双曲线及其标准方程教案

2.2.1双曲线的标准方程（1）

【教学目标】:

1.知识与技能

掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.

2.过程与方法

教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.

3.情感、态度与价值观

通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.

【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用

【教学难点】: 双曲线标准方程的推导

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教 具】：多媒体、实物投影仪

【教法学法】

（一）教学方法 引导探索、发现法

（二）学习方法 自主探索、合作交流 ．

（三） 教学手段 多媒体辅助教学．

【教学过程】

一.情境设置

(1)图片展示、引入课题

(2)复习提问：

(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)

问题 1：椭圆的定义是什么？

问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？

问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？

教师指出：为探究双曲线的定义，先回顾椭圆的定义，即：

椭圆上动点M满足：aMFMF221(a>0)

引导一：若将上式改为aMFMF221(a>0)，动点M的轨迹是怎样的曲线呢？

[解决方法]

课件演示作图过程，指出这一条曲线(图1)就是满足：

集合｝，＝｛ aaMFMF MP02211的动点M的轨迹.若将上述集合改为｝，＝｛ aaMFMF MP02122 ，比较两集合的关系，取aFF21，同理可画出此时动点M的轨迹(图2).

观察、比较，归纳： 上面两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支.

其中右边一支满足：21MFMF ，左边一支满足：21MFMF

引导二：

（1）在纸板上作图说明了什么？

（2）根据上述绘图原理，双曲线上的动点M应满足什么条件？

（3）常数2a与21FF有什么关系？

教师引导学生观察、分析，并归纳结论：

（1）平面内

（2）动点M与两个定点F1 ， F2的差的绝对值等于常数.

（3）2120FFa

并鼓励学生根据上述三点结论大胆归纳出双曲线的定义即为：

平面内与两个定点21FF、的差的绝对值等于常数(小于21FF )的点的轨迹叫做双曲线.

并引入双曲线焦点和焦距的概念：这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

引导三：如果改变常数a2的范围（2a=21FF，2a=0， 2a＞21FF），动点

的轨迹会发生什么变化呢？

[解决方法]教师让学生相互讨论 ，鼓励学生大胆阐述自己的结论，并运用课件进行演示，归纳出： 常数2 a 动点M的轨迹

(1) aMFMF221 (0＜2a＜21FF) 双曲线

(2) 21212FFa＝MFMF 线段F1 F2的延长线上

以F2为端点的一条射线

21122FFa＝MFMF 段F2F1的延长线上

以F1为端点的一条射线

(3) 2 a = 0 段F1 F2的中垂线

(4) 212FFa (违背了三角形三边长的关系) 不存在

（三）类比探究 建立方程

引导四：怎样建立双曲线的标准方程呢？

第一步 建系：建立直角坐标系xOy，使x轴经过点21FF、，并且

点O与线段21FF的中点重合.

（在回顾椭圆标准方程推导时如何建立坐标系后，

建立起双曲线标准方程推导时的坐标系.）

第二步 设点： 设),(yxM是双曲线上任意一点，双曲线的

焦距为)0(2cc，那么，焦点21FF、的坐标分别是

(0,c)、(0,c).又设点M与21FF、的距离的差的绝对值等于常数2 a.

第三步 写点集：根据定义写出M点的轨迹构成的点集：

P = { M | |MF1 | — |MF2 | =± 2 a }

第四步 列方程：用坐标法表示条件P（M），列出方f(x，y)=0，

即：aycxycx2)()(2222 ①

第五步 化简：化方程f(x，y)=0为最简形式.

将方程①化简，得 )(2)(2222222acyaxac ②

由双曲线的定义可知，ac22，即ac，所以022ac.令222bac，

其中0b，代入上式，得222222bayaxb

两边除以22ba，得出： 图3 )0,0(12222babyax

对此方程要强调：它是双曲线的焦点在x轴上的标准方程，焦点是：

F1 (0,c)、F2 (0,c)，焦距c2.

注 意：区别双曲线和椭圆的标准方程中cba,,的关系：

双曲线：222bac（0,0ba，没有确定的大小关系与ba）

椭 圆：222bac－（0ba）

引导五：焦点在y轴上，并且点O与线段21FF的中点重合，cba,,的意义同上，双曲线的方程又如何呢 ？

图4

[解决方法]先让学生作出图4，引导学生观察、比较图3与图4，并根据椭圆的

焦点在y轴上的标准方程的推导方法，鼓励学生大胆猜想，归纳出：只需将上述标准方程中的 x、y互换，即：

引导六：观察上述两个不同的标准方程，思考：

（1）双曲线的标准方程有何特点?

（2）22,yx项的符号与该双曲线的焦点所在位置有什么关系？

[解决方法] 由学生小组交流，教师对学生的回答进行必要的点评，一定要让学生

对上述问题的解答都有明确的认识.并归纳出：

由双曲线标准方程确定焦点位置的方法：

双曲线的焦点应在系数为正的那一项所对应的坐标轴上(正项定焦轴). )0,0(12222babxay (四) 实践探索 形成能力

1 例题剖析，初步应用

例1 已知双曲线两焦点的坐标为)0,5(),0,5(21FF，双曲线上一点P到1F、2F的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.

[解决方法] 课本例题，难度不大，但能起到及时对所学概念进行巩固训练的作用.教学中紧扣定义和标准方程的知识.由学生合作完成，再由学生代表发言，叙述解题过程，教师点评，板书规范的解题步骤.并指出：上述例题的求解运用了求曲线方程的基本方法之一： 待定系数法.

变式1．已知双曲线的焦点为F1(0,-5), F2(0,5)，双曲线上一点P 到F1、 F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.

变式2．已知|12FF|＝10, 126PFPF，求点Ｐ轨迹的标准方程.

（五）知识小结，纳入系统

1 知识点：(1)双曲线的定义，焦点，焦距的概念。

(2)双曲线标准方程两类形式，如何由方程判定其焦点所在坐标轴。

(3)与双曲线定义和标准方程有关的三个常数 间的关系 。

2 数学思想： 数形结合、等价转化.

3 数学方法：类比分析、待定系数法.

（六）达标检测、反馈提升

1.已知点F1（0，-13）、F2（0，13），动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为10，则动点P的轨迹方程为（ ）

2.已知点P（x，y）的坐标满足2222)3()3()1()1(yxyx=4，则动点P的轨迹是（ ）

A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.以上都不对

【高考链接】3.（2011上海理3）设m为常数，若点(0,5)F是双曲线2219yxm的一个焦点，则

m= .

4、（2010安徽卷理5）双曲线方程为2221xy，则它的右焦点坐标为（ ）

A．2,02 B．5,02 C．6,02 D．3,0

（七） 分层作业，巩固提高作业

必做 1、课本P55 1-3

2、类比椭圆的几何性质研究双曲线

的几何性质

选作 课本P62 B组 2、3