高一不等式专题训练
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高一不等式专题训练
一、不等式的基本性质
1. 知识点回顾
不等式的基本性质：
对称性：a>bLeftrightarrow b < a。
传递性：a > b,b > cRightarrow a>c。
加法性质：a > bRightarrow a + c>b + c；a>b,c > dRightarrow a + c>b + d。
乘法性质：a>b,c>0Rightarrow ac > bc；a > b,c < 0Rightarrow ac < bc；a>b>0,c>d>0Rightarrow ac>bd。
乘方性质：a > b>0Rightarrow a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。
开方性质：a > b>0Rightarrowsqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈ N,n≥slant2)。
2. 例题
例1：已知a < b < 0，比较下列各数大小：(1)/(a)与(1)/(b)。
解析：因为a < b < 0，给a < b两边同时除以ab（ab>0），根据不等式的乘法性质，得到(a)/(ab)<(b)/(ab)，即(1)/(b)<(1)/(a)。
例2：已知a>b，c < d，求证：a c>b d。
解析：因为c < d，根据不等式的性质，c>-d。又因为a>b，再根据不等式的加法性质，将两个不等式相加，得到a+( c)>b+( d)，即a c>b d。
二、一元二次不等式及其解法
1. 知识点回顾 对于一元二次不等式ax^2+bx + c>0(a≠0)（或<0），先求出一元二次方程ax^2+bx + c = 0的根（判别式Δ=b^2-4ac）。
当a>0时：
如果Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{x|x < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{x|x_1。
如果Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0，则不等式ax^2+bx
+ c>0的解集为{x|x≠ x_0}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。
如果Δ<0，不等式ax^2+bx + c>0的解集为R，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。
2. 例题
例1：解不等式x^2-3x + 2>0。
解析：对于方程x^2-3x + 2 = 0，其中a = 1，b=-3，c = 2，根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4×1×2 = 1。
方程的根为x_1=1，x_2=2。
因为a = 1>0，所以不等式x^2-3x + 2>0的解集为{x|x < 1或x>2}。
例2：解不等式-x^2+2x 3<0。
解析：先将不等式化为x^2-2x + 3>0，对于方程x^2-2x + 3 = 0，a = 1，b=-2，c = 3，Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×3=-8<0。
因为a = 1>0，所以不等式x^2-2x + 3>0的解集为R，即不等式-x^2+2x
3<0的解集为R。
三、简单的线性规划 1. 知识点回顾
线性规划问题的一般步骤：
设出变量，列出约束条件和目标函数。
画出可行域（由约束条件中的不等式组所确定的平面区域）。
求出目标函数在可行域内的最值（通常通过平移目标函数对应的直线来找到最优解）。
2. 例题
例1：设z = 2x+y，变量x,y满足约束条件x 4y≤slant 3 3x + 5y≤slant25
x≥slant1，求z的最大值和最小值。
解析：
首先画出可行域。对于不等式x 4y≤slant 3，即y≥slant(1)/(4)x+(3)/(4)；对于不等式3x + 5y≤slant25，即y≤slant-(3)/(5)x + 5；x≥slant1表示直线x = 1右侧的区域。
可行域是由这几条直线所围成的封闭区域。
目标函数z = 2x + y可化为y=-2x + z，z的几何意义是直线y=-2x+z在y轴上的截距。
通过平移直线y = 2x，当直线经过可行域的顶点时，z取得最值。
求出可行域的顶点坐标，联立x 4y=-3 3x + 5y = 25，解得x = 5 y = 2；联立x 4y=-3 x = 1，解得x = 1 y = 1；联立3x + 5y = 25 x = 1，解得x = 1 y=(22)/(5)。
将顶点坐标(1,1)，(5,2)代入目标函数z = 2x + y，z(1,1)=2×1 + 1=3，z(5,2)=2×5+2 = 12。
所以z的最小值为3，最大值为12。 四、基本不等式
1. 知识点回顾
基本不等式：对于正数a,b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
利用基本不等式求最值时要满足“一正、二定、三相等”的条件。
2. 例题
例1：已知x>0，求y=x+(1)/(x)的最小值。
解析：因为x>0，根据基本不等式(a + b)/(2)≥slant√(ab)，这里a=x，b=(1)/(x)，则y=x+(1)/(x)≥slant2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)，即x = 1时等号成立，所以y的最小值为2。
例2：已知x,y是正数，且x + y=1，求(1)/(x)+(1)/(y)的最小值。
解析：因为x + y = 1，(1)/(x)+(1)/(y)=(x + y)/(x)+(x +
y)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)。
因为x,y是正数，根据基本不等式(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2√(frac{y){x}×(x)/(y)}
= 2，当且仅当(y)/(x)=(x)/(y)，即x=y=(1)/(2)时等号成立。
所以(1)/(x)+(1)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2 + 2=4，即(1)/(x)+(1)/(y)的最小值为4。
