平面向量的应用

教师姓名 王璐姿 年级 高三文 科目 数学

课题 平面向量的应用（2个课时）

教学目标 1、 掌握平面向量在解析几何、三角函数及数列等方面的综合应用

2、 梳理平面向量与三角函数、解析几何、数列的交汇，培养运用向量解决综合问题的能力

学法指导 1、 课前阅读教材：P109－112

2、 认真理解复习指导

3、 完成《学海导航》对应练习

第一课时复习指导：

1.向量应用的常用结论

(1)两个向量垂直的充要条件：符号表示与坐标表示.

(2)两个向量平行的充要条件：符号表示与坐标表示

(3)夹角公式

(4)模长公式

(5)数量积性质|a•b|≤|a|•|b|.

2.向量应用的分类概述

(1)应用平面向量解决函数与不等式的问题,是以函数和不等式为背景的一种向量描述,它需要掌握向量的概念及基本运算,并能根据题设条件构造合适的向量,利用向量的“数”､“形”两重性解决问题.

(2)平面向量与三角函数的整合,仍然是以三角题型为背景的一种向量描述,它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数的相关知识来解答,三角知识是考查的主体.

(3)平面向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述,它主要强调向量的坐标运算,将向量问题转化为坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体.

(4)平面向量在平面几何中的应用,是以平面几何中的基本图形(三角形､平行四边形､菱形等)为背景,重点考查平面向量的几何运算(三角形法则､平行四边形法则)和几何图形的基本性质.

(5)平面向量在物理力学等实际问题中的应用,是以实际问题为背景,考查学科知识的综合及向量的方法.

注意:(1)在解决三角形形状问题时,回答要全面､准确,处理四边形问题时,要根据平行四边形或矩形､菱形､正方形及梯形的性质处理.

(2)用向量处理物理问题时,一般情况下应画出几何图形,结合向量运算与物理实际进行解决.

1

平面向量的概念及线性运算

知识点：

1．向量的有关概念

名称 定义 备注

向量 既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量

零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|

平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线 0与任一向量平行

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

交换律：

a＋b＝b＋a

结合律：

(a＋b)＋c

＝a＋(b＋c)

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；

(2)(λ＋μ)a＝λaμa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb

2

3.向量共线的判定定理

a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．

选择题：

给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )

A．① B．③ C．①③ D．①②

解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．

已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为( )

２００６年第８期　中学数学月刊　・２５・　

《平面向量的应用》案例与反思　

刘　华　（江苏省苏州中学　２１５００６）　

ｌ　教学目标　

平面向量的应用这一节课的具体目标　

为：经历运用向量方法解决某些简单的平面　几何问题、力学问题等其他一些实际问题的　

过程，了解向量是一种处理几何问题、物理问　

题等的工具．　根据《课程标准》的要求，本节课的教学　

要求如下：　●通过问题的解决，经历、体验向量方　法在解决几何问题与物理问题中的作用，体　

会向量作为工具的地位，这是一个过程性的　目标．　●使学生通过自主完成例、习题中有　关向量的运算（加、减、数乘、数量积），从而提　

高学生的向量的运算能力．　

２　多向比较　

２．１与２０００版教材比较　与２０００版教材相比，向量的应用不再作　

为研究性学习的素材，而是作为必修的数学　

内容，也不再局限于向量在物理中的应用．因　此在新课程教材中，向量的应用主要涉及三　个方面：物理、平面几何、解析几何．　

２．２不同的版本处理的差异　

说明：这里选择人教Ａ版、人教Ｂ版与　苏教版加以对比．　

苏教版　人教Ａ版　人教Ｂ版　课时　１　２　２　分类　有（不明确）　有（明确分为平几、解几、物理三类）　例题涉及３　例题涉及２类　分２小节　类（平几、解　（平几与物理）　２．４．１（向量　几与物理）　例１、例２（平　在几何中的　例１（物理）　几）　应用）　例２（平几）　例３、例４（物　例１、例２、例　例题　例３（解几）　理）　３（平几）　其中，例２结　无解几例题　例４、例５、例　说明　论在空间（立　６（解几）　体几何）中依　２．４．２（向量　然成立．　在物理中的　应用）　例１（力）、例　２（速度）　没有明显的　在例１后有处　相应的例题　方法　方法小结　理平几问题的　之间有方法　提炼　方法小结，并将　说明、小结，　小结　小结出的方法　例题的侧重　运用在例２中．　点有所不同．　

练习４题，分．　习题２．５，Ａ组　２．４．１练习　３类：解几、　４题，Ｂ组３题，　Ａ、Ｂ各５题　平几、物理．　分３类：解几、　（部分题有若　习题分３个　平几、物理．　干小组）　层次：感受・　共７题．　２．４．２练习　理解（４题）、　Ａ、Ｂ各有４、　思考・运用　３题．　练习　（２题）、探究　习题２．４Ａ、Ｂ　习题　・拓展（２　两组各有５　题）．　题．　习题除平几、　共２７题．　解几、物理三　个方面外，还　有三角方面　的应用．　共１２题．　

1 平面向量

一.基本知识点

1、在表示两向量的夹角和两条直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？①两直线所成的角的取值范围依次是.2,0②向量的夹角的取值范围是[0，π],并且分同向,反向,垂直三种特殊情况.

2、你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量，（）向量的模——有向线段的长度，2||a

，）单位向量（1||30a （）零向量，4000||，（）相等的向量长度相等方向相同5ab

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。

babba∥存在唯一实数，使()0

（7）向量的加、减法：

3、平面向量基本定理（向量的分解定理）：为该平面任一向量，的非零向量，是平面内的两个不共线，aee21则存在唯一的实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量12112212aeeee的一组基底。

4、向量的坐标表示设，，，axybxy1122，则，，，abxyyyxyxy11121122，

axyxy1111，，

若，，，AxyBxy1122,则，ABxxyy2121，

||ABxxyyAB212212，、两点间距离公式

5、平面向量的数量积

（）··叫做向量与的数量积（或内积）。1ababab||||cos为向量与的夹角，，ab0

数量积的几何意义：ababab·等于与在的方向上的射影的乘积。||||cos

（2）数量积的运算法则

2 ①··abba②··()abcacbc

③·，·，abxyxyxxyy11221212