分数拆分妙法

同学们，你们知道吗？两千多年前，古埃及人总喜欢把分数转化成分子是1的分数来计算，所以后来人们常把分子是1的分数称埃及分数，我们也称之为单位分数。有些单位分数组合在一起构成了一些有趣的计算题。本专题中列举了许多例题，主要是为同学们提供“分数拆分”的方法，希望同学们认真学习，理解并记住拆分的几个公式，在解题中灵活的应用。

一、将一个分数拆分成两个分数单位相加。

把一个分数拆成两个或两个以上分数的和的形式，叫做分数的拆分。

怎样才能把一个分数拆成两个分数和的形式呢？我们以

通过上题可以看出，拆分主要有以下几个步骤：

叫做扩分。

注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。

③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。即：

④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。

二、把一个分数拆成几个分数的和

以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。

解：18的约数有1、2、3、6、9、18。可以任意取其中三个约数，得到不同的解。

……答案不只一种。

三、把一个分数拆成两个分数的差

能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。

观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。

以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差。当n、n+d，都是自然

当d=1时，公式（2）则转化为公式（1）。利用公式（2）可以把一些分数拆成两个分数差的形式。

例5把下面各分数写成两个分数差的形式。

观察下面等式，左右两边有什么关系。

通过上面算式，可以得出这样的结论：

由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。

四、拆分方法在分数加法运算中的应用

例6 计算：

解：由公式（2）

解：由公式（3）

例9 计算

解：根据公式（4）

尝试练习：

1.在下列各式的括号内填上适当的整数（1—3题）。

六年级奥数解析（六）分数的分拆

《奥赛天天练》第6讲《分数的分拆》。

分数的分拆就是把一个分数拆成几个分数的和或差的形式，一般都是分拆成几个分数单位和或差。

把一个单位分数分拆成几个单位分数的和或差，有一定的规律和方法，相关常识请查阅：

【原创】五年级奥数解析（六十四）单位分数

最常用的分拆规律有(可以通过计算加以验证)：

(1)1nn1（＋）＝1n－1n1＋

(2) nna（＋a）＝1n－1n＋a

通过对算式中的部分分数进行分拆，使分拆后的某些项互相抵消，可以使一些复杂的分数计算变得简便。

《奥赛天天练》第6讲，模仿训练，练习1

【题目】：

计算：16＋112＋120＋…＋172＋190＋1110。

【解析】：

仔细观察算式中分母，可以发现每个分数分母都可以分拆成相邻两个自然数的积。根据前面的规律（1）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便：

16＋112＋120＋…＋172＋190＋1110

＝123＋134＋145＋…＋189＋1910＋11011

＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋18－19＋19－110＋110－111

＝12－111

＝922

《奥赛天天练》第6讲，模仿训练，练习2

【题目】：

计算： 21113＋21315＋21517＋21719＋119。

【解析】：

仔细观察，可以发现算式中前4个分数，分母中两个因数的差正好等于分子2，都可以分拆成两个单位分数之差，根据前面的规律（2）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便：

21113＋21315＋21517＋21719＋119

＝111―113＋113―115＋115―117＋117―119＋119

＝111

《奥赛天天练》第6讲，巩固训练，习题1

【题目】：

计算：

（1）112＋123＋134＋145＋156；

（2）112＋216＋3112＋…＋201420。

欧阳家百创编

欧阳家百创编 分数的拆分方法

欧阳家百（2021.03.07）

方法一：分数相加（减）拆分：

①把分母分解质因数后得出几个约数，再取不同的任意几个约数相加（减），作为分母和分子的公倍数扩分。

②再拆成两个分数的和（差）。

③把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。

方法二：分数相加（减）拆分：

①把分母分解质因数后得出几个约数，再取不同的任意几个约数分母相乘，分子相加（减），再乘以相加（减）后和（差）的倒数。

②再拆成两个分数的和（差），再乘以相加（减）后和（差）的倒数。

③把拆开后的分数约分，化成最简分数。

1a(a+1)=1a- 1a+1 ＝＞ 1a= 1a(a+1)+ 1a+1

112 = 13*4= 13-14

a+(a+1)a(a+1)= 1a+ 1a+1 ＝＞ 1a= a+(a+1)a(a+1)- 1a+1

712 = 3+43*4= 13+14

1a*(a+m) = ( 1a- 1a+m)* 1m 欧阳家百创编

欧阳家百创编 112 = 12*6=（12- 16）* 14

ma*(a+m)= 1a- 1a+m

412 = 42*6= 12- 16

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话：020---87249689 XL---JX001

分数的分拆

概念，把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆。

方法和技巧

把分数单位分拆成单位分数相加的和。

先拆分：同乘以分母的约数和。

再拆分：拆成约数作分子的分数。

后约分：约成最简分数。

分子，分母同乘以大于分母，小于分母2倍的自然数。

把真分数分拆成单位分数相加的和。

把假分数分拆成单位分数相加的和。

例题1，在81=11的括号里填上适当的自然数，使得等式成立。

解法一：8的约数有1、2、4、8.

)21(821181121241382381

101401584581)41(8)41(181

91721988981)81(8)81(181

16116181

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话：020---87249689 XL---JX001

练习：

1，将下列各分数写成两个单位分数。

1141 1131

1161 1151

11211 11121

例题2，将101分拆成三个单位分数之和（任求一解）。

分析一：可以先把101拆分成两个单位分数之和，再拆分成三个单位分数之和。

分析二：任取分母10的三个约数之和进行扩分。

解法一：10的约数有1、2、5、10，任取两个约数之和进行扩分，就能得到一种拆分。

15130131023101)21(10)21(1101