质数和合数 分解质因数

（人教版）五年级数学下册 质数和合数、分解质因数及答案（三）

一、填空

1.一个数（ ），这样的数叫做质数。

2.20以内的质数有（ ）。

3.一个数既是18的约数，又是18的倍数，把它写成两个质数相加的形式是（ ）或（ ）。

4.10以内所有质数的积减去最小的三位数，差是（ ）。

5.一个两位数的质数，它个位上的数与十位上的数交换位置后，仍是一个质数。这样的数有（ ）。

二、判断（对的打“√”，错的打“×”）。

1.自然数不是质数就是合数。（ ）

2.把24分解质因数可以写成24＝1×2×2×2×3。（ ）

3.只有两个约数的数，一定是质数。（ ）

4.2和5都是质因数。（ ）

5.合数只有3个约数。（ ）

三、按要求写数。

1.一个四位数，个位上的数既不是质数也不是合数，十位上的数既是质数又是偶数，百位上的数是最小的合数，千位上的数既是奇数又是合数，这个四位数是（ ）

2.两个质数和为18，积是65，这两个质数是（ ）和（ ）。

四、选择题。

1.把36分解质因数可以写成（ ）。

①36＝4×9 ②36＝1×2×3×2×3

③36＝2×3×2×3

2.下面各式中属于分解质因数的是（ ）

①42＝2×3×7 ②12＝3×4 ③54＝2×3×3×3×1 ④2×2×5＝20

3.自然数按约数的个数分，可以分为（ ）。

①质数和合数 ②奇数和偶数 ③质数、合数和0 ④质数、合数和1

4.9和7叫63的（ ）

①因数 ②质因数 ③质数

五、用短除法把下列各数分解质因数。

120 14 132 1001 273

参考答案

一、填空

1.如果只有1和它本身两个约数

2. 2，3，5，7，11，13，17，19

3.5和13，7和11

4.110

5.11，13，17，31，37，71，79，97

二、判断（对的打“√”，错的打“×”）。

1.× 2.× 3.√ 4.× 5.×

本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。

分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。

1． 质数与合数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.

考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.

⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.

2． 质因数与分解质因数

质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.

互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：30235.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.

3． 唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：312123kaaaaknppppL其中为质数，12kaaaLL为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.

第一讲 质数和合数

例1 两个质数的和是39，这两个质数的积是多少?

例2 数d是质数，且a+10、a+14的和也都是质数，数a是多少?

例3 三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少?

练习：

1.在20个连续自然数中最多有多少个质数?最少有几个质数?

2.两个质数的和是1995，这两个质数的乘积是多少?

3.两个连续自然数的积加上11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少?

4.两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少?

5.两个质数的和是99，这两个质数的积是多少?

第二讲 分解质因数

例1 三个连续自然数的乘积是120，求这三个数。

例2 小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910。”你能算出小明的名次、年龄与他这次考试的分数吗?

例3 学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大一岁，四人年龄的乘积是11880，这四个同学的年龄各是多少?

例4 下面算式中，不同的字母代表不同的数字。求这个算式。

例5 1512乘以自然数a得到一个平方数，求a的最小值。

例6 有三个自然数，它们的和是338，积是1986，求这三个数。

例7 有24盆花，分成几堆(至少分2堆)，使每堆的盆数都相等，可以怎样分？

例8 自然数151200的约数中有许多两位数，其中最大的是几？

例9 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三个数的乘积是42560，求这三个自然数。

例10 有3个自然数a、b、c，已知a×b=6，b×c=15，a×c=10，贝a×b×c=?

例11 用216元去买一种钢笔，正好将钱用完。如果每支钢笔便宜1元，则可以多买3支钢笔，钱也正好用完。共买了多少支钢笔?

例12 将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自的乘积相等。

教学文档

. 质数 合数 分解质因数

在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数． 1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．

偶数中只有2是质数，而且是全部质数中最小的一个．除2以外全部的偶数都是合数，除2以外全部的质数都是奇数．

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2&215;5&215;7，所以2，5，7是70的质因数．

把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2&215;2&215;3&215;5=22&215;3&215;5，把60这个合数用2&215;2&215;3&215;5或22&215;3&215;5的形式来表示，就是把60分解质因数．

例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和．

分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很简单得出其它的质数，从而问题得以解决．

解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46&247;2=23，所以2与23的和为25．

例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？

分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后依据质数的推断方法，得到所求的质数． 教学文档

. 解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．