考研数学二(解答题)模拟试卷309(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷309 (题后含答案及解析)

题型有：1.

1． 设y=sin4x+cos4x,求y(n)。

正确答案： 涉及知识点：一元函数微分学

2． 求

正确答案： 涉及知识点：高等数学部分

3． 设f(x)连续，f(0)=0，f’(0)=1，求[∫-aaf(x+a)dx-∫-aaf(x-a)dx]．

正确答案：∫-aaf(x+a)dx-∫-aaf(x-a)dx=∫-aaf(x+a)d(x+a)-∫-aaf(x-a)d(x-a)=∫0zaf(x)dx-∫-2a0f(x)dx=∫02af(x)dx+∫0-2af(x)dx，又由ln(1+a)=a-+o(a2)得a→0时a-l(1+a)～，于是 涉及知识点：高等数学部分

4． 设函数f(χ)在[0，π]上连续，且∫0πf(χ)sinχdχ＝0∫0πf(χ)cosχdχ,＝0．证明：在(0，π)内f(χ)至少有两个零点．

正确答案：反证法．如果f(χ)在(0，π)内无零点(或有一个零点，但f(χ)不变号，证法相同)，即f(χ)＞0(或＜0)，由于在(0，π)内，亦有sinχ＞0，因此，必有∫0πf(χ)sinχdχ＞0(或＜0)．这与假设相矛盾． 如果f(χ)在(0，π)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为a∈(0，π)，于是在(0，a)与(a，π)内f(χ)sin(χ－a)同号，因此∫0πf(χ)sin(χ－a)dχ≠0．但是，另一方面 ∫0πf(χ)sin(χ－a)dχ＝∫0πf(χ)(sinχcosa－cosχsina)dχ ＝cosa∫0πf(χ)sinχdχ－sina∫0πf(χ)cosχdχ＝0． 这个矛盾说明f(χ)也不能在(0，π)内只有一个零点，因此它至少有两个零点． 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用

5． 设矩阵A＝，矩阵B满足(A*)-1BA*＝BA*＋8A，其中A*为A的伴随矩阵，求矩阵

B．

正确答案：(A*)-1＝A＝A，给题设方程两端右乘(A*)-1＝A，得 AB＝B＋8A2， 涉及知识点：矩阵

6． 设f(x)在(a，b)四次可导，x0∈(a，b)使得f”(x0)=f”‘(x0)=0，又设f(4)(x)＞0(x∈(a，b))，求证f(x)在(a，b)为凹函数．

正确答案：由f(4)(x)＞0(x∈(a，b))，知f”‘(x)在(a，b)单调上升．又因f”‘(x0)=0，

故从而f(x)在(a，x0]单调下降，在[x0，b)单调上升．又f”(x0)=0，故f”(x)＞0(x∈(a，b)，x≠x0)，因此f(x)在(a，b)为凹函数． 涉及知识点：微分中值定理及其应用

7． 设f(x)在(a，b)二阶可导，x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，∈(0，1)，若f’’(x)＞0(∈(a，b))，有f[tx1+(1-t)x2]＜tf(x1)+(1-t)f(x2)，特别有[f(x1)+f(x2)].

正确答案：因f’’(x)＞0(x∈(a，b))f(x)在(a，b)为凹的 (4．5)相应的式子成立．注意tx1+(1-t)x2∈(a，b) f(x1)＞f[tx1+(1-t)x2]+f’[tx1+(1-t)x2][x1-(tx1+(1-t)x2)]=f[tx1+(1-t)x2]+f’[tx1+(1-t)x2](1-t)(x1-x2)，f(x2)＞f[tx1+(1-t)x2]+f’[tx1+(1-t)x2][x2-(tx1+(1-t)x2)]=f[tx1+(1-t)x2]-f’[tx1+(1-t)x2]t(x1-x2)，两式分别乘t与(1-t)后相加得 tf(x1)+(1-t)f(x2)＞f[tx1+(1-t)x2]． 涉及知识点：微分中值定理及其应用

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。

8． 证明B可逆；

正确答案：设E(i，j)是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵，则有B=E(i，j)A，因此有｜B｜=E(i，j)｜｜A｜=一｜A｜≠0，所以矩阵B可逆。 涉及知识点：矩阵

9． 求AB一1。

正确答案：AB-1=A[E(i,j)A]-1=AA-1E-1(i，j)=E-1(i，j)=E(i，j)。 涉及知识点：矩阵

10． 当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量△y=+α，且y(0)=π，求y(1)的值．

正确答案：首先尝试从△y的表达式直接求y(1)．为此，设x0=0，△x=1，于是△y=y(x0+△x)－y(x0)=y(1)－y(0)=y(1)－π，代入△y的表达式即得 y(1)－π=π+α y(1)=2π+α．由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小，而不知道α的具体表达式，因而从上式无法求出y(1)． 由此可见，为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α．利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知，函数y(x)在任意点x处的微分这是一个可分离变量方程，它满足初始条件y｜x=0=π的特解正是本题中的函数y(x)，解出y(x)即可得到y(1)．将方程dy=分离变量，得求积分可得由初始条件y(0)=π可确定，从而y(1)= 涉及知识点：常微分方程

11． 设u=u(x，y)有二阶连续偏导数，证明：在极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ下有

正确答案：利用复合函数求导公式，有再对用复合函数求导法及(*)式可得

涉及知识点：多元函数微分学

12． 计算二重积分I＝，其中D由y＝χ与y＝χ4围成．

正确答案：D的图形如图8．14所示，虽然D的边界不是圆弧，但被积函数是r＝，选用极坐标变换方便．在极坐标变换下，D的边界方程是从而 涉及知识点：二重积分

13． 设，其中ai≠0，i=1，2，…，n，求A—1。

正确答案：令，其中。由分块矩阵的逆可得 涉及知识点：矩阵

14． 求齐次线性方程组的基础解系．

正确答案：则方程组的解为令，得方程组的基础解系ξ1=[一1，1，0，0，0]T，ξ2=[一1，0，一1，0，1]T． 涉及知识点：线性代数

15． 计算

正确答案：令 涉及知识点：重积分

16． 求微分方程y〞＋y＝χ2＋3＋cosχ的通解．

正确答案：特征方程为λ2＋1＝0，特征值为λ1＝－i，λ2＝i， 方程y〞＋y＝0的通解为y＝C1cosχ＋C2sinχ． 对方程y〞＋y＝χ3＋3，特解为y1＝χ2＋1； 对方程y〞＋y＝cosχ，特解为χsinχ，原方程的特解为χ2＋1＋χsinχ， 则原方程的通解为y＝C1cosχ＋C2sinχ＋χ2＋1＋χsinχ． 涉及知识点：常微分方程

17． 设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX＝b满足r(A)＝r()＝r＜n．证明：方程组AX＝b的线性无关的解向量的个数最多是n－r＋1个．

正确答案：因为r(A)＝r＜n，所以齐次线性方程组AX＝0的基础解系含有n－r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn-r． 设η0为方程组AX＝b的一个特解， 令β0＝η0，β1＝ξ1＋η0，β2＝ξ2＋η0，…，βn-r＝ξn-r＋η0，显然β0，β1，β2，…，βn-r，为方程组AX＝b的一组解． 令k0β0＋k1β1＋…＋kn-rβn-r＝0，即 (k0＋k1…＋kn-r)η0＋k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0， 上式两边左乘A得(k0＋k1＋…＋kn-r)b＝0， 因为b为非零列向量，所以k0＋k1＋…＋kn-r＝0，于是 k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0， 注意到ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1＝k2＝…＝kn-r＝0， 故β0，β1，β2，…，βn-r线性无关，即方程组AX＝b存在由n－r＋1个线性无关的解向量构成的向量组．设β1，β2，…，βn-r+2为方程组AX

＝b的一组线性无关解， 令γ1＝β2－β1，γ2＝β3－β1，…，γn-r+1＝βn-r＋2－β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn-r+1线性无关，又γ1，γ2，…，γn-r+1为齐次线性方程组AX＝0的一组解，即方程组AX＝0含有n－r＋1个线性无关的解，矛盾，所以AX＝b的任意n－r＋2个解向量都是线性相关的，所以AX＝b的线性无关的解向量的个数最多为n－r＋1个． 涉及知识点：线性方程组

18． 判断下列广义积分的敛散性：

正确答案：

19． 求下列级数的收敛域，并求和函数．

正确答案：

20． 计算下列函数在给定点处的偏导数：

正确答案：