【高中数学】第二章 2.2 第2课时

第2课时 基本不等式的应用

学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．

知识点

用基本不等式求最值

用基本不等式x＋y2≥xy求最值应注意：

(1)x，y是正数；

(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；

②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.

(3)讨论等号成立的条件是否满足．

预习小测 自我检验

1．已知0

答案 18

解析 y＝x(1－2x)＝12·2x·(1－2x)

≤122x＋1－2x22＝18，

当且仅当2x＝1－2x，即x＝14时取“＝”．

2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.

答案 20

解析 总运费与总存储费用之和

y＝4x＋400x×4＝4x＋1 600x≥24x·1 600x＝160，

当且仅当4x＝1 600x，

即x＝20时取等号．

3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司每台机

器年平均利润的最大值是________万元．

答案

8

解析

年平均利润yx＝－x＋18－25x＝－x＋25x＋18≤－225x·x＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x＝5时取“＝”．

4．已知x>2，则x＋4x－2的最小值为________．

答案 6

解析 x＋4x－2＝x－2＋4x－2＋2，

∵x－2>0，∴x－2＋4x－2＋2≥24＋2＝4＋2＝6.

当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时取“＝”．

一、利用基本不等式变形求最值

例1 已知x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．

解 方法一 ∵x>0，y>0，1x＋9y＝1，

∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9xy＋10

≥6＋10＝16，

当且仅当yx＝9xy，

又1x＋9y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．

故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.

方法二 由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．

由1x＋9y＝1可知x>1，y>9，

∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10

≥2x－1y－9＋10＝16，

当且仅当x－1＝y－9＝3，

即x＝4，y＝12时上式取等号，

故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.

延伸探究 若将条件换为：x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．

解 方法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.

∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝2xx－8，

∴x＋y＝x＋2xx－8＝x＋2x－16＋16x－8

＝(x－8)＋16x－8＋10≥2x－8×16x－8＋10＝18.

当且仅当x－8＝16x－8，即x＝12时，等号成立．

∴x＋y的最小值是18.

方法二 由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，

得8x＋2y＝1.

∴x＋y＝(x＋y)8x＋2y

＝8yx＋2xy＋10≥28yx·2xy＋10＝18.

当且仅当8yx＝2xy，即x＝2y＝12时等号成立．

∴x＋y的最小值是18.

反思感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换．

跟踪训练1 已知正数x，y满足x＋y＝1，则1x＋4y的最小值是________．

答案 9

解析

∵x＋y＝1，

∴1x＋4y＝(x＋y)1x＋4y

＝1＋4＋yx＋4xy.

∵x>0，y>0，∴yx>0，4xy>0，

∴yx＋4xy≥2yx·4xy＝4，

∴5＋yx＋4xy≥9.

当且仅当 x＋y＝1，yx＝4xy，即x＝13，y＝23时等号成立．

∴1x＋4ymin＝9.

二、基本不等式在实际问题中的应用

例2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝x＋12(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2Q＋1Q万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为2＋20Q元/件．

那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)

解 设该批产品的利润为y，

由题意知y＝2＋20Q·Q－2Q＋1Q－x

＝2Q＋20－2Q－2Q－x＝20－2Q－x

＝20－4x＋1－x＝21－4x＋1＋x＋1，0≤x≤3.

∵21－4x＋1＋x＋1≤21－24＝17，

当且仅当x＝1时，上式取“＝”，

∴当x＝1时，ymax＝17.

答 当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．

反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立．

跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．消耗A材料总重量为y千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少．

解 由题意，得k＋9＝10，即k＝1，

生产1 000千克该产品需要的时间是1 000x，

所以生产1 000千克该产品消耗的A材料为

y＝1 000x(x2＋9)＝1 000x＋9x≥1 000×29＝6 000，

当且仅当x＝9x，即x＝3时，等号成立，且1<3<10.

故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克．

基本不等式在实际问题中的应用

典例 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．

试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

解 设矩形的另一边长为a m，

则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.

由已知xa＝360，得a＝360x，

∴y＝225x＋3602x－360.

∵x>0，

∴225x＋3602x≥2225×3602＝10 800.

∴y＝225x＋3602x－360≥10 440.

当且仅当225x＝3602x时，等号成立．

即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．

[素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例中所涉及的y＝x＋ax(a>0)就是一个应用广泛的函数模型．

1．设x>0，则3－3x－1x的最大值是( )

A．3 B．3－22

C．－1 D．3－23

答案 D

解析 ∵x>0，∴3x＋1x≥23x·1x＝23，当且仅当x＝33时取等号，∴－3x＋1x≤－23，则3－3x－1x≤3－23，故选D.

2．已知x2－x＋1x－1(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于(

)

A．1＋2 B．2

C．3 D．4

答案 B

解析 x2－x＋1x－1＝xx－1＋1x－1＝x＋1x－1

＝x－1＋1x－1＋1≥2＋1＝3，

当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立．

3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )

A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m

答案 C

解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.

4．已知正数a，b满足a＋2b＝2，则2a＋1b的最小值为________．

答案 4

解析 2a＋1b＝2a＋1b×12(a＋2b)

＝124＋ab＋4ba

≥12(4＋24)＝4.

当且仅当ab＝4ba，即a＝1，b＝12时等号成立，

∴2a＋1b的最小值为4.

5．设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是________ m3.

答案 16

解析 设车厢的长为b m，高为a m.

由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝16－2aa＋1，

∴V＝a·16－2aa＋1·2＝2·16a－2a2a＋1.

设a＋1＝t，则V＝220－2t－18t

≤220－2 2t·18t＝16，

当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立．

1．知识清单：

(1)已知x，y是正数．

①若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．

②若x·y＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．

即：“和定积最大，积定和最小”．

(2)求解应用题的方法与步骤．

①审题，②建模(列式)，③解模，④作答．

2．方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值．

3．常见误区：缺少等号成立的条件．

1．已知正数x，y满足8x＋1y＝1，则x＋2y的最小值是( )

A．18 B．16 C．8 D．10

答案 A

解析 x＋2y＝(x＋2y)8x＋1y＝10＋16yx＋xy≥10＋216＝18，当且仅当16yx＝xy，即x＝4y＝12