概率论与数理统计公式大全
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概率论与数理统计公式⼤全
第1章 随机事件及其概率
第⼆章 随机变量及其分布
a≤x≤b
0， x
1， x>b。,
0,,,
x<0。
X 落在以为中⼼，3为半径的区间(-3, +3)内的概率相当⼤(0.9973),落在(-3, +3)以外的概率可以忽略不计
F Y (y ) ＝P (Yy )＝P (g(X ) y )＝
第三章 ⼆维随机变量及其分布
⼆维正态分布，（X，Y）～N（
可以推出 X～N（ 但若X～N（，(X，Y)未必是⼆维正态分布。 ,
两个独⽴的正态分布的和仍为正态分布（）。卷积公式:
分布
设n个随机变量相互独⽴，且服从标准正态分布，可以证明它们的平⽅和 的分布密度为
我们称随机变量W服从⾃由度为n的分布，记为W～，其中
所谓⾃由度是指独⽴正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的⼀个重
要参数。
分布满⾜可加性：设
则t分布
设X，Y是两个相互独⽴的随机变量，且
可以证明函数 的概率密度为
我们称随机变量T服从⾃由度为n的t分布，记为T～t(n)。F分布
设，且X与Y独⽴，可以证明的概率密度函数为
我们称随机变量F服从第⼀个⾃由度为n1，第⼆个⾃由度为n2的F分布，记
为F～f(n1, n2).
（1）p ij≥0（i,j=1,2,…）；
（2）
M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布（极值分布）
设随机变量X,Y相互独⽴且分布函数分别
为F X(x),F Y(y)则M与N的分布函数分别为
第四章 随机变量的数字特征
⼀维随机变量的数字特征离散型连续型(平均值)
E(X+Y)=E(X)+E(Y)； E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独⽴；充要条件：X和Y不相关。
函数的期望Y=g(X) Y=g(X)
， D（X）= cov(X,Y)= ; D（Y）=。Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
Cov (X, Y)=cov (Y, X) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y) +X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)
1
相关系数(标准协⽅差):=
的标准化变量:即“随机变量与期望之差除以均⽅差”|≤1，当||=1时，称X与Y完全相关：
完全相关
时，称X与Y不相关。
以下五个命题是等价的：① ②cov(X,Y)=0 E(XY)=E(X)E(Y)
④D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).
1、A =E(X )为X的k阶原点矩（k阶矩）(k=1,2,…)，数学期
望E(X)即为X的⼀阶原点矩；2、B =E{[X-E(X)] }为X的k阶中⼼矩(k=1,2,…)，⽅差D(
即为X的⼆阶中⼼矩。3、=E(X Y )为X、Y的k+l阶混合原点矩(k,l=1,2…)。
4、为随机变量的k+l阶混合中⼼矩(k,l=1,2,…)。
协⽅差矩阵C C=(C ) =
若记
则E(X*)=0，D(X*)=11. 若随机变量X与Y相互独⽴，则；反之不真。
2. 若（X，Y）～N（），
则X与Y相互独⽴的充要条件是X和Y不相关。
第五章 ⼤数定律和中⼼极限定理
⼤数定律
，X2，…具有相同的数学期望E（X I）=µ，则
当试验次数n很⼤时，事件A发⽣的频率与概率有较⼤判别的可能性很⼩
中⼼极限定理
列维－林德伯格/独⽴同分布的中⼼极限棣莫弗－拉普拉斯
若当，则
超⼏何分布的极限分布为⼆项分布。
若当，则 其中k=0，1，2，…，n，…。
随机变量X1，X2，…相互独⽴，服从同⼀分布，且具有相同的数学期
望和⽅差：
第六章 样本及抽样分布
数理统计的基本概念所研究的对象的全体称为总体,总体的每⼀个基本单位称为个体.
中抽出若⼲个个体称为样本，⼀般记为(X1,X2,…,Xn)。n称为样本容量。
样本函数，其中为⼀个连续函数。若中不包含未知参数，则（）为⼀个统计常见统计量及其性质
样本⽅差 样本标准差
样本k阶原点矩 样本k阶中⼼矩,其中为⼆阶中⼼矩。
为来⾃正态总体的⼀个样本，则样本函数
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。样本函数
中t(n-1)表⽰⾃由度为n-1的t分布。n个相互独⽴的 X1,X2,…,Xn，Xi~N(0,1)，
称为⾃由度为n的2分布。
（1）(1)构成 P{2(n)>λ}=p，已知n,p可查表(P298)求得λ;
(2)
。。。。。。。。。。。样本函数其中表⽰⾃由度为n-1的分布。样本函数 其中
表⽰第⼀⾃由度为，第⼆⾃由度为的F分布。1.若
2.设(X1,X2,…,Xn)是正态总体
µ,σ2)的样本，则
(1)
(2)
(3)
,X2,…,X n)的联合分布为设总体X的分布为F(x)，则样本(X
1
当总体X是离散型时，其分布律为
样本的联合分布律为
当总体X是连续型时，X~f(x)，则样本的联合密度为
定义若X~N(0, 1)，Y~2(n)，X与Y独⽴，则t(n)称为⾃由度为n的t—分布。
p
3、(1) t分布表构成(P296)：
P{t(n)>λ}=p
(2) P{t(n)> t p(n)}=p，t p(n)为⽔平p的上侧分位数
(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称；
(2) f(t)的极限为N(0,1)的密度函数，即
λ
求解：
(2) 2分布的可加性
X1,X2 相互独⽴，则X1+X2 ~2(n1+n2)
p⽔平为的上侧分位数分位点
若X~2(n1)，Y~2(n2) ，X,Y独⽴，则
，第⼆⾃由度为n2的F—分布，其概率密称为第⼀⾃由度为n1
度为F分布表(P294)及有关计算
(1)构成：P{F(n1,n2)>λ}=p
(2)有关计算P{F(n1,n2)>λ}=p λ=F p(n1,n2)
性质：4、(双正态总体的抽样分布)设(X1,X2,…,X n1)是N(µ1,σ12)的样
本，(Y1
,Y2,…,Y n2)是N(µ2,σ22)的样本，且相互独⽴，S12，S22是样本⽅差，则
(1)
(2) 称为混合样本⽅差。
与S2独⽴3.设(X1,X2,…,X n)是正态总
体N(µ,σ2)的样本，则
第七章 参数估计
（1）点估计(⽤某个函数值作为总体未知函数的估计值)
矩估计极⼤似然估计
样本的k阶原点矩为
这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建⽴⽅程，即有样本的似然函数,简记为L n 为样本的似然函数。
最⼤似然估计量。
⽆偏性若E （）=，则称 为的⽆偏估计量。 E（）=E（X）， E（S =D（X）
有效性若，则称有效。
⼀致性设是的⼀串估计量，如果对于任意的正数，都有 则称为的⼀致估计量（或相合估计量）。若为的⽆偏估计，且则为的⼀致估计。
只要总体的E(X)和D(X)存在，⼀切样本矩和样本矩的连续函数都是相
应总体的⼀致估计量。
区间估计(对未知参数给出⼀个范围，并给出在⼀定的可靠度下使这个范围包含未知参
数的真值)
