中学奥林匹克数学竞赛试题
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中学奥林匹克数学竞赛试题
一、单选题
1.2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A.720 B.960 C.1120 D.1440
2.某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（ ）
A．120 B．35 C．310 D．910
3.已知sin2sin36，则sin23（ ）
A.34 B. 34 C.45 D.45
4.定义区间1212,xxxx的长度为21xx，已知函数||2xy的定义域为[,]ab，值域为[1,2]，则区间[,]ab的长度的最大值与最小值的差为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.12
5.若2,01,0xmxfxnxx是奇函数，则（ ）
A.1m，2n B. 1m，2n
C. 1m，2n D. 1m，2n
6.列函数中，既是偶函数又在区间(0),上单调递增的是（ ）
A．2(1)fxx B．21fxx C．2fxx D．2xfx
7.袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）
A．16 B．13 C．34 D．56
8．若命题甲：10x，命题乙：2lglg0xx，则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分也非必要条件
9．命题：00x，20010xx的否定是（ ）
A．0x，210xx B．00x，20010xx
C．00x，20010xx D．0x，210xx
10．已知函数11fxxx，在下列区间中，包含()fx零点的区间是（ ）
A．14 ,12 B．12 ,1 C．(1,2) D．(2,3)
11.已知集合3,1,0,2,3,4A，{|0RBxx或3}x，则AB（ ）
A. B.3,1,0,4 C.2,3 D.0,2,3
12.已知𝑚3=𝑛4，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A．4𝑚=3𝑛 B．3𝑚=4𝑛 C．𝑚=4𝑛 D．𝑚𝑛=12
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acosA，则cosA＝（ ）
A．13 B．24 C．33 D．63
14.2020年，一场突如其来的“肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n的值为（ ）
A．40 B．50 C．80 D．100
15.tan3（ ）
A．33 B．32 C．1 D．3
16.已知由小到大排列的4个数据1、3、5、G,若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（ ）
A.9 B.7 C.5 D.3
二、填空题
17．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人.则两科都在90分以上的人数为（ ）．
18.定义25(0),()8(0).xxfxxx在(1,1)上的函数()fx满足()()()1fxgxgx，对任意的1212,(1,1),xxxx，恒有12120fxfxxx，则关于x的不等式(21)()2fxfx的解集为（ ）。
19.正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的（ ）倍。
足尖虽未遍及美景,浪漫却从未停止生长．清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味．下面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中12ABAA,114AB，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体，则的体积为 ；的外接球的表面积为 ．
三、解答题
20.已知椭圆2222:10yxabab的离心率为22，其上焦点F与抛物线2:4xy的焦点重合．
（1)求椭圆的方程；
（2)若过点F的直线交椭圆于点A,B,同时交抛物线K于点C,D（如图1所示,点C在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段AC与BD长度的大小，并说明理由；
（3)若过点F的直线交椭圆于点A，B,过点F与直线AB垂直的直线EG交抛物线于点E，G（如图2所示).试求四边形AEBG面积的最小值．
21.已知x+y=7,xy=-8，求：
（1）x2+y2的值；
（2）（x-y）2的值.
22.已知、是方程24420xmxm的两个实根，设22fma
（1）求函数()fm的解析式； （2）当m为何值时，()fm取得最小值？
23.已知函数2()2sincos23sin3(0)fxxxx的最小正周期为.
（1）求函数()fx的单调递增区间；
（2）将函数()fx的图像向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()ygx的图像，若()ygx在[0,](0)bb上至少含有10个零点，求b的最小值.
24.已知数列na的前n项和为21322nSnn，nN．
（1）求na的通项公式；
（2）是否存在正整数k使ak,a3k，a10k成等比?若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
25.如图，矩形ABCF与梯形FCDE所在的平面垂直，DECF∥，EFFC，1AFEFDE，2AB，P为AB的中点．
（1）求证：平面EPF平面DPC；
（2）求平面BCD与平面DPC夹角的余弦值．
