当前位置：文档之家 › 数学建模数学建模之雨中行走问题模型

数学建模数学建模之雨中行走问题模型

  • 格式：doc
  • 大小：192.50 KB
  • 文档页数：6

数学建模

雨

中

行

走

模

型

系别：

班级：

姓名：

学号：

2 正文：

数学建模之雨中行走问题模型

摘要：

考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；

若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。

① 当sinrv时,淋在背上的雨量为vvhrhpwDsin,雨水总量vvrhdrpwDCsincos.

② 当sinrv时,此时02C.雨水总量cosvpwDdrC,如030,升24.0C

这表明人体仅仅被头顶部位的雨水淋湿.实际上这意味着人体刚好跟着雨滴向前走,身体前后将不被淋雨.

③ 当sinrv时,即人体行走的快于雨滴的水平运动速度sinr.此时将不断地赶上雨滴.雨水将淋胸前（身后没有）,胸前淋雨量vrvpwDhCsin2

关键词：

淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度

1.问题的重述

人们外出行走,途中遇雨,未带雨伞势必淋雨,自然就会想到,走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处进行时,雨的速度（大小和方向）已知,问行人走的速度多大才能使淋雨量最少？

2.问题的分析.

由于没带伞而淋雨的情况时时都有，这时候大多人都选择跑，一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。，

一、我们先不考虑雨的方向，设定雨淋遍全身，以

最大速度跑的话，估计总的淋雨量；

二、再考虑雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为 ，如图1，建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算=0，=090时的总淋雨量；  3 三、再是雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图2.，建立总淋雨量与速度v及参数a , b , c, d , u , w ,  之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少；

四、以总淋雨量为纵轴，对（三）作图，并解释结果的实际意义；

五、若雨线方向不在同一平面内，模型会有什么变化；按照这五个步骤，我们可以进行研究了。

3.模型的假设与符号说明

2.1模型的假设

1. 设雨滴下落的速度为u（米/秒）,降水强度（单位时间平面上的降水厚度）为w（厘米/时）,且u,w为常量.

2. 设雨中行走的速度为v（米/秒）,（固定不变）.雨中行走的距离为d（米）.

3. 设降雨的角度（雨滴下落的反方向与人前进的方向之间的夹角）为

4. 视人体为一个长方体,其身高为a（米）,身宽为b（米）,厚度为c（米）

3.2符号说明

a:代表人颈部以下的高度

b:人身体的宽度

c:人身体的厚度

d:起跑点到终点的距离 4 mv:跑步的最大速度

u:雨的速度

w:降雨量

v:跑步速度

:雨线方向与人体夹角

S:人的全身面积

t= d/mv:雨中行走的时间

4.模型的建立与求解

（1）不考虑雨的方向

首先讨论最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响。雨将淋遍全身，淋雨的面积s=2ab+2ac+bc=2.22m，

淋雨的时间t=d/mv=200s,

降雨量w=2cm/h=410/18(m/s),

所以总的淋雨量Q=stw2.4L。

（2）雨从迎面吹来

雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的角度为 。如图1。建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w， 之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算 =0， =30时的总降雨量。

雨滴落下的速度为u=4m/s，降雨量w=2cm/h。因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前部。分两部分计算淋雨量.

顶部的淋雨量1Q= bcdw cos /v；雨速水平分量usin ，风向与v相反。合速度usin +v，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w（ usin +v）/u，迎面淋雨量2Q=abdw（ usin +v）/uv，所以总淋雨量

12cos(sin)bdwcuauvQQQuv

v=mv时Q最小。0时，Q=1.2L；=030，Q1.6L。 5

(3)考虑降雨方向的模型（雨从背面吹来）

雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为a ，如图2。建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w， 之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。

计算 =30的总淋雨量。

雨滴落下的速度为u=4m/s，降雨量w=2cm/h，因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和背部。分两部分计算淋雨量。

顶部的淋雨量1Q=bcdw cos /v；雨速水平分量usin ，风向与v相反。合速度sinuav，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w（ usin -v）/u，迎面淋雨量2Q=abdw（ usin -v）/uv，所以总淋雨量：

cos(sin)(cossin),sincos(sin)(cossin),sinbdwcuauavbdwuaaaavvuauvuvQbdwcuavuabdwuaaaavvuauvuv

若cossincaaa即tana>c/a，则v=usina时Q最小，否则，v=mv时Q最小，当030a，tana>0.2/1.5，v=2m/s，Q0.24L最小，可与v=mv，Q0.93L相比。 6

(4)以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对三作图（考虑 a的影响），并解释结果的实际意义

雨从背面吹来，只要 不太小，满足tana>c/a（a=1.5m、c=0.2m时，> 即可），v=usina，Q 最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨。

(5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化

再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化。

5.模型的评价

（1）在不考虑风向情况下：

此时，你的前后左右和上方都将淋雨。人在行走中的淋雨量最大的大约为2.44升。 结论表明:淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小

（2）在考虑风向及雨量的情况下:

当v=usinθ时，Q取到最小.表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。

当v﹥usinθ，你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的胸膛。

6.模型的结果分析

综合上面的分析，我们得到的结论是：

1．如果雨是迎着你前进的方向落下，这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑。

2．如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制在雨中行的。走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。

根据一般常识，我们所得到的结果是合理的且与我们的日常生活经验是一致的。运用简单的数学工具，我们对日常生活中司空见惯的问题给予了定量的分析。但同时必须指出的是，这里建立的简单数学模型与雨中行走的实际过程尚有距离，因为在建立数学模型的过程中我们忽略了一些相对次要的因素。关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。

参考文献

[1] 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2008.

合集下载

雨中行走问题模型

雨中行走问题模型

数学建模之雨中行走问题模型

摘要：由于降雨方向的变化，在跑步过程中尽力快跑不一定是最好的策略。就淋雨量与跑步快慢这个问题，我们通过建立数学模型来探讨在雨中如何行走才能使淋雨量最少。在不考虑雨的方向时，当然是跑的越快淋得越少；考虑雨的方向时，那么再分情况讨论，若雨是迎着你前进的方向落下，这时以最大的速度向前跑可使淋雨量最少； 若雨是从你的背后落下，那么你应控制在雨中行走的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。

关键词：淋雨量， 数学模型， 降雨的方向。

正文

1.问题的提出

要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方形，高a=1.5（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步估计跑完全程的淋雨量；

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为，问跑步速度v为多大时可使淋雨量最少。

（3）雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）

2.问题的分析

总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。每个面上的淋雨量等于单位面积、

单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。 2 再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最优解。

淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t） ①

时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v） ②

数学建模之预测模型

数学建模之预测模型

第六章 预测模型（Forecast Models）

本讲主要内容

1. 预测和预测模型

2. 时间序列预测模型

3. 灰色预测模型

4. 数学建模案例：SARS疫情对某些经济指标影响问题

6.1预测和预测模型

6.1.1 什么是预测

预测作为一种探索未来的活动早在古代已经出现，但作为一门科学的预测学，是在科学

技术高度发达的当今才产生的。“预测”是来自古希腊的术语。我国也有两句古语：“凡事预

则立，不预则废”， “人无远虑，必有近忧” 。预测的目的在于认识自然和社会发展规律，

以及在不同历史条件下各种规律的相互作用，揭示事物发展的方向和趋势，分析事物发展的

途径和条件，使人们尽早地预知未来的状况和将要发生的事情，并能动地控制其发展，使其

为人类和社会进步服务。因而预测是决策的重要的前期工作。决策是指导未来的，未来既是

决策的依据，又是决策的对象，研究未来和预测未来是实现决策科学化的重要前提。预测和

决策是过程的两个方面，预测为决策提供依据，而预测的目的是为决策服务，所以不能把预

测模型和决策模型截然分开，有时也把预测模型称为决策模型。

20世纪以来，预测技术所以得以长足进步，一方面，与社会需求有很大关系，另一方

面通过社会实践和长期历史验证，表明事物的发展是可以预测的。而且借助可靠的数据和科

学的方法，以及预测技术人员的努力，预测结果的可靠性和准确性可以达到很高的程度，这

也是预测技术迅速发展的另一个重要原因。

6.1.2 预测的方法和内容

为保证预测结果的精确度，预测之前的主要工作是数据的准备，数据是预测工作的前提

和重要依据，预测不能是臆造和空想，任何事物的发展都有一定的规律，认真研究预测对象

并充分考察预测对象所处的环境，以系统分析的方法对过去和现在的数据进行总结，从中找

出规律，便可科学地推断未来。

1.数据的收集和整理 按时态分，数据可分为历史数据和现实数据；按预测对象分，可

分为内部数据和外部数据；就收集的手段分，可分为第一手数据和第二手数据。第一手数据，

雨中行走数学建模

雨中行走数学建模

1

雨中行走问题的分析

吴珍 数学与应用数学二班 A班

冯奎艳 数学与应用数学二班 A班

杨彦云 数学与应用数学二班 A班

摘 要 本文讨论了雨线方向、跑步速度与淋雨量关系的问题.

针对问题一，将人视为长方体，采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，得到速度越大淋雨量越小的结论。

针对问题二，首先引入雨滴降落频率的概念，解决了用雨速来确定降雨量雨滴降落不连续的问题。然后采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，建立跑步速度与淋雨量关系的优化模型，得到速度越大淋雨量越小的结论。

针对问题三，在问题二的基础上，改变雨线方向，采用物理学中流体计算的思想方法，建立与跑步速度与淋雨量关系的优化模型，确定淋雨量最小情况下的跑步速度.

针对问题四，综合雨线方向与跑步方向夹角，跑步速度，淋雨量的关系，建立几何模型，采用数形结合的方法建立淋雨量模型。

关键词 雨滴降落频率；优化模型；淋雨量

2

一、问题重述

一般情况下，行人未带雨具却突降大雨，都会选择加快行走速度以减少淋雨量，但如果考虑风速、雨速，就会发现淋雨量并不光与淋雨时间有关。那么在雨中以何种速度跑，淋雨量最少。现假设要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型，讨论是否跑得越快,淋雨量越少。按以下步骤进行讨论:

(1) 不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量。

(2) 雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为,问速度多大时,总淋雨量最少。

(3) 雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为,问速度多大时,总淋雨量最少。

(4) 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内即异面时,模型会有什么变化。

二、问题分析

人在雨中行走时，行走时间即淋雨时间。把人看成一个长方体，总淋雨量是各个面淋雨量之和。为解决雨滴不是连续的，引进雨滴频率P(模型建立部分会做具体阐述)的概念。

雨中奔跑问题数学建模

雨中奔跑问题数学建模

题目：一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。

1 建模准备

建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。

主要因素：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度

2 模型假设及符号说明

1）把人体视为长方体，身高h米，宽度w米，厚度d米。淋雨总量用C升来记。

2）降雨大小用降雨强度I厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。

3）风速保持不变。

4）你一定常的速度v米/秒跑完全程D米。

3 模型建立与计算

1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。

淋雨的面积 )( 222米wddhwhS

雨中行走的时间 )(秒vDt

降雨强度 )/()3600/01.0()/(01.0)/(smIII时米时厘米

（升）米SIvDSItC3600/)/(10)(01.0)3600/(3

模型中为变量。为参数，而vSID,,

结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。

。米即米米米小时厘米米若取参数22.2,20.0,50.0,50.1,/2,1000SdwhID 秒。分秒，即你在雨中行走了每秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速472167/6v 从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。

经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。