠＝∠． 于是∥,∠=∠．则A 、D 、Ｂ、P 四点共圆，且四边形为等腰梯形．故＝. 所以＝.这里,通过作平行线，将∠“平推"到∠的位置．由于A 、Ｄ、B 、P 四点共圆，使证明很顺畅。

例2 如图２,四边形为平行四边形， ∠=∠.求证：∠=∠。

证明:如图2,分别过点A 、B 作、的平行线，得交点P ,连。

由 ，易知△≌△。

有＝=.显然，四边形、均为平行四边形。

有 ∠=∠，∠=∠。

∥＝A D B P Q C 图1PED G A B F C图2由∠=∠，可知∠=∠。

有P 、Ｂ、A 、E 四点共圆． 于是，∠=∠. 所以，∠=∠。

这里，通过添加平行线，使已知与未知中的四个角通过P 、Ｂ、A 、Ｅ四点共圆,紧密联系起来．∠成为∠与∠相等的媒介,证法很巧妙.2 欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线，将某些线段“送”到恰当位置，以证题。

第四讲 解读绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：l ．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值基本性质 ①非负性：0≥a ；②ba ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a； ④222a a a ==；⑤ba b a +≤+；⑥ba b a b a +≤-≤-．3．绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．例题讲解【例1】(1)已知1=a ，2=b ，3=c ，且c b a >>，那么c b a -+＝ ． (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)已知d c b a 、、、是有理数，9≤-b a ，16≤-d c ，且25=+--d c b a ，那么=---c d a b ． (“希望杯”邀请赛试题)（3）已知5=x ，1=y ，那么=+--y x y x _________．（北京市“迎春杯”竞赛题） （4）非零整数m 、n 满足05=-+n m ，所有这样的整数组),(n m 共有______组． （首届江苏省数学文化节基础闯关题）思路点拨 (1)由已知条件求出c b a 、、的值，注意条件c b a >>的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对x ，y 的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把5拆分成两个正整数的和入手．【例2】 如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么abcabc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或1-C ．2或2-D ．0或2- (山东省竞赛题) 思路点拨 根据b a 、的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键． 【例3】已知12--b •ab 与互为相反数，试求代数式：)2002)(2002(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值． (“五羊杯”竞赛题) 思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出b a 、的值．【例4】化简(1)12-x ； (2)31-+-x x ； (3)121++--x x ．思路点拨 (1)就012012<-≥-x x ，两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点1，3在同一数轴上表示出来，就1<x ，1≤x<3，x ≥3三种情况进行讨论；(3)由02101=--=+x x ，，得3,11==-=x x x ，．【例5】已知a 为有理数，那么代数式4321-+-+-+-a a a a 的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．思路点拨 a 在有理数范围变化，4321----a a a a 、、、的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉，为此要对a 的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值．链接：①我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段a 、n a 2是非负数的两种重要形式，非负数有如下常用性质： (1)a ≥0，即非负数有最小值为0；(2)若0=+++h b a ，则0====h b a②形如(2)的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤．【例6】已知36)13)(12)(21(=++-++--++z z y y x x ，求z y x 32++的最大值和最小值． （“希望杯”邀请赛试题） 思路点拨 解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围．基础训练1．若有理数x 、y 满足+-2)1(2002x 0112=+-y x ，则=+22y x ． 2．已知5=a ，3=b ，且a b b a -=-，那么b a += ． 3．已知有理数c b a 、、在数轴上的对应位置如图所示：则b a c a c -+-+-1化简后的结果是 ． （湖北省选拔赛题) 4．若b a 、为有理数，那么，下列判断中：(1)若b a =，则一定有b a =； (2)若b a >，则一定有b a >； (3)若b a >，则一定有b a >；(4)若b a =，则一定有22)(b a -=．正确的是 (填序号) ．5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，1-，那么1+a 表示( )． A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和 (江苏省竞赛题) 6．已知a 是任意有理数，则a a --的值是( )．A ．必大于零B ．必小于零C 必不大于零D ．必不小于零7．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )． A ．b a > B ．b a = C ．b a < D ．b a ≥8．如图，有理数b a 、在数轴上的位置如图所示，则在b a +，a b 2-，a b -，b a -，2+a ，4--b 中，负数共有（ ） A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．化简：(1)3223++-x x ； (2)1331++--x x ．10．求满足1=+-ab b a 的非负整数对),(b a 的值． (全国初中联赛题) 11．若2-<x ，则=+-x 11 ；若a a -=，则=---21a a ． 12．能够使不等式0)1)((<+-x x x 成立的x 的取值范围是 ． l3．a 与b 互为相反数，且54=-b a ，那么12+++-ab a b ab a ＝ ． 14．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且c b a ≤≤，则a c cb b a -+-+-可能取得的最大值是 ． (江苏省竞赛-232ba1-1题) 15．使代数式xx x 43-的值为正整数的x 值是( )．A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．不存在的16．如果02=+b a ，则21-+-bab a 等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 17．如果150<<p ，那么代数式1515--+-+-p x x p x 在15≤≤x p 的最小值是（ ）．A ．30 B ．0 C ．15 D ．一个与p 有关的代数式 18．设0=++c b a ，0>abc ，则cba b a c a c b +++++的值是（ ）． A ．3- B ．1 C ．3或1- D ．3-或1 19．有理数c b a 、、均不为零，且0=++c b a ，设ba c ac b cb a x +++++=，试求代数式20029919+-x x 的值．20．若c b a 、、为整数，且19919=-+-ac b a ，求c b b a a c -+-+-的值．21．已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的最大值与最小值．22．已知02003200232120032002321=-+-++-+-+-x x x x x ， 求代数式20032002212222x x x x+--- 的值．答案：1. 37362.-2或-83.1-2c+b4.(4)5.D6.D7.C8.A9.(1)原式=351()2325()23251()3x xx xx x⎧--<-⎪⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩(2)原式=43(2)121(2)3143(1)325(14)43(4)x xx xx xx xx x--<-⎧⎪⎪-+-≤<-⎪⎪⎪+-≤<⎨⎪+≤<⎪⎪-≥⎪⎪⎩10.(a,b)=(1,0),(0,1),(1,1) 提示:由条件得||1a bab-=⎧⎨=⎩或||01a bab-=⎧⎨=⎩11.-2-x、-1 12.x<-1 提示:因│x│≥x,│x│-x≥0,故1+x<0.13. 425提示:ab=-b2=-│b│2=-42514.16 15.D** 提示:原式= 17.C 18.B19.提示:a、b、c中不能全同号,必一正二负或二正一负,得a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b),即ab c+=-1,bc a+=-1,ca b+=-1,所以||ab c+,||bc a+,||ca b+中必有两个同号,另一个符号与其相反,•即其值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1,x=1,原式=1904. 20.提示:a、b、c都为整数,则a-b、c-a均为整数,则│a-b│、│c-a•│为两个非负整数,│a-b│19+│c-a│99=1, 只能│a-b│19=0且│c-a│99=1…………①或│a-b│19=1且│c-•a│99=0……………②,由①得a=b,且│c-a│=1,│b-c│=│c-a│=1;由②得c=a,且│a-b│=1,•│b-c│=│a-b│=1,无论①或②,都有│a-b│+│c-a│=1,且│b-c│=1,故│c-a│+•│a-b│+│b-c│=2.21.提示:-1≤x≤1,-1≤y≤1,│y+1│=y+1,│2y-x-4│=4+x-2y,当x+y≤0时,•M=5-2y,得3≤M≤7;当x+y≥0时,M=2x+5,得3≤M≤7;又当x=-1,y=1时,M=3;当x=-1,•y=-1时,M=7,故M的最大值为7,最小值为3.22.由题意得:x1=1,x2=2,… ,x2003=2003,原式=2-22-23-…22002+22003=22003-22002-…23-22+2=22002(2-1)-•22001-…-22+2=22002-22001-…-23-22+2=24-23-22+2=6.提高训练1．计算：214131412131---+-=______． (重庆市竞赛题)2．代数式131211++-++x x x 的最小值为______． （北京市“迎春杯”竞赛题） 3．已知c b a <<<0，化简式子：c b a c b a b a -+--++-2得______．4．若a 、b 、c 、d 为互不相等的有理数，且1=-=-=-b d c b c a 那么=-d a ___． 5．设a 是有理数，则a a -的值（ ）．A ．可以是负数B ．不可能是负数C ．必是正数D ．可以是正数，也可以是负数 （广东省中考题） 6．已知m m -=，化简21---m m 所得的结果是________． 7．若3=a ，5=b ，那么b a b a --+的绝对值等于________．（“希望杯”邀请赛试题） 8．有理数a 、b 、c 的大小关系如图，则下列式子中一定成立的是（ ）． A ．0>++c b a B ．c b a <+ C ．c a c a +=- D ．a c c b ->-9．已知abcabc cc bb aa x +++=，且a 、b 、c 都不等于0，求x 的所有可能值．（第2届“华罗庚杯”香港中学竞赛题） 10．已知a 、b 、c 满足0))()((=+++a c c b b a ，且0<abc ，则代数式ccb b a a ++的值为______． （四川省竞赛题） 11．若有理数m 、n 、p 满足1=++pp nn mm ，则mnpmnp32=______．cb a（“希望杯”邀请赛试题） 12．设a 、b 、c 是不为零的有理数，那么ccb b a a x -+=的值有（ ）． A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．6种 （“希望杯”邀请赛试题） 13．如图，已知数轴上的点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 都不为零，且C 是AB 的中点．如果0222=-+--+--+c b a c b c a b a ，那么原点O 的位置在（ ）． A ．线段AC 上 B ．线段CA 的延长线上 C ．线段BC 上 D ．线段CB 的延长线上（江苏省竞赛题） 14．若2-<x ，则x y +-=11等于（ ）．A ．x +2B ．x --2C ．xD ．x - (四川省竞赛题) 15．已知a 、b 、c 、d 是有理数，9≤-b a ，16≤-d c ，且25=+--d c b a ，求c d a b ---的值． （“希望杯”邀请赛试题）16．▲在数轴上把坐标为1,2,3，…，2006的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由． （山东省竞赛题）B C A cba。

数学竞赛讲课稿范文标题：数学竞赛高效备战讲课稿尊敬的各位同学们，大家好！我是XX学校数学竞赛备战团队的负责人，今天非常荣幸能够带领大家来进行数学竞赛备战的讲课。

在接下来的时间里，我将为大家介绍一些数学竞赛的备战方法和技巧，帮助大家达到更高的水平。

第一部分：备战策略1. 了解数学竞赛要求在备战之前，我们需要了解不同级别的数学竞赛所要求的知识和技巧。

例如，初级竞赛可能主要考察基础的计算和简单的问题解决能力，而中级和高级竞赛则更加偏向于推导证明和思维能力。

因此，我们应该在备战过程中针对性地学习和训练。

2. 分析竞赛题目在备战过程中，我们要仔细分析过去的数学竞赛题目，找出其中的规律和常见的解题方法。

可以将题目按照题型和难度分类，逐个攻破。

对于每道题目，我们要理解其题意和要求，分析其解题思路，并进行反复练习，熟悉各类题型的解法。

3. 制定备战计划备战数学竞赛需要时间和计划，我们应该合理安排每天的学习和训练时间，并根据自身情况设定目标。

备战计划可以包含每天的学习内容、解题练习和模拟考试等。

稳定地按计划学习是取得好成绩的关键之一。

第二部分：基础知识与技巧1. 数学基础知识的巩固数学竞赛对数学基础知识的要求非常高，因此我们必须对数学基础知识进行充分的巩固。

主要包括数学运算、代数、几何、概率统计等方面。

我们可以从恢复课本知识开始，通过课堂学习和自我训练相结合的方式进行。

2. 解题技巧的掌握数学竞赛中，解题的方法和技巧非常重要。

我们需要掌握一些常用的解题技巧，例如代入法、递推法、归纳法、反证法等。

此外，还需要注意发现问题的特点，合理运用相关定理和知识点，善于利用图形和数据进行推理和分析。

3. 快速计算能力的提升数学竞赛的时间非常紧张，因此快速计算能力是必备的。

我们可以通过做计算题、口算训练和计算器的熟练使用来提高计算速度和准确性。

此外，记忆乘法口诀表、常用公式和定理也是必要的。

第三部分：解题技巧与实战练习1. 善于做题的方法解题的过程中，要善于捕捉问题的关键信息和隐含条件，提取问题的本质，避免走入歧途。

数学竞赛辅导系列讲座一 ——数1.计算：1111(12)(123)(12320)2320+++++++++++．2.如果5555555555555554444666666233322n++++++++⨯=+++，那么n=_______． 3.军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进制表示为abc ，七进制表示为cba ，那么苹果总数用十进制表示为_______．4.已知实数a 满足|2014|a a -=，那么a －20142的值是（ ）A 、2013B 、2014C 、2015D 、20165.设分数13(13)56n n n -≠+不是最简分数，那么正整数n 的最小值可以是（ ）A 、84B 、68C 、45D 、1156.数272－1能被500与600之间的若干整数整除，试找出三个这样的整数，它们是________． 7.n 是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d 的倍数，则d=________．8.设1a =，则3a 3+12a 2－6a －12=（ ）A 、24B 、25C 、10D 、129.已知a 、b 是正整数，且满足2是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对．10.设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数有（ ）个A 、3B 、4C 、5D 、611.设n a 表示数4n 的末位数，则122012a a a +++=________．12.如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，p=|1－2x|+|1－3x|+…+|1－10x|为定值，则定值为（ ）A 、2 B 、3C 、4D 、513.若1,2,3xy yz zxx y y z z x===+++，则x=______． 14.试求|x －1|+|x －2|+|x －3|+…+|x －2015|的最小值．15.已知p 、q 均为素数，且满足5p 2+3q=59，则以p+3，1－p+q ，2p+q －4为边长的三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、等腰三角形16.若x 1、x 2 、x 3 、x 4 、x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)=242，则x 12+x 22+x 32+x 42+x 52的末尾数字是（ ） A 、1B 、3C 、5D 、717.在数1、2、3、…、2014、2015前面任意添加上“+”或“－”进行计算，所得可能的最小非负数是________．18.设a 、b 、c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，x 、y 、z 中至少有一个值（ ）A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于019.今天是星期日，若明天算第1天，则第13+23+…+20163天是星期_____． 20.已知()()()⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=201313121201321.11)(2f f f f f f x x f 则=．21.已知四个互不相等的正数x 、y 、m 、n 中，x 最小，n 最大，且x ：y=m ：n ，试比较x+n 与y+m 的大小，并证明你的结论． 22.10099++++．23.设x>0，y>0=的值．24.25.设a 、b 、c26.=且0<x<y ，那么满足上述等式的整数对(x ，y)的个数有多少？27.设1980100S =++++[S]表示不超过S 的最大整数，试求S ．28.已知x 、y 是整数，并且13|(9x+10y)，求证：13|(4x+3y)．29、若a 、b 是整数，且7|(a+b)，7|(2a －b)，求证：7|(5a+2b)． 30.正整数p 、q 都大于1，且2121,p q q p--都是整数，求p+q ． 31.当n 是正整数时，n 4－6n 2+25是质数还是合数？证明你的结论． 32.已知a 是自然数，问a 4－3a 2+9是质数还是合数？证明你的结论．33.试求出一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同．34.设a 、b 、c 、d 是正整数，并且a 2+b 2=c 2+d 2，证明a+b+c+d 一定是合数．35.你能找到三个正整数a 、b 、c ，使得关系式(a+b+c)(a －b+c)(a+b －c)(b+c －a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由．36.一个正整数a ，若将其数字重新排列，可得到一个新的正整数b ，如果a 恰好是b 的3倍，我们称a 是一个“希望数”． （1）请你举例：“希望数”一定存在；（2）请你证明：如果a 、b 都是“希望数”，则ab 一定是729的倍数．37.将自然数1、2、3、…、21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33． 38.设x =a 是x 的小数部分，b 是－x 的小数部分，求333a b ab ++的值．39.设a 、b 都是整数，求证：a ，b ，a 2+b 2，a 2－b 2中一定有一个被5整除．40.若一个数能够表示成2222x xy y ++(x ，y 是整数)的形式，则称该数为“好数” （1）试判断29是否为好数；（2）写出80，81，…，100中的好数； （3）如果m ，n 都是好数，证明mn 也是好数．41.有三堆小石子的个数分别是19、8、9，现在进行如下的操作：每次从三堆中的任意两堆中取出1个石子，然后把这两个石子都加到另一堆中，试问能否进过若干次这样的操作后，使得（1）三堆的石子数分别是2、12、22？ （2）三堆的石子数都是12？ 如能达到要求，请用最小的操作次数完成它，如不能达到，请说明理由．注：每次操作可用如下方式表示，比如从第一、二堆中各取出一个石子，加到第三堆上，可表示为（19，8，9）→（18，7，11）等等．42.为无理数．43.已知p 为大于3的质数，证明p 的平方被24除的余数是1．44.已知M 是一个四位的完全平方数，若将M 的千位数字减少3而个位数字增加3可以得到另一个完全平方数，则M=_________．45.在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”或“－”号，如果可以使其代数和为n ，就称数n 是“可被表出的数”，否则，就称数n 是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为1+2－3－4+5+6－7－8+9是1的一种可被表出的方法）． （1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数； （2）求25可被表出的不同方法种数．46.是否存在：用0，1，2，…，9这十个数字组成几个数，使它们的和恰好为100，每个数字都用一次并且只能用一次．47.设〔x 〕表示不超过实数x 的最大整数．则在平面直角坐标系xoy 中满足〔x 〕〔y 〕=2011的所有点（x ，y ）组成的图形的面积 ． 48.已知122015,,,a a a 是一列互不相等的正整数．若任意改变这2015个数的顺序，并122015,,,b b b 记为．则数()()()112220152015M a b a b a b =---的值必为 ．49.（1）证明：由2015个1和0组成的自然数不是完全平方数；（2）试说明：存在最左边2015位都是1的形如11…1﹡﹡…﹡的自然数（﹡代表阿拉伯数码）是完全平方数．数学竞赛辅导系列讲座二 ——式1.已知x _______．2.已知a+b+c=11与1111317a b b c c a ++=+++，则a b cb c c a a b+++++的值是_______． 3.已知实数a ，b ，c 满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，则代数式||||||a b ca b c ++的值是_______．4.已知a ，b 为实数，且ab=1，a ≠1，设11,1111a b M N a b a b =+=+++++，则M-N=____． 5.a ，b ，c 不全为0，满足a+b+c=0，a 3+b 3+c 3=0，称使得a n+b n+c n=0恒成立的正整数n 为“好数”，则不超过2013的正整数中好数的个数为（ ）A 、2B 、1007C 、2012D 、20136.设()()94122=++++y y x x ，则=+++1422x y y x ______．7.设a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc cax a b c ab bc ca =+++++，则321ax bx cx +++的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、-18.若|x-a|=a-|x|(x ≠0，a ≠x)（ ）A 、2aB 、2xC 、-2aD 、-2x9.若a ，b 为实数，满足111a b a b -=+，则b aa b-的值为（ ） A 、－1 B 、0C 、12D 、110.设a ，b ，c 为互不相同的有理数，满足((2b ac +=++，则满足条件的a ，b ，c 共有（ ）组A 、0B 、1C 、2D 、411.已知x y ==，则3312x xy y ++=___________．12.的结果是（ ）A 、1B 、 3C 、2D 、413.分式222253051611x xy y x xy y ++++的最小值是（ ）A 、-5B 、-3C 、5D 、314.非零实数a ，b ，c ，x ，y ，z 满足关系式x y za b c==，则()()()()()()xyz a b b c c a abc x y y z z x ++++++=_____． 15.已知x ，y ，z 为实数，若2222221,2,2x y y z x z +=+=+=，则xy+yz+zx 的最小值为（ ）A 、52B 、12+ 3C 、－12D 、12－ 3 16.若44222226a b a a b b +=-++，则22a b +=_____． 17.若实数x ，y 满足703392xy x y x y xy+++=⎧⎨+=+⎩，则22x y xy +=_______．18.设x ，y 为实数，代数式2254824x y xy x +-++的最小值为_______．19.已知实数a ，b ，c 满足27,160a b c ab bc b c -+=++++=，则b a 的值等于_____．20.分解下列因式：（1）2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ （2）42221x x ax a +++- （3）322222422x x z x y xyz xy y z --++- （4）444()x y x y +++ （5）22276212x xy y x y -++-- （6）32211176x x x +++ （7）136912++++x x x x（8）33221a b ab a b -+++21.使27m m ++为完全平方数的正整数m 的个数为__________． 22.若实数a 满足322331132a a a a a a +-+=--，则1a a+=________． 23.已知实数x ，y 满足(2015x y -=，则2232332014x y x y -+--的值为（ ）A 、－2015B 、2015C 、－1D 、124.设a =5432322a a a a a a a+---+-=________． 25.设a ，b ，c ，d 都是正整数且5432,a b c d ==，19=-a c ．求d －b 的值．26.若2223331,2,3x y z x y z x y z ++=++=++=，求444x y z ++的值．27.若22221,1,0a b c d ac bd +=+=+=，试求ab+cd 的值．28.已知x>y>z>0，求合适等式xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1989的整数x ，y ，z 的值． 29.已知一组数据4，－2，0，2，x 的极差是10，求x 的值． 30.设1219,,,x x x 都是正整数，且满足121995x x x +++=，求2221219x x x +++的最大值．31.实数a ，b1032b b =-+--，求22a b +的最大值．32.22013．33.当x 变化时，求分式22365112x x x x ++++的最小值．34.已知x y z uy z u z u x u x y x y z===++++++++，求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值． 35.求证：（1）一个自然数的平方被7除的余数只能是0，1，4，2；（2）对任意正整数n，不被7整除． 36.12,,,n x x x 为实数，()21222212n n x x x x x x n++++++=，求证：12n x x x ===．37.已知a ，b ，c 均为正整数，且满足222a b c +=，又a 为质数，求证：（1）b 与c 这两个数的乘积为偶数；（2）2(a+b+1)是完全平方数．38.设a ，b ，c 均是不等于0的实数，且满足22a b bc -=及22b c ca -=，证明：22a c ab -=．39.设实数x ，y 满足(1x y ++=，求x+y 的值．40.已知a ，b ，c 为实数，证明2222(),(),(),()a b c a b c b c a c a b +++-+-+-这四个代数式的值中至少有一个不小于222a b c ++的值，也至少有一个不大于222a b c ++的值． 41.设实数x ，y ，z 同时满足33334,266,398x y x y z y z x z +=++=++=+，试求2222013(1)2014(1)2015(1)x y z -+-+-的值．42.如果实数a ，b 满足条件22221,|12|21a b a b a b a +=-+++=-，a+b 的值是多少？ 43.已知a ，b ，c 为正数，满足下列条件 32a b c ++= …………①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= …………②为三边长的三角形可构成以一个直角三角形． 44．已知cb ac b a ++=++1111．求证：a+b ，b+C ，c+a 中至少有一个为零．45. 互不相等的实数a 、b 、c ，d.且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111, 求x 的值． 46.已知1abc =-,221a bc c+=，求555ab bc ca ++的值.数学竞赛辅导系列讲座三 ——方程1.方程|3x|+|x －2|=4的解的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、32.以关于x ，y 的方程组32339mx y x my +=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点（x ，y ）在第二象限，则符合条件的实数m 的范围是（ ）A 、m>19B 、m<－2C 、－2<m<19D 、－12<m<93.已知实数a>0，b>0，满足22014,2014a b b +=+=，则a+b 的值是______．4.关于x 的方程22211ax a a x -=+-的解为________． 5.已知p 是质数，且方程24440x px p +-=的两个根都是整数，则p=_____． 6.方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无数多个7.若a ，b 都是整数，方程220080ax bx +-=的两相异根都是质数，则3a+b 的值是（ ）A 、100B 、400C 、700D 、10008.对于实数x ，符合[x]表示不大于x 的最大整数，例如[3.14]=3，[－7.59]=-8，则关于x 的方程3747x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的整数解有（ ）个 A 、4B 、3C 、2D 、19.已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足1114,9,16,,,4916bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f ======，则 (a+c+e)－(b+d+f)的值为________．10.方程||(1)0x x k --=有三个不相等的实根，则k 的取值范围是（ ）A 、－14<k<0B 、0<k<14C 、k>－14D 、k<1411.若整数m 使得方程220060x mx m -++=的根为非零整数，这样的整数m 的个数为________．12.设x 1，x 2是方程240x x +-=的两根，则3212510x x -+=（ ）A 、-29B 、-19C 、-15D 、-913.方程22332x xy y x y ++=-的非负整数解（x ，y ）的组数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、314.方程7[2][3]82x x x +=-的所有实数解为_____________． 15.对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v ，若关于x 的方程x*(a*x)=－ 14 有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是____________．16.小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定的时间发一辆车，那么发车间隔为几分钟？17.不定方程5x －14y=11的最小正整数解是____________． 18.方程22[]30x x --=的解的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、419.已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=，的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是________． 20.已知m ，n是二次方程2201470x x ++=的两根，那么22(20136)(20158)m m n n ++++等于（ ）A 、2006 B 、2007 C 、2008 D 、200921.若实数x ，y ，z 满足方程组122232xyx y yzy z zxz x⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，则（ ） A 、x+2y+3z=0B 、7x+5y+2z=0C 、9x+6y+3z=0D 、10x+7y+z=022.已知实数a ，b ，c ，d ，且a ≠b ，c ≠d ，若关系式22222,2,4,4a ac b bc c ac d ad +=+=+=+=同时成立，则6a+2b+3c+2d=__________．23.方程组3322181x y z x y z +=-⎧⎨+=-⎩的正整数解（x ，y ，z ）为_____________． 24.方程222522007x xy y ++=的所有不同的整数解共有_______组．25.把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□x 2+□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项，使得方程至少有一个整数根的a ，b ，c 有（ ）A 、不存在B 、有一组C 、有两组D 、多于两组26.已知a ，b ，c 为正数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，则方程2(1)(2)(1)0a x b x c +++++=的根的情况是（ ） A 、没有实根B 、有两个相等的实根C 、有两个不等实根D 、根的情况不确定27.求方程232730x xy y -+=的正整数解．28.设x ，y ，z 是都不为零的相异实数，且满足等式y z z x x yy z x+++==，试证明：此等式的值不可能是实数．29.解方程：222916(3)x x x +=- 30.满足方程2221x y -=的所有质数解（即x ，y 都是质数的解）是_______． 31.若2222,x y m n x y m n +=++=+，求证：2014201420142014xy m n +=+．32.已知a>0，且b>a+c ，证明方程20ax bx c ++=必有两个不同的实根． 33.解下列方程：（1）4322914920x x x x -+-+=（2）44(2)820x x +--= （3）222(231)(251)9x x x x x -+++=（4）222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++ （5）2240119x x x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭（6）1321121111x x x++=+++34.设a 为整数，使得关于x 的方程2(5)70ax a x a -+++=至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根．35.已知正整数a ，b ，c 满足a<b<c ，且ab+bc+ca=abc ，求所有可能符合条件的a ，b ，c ． 36.当a ，b 为何值时，方程2222(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实根． 37.m 为有理数，试确定方程22443240x mx x m m k -++-+=的根为有理数．38.当12122()p p q q =+时，试证方程2110x p x q ++=和2220x p x q ++=中至少有一个方程有实根．39.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？ 40.如果关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，求k 的值． 41.把最大正整数是31的连续31个正整数分成A ，B 两组，且10在A 组，如果把10从A 组移到B 组中，则A 组中的各数的平均数增加12 ，B 组中各数的平均数也增加12 ，问A 组中原有多少个数？42.已知a>2，b>2，试判断关于x 的方程2()0x a b x ab -++=与方程2x abx a b -++=有没有公共根，并说明理由．43.求满足条件的所有实数k ，使得关于x 的方程2(1)(1)0kx k x k +++-=的根都是整数． 44.设a ，b ，c 为互不相等的非零实数，求证三个方程22220,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=不可能同时有两个相等实根．45.设△是整系数二次方程20ax bx c ++=的判别式，（1）4，5，6，7，8五个数值中，哪几个能作为判别式△的值？分别写出一个相应的二次方程；（2）请你从中导出一般规律——一切整数中怎样的整数值不能作为△的值，并给出理由． 46.设a 、b 、c 、d 是正整数，a 、b 是方程()02=+--cd x c d x 的两个根．证明：存在边长是整数且面积为ab 乘积的直角三角形．数学竞赛辅导系列讲座四——不等式1.不等式2|26|x x a +-≥对一切实数x 都成立，则实数a 的最大值为_____．2.x <<x 的个数是（ ） A 、4B 、5C 、6D 、73.已知－1<2x －1<1，则21x-的取值范围是_______． 4.已知关于x 的不等式(2m －n)x －m －5n>0的解集为x<107 ，那么关于x 的不等式mx>n(m ≠0)的解集为__________． 5.使关于x 的不等式12ax a x --≥成立的x 的最大值是－1，则a 的值是____． 6.关于x 的不等式|2x －1|<6的所有非负整数解的和为_______．7.若正数x ，y ，z 满足不等式组1126352351124z x y z x y z x y x z y ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，则x ，y ，z 的大小关系是（ ）A 、x<y<zB 、y<z<xC 、z<x<yD 、不能确定8.若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a+b=c ，b+c=d ，c+d=a ，那么a+b+c+d 的最大值为（ ）A 、－1B 、－5C 、0D 、19.若a ，b ，c ，d 为乘积是1的四个正数，则代数式2222a b c d ab ac ad bc bd cd +++++++++的最小值是（ ）A 、0B 、4C 、8D 、1010.设实数x 满足3142631323510x x x ----≥-，求2|x －1|+|x+4|的最小值． 11.求证：2211331x x x x -+≤≤++（x 为实数）．12.已知221a b +=，对于满足条件0≤x ≤1的一切实数x ，不等式a(1－x)(1－x －ax)－bx(b －x －bx)≥0．恒成立，当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值13.设x ，y 为实数，若22222,x xy y x xy y k -+=++=，求k 的取值范围．14.解关于x 的不等式组365(12)8mx mxmx x m x -<-⎧⎨+>-+⎩．15.在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数2910105x x y =-+的图像上找出满足y ≤|x|的所有整点（x ，y ），并说明理由．16.已知0<a<1，0<b<1，0<c<1，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不可能同时大于14 ．17．一玩具厂用于生产的全部劳动力为450个工时原料为400个单位．生产一个小熊要用15个工时，20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫要用10个工时，5个单位的原料，售价为45元．在劳动力和原料的限制下合理安排生产小熊小猫的个数．可以使小熊和小猫总售价尽可能高．请你用学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元．18.求满足不等式 a 2+b 2+c 2+3﹤ab+3b+2c 的整数解．19.由沿河岸一城市A 运货物到离河岸30km 的地点B,按沿河岸距离计算，B 离A 的距离AC 是40km ．如果水路运费是公路运费的一半，应该怎样确定在河岸的点D,从B 点筑一条公路到D ，才能使由A 到B 的运费最少？20.甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种．若两人购买商品一共花费了172元．则其中单价为9元的商品有几件？21.货轮上卸下若干只箱子，其总质量为10吨．每只箱子的质量不超过1吨，为了保证能把这些箱子一次性运走．问至少需要多少载重为3吨的车子．22．已知二次函数y=2x +(m+1)x+n 过点(3，3)，并且对于一切实数x ，所对应的函数值均不小于x ，求这个函数图像的顶点到原点的距离．23．如图，△ABC 中，∠C 为锐角，AD ，BE 分别是BC 和AC 边上的高线，设CD=2m BC ，CE=2nAC ，当m ，n 为正整数时，试判断△ABC 的形状，并说明理由．24．已知y x x x )2(622222-=+-+-，求yx -1的值．25．已知a ，b 为实数，且满足16a 2+2a+8ab+b 2—1=O ，求3a+b 的最小值．26．设10p p x ，求证：21)1(11522+-+++≤p x x ．27．若二次函数()x f =a x ax --22满足()()()()0312f f f f ，则实数a 的取值范围为 ． 28．已知+∈R y x ,．求yx yy x x 22+++的最大值．29．能同时表示成连续9个整数之和、连续10个整数之和及连续11个整数之和的最小正整数为 ．30．四边形ABCD 两条对角线AC 、BD 相交于点O ，且⊿AOB 与⊿COD 的面积分别为1、9．求四边形ABCD 面积的最小值，并判断当取得最小值时四边形的形状．31.已知正数a 、b 、c 、a 1、b 1、c 1,满足条件a+a 1=b+b 1=c+c 1=k ，求证:a b 1+ b c 1+ c a 1﹤k 2．32．设a 、b 、c +∈R ，求证：2222cb a ac c c b b b a a ++≥+++++．33．已知a 、b 是给定的大于2015的实数，对于任意实数x 、y ，都有122))((22222++--+++k k ay bx y x b a >0,其中k 是实数，求k 的取值范围.34．当三个非负实数x 、y 、z 满足关系式323=++z y x 与433=++z y x 时，M=3x-2y+4z 的最小值和最大值分别为 .35．有n 个连续的正整数1、2、…，n ，去掉其中的一个数x 后，剩下的平均数是16 .则满足条件的n 和x 的值分别是 .36．已知实数x 、y 满足5422=--y x x ，记y x t 2-=，则t 的取值范围是 .37．小马在体育场卖饮料，雪碧每瓶4元,汽水每瓶7元,开始时他有350瓶饮料,虽然没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2009元,则他至少卖出了 瓶汽水. 38.请判断1002是多少位整数(要有详细的过程).数学竞赛辅导系列讲座五 ——函数1.在平面直角坐标系中有点A （－2，2）、B （3，2），C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则符合条件的点C 有（ ）个A 、1B 、2C 、4D 、62.已知一次函数y=kx+b ，kb<0，则这样的一次函数的图象必经过的公共象限有____个，即第_________象限．3.若反比例函数y=kx 的图像与一次函数y=ax+b 的图像交于点A （－2，m ）、B （5，n ），则3a+b=_______．4.已知二次函数2y x x a =-+的图像与x 轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则a 的取值范围是__________．5.已知点A 、B 分别在一次函数y=x ，y=8x 的图像上，其横坐标分别为a ，b （a>0，b>0），若直线AB 为一次函数y=kx+m 的图像，则当b a是整数时，满足条件的整数k 的值共有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6.一次函数13y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，在第二象限内有一点P （a ，12 ），满足S △ABP =S 正方形ABCD ，则a=________．7.已知y =x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A 、 6 -3B 、3C 、 5 - 3D 、 6 - 38.把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图像与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）A 、512B 、49C 、1736D 、129.过点P （－1，3）作直线，使它与坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以做（ ）A 、4条B 、3条C 、2条D 、1条10.若关于x 的函数2(3)(41)4y a x a x a =---+的图像与坐标轴有两个交点，则a 的值为_______．11.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像经过（－1，2）且与x 轴的交点的横坐标分别为x 1，x 2（－2<x 1<－1，0<x 2<1），给出下列结论：①abc>0，②4a －2b+c<0，③2a －b<0，④b 2+8a>4ac ，其中正确的有（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、412.过原点的直线与反比例函数y=- 7x 的图像交于A ，C ，自点A ，C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为B ，D ，则四边形ABCD 的面积等于______．13.设抛物线24y x kx =++与x 轴有两个不同的交点（x 1，0）、（x 2，0），则下列结论中一定成立的是（ ）A 、221217x x +=B 、22128x x +=C 、221217x x +<D 、22128x x +>14.一次函数y=kx+b 的图像过点P （1，4），且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B ，O 为坐标原点，△ABO 的面积最小时，k ，b 的值分别是（ ）A 、－4，8B 、－4，4C 、－2，4D 、－2，－215.已知函数2()f x ax c =-（a ，c 为实数），若－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤2，则f(8)的最大值是__________．16.如果函数y=b 的图像与函数23|1|43y x x x =----的图像恰有三个交点，则b 的可能值为_________．17.若函数245(1)y x x t x t =--+≤≤+的最大值关于t 的表达式y max =______． 18.已知abc<0，则在图中的四个选项中，表示2y ax bx c =++的图像可能是（ ）ABCD19.如图，两个反比例函数1k y x =和2ky x=（k 1>k 2>0）在第一象限内的图像依次是曲线C 1和C 2，设点P 在C 1上，PE ⊥x 轴于点E ，交C 2与点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B，则四边形PAOB 的面积为（ ） A 、k 1+k 2 B 、k 1-k 2 C 、k 1k 2D 、k 1k 220．如图已知点A 、B 分别在反比例函数)0(x x n y =、)0( x xm y =的图像上，OB OA ⊥，则tanB= ．21.在平面直角坐标系中，已知点A （1，1）在坐标轴上找一点P ，使△AOP 为等腰三角形，求P点坐标．22.设抛物线25(21)24y x a x a =++++的图像与x 轴只有一个交点． （1）求a 的值；（2）求186323a a -+．23.已知直线y=b （b 为实数）与函数2|43|y x x =-+的图像至少有三个公共点，则实数b 的取值范围．24.已知一次函数y=Ax+B 与反比例函数y=kx 的图像交于点M （2，3），N （－4，m ）（1）求一次函数y=Ax+B 与反比例函数y=kx 的解析式；（2）求△OMN 的面积．25.如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB =4，点E 、F 分别是线段CD ，AB 上的动点，设AF =x ，AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．C D E FA B26.求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数21()f x x ax b n=++对任意整数x ，f(x)都是整数． 27.如图，已知点M （0，1），N （0，－1），P 是抛物线214y x =上的一个动点 （1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线y=-1的位置关系；（2PNM=∠QNM28.已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图像与x 轴的交点分别为A ，B ，与y 轴的交点为C ，设△ABC 的外接圆的圆心为P ．（1）证明⊙P 与y 轴的另一个交点为定点；（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且S △ABC =2，求b 和c 的值．29.已知抛物线2y x px q =++上有一点M （x 0，y 0）位于x 轴的下方．（1）求证：已知抛物线与x 轴必有两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），其中x 1<x 2； （2）求证x 1< x 0<x 2；（3）若点M 为（1，－2）时，求整数x 1，x 2的值．30. 如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么，我们称抛物线1C 与2C 关联．(1)已知抛物线①122-+=x x y ，判断下列抛物线②122++-=x x y ；③122++=x x y 与已知抛物线①是否关联，并说明理由．(2)抛物线1C :2)1(812-+=x y ，动点P 的坐标为（t ，2），将抛物线绕点P （t ，2）旋转︒180得到抛物线2C ，若抛物线1C 与2C 关联，求抛物线2C 的解析式．(3)点A 为抛物线1C :2)1(812-+=x y 的顶点，点B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC Δ，使其直角顶点C 在y 轴上，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．31．已知二次函数2222(0)y x mx m m =--≠的图像与x 轴交于点A ，B ，它的顶点在以AB 为直径的圆上．（1）证明：A ，B 是x 轴上两个不同的交点； （2）求二次函数的解析式；（3）设以AB 为直径的圆与y 轴交于点C ，D ，求弦CD 的长．32．如图，双曲线xy 2=(x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得△C B A '，B '点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .33．如图，一次函数y =－2x 的图象与二次函数y =－x 2+3x 图象的对称轴交于点B .（1）写出点B 的坐标 ；（2）已知点P 是二次函数y =－x 2+3x 图象在y 轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y =－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点. 若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，则点P 的坐标为 ．34．我们知道，对于二次函数y=a （x+m ）2+k 的图像，可由函数y=ax 2的图像进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数y=ax 2为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y=a （x+m ）2+k 为“基本函数”y=ax 2的“朋友函数”．左右、上下平移的路径称为朋友路径，对应点之间的线段距离22k m +称为朋友距离．第32题图B'yx O CBAOBC D由此，我们所学的函数：二次函数y=ax 2，函数y=kx 和反比例函数xky =都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”． 如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x 的朋友函数，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=103122=+.（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x 先向 ，再向下平移7单位，相应的朋友距离为 ．（2）探究二：已知函数y=x 2-6x+5，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离． （3）探究三：为函数143++=x x y 和它的基本函数xy 1=，找到朋友路径，并求相应的朋友距离．35．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，过点P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点．设AC ＝2，BD ＝1，AP ＝x ，△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致形状是（ ）36.已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A （0，1），B （0，3），第三个顶点C 在x 轴的负半轴上．关于y 轴对称的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，D （3，－2），P 三点，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上． （1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式及点P 的坐标；（3）设M 是y 轴上的一个动点，求PM ＋CM 的取值范围．ABCDMN P37．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>； （3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <； ②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④38．已知抛物线y=2x 2—4mx+21与x 轴有2个不同的交点A ，B ，抛物线的顶点为C ， (1)当△ABC 为等边三角形时，试确定点C 的位置； (2)如何平移符合条件(1)的抛物线，使AC=23AB ； (3)设点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，点F ，G 分别是DC ，EC 的中点，问四边形DFGE 的面积S 的大小与m 的取值是否有关?若有关，写出其关系式；若无关，请说明理由．39．已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥恒成立．（1）试确定抛物线y ＝(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥的开口方向以及与x 轴的交点个数．（2）求乘积ab 的最小值．（3）当ab 取最小值时，求抛物线y ＝(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥的解析式．40．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(2(c ﹥b ﹥a),其图象过点(1,0),并且与直线a y -=有公共点．证明：ab≤0﹤1． 41．方程 ()42330ax a x a --+=有一个根小于－2,另外三个根都大于－1,求a 的取值范围.数学竞赛辅导系列讲座六——三角形1.设△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且2228440a c b ab bc ++--=，则△ABC 一定是（ ）A 、直角三角形B 、等边三角形C 、等腰三角形D 、钝角三角形2.△ABC 的边a ，b ，c 满足条件211b a c=+，则b 边所对的∠B 的大小是（ ） A 、锐角B 、直角C 、钝角D 、锐角、直角、钝角都有可能3.在锐角△ABC 中，三个内角的度数都是质数，且最短边的长是1，则满足条件的互不全等的三角形的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、多于34.7条长度均为整数的线段127,,,a a a ，满足127a a a <<<，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若a 1=1，a 7=21，则a 6=（ ）A 、18B 、13C 、8D 、55.1239A A A A 是一个正九边形，1213,A A a A A b ==，则15A A 等于（ ）ABC 、12(a+b)D 、a+b6.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC<AC ，且241AB AC BC =⨯，则∠A=（ ） A 、15°B 、18°C 、20°D 、25°7.如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角， 在直线l 上取一点P ，使得∠APB=30°，则这样的点P 有（ ）A 、3个B 、2个C 、1个D 、不存在8.在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点123100,,,,P P P P ， 记()100,,3,2,12K =⨯+=i PC BP AP m i i i i ，则12100m m m +++=（ ）A 、100B 、200C 、300D 、4009.如图，在线段AE 同侧作两个等边△ABC ，△CDE （∠ACE<120°），P ，M 分别是线段BE 和AD 的中点，则△PCM 是（ ）A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、等边三角形D 、非等腰三角形 10.在△ABC 中，∠C=3∠A ，a=27，c=48，则b 等于（ ）A 、33B 、35C 、37D 、不确定BDE11.在△ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13，D ，E 在边BC 上，满足BD=1，CE=8，则∠DAE 的度数为_______．12.在Rt △ABC 中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在CA 、CB 上，满足∠DFE=90°，若AD=3，BE=4，则线段DE 的长度为______．13.如图，在正△ABC 中，D 、E 分别在BC ，CA 上，使CD=AE ，AD 与BE 交于点P ，BQ ⊥AD 于点Q ，则QPQB=______．14.设P 是边长为12的正△ABC 内一点，过P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足为别为D 、E 、F ，已知PD:PE:PF=1:2:3，那么四边形BDPF 的面积是________． 15.如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD ⊥AE ，且AB+AC=BE ，则∠B=________．16.如图，在三角形ABC 中，∠BAC=45°，AD ⊥BC 于点D ，若BD=3，CD=2，则S △ABC =________． 17.在△ABC 中，AB=7，AC=11，M 是BC 边的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长是______．18.在△ABC 中，∠CAB=70°，∠CAB 和∠ACB 的平分线交于点I ，若AC+AI=BC ，则∠ACB= _____°．19.在钝角△ABC 中，∠A<∠B<∠C ，∠A 、∠C 的外角平分线交对边延长线与D 、E ，且AD=AC=CE ，则∠BAC 的大小是__________．20、在底角等于80°的等腰△ABC 的两腰AB ，AC 上分别取点D 、E 使得∠BDC=50°，∠BEC =40°，则∠ADE=______．21.已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF ．22.如图，以△ABC 的AB 、AC 为斜边向形外作直角三角形ABD 和ACE 且使∠1=∠2，M 是BC 的中点，求证：MD=ME ．D EC23.已知在△ABC 中，∠A>90°，AD ⊥BC ，求证AC+AB<AD+BC ．24.在等腰三角形ABC 一腰AB 上取一点D ，在另一腰AC 的延长线上去CE=BD ，连DE ，求证：DE>BC ．25.锐角△ABC 中，BC<AB ，AH 是BC 边上的高，BM 是AC 边上的中线，AH=BM ，求证：∠MBC =30°．26.如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形成一个三角形，求证：△AMN 的周长等于2．27.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC ，BD=0.5，DE+BC=1，求证：∠ABC=30°．28.如图，∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=900—12 ∠BDC ，求证：△ABC 是等腰三角形．E29.如图，在△ABC 中，已知∠A=90°，AB=AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD ，延长AE 交BC 于F ，求证：∠ADB=∠CDF ．30.如果P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2，PB=2 3 ，PC=4，求正△ABC 的边长． 31.如图，已知D 、E 、F 分别是锐角△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于点P ，AP=BP=CP=6，设PD=x ，PE=y ，PF=z ，若xy+yz+zx=28，求xyz 的大小．32.如图，在一张长方形纸片ABCD 中，AB AD <，点E F 、分别是AB 和CD 的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，使点B 落在线段EF 上的点G 处，折痕AK 交EF 于H ，则下列说法正确的个数有 ①30DAG ∠=︒；②△GHK 是正三角形；③2GH EH =；④3FG EH =． （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个33.如图，同一段铁丝分成相等的四段可围成正方形，若分成相等的五段，则可围成正五边形，其中正方形的边长为(2212a ab b -+)m ，正五边形的边长为(25)b m -，则这段铁丝的总长是_______________m ．34．如图，直线l 1、l 2、l 3相交于点A 、B 、C ，得到△ABC ，其中∠ACB ＝90°，AC=6，BC=8，点O 在线段AC 上，且OA=2OC ，将△ABC 绕点O 旋转得到△A /B /C /，当点A /落在这三条直线上时，线段AA /的长是_______________．35．如果长为l 的一根绳子恰好可围成两个全等三角形，那么其中一个三角形的最长边x的取值范围是（ ） A ．8l ≤x ＜4l B ．6l ≤x ＜4l C ．8l ≤x ＜3l D ．6l ≤x ＜2l 36．已知AD 是△ABC 的中线，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝45°，则∠ACB ＝ 度．EDPCAEFHK GF DAB C。

初一数学竞赛讲座第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。

在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。

我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。

如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。

由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。

例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。

所以最多可以播7天。

说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。

例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。

问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。

因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。

当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。

当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。