第3讲质数合数分解质因数

1 质数合数分解质因数 1.质数和合数 （1）一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)。如7和11都是质数。 （2）一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，如：9和12都是合数。 举例： 注意：①1既不是质数，也不是合数。 ②自然数除了1，其他的数不是质数就是合数。 ③自然数是无限的，因此质数和合数也都是无限的。 ○42是最小的质数，也是质数中唯一的一个偶数。 （3）判断一个数是合数还是质数的方法。 先找各数的约数，再根据质数和合数的意义去判断。判断一个数是不是质数，还可以查质数表，凡是质数表中有的数就是质数。 2.分解质因数 （1）质因数的意义。 每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 比如:60=2X2X5X3中的2、2、5、3都叫做60的质因数 2 （2）分解质因数的意义。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。如：6=2×3，24=2×2×2×3。 （3）分解质因数的方法。 ①分解质因数时，通常用短除法。短除法是除法的简化。如： ②用短除法分解质因数，除数一定要用质数，应按照质数从小到大的顺序，看被除数能被哪个质数整除，就用这个质数去除，直到除得的商也是质数为止。如： 用短除法把180分解质因数： 名师点拨 【典型范例剖析】 例1 一个正方形的面积是1225平方厘米，这个正方形的边长是多少厘米？ 分析：因为正方形的面积是“边长乘以边长”，将1225分解质因数，再把质因数分成相同的两组，就可以求出这个正方形的边长。 解：把1225分解质因数： 1225＝5×5×7×7 变形为：1225＝(5×7)×(5×7)＝35×35 因此，这个正方形的边长为：35厘米。 答：这个正方形的边长为35厘米。 例2 在10—150中找出两个自然数，使它们的积等于77与195的积。这两个数是多少？ 分析：根据题意，先把77与195分解质因数，再分别找出其中几个质因数相乘的积在100—150之间的两个自然 3 数。 解：把77与195的积分解质因数： 77×195＝3×5×7×11×13 ＝(3×5×7)×(11×13) ＝105×143 答：这两个数分别是105和143。 【解题技巧指点】 1.在质数和合数的问题上，容易出现如下错误判断。 （1）所有的奇数都是质数。这个说法显然是错误的。因为象9、5、21等都是奇数，但它们却是合数，因此，奇数不一定是质数。 （2）所有的偶数都是合数。这种说法也不对。因为2这个数是偶数，但它就不是合数而是质数。 （3）自然数中除了质数都是合数。这种说法也不对，因为自然数中，1既不是质数，也不是合数。正确的说法是：自然数中，除0.1以外，不是质数就是合数。 2.分解质因数时要注意以下几点： （1）连乘式中不能出现合数，因数必须都是质数。如： 错误：36=2×3×6(6是合数) 正确：36=2×2×3×3 （2）连乘式中不能出现1，因为1不是质数。如： 错误：12＝2×2×3×1 正确：12＝2×2×3 （3）合数用质数连乘的形式表示，不能写成乘法算式。如： 2×2×2×3＝24是错误的写法。 【课本难题解答】 练习十三第17题 分析：用1、5、6在三个数字可以组6个三位数。判断哪些数含有质因数3，又含有质因数5和哪些数含有质因数2又含有质因数3时，要先把每个数分解质因数。 4 解：用1、5、6可以排列成下面6个三位数： 156、165、516、561、615、651。 其中165和615既含有质因数3，又含有质因数5；156和516既含有质因数2，又含有质因数3。 练习十三第18题 分析：因为3、5、7三个质数相乘就超过100了，所以三个不同的质数不能都大于3。这样100以内是3个不同质数的乘积的数有：2×3×5＝30，2×3×7＝42，2×3×11＝66，2×5×7＝70，即30、42、66、70这四个数。 解：有30、42、66、70这四个数。 能力拓展 【发散思维导训】 导 一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，写出这样的两位数。 分析：两位质数有11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，显然，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数的有9个数。 解：这样的两位数有11、13、17、31、37、71、73、79、97。 训1 A是小于10的一个质数，A＋40是质数，A＋80也是质数人是多少？ 训2 A和 B都是质数，A＋B小于100且是 7的倍数，如果 A＋B又是奇数，那么A×B是多少？ 【作业优化设计】 1.填空。 5 （1）一个数（ ），这样的数叫做质数。 （2）一个数（ ），这样的数叫做合数。 （3）20以内的质数有（ ）。 （4）把一个合数（ ），叫做分解质因数。 （5）一个数既是18的约数，又是18的倍数，把它写成两个质数相加的形式是( )或（ ）。 （6）最小的合数是（ ），最小的质数是（ ），既是偶数又是质数的数（ ），即是奇数又是合数的数最小是（ ）。 （7）10以内所有质数的积减去最小的三位数，差是（ ）。 （8）20以内差为1的两个合数有( )和( )，( )和( )，( )和( )，( )和( )四对。 （9）一个两位数质数，它个位上的数与十位上的数交换位置后，仍是一个质数。这样的数有（ ）。 （10）把下面两个数写成几个质数和的形式： 15＝( )＋( ) 20＝( )十( )＝( )＋( ) 2.判断。(对的打“√”，错的打“×”) （1）自然数不是质数就是合数。( ) （2）所有的质数都是奇数，所有的合数都是偶数。( ) （3）把24分解质因数可以写成 24＝1×2×2×2×3。( ) （4）两个数的全部质因数相同，这两个数一定相同。( ) （5）只有两个约数的数，一定是质数。( ) （6）两个自然数的和一定是合数，两个质数的和一定是偶数。( ) （7）2和5都是质因数。( ) （8）1是自然数，但它不是质数，也不是合数。( ) （9）合数有3个约数。( ) （10）质数只有两个约数。( ) 6 3.按要求写数。 （1）一个四位数，个位上的数既不是质数也不是合数，十位上的数既是质数又是偶数，百位上的数是最小的合数，千位上的数既是奇数又是合数，这个四位数是（ ）。 （2）能同时被3、5整除的最小的三位数是（ ）。 （3）两个质数和为18，积是65，这两个质数是( )和（ ）。 4.选择题。 （1）把36分解质因数可以写成（ ）。 ①36＝4×9 ②36＝1×2×3×2×3 ③36＝2×3×2×3 (2)因为210＝2×3×5×7，所以说( )。 ①210有四个不同的约数 ②210有四个不同的质数 ③210有四个不同的质因数 （3）下面各式中属于分解质因数的是（ ）。 ①42＝2×3×7 ②12＝3×4 ③54＝2×3×3×3×1 ④2×2×5＝20 （4）最小的质数乘以最小的合数，积是（ ）。 ①4 ②6 ③8 ④10 （5）自然数按约数的个数分，可以分为（ ）。 ①质数和合数 ②奇数和偶数 ③质数、合数和0 ④质数、合数和1 （6）质数与质数的积是（ ）。 ①合数 ②质数 ③可能是质数、可能是合数。 (7)9和7叫63的( )。 ①因数 ②质因数 ③质数 （8）a是质数、b是合数，下列说法正确的是（ ）。 ①a有1个约数而b有3个约数。 ②a有2个约数而b不止一个约数。 ③a至少有两个约数而b至少有三个约数。 ④a至多有两个约数而b至多有三个约数。 (9)37×( )的积是质数。 7 ①1 ②可以是1，也可以是别的数 ③质数 5.用短除法把下列各数分解质因数。 120 14 132 1001 273 快乐大本营 完成下面的算式。 参考答案 1.（1）只有1和它本身两个约数 （2）除了1和它本身两个约数外，还有别的约数 （3）2 3 5 7 11 13 17 19 （4）分解成质数连乘的形式 （5）11+7 13+5 （6）4 2 2 9 （7）2000 （8）8和9 14和15 15和16 9和10 （9）11 13 17 37 79 （10）15=2+13 20=17+3=13+7 2.（1）× （2）× （3）× （4）√ （5）√ （6）× （7）× （8）√ （9）× （10）√ 3.（1）9421 （2）105 （3）13和5 4.（1）③ （2）③ （3）① （4）③ （5）④ （6）① （7）① （8）② （9）① 5.略 快乐大本营 1 1 2 × 2 3 3 3 6 2 2 4 2 5 7 6

第十四讲 质数、合数与分解质因数

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1. 质数:只有1和它本身两个因数的数，称为质数。如:2, 3, 5. 7, 11,…

合数:除了1和它本身两个因数以外，还有别的因数的数，称为合数。如:4, 6,8，9, 10,..

最小的质数是2，它也是质数中唯一一个偶数，其余的质数全是奇数;最小的合数是4，奇数中，最小的合数是9.奇数不一定都是质数，也有很多是合数。如9, 15, 21, 25,…。

1既不是质数，也不是合数。

2. 通过一个顺口溜，熟记100以内的所有质数:

2, 3, 5, 7和11; 13，17和19, 23连 29; 31连37;

41, 43带 47; 53后59, 61后67 71; 73带79, 83; 89后97

3. 分解质因数:

(1) 质因数:一个数，既是质数，同时又是一个合数的因数，我们称这个数为这个合数的质因数。如2是28的质因数，7也是28的质因数，但4却不是28的质因数，仅仅是28的因数。

（2）把一个合数，写成几个质因数相乘的形式，叫做分解质因数。

分解质因数可以用短除法。

精典例题

例1:把36和120分解质因数，并写成标准分解式。

[分析]用短除法分解质因数，再写成标准分解式。

36=2×2×3×3=22×32；

120=2×2×2×3×5=23×31×51。

例2：把99折成19个质数的和，要求最大的质数尽可能大，那么，这个最大的质数是几？

[分析]要使最大的质数尽可能大，则其余的质数应尽可能小，最小质数是2，

最大质数：99-2×18=63，63为合数，要调整，最大的质数肯定是奇数，所以，

63起码就减少2，就为61，则可以把其中的两个2调整为两个3；

最大的质数=99-（2×16+3+3）=61

答：最大的质数是61。

例3:三个小孩的年龄恰好是某三个连续的质数，且他们年龄的乘积是385，求这三个小孩的年龄依次是多少岁?

泓文学校 六年级奥数

第二节 质数、合数和分解质因数

一、基本概念和知识

1.质数与合数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

判断一个数是质数还是合数的常用方法：

对于一个自然数N，先找到一个自然数 A，使得A2略大于或等于N，再用A以内的所有质数去试除N，若有质数能整除N，则N是合数；若没有质数能整除N，则N是质数。

要特别记住：1不是质数，也不是合数。

2.质因数与分解质因数

如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例：把30分解质因数。

分解质因数的方法可用短除法或直接法分解。

30＝2×3×5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。

在分解质因数时把相同的质因数相乘用乘方的形式写出来，这种书写形式叫做分解质因数的标准式。

如12=22×3就是把12分解质因数的标准式。

例题讲解

例1： 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

例2： 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？

例3： 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？

例4： 写出10个连续的自然数，个个都是合数。

例5： 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

例6： 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。

例7： 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？

练习

1、边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？

第3讲 质数与合数

内容概述

掌握质数与合数的概念；熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法；能够利用分解质因数的方法解决

相关的整数问题；学会计算乘积末尾零的个数．

典型问题

兴趣篇

1．(1)如果两个质数相加等于16，这两个质数有可能等于多少？

(2)如果两个质数相加等于25，这两个质数有可能等于多少？

(3)如果两个质数相加等于29，这样的两个质数存在吗？

答案：（1）3,13或5,11。 （2）2,23 （3）不存在

详解：利用奇偶性。奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。两个质数和为奇数，必有质数2

2．有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．

答案：90,91,92,93,94,95,96

3．请写出5个质数，使得它们正好构成一个公差为12的等差数列．

答案：5,17,29,41,53

4．请把下面的数分解质因数：(1) 160；(2) 598；(3) 211.

答案：（1）160=525×

（2）21323××

（3）211是质数

5．三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数，请求出这三个数．

答案：3,4,7

详解：分解质因数84=2237××，两个数的和等于第三个数，因此三个数分别为3,4,7

6．用一个两位数除330，结果正好能整除，请写出所有可能的两位数．

答案：11,22,33,55,66,10,15,30

详解：分解质因数330=23511×××，结果是两位数，枚举即可

7．三个连续自然数的乘积等于39270.这三个连续自然数的和等于多少？

答案：102

详解：分解质因数39270=23571117×××××=333435××，三个数和为102

8．请将2、5、14、24、27、55、56、99这8个数分成两组，使得这两组数的乘积相等．

答案：5,14，24和99为一组；2,27,55和56为一组

详解：分别分解质因数，讲质因子平均分到两组即可