第3章 振动、波动和声详细答案

思考题3-1 如何判断简谐振动？3-2 两个同方向同频率的简谐振动相遇后各点要始终保持不振动，应具备什么条件？ 3-3 旋转矢量法如何来计算振动方程的初相？3-4 简谐振动的速度和加速度都有负号，是否意味着速度和加速度一定是负值，二者的方向相同吗？3-5 振动的能量由什么决定？3-6 什么是阻尼振动？阻尼振动与简谐振动有什么不同？受迫振动和阻尼振动一样吗？ 3-7 什么是共振？3-8 产生机械波要具备什么条件，波在不同介质中传播波长，周期，波速哪些量不变化哪些量会变化？3-9 波动方程和振动方程有什么区别？ 3-10 简谐振动和简谐波的能量有什么特点？3-11 什么是波的干涉？两列波相遇后一定会发生干涉现象吗？ 3-12 什么是驻波？驻波和简谐波有什么区别？3-13 什么是闻阈和痛阈？人耳对声音的反应主要决定是什么？ 3-14 听觉域的范围是什么？闻阈最敏感的频率是多少？3-15 声强级大的响度级一定高吗？声强级相同的响度级也一定相同吗？ 3-16 什么是多普勒效应？3-17 超声波和次声波哪种波传的远？哪种波容易阻挡？ 参考答案3-1 满足下列方程之一，就可以认为是简谐振动：①ks F -=；②02=+s dtds ω；③)cos(ϕω+=t A s ；3-2 当相位差为π的奇数倍时，合振动的振幅最小，等于二者的分振动振幅之差，所以要具备两个条件，分振动的相位差为π的奇数倍，分振动的振幅相等，在相遇的区域满足这两个条件的合振动振幅为零，即质点始终保持不振动.3-3 位移S 轴的正方向与旋转矢量的初始位置的夹角称为初相，沿逆时针方向的夹角取正，沿顺时针方向的夹角取负.一般在2π内，小于π取正，大于π取负.例如，初相位23π，一般取2π-.3-4 因为简谐振动的速度和加速度表达式为),cos(ϕω+=t A sv=)2cos()sin(πϕωωϕωω++=+-t A t A)cos()cos(22πϕωωϕωω++=+-=t A t A a所以速度和加速度不一定是负值随相位值的不同可正可负，二者的方向也不是一定相同,有时会一样有时会相反,在一、三象限方向一致,二、四象限方向相反，为正时方向和位移轴的正方向一致，为负时和位移轴正方向相反，显然，速度超前位移2π滞后加速度2π.3-5 振动的能量守恒，能量221kA E =由组成系统的弹簧的倔强系数和振幅的大小来决定.3-6 因各种因素导致振动过程中，振动的能量和振幅都减少的现象称为阻尼振动.简谐振动是理想的周期振动，在整个振动过程中周期，振幅和能量都保持不变，阻尼振动严格意义上说不是周期函数，在振动过程中，振幅和能量在减少，如果以连续两次经过振动位移最小值的时间作为周期，则阻尼振动的周期比固有周期长，阻尼振动根据阻尼系数与固有频率大小的关系可以分为欠阻尼，过阻尼和临界阻尼.只有欠阻尼的振动具有周期性和重复性，过阻尼和临界阻尼已经不具备周期性和重复性，过阻尼是缓慢地回到平衡位置就停止振动，临界阻尼则以较快的速度回到平衡位置停止振动.受迫振动和阻尼振动不同，阻尼振动只受弹性力和阻尼力，随时间振幅和能量越来越小，而受迫振动在驱动力、阻尼力和弹性力的共同作用下，达到一定时间后振动将达到稳定状态，振动的振幅保持不变，驱动力提供的能量刚好补偿阻尼力损耗的能量，振动的能量保持不变.3-7 当外界振动的频率ω与系统固有频率o ω满足βωω220-=这个关系时，系统的振动振幅达到最大值，这一现象称为共振，阻尼系数β越小共振振幅越大，阻尼系数β越大，共振振幅越小，简谐振动是理想振动，阻尼系数为零，所以共振振幅趋于无穷大.3-8 机械波产生需要两个条件：波源和弹性介质.波在不同介质中传播周期保持不变，而波速随介质不同而变化，因此，波长因波速不同也不同.3-9 振动方程和波动方程都是描写质点的位移.振动方程是描写一个质点随时间的变化规律，而波动方程是描写空间若干个不同质点随时间的变化规律，所以，振动方程的位移是时间的函数，而波动方程中的位移是时间和空间质点位置的函数.当波动方程中空间质点的位置一旦确定，波动方程就变成这个确定质点的振动方程.3-10 简谐振动是理想的振动，能量守恒，能量的大小和振幅的平方成正比，一个周期内动能和势能交替变化，但是和保持不变，在平衡位置，动能最大势能为零，在最大位移处，动能为零势能最大.简谐波虽然也是忽略介质对波的吸收，是理想的波动，但是波动的能量不守恒呈周期性的变化，任一体积元的动能和势能相等，波传到哪里，那里的质点就从前面的质点获得能量开始振动，振幅达到最大值后就把能量逐渐传给后面质点，能量就这样由近及远由波源沿波传播的方向传播出去，所以波动也是能量的传播过程.3-11 当两列波在空间相遇的区域内，某些地方振幅始终加强，某些地方振幅始终减弱，这种现象称为波的干涉.发生波的干涉要具备的条件是：两波源的频率相同，振动方向相同，相位差恒定.3-12 两列相干波，振幅相同，沿相反方向传播，在它们叠加的区域有些点始终静止不动，在这些相邻点之间的各点有不同的振幅，中间的振幅最大，这样的波称为驻波.驻波没有能量和相位的传播，也没有振动状态的传播，所以无所谓的传播方向，是一种波形驻定不移动的特殊波，不是行波.简谐波是一种行波，沿波传播的方向可以传播波的振动形式、相位和能量，所以有传播方向.3-13 引起人听觉的最低声强称为闻阈，人耳能够忍受的最高声强称为痛阈，每个频率都对应有相应的闻阈和痛阈，人耳对声音的反应主要取决于两个因素：声强和频率. 3-14 人耳听觉的频率范围是20-20000Hz ，所以人的听觉范围是20Hz 频率线、20000Hz 频率线，闻阈曲线和痛阈曲线所围城的区域.人耳最敏感的闻阈频率是1000 Hz -5000Hz.3-15 声强级大的响度级不一定高.例如，有可能30dB 的声音响度级小于10dB 的响度级.在声强级一定的情况下，频率不同响度级不同，例如，50dB 的声音响度级在20-20000Hz 范围内有可能是0方-50方中的任何一个值，而且也不是频率越高响度级越大. 3-16 当波源或者观察者有相对运动，观察到的频率和波源的频率不同，这种现象称为多普勒效应.3-17 次声波（小于20Hz ）的频率低波长长，超声波(大于20000Hz)的频率高波长短，所以，次声波很容易在传播，很难用什么东西可以阻挡次声波，超声波不宜在空气中传播，衰减很快，所以很容易就可以阻挡超声波的传播. 计算题3-1. 作简谐振动的质点分别在下列情况下，位移、速度和加速度的大小及其方向如何？初相是多少？⑴在正的最大位移处； ⑵负的最大位移处；⑶平衡位置，向负方向运动； ⑷平衡位置，向正方向运动. 解： )cos(ϕω+=t A sv = )2cos(πϕωω++=t A )cos()cos(22πϕωωϕωω++=+-=t A t A a⑴ 0,,2=-==ϕωA a A s ; v =0 ⑵ πϕω==-=,,2A a A s ; v =0 ⑶ 2,0,0πϕ===a s ; v =-ωA⑷ 2,0,0πϕ-===a s ；v =ωA3-2. 一简谐振动的振幅为A ，周期为T ，以下列各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动的表达式：（1）物体过平衡位置向s 轴负方向运动；（2）过2A 处向s 轴正方向运动.)sin(ϕωω+-t A解：⑴ 由旋转矢量图示法可知，物体过平衡位置时对应的初相为2π±=ϕ，取正号时物体必然会向s 轴负方向运动时，取负号时物体必然会向s 轴正方向运动，由题意得初相为：2πϕ=，振动的表达式为：)22cos()cos(ππϕω+=+=t TA t A s ；⑵ 由旋转矢量图示法可知，物体过2A 处，3πϕ±=，取正号时物体必然会向s 轴负方向运动，取负号物体必然会向s 轴正方向运动，由题意知向s 轴正方向运动初相为：3πϕ-=，振动的表达式为)32cos()cos(ππϕω-=+=t T A t A s .3-3、 一弹簧振子放置在光滑的水平面上，弹簧一端固定，另一端连接一质量为kg 2.0的物体，设弹簧的劲度系数为1m N 8.1-⋅，求在下列情况下的谐振动方程.（1）将物体从平衡位置向右移m 05.0后释放.（2）将物体从平衡位置向右移m 05.0后给与向左的速度1s m 15.0-⋅. 解：32.08.1===m k ω1s rad -⋅ ⑴ 将物体从平衡位置向右移m 05.0后释放，说明物体处在正的最大位移处，下一时刻向位移的负方向运动，所以，05.0=A m ,0=ϕ. 振动方程为 t s 3cos 05.0=(m)（2）将物体从平衡位置向右移m 05.0后给与向左的速度1s m 15.0-⋅,则 05.0cos 0==ϕA s ，v 0=15.0sin -=-ϕωA ,205.0)315.0(05.022=-+=A (m)，4)305.015.0arctan(πϕ=⨯=，振动方程为 )43cos(205.0π+=t s (m)3-4、质量为m 物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，其固有周期为T ，当它作振幅为A 的简谐振动时，其振动能量E 是多少？ 解：,2Tπω=22222221A Tm A m E πω==3-5、 一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动，)324cos(05.01π+π=t s ， )344cos(03.02π-π=t s ，求合振幅的大小是多少？解： πππϕϕϕ∆2)34(3221=--=-=)(08.003.005.021m A A A =+=+= 合振动的振幅为0.08m ．3-6、 弹簧振子作简谐振动时，若其振动振幅和频率都分别为原来的三分之一，总能量是多少？,若振幅增加到原来的两倍，而总能量保持不变，如何实现？解：8121811)3()3(2121222222E A m A m A m E =⨯==''='ωωω总能量是原来的81分之一.∵ 2222222221214)2(2121A m A m A m A m E ωωωω='⨯='=''=' ∴ 2ωω='，即要保持总能量不变，频率必须是原来大小的一半. 3-7、两个同频率同方向的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm ，与第一个简谐振动的相位差为61πϕϕ=-，若第一个简谐振动的振幅为310 cm = 17.3 cm ，则第二个简谐振动的振幅是多少？两个简谐振动的相位差)(21ϕϕ-是多少？ 解：已知61πϕϕ=-,20=A cm, 3101=A cm由矢量关系可知：1006cos 310202310(20)cos(22)21121222=⨯⨯-+=--+=πϕϕAA A A A102=A cm)cos(2212122212ϕϕ-++=A A A A A)cos(10310210)310(2021222ϕϕ-⨯⨯++=,0)21cos(=-ϕϕ,...2,1,0,2)12(21=+±=-k k πϕϕ3-8、波源的振动方程为)39t 4cos(04.0s π+π=m ，以2.01s m -⋅无衰减地向 X 轴正方向传播，求：①波动方程，② x =8m 处振动方程；③ x =8m 处质点与波源的相位差.解：① 波动方程]39)2(4cos[04.0]39)(4cos[04.0ππππ+-=+-=x t u x t s (m)② x =8m 处振动方程)39384cos(04.0]39)28(4cos[04.0ππππ-=+-=t t s (m) ③ x =8m 处质点与波源的相位差πππϕϕϕ∆-=--=-=393938123-9、如图3-9图所示一平面简谐波在0=t 时刻的波形图，求 (1)该波的波动表达式；(2)P 处质点的振动方程.解：从图中可知：04.0=A m, 40.0=λm,08.0=u 1s m -⋅,2πϕ-=508.040.0===uT λ,ππω4.02==T(1) 波动表达式：]2)08.0(4.0cos[04.0ππ--=x t s (m)(2) P 处质点的振动方程．)234.0cos(04.0]2)08.02.0(4.0cos[04.0ππππ-=--=t t s (m) 3-10、 O 1，O 2是两列相干波源，相距2.5λ，O 1超前O 2相位3π，两列波的振幅都是A ，波长为λ，两列波无衰减地传播，P 、Q 分别在O 1，O 2的连线上，P 在O 2的外侧1.5λ，Q 在O 1的外侧2.0λ，求：① O 1，O 2连线中点处质点的振幅？② P 点处质点的振幅？③ Q 点处质点的振幅？解：① πλππλπϕϕϕ∆3023)(2,212121=⨯-=---==x x x x ，021=-=A A A ,所以连线中点处质点的振幅为零. ② πλλππλπϕϕϕ∆25.223)(22121-=⨯-=---=x xA A A A 221=+=P 点处质点的振幅是A 2 ③ πλλππλπϕϕϕ∆8)5.2(23)(22121=-⨯-=---=x xA A A A 221=+=Q 点处质点的振幅是A 23-11、一波源以)9.14cos(03.0ππ-=t s m 的形式作简谐振动，并以1001s m -⋅的速度在某种介质中传播.求：① 波动方程；② 距波源40m 处质点的振动方程；③ 在波源起振后1.0s ，距波源40m 处质点的位移、速度及初相? 解：已知πϕπω9.1,100,4,03.0-====u A ，则① 波动方程为：]9.1)100(4cos[03.0ππ--=x t s (m)② 距波源40m 处质点的振动方程)24cos(03.0]9.1)10040(4cos[03.0ππππ-=--=t t s （m ）③ 在波源起振后1.0s ，距波源40m 处质点的位移、速度及初相?(m) -02.02203.0)20.14cos(03.0≈⨯=-⨯=ππs (m)v =-02.02203.0)20.14sin(4-≈⨯⨯-=-⨯πππωA (1s m -⋅) πϕ2-=3-12、初相相同的两相干波源A 和B 相距40m ，频率为50Hz ，波速为5001s m -⋅，求两相干波源的连线上产生相干加强和相干减弱的位置？解：以A 为坐标原点，A 和B 连线为X 轴，方向由A 向B ：则波程差为 402)40(-=--=-=x x x r r B A δ,1050500===νλu m相干加强的位置λk x ±=-402，)3,2,1,0(520=±=k k x相干减弱的位置2)12(402λ+±=-k x)3,2,1,0)(5.0(520=+±=k k x3-13、沿绳子传播的波动方程为)7310.0cos(05.0πππ+-=t x s m ，求波的振幅，频率，传播速度，波长，绳子上某点最大的横向振动速度.解：]7)30(3cos[05.0)7310.0cos(05.0πππππ--=+-=x t t x s (m)振幅05.0=A m ，频率5.1232===πππωνHz ，传播速度为30=u 1s m -⋅， 波长为205.130===νλu m ，横向最大振动速度v max =1.47)14.33(05.0=⨯⨯=ωA c 1s m -⋅3-14、弦线上驻波相邻波节的距离为65cm ，振动频率为2102.3⨯Hz ，求波长和波的传播速度.解：驻波相邻波节之间的距离为半个波长，所以波长为130652=⨯=λcm=1.3m416102.33.12=⨯⨯==λνu 1s m -⋅3-15、在空气中某点声波的强度为5100.2⨯2m W -⋅，振幅为2mm ，空气密度1.293m kg -⋅，波速为3441s m -⋅，求波长和平均能流密度.解：① 2221A u I ωρ=42352105.1)102(34429.1100.222⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==-uA I ρω341039.214.32105.12⨯=⨯⨯==πων4.141039.23443≈⨯==νλu cm ② 581344100.221522≈⨯===u I A ρω3m J -⋅3-16、某声音的声强级比声强为26m W 10--⋅的声音的声强级大20dB 时，问此声音的声强是多少？解：601010lg 101262==--L （Db ）120110lg 10lg 10806020-===+=I I I L410-=I 2m W -⋅3-17、频率为5Mhz 的超声波进入人体软组织，求：①波长；②在20cm 处软组织中往返一次所需要的时间（超声波在体内软组织的传播速度为1s m 1540-⋅）.解：①mm m u 31.0)(1008.3105154046=⨯=⨯==-νλ② s s t μ260)(1060.2154022.04=⨯≈⨯=-3-18、已知空气、软组织、颅骨的密度分别为0.0012、1.016、1.658（3cm g -⋅），对应在其中传播的 声速分别为344、1500、3360（1s m -⋅），求超声波垂直入射时空气与软组织、软组织与颅骨交界面上的声强反射系数？ 解：空气、软组织和颅骨的声阻抗分别为331111041.0344100012.0⨯=⨯⨯==u Z ρ12s m kg --⋅⋅33222101524150010016.1⨯=⨯⨯==u Z ρ12s m kg --⋅⋅ 33333105571336010658.1⨯=⨯⨯==u Z ρ12s m kg --⋅⋅ 空气与软组织的反射系数：9.99999.0)1041.010152410041101524()(2333321212=≈⨯+⨯⨯-⨯=--=z z z z α% 软组织与颅骨的反射系数：5757.0)101524105571101524105571()(2333322323=≈⨯+⨯⨯-⨯=--=z z z z α%3-19、 一列火车以20 m/s 的速度行驶，若机车汽笛的频率为600 Hz ，某人站在机车前和机车后所听到的声音频率分别是多少？（设空气中声速为340 m/s ）. 解：在车前听到的频率 5.63760020340340=⨯-=-='ννs u u v (Hz) 在车后听到的频率(Hz)7.56660020340340=⨯+=+='ννs u u v w3-20、蝙蝠在洞中飞行，发出频率为38000Hz 的超声，在一次朝着表面垂直的墙壁飞行时，飞行速度是空气中声速的38分之一，问蝙蝠自己听到从墙壁反射回来的超声频率是多少？解：蝙蝠飞向墙壁时，蝙蝠发出超声波，自己作为声源在运动，而墙壁作为接收者不动，接收到的频率升高为：ννν3839)3811(1=+='u u从墙壁反射回来的超声波以墙壁作为声源不动，蝙蝠作为接收者在向着声源运动，因此，蝙蝠听到自己发出的超声波的频率应为4002638000)3839(3839)3811(2112=⨯='='+='νννu uHz .。