普朗克公式的推导过程

普朗克公式推导维恩公式和瑞利金斯公式

普朗克公式是描述黑体辐射能谱的一个基本公式，它可以推导出维恩公式和瑞利金斯公式。

普朗克公式为：

$$B_\lambda(\lambda,

T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{\mathrm{e}^{hc/\lambda

k_BT}-1}$$

其中，$B_\lambda(\lambda, T)$表示单位面积、单位波长的辐射能量密度，$\lambda$为波长，$T$为温度。$h$为普朗克常数，$c$为光速，$k_B$为玻尔兹曼常数。

当求导$B_\lambda(\lambda, T)$关于$\lambda$，并令导数为零时，可以得到$\lambda_{\rm{max}}T= 2.898\times 10^{-3}\

\rm{m\cdot K}$，即维恩位移定律，它告诉我们，对于不同温度的黑体，辐射能量密度的峰值波长$\lambda_{\rm{max}}$和温度成反比。

当波长$\lambda$趋近于零时，可以将普朗克公式化简为瑞利金斯公式：

$$B_\lambda(\lambda,

T)\rightarrow\frac{2hc^2}{\lambda^4}$$

这表明在紫外光区，辐射能量密度与波长的四次方成反比。这就是瑞利金斯定律。

普朗克从其公式中推导出的

波普朗克（Planck）定律是物理学的基本原理之一，它最初由德国物理学家Max Planck提出，并推导出一个物理定律，即物体在受到热力的作用时，会以一种称为频谱的分布方式散发红外辐射，并可由以下著名公式来描述：

E=hv，其中h是普朗克常数（约6.626×10^-27 erg-s），而v则为受热物体散发出红外辐射的频率。

普朗克定律是物理学中宸曦诺拉怡重要的物理定律，它有可能改变我们关于物理世界的理解。该定律最早是由Max Planck提出，由热力作用而散发出红外辐射的物体会以一种频谱的分布方式发射出来，并可由普朗克定律的此一公式来反映，即E=hv。

波普朗克定律的提出，实质上已经改变了许多科学研究的方向，在热力学、光学和原子物理的研究方面都发挥了重要的作用，从而奠定先进的物理学和化学的发展基础。该定律还被应用到其他学科领域中，如传输站通信、信道发射和红外成像技术等，为传信技术的发展提供了强有力的理论基础。

普朗克定律是一个实用型定理，学习这一物理定律十分有必要，学生们应该熟悉普朗克定律的内容，以及利用以上公式描述物体受热后散发的红外辐射的分布规律等。这样可以更加深入地理解普朗克定律所体现出来的宽广的物理规律，加深对物理学理论的了解。

精心整理

word. 普朗克黑体辐射公式的推导

所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：

热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到：

1.Wien公式 从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：

Wien公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans公式

Rayleigh-Jeans公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且0vvdEE，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4TE，该式叫做Stefan-Bolzmann公式，叫做Stefan-Bolzmann常数。

3. Planck黑体辐射定律

1900年１２月１４日Planck提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck假定：

（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v振荡；

（2）黑体只能以E=hv为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：

dkThChd1)/exp(1833该式称为Planck辐射定律

h为普朗克常数，h=sj.10626.634

4，普朗克的推导过程：

把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wtrKikkeCtr，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏kC2,1

每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在d,内的自由度数为dg， 精心整理

普朗克黑体辐射公式的详细推导

普朗克假设黑体辐射是由一系列离散的微观振动体产生的，这些振动体能够吸收和释放以能量量子(hf)为单位的能量。当这些振动体处于平衡状态时，设振动体的能量分布函数为Ψ(ε)，其中ε表示振动体的能量。

考虑单位体积和单位能量范围内的振动体数目，记为N(ε)dε，其中N表示单位体积内振动体的总数。

根据统计力学的理论，N(ε)dε可表达为波尔兹曼分布，即：

N(ε)dε = g(ε)exp(-ε/kBT)dε

其中，g(ε)表示在特定能量范围内的能量态的数目，exp(-ε/kBT)是由玻尔兹曼因子得到，k是玻尔兹曼常数，T是温度。

由于辐射的能量不连续，因此，可以将单位体积和单位频率范围内的振动体数目表示为N(v)dv，其中v表示频率，dv表示频率范围。

考虑到能量和频率之间的关系，有ε = hv，其中h是普朗克常数。根据可加性和幂次原理，能量态的数目g(ε)应满足：

g(ε)dε=4π(2m/h^2)^(3/2)ε^(1/2)dε

其中，m是振动体的质量。

将ε和dε用v和dv表示，并对能量态的数目函数进行简化得到：

g(v)dv = (8πv^2/c^3)dv

其中，c是光速。 由于单位体积和单位能量范围内的振动体数目与单位体积和单位频率范围内的振动体数目之间有关系：

N(ε)dε = N(v)dv

将上述得出的g(ε)和g(v)带入上式，并整理可得：

N(v) = (8πv^2/c^3)exp(-hv/kBT)dv

可以将上式转化为单位面积、单位时间、单位频率范围内的能量密度u(v)：

u(v) = N(v)hv

代入上式并进行整理，得到：

u(v) = (8πhv^3/c^3)exp(-hv/kBT)dv

利用频率和波长的关系，即v=c/λ，可以将上式转化为以波长表示的能量密度：

u(λ) = (8πhc/λ^5)exp(-hc/λkBT)dλ

这就是普朗克黑体辐射公式的最终形式。