[精品]2016-2017年广东省广州市荔湾区高一下学期期末数学试卷及解析答案word版

2016-2017学年第二学期教学质量监测试卷高二数学(理科)本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数212⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列命题中的假命题是A ．,lg 0x x R ∈∃>B ．,sin 1x x ∃∈=RC ．2,0x x ∈∀>RD ．,20x x ∈∀>R3．设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =A.2eB.eC.ln 22D.ln 24．已知A 是B 的充分不必要条件，C 是B 是必要不充分条件，A ⌝是D 的充分不必要条件，则C 是D ⌝的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知2~(,)Z N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544．若 (),~51X N ，则(67)P X <<等于A ．0.3413B ．0.4772C ．0.1359D ．0.81856．在四面体OABC 中，OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，OC c =uuu r r ，点M 在OA 上，且2OM MA =,点N 是BC 的中点，则MN =uuu rA ．211322a b c -++r r rB ．121232a b c -+r r r C ．111222a b c +-r r r D ．221332a b c +-r r r7．直线3,,022x x y ππ===及曲线cos y x =所围成图形的面积是 A ．2 B ．3 C ．π D ．π28．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有A ．80种B ．100种C ．120种D ．126种9．抛物线22y px =的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线的准线相切（O 为坐标原点），且外接圆的面积为π9，则p =A ．2B ．4C ．6D ．810．以下命题正确的个数为(1)存在无数个∈βα,R ，使得等式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=-成立；(2)在ABC ∆中，“6A π>”是“1sin 2A >”的充要条件； (3)命题“在ABC ∆中，若sin sin AB =,则A B =”的逆否命题是真命题；(4)命题“若6πα=，则21s i n =α”的否命题是“若6πα≠，则21s i n ≠α”．A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，已知椭圆221:110x C y +=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于,A B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为A ．9B ．5C ．5D ．312．已知函数)(x f 的导函数为()f x '，且()()f x f x '>对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是A ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f <B ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f <C ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f >D ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若双曲线2221(0)3x y a a -=>的一个焦点恰好与抛物线28y x =的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为 ．14．代数式⋅⋅⋅+++11111中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式t =,则11t t +=，则210t t --=，取正值得12t =，用类似方法可得=⋅⋅⋅+++666 ． 15．用总长为24m 的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器底面为正方形,则这个容器体积的最大值为 ．16．在()()642x x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，则()()3,45,3f f +＝ ．(用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，1112,2(1,2,3...)n na a n a +==-=． （Ⅰ）求234,,a a a 的值，猜想出数列的通项公式n a ；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．18.（本小题满分12分） 已知函数()(,)b f x ax a b x=+∈R 的图象过点))1(,1(f P ，且在点P 处的切线方程为38y x =-．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的极值．19.（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为边长为2的菱形，G 为AC 与BD 交点，平面BED ⊥平面ABCD，2,BE AE ==第19题图D A G CE（Ⅰ）证明：BE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若120ABC ∠=，求直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求X 的分布列和数学期望．21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3()1,3--M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线02:=--y x l 与椭圆C 交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上一动点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及△PAB 的最大面积．22.（本小题满分12分） 已知函数21()ln(1)2f x a x x x =++-，其中a 为实数． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212()0f x x ->．。

2016年省实高一第二学期期末一、选择题1. 在中，，，，则最小角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由，，，可得最小，根据由余弦定理得即可得结果.详解：因为，，，所以最小，由余弦定理得，所以，故选．点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.2. 的三内角、、所对边的长分别是、、，设向量，，若，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：因为，根据向量平行定理可得，化简得，根据余弦定理可得角的值.详解：利用推出向量，中，，，的关系，利用余弦定理求出的大小即可．因为，得得：，即，由余弦定理，所以．故选．点睛：本题主要考查了两向量平行的坐标形式以及余弦定理的应用，属于中档题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.3. 在中，角、均为锐角，且，则的形状是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】C【解析】分析：利用诱导公式及正弦函数的单调性可得结果.详解：，所以．因为、均为锐角，所以也是锐角，由，因此，即为钝角，的形状是钝角三角形，故选．点睛：本题考查诱导公式及正弦函数的单调性. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 4. 已知锐角三角形的边长分别为，，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：因为三角形为锐角三角形，所以每个角的余弦值都是正数，根据余弦定理列不等式组求解即可.详解：因为三角形为锐角三角形，所以每个角的余弦值都应是正数，根据余弦定理可得．的取值范围是，故选D．点睛：本题主要考查余弦定理的应用，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.5. 在数列，，，，，，，，，中，为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据所给数据的规律可知，从第三个数开始每个数都是前个数的和，从而即可得结果.详解：根据所给数据的规律可知，从第三个数开始每个数都是前个数的和，，故选C.点睛：本题主要考查归纳推理的应用，属于中档题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.6. 记为等差数列的前项和，若，，则的公差为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用等差数列通项公式及前项和公式列出方程组，由此能求出的公差.详解：，，∴,①-②有，公差，故选C．点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.7. 等差数列，的前项和分别为，，若，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】∵ ，而∴ ，故选B.8. 已知为等差数列，，．以表示的前项和，则使得达到最大值的是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设等差数列的公差为，则由已知,,得：，解得：，，由，得：，当时，，当时，，故当时，达到最大值.故选B．考点：等差数列的前n项和．【易错点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式，及等差数列前n项和取最值的条件及求法，如果从等数列的前n项和公的角度，由二次函数求最值时，对于n等于21还是20时，取得最大值，学生是最容易出错的.视频9. 已知集合，，则为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】A【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，，根据集合交集的定义求解即可.详解：∵由，所以，因为，所以或，∴或或．故选．点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.10. 已知，，且，求的最小值（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由得，利用基本不等式可得结果.详解：，．当时，等号成立，又，∴，，的最小值为，故选C．点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11. 设，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得最优解，把最优解的坐标代入目标函数得结论.详解：画出约束条件对应的可行域，如图区域，由可得，即，化为时，平移直线，由图可知经过点，直线在纵轴上截距最大，在点处的有最小值为，故选C．点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12. 数列的通项，其前项和为，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用二倍角的余弦公式化简得，根据周期公式求出周期为，从而可得结果.详解：首先对进行化简得，又由关于的取值表：可得的周期为，则可得，设，则，故选A．点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.二、填空题13. 在中，，，，则__________．【答案】【解析】试题分析：在中，由正弦定理得.所以答案应填：．考点：1、正弦定理；2、三角形内角和定理．14. 不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集是，那么等于__________．【答案】【解析】分析：利用一元二次不等式的解法可得，，求出，根据韦达定理求得的值，从而可得结果.详解：不等式变形得：，计算得出：，即，不等式变形得：，计算得出：，即，∴，即不等式的解集为，∴由韦达定理可得，，则，故答案为．点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．15. 已知数列，，，，，，，，，，，则是数列中的第__________项．【答案】【解析】分析：将所给数据分组，发现每组数据分子、分母以及分子与分母和的共同规律，结合等差数列的求和公式求解即可.详解：，，，，，，，，，，，发现数列第一组分子与分组和为，第二组，分子与分母和为，第三组，，分子与分母和为，因为，所以是第组第七个数，第组前面共有个数，是第项，故答案为．点睛：本题主要考查归纳推理，属于中档题. 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.16. 已知二次函数，，，，，时，其对应的抛物线在轴上截得的线段长依次为，，，，，则__________．【答案】【解析】分析：当时，结合方程的根与系数关系可求，然后利用裂项求和方法即可得结果.详解：当时，∴，，∴，∴，故答案为：．点睛：本题主要考查函数的二次函数的性质，裂项相消法求和属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.三、解答题17. 已知集合，，又，求等于多少？【答案】【解析】分析：先根据指数函数，对数函数的性质，将化简，从而可得出，再根据一元二次不等式与一元二次方程的关系求出，进而得出.详解：由题意，，，，，，，方程的两个根为和，由韦达定理则，，∴．点睛：本题考查了指数函数，对数函数的单调性，集合的基本运算，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于简单题.18. 已知的内角、、所对的边分别为、、，且，．（）若，求的值．（）若的面积，求，的值．【答案】(1) （2），【解析】分析：（1）先求出，再利用正弦定理求的值；（2）结合（1）由的面积，求得的值，再利用余弦定理求的值.详解：（）因为，且，所以．正弦定理：，截得．（），截得，余弦定理：，解得．点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.19. 某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为和，可能的最大亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【答案】投资人用万元投资甲项目、万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过万元的前提下，使可能的盈利最大．【解析】分析：设投资人分别用万元、万元投资甲、乙两个项目，确定约束条件不等式与目标函数，作出可行域，平移目标函数，结合图象即可求得结果.详解：设投资人分别用万元、万元投资甲、乙两个项目，根据题意知，目标函数，上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域．作直线，并作平行于直线的一组直线，，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点，且与直线的距离最大，这里点是直线和的交点．由，可得，，∵，∴当，时，取得最大值．答：投资人用万元投资甲项目、万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过万元的前提下，使可能的盈利最大．点睛：本题考查线性规划知识，意在考查利用数学知识解决实数问题，考查学生分析解决问题的能力以及数形结合思想的应用，属于中档题.20. 在数列中，，．（）设，证明：数列是等差数列．（）求数列的前项和．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）要证明数列是等差数列，应利用等差数列的定义，将已知条件变形出数列的相邻两项，两边同除以即可；（2）由数列是等差数列，可得数列的通项公式，再由得数列的通项公式，用错位相减法求前项和。

2016-2017学年广东省广州市荔湾区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若z•i=1﹣2i（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．﹣2﹣i B．2﹣i C．2+i D．﹣2+i2．（5分）抛物线x2=﹣4y的焦点到准线的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）“p且q是真命题”是“非p为假命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也木必要条件4．（5分）用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数z=2+3i的实部是2，所以复数z的虚部是3i”．对于这段推理，下列说法正确的是（）A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．推理没有问题，结论正确5．（5分）函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2e（x﹣1）B．y=ex﹣1 C．y=e（x﹣1）D．y=x﹣e6．（5分）若，则sinα﹣cosα的值与1的大小关系是（）A．sinα﹣cosα＞1 B．sinα﹣cosα=1C．sinα﹣cosα＜1 D．不能确定7．（5分）函数f（x）=3x﹣4x3，（x∈[0，1]）的最大值是（）A．B．﹣1 C．0 D．18．（5分）甲、乙、丙三人中只有一人去过陈家祠，当他们被问到谁去过时，甲说：“丙没有去”；乙说：“我去过”；丙说：“甲说的是真话”．若三人中只有一人说的是假话，那么去过陈家祠的人是（）A．甲B．乙C．丙D．不能确定9．（5分）某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为（）A．2千米B．千米C．2mn千米D．mn千米10．（5分）函数f（x）=x3﹣ax在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜011．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（0，）12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）=0，当x＞0时有，则不等式x2•f（x）＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（﹣2，2）∪（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）=x3+ax2+x+b在x=1时取得极值，则实数a=．14．（5分）下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m的值为．15．（5分）代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得=．16．（5分）如图，F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．18．（12分）国家实施二孩放开政策后，为了了解人们对此政策持支持态度是否与年龄有关，计生部门将已婚且育有一孩的居民分成中老年组（45岁以上，含45岁）和中青年组（45岁以下，不含45岁）两个组别，每组各随机调查了50人，对各组中持支持态度和不支持态度的人所占的频率绘制成等高条形图，如图所示：（1）根据以上信息完成2×2列联表；（2）是否有99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度与年龄有关？附：．19．（12分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．20．（12分）如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图②）（Ⅰ）求证AP∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣2=0与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C上一动点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b）为常数且a≠0）在x=1处取得极值．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．2016-2017学年广东省广州市荔湾区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若z•i=1﹣2i（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．﹣2﹣i B．2﹣i C．2+i D．﹣2+i【解答】解：由z•i=1﹣2i，的，∴，故选：D．2．（5分）抛物线x2=﹣4y的焦点到准线的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据题意，抛物线的方程为x2=﹣4y，其焦点坐标为（0，﹣1），准线方程为y=1，焦点到准线的距离为2；故选：B．3．（5分）“p且q是真命题”是“非p为假命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也木必要条件【解答】解：由p且q是真命题知，p和q均为真命题，所以非p为假命题，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的充分条件；由非p为假命题知，p为真命题，但q真假不知，故无法判断p且q真假，所以“p且q是真命题”是“非p 为假命题”的不必要条件．故选A4．（5分）用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数z=2+3i的实部是2，所以复数z的虚部是3i”．对于这段推理，下列说法正确的是（）A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．推理没有问题，结论正确【解答】解：复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，这个说法是错误的，大前提是错误的，∴得到的结论是错误的，∴在以上三段论推理中，大前提错误．故选：A．5．（5分）函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2e（x﹣1）B．y=ex﹣1 C．y=e（x﹣1）D．y=x﹣e【解答】解：函数f（x）=e x lnx的导数为f′（x）=e x lnx+e x，∴切线的斜率k=f′（1）=e，令f（x）=e x lnx中x=1，得f（1）=0，∴切点坐标为（1，0），∴切线方程为y﹣0=e（x﹣1），即y=e（x﹣1）．故选：C．6．（5分）若，则sinα﹣cosα的值与1的大小关系是（）A．sinα﹣cosα＞1 B．sinα﹣cosα=1C．sinα﹣cosα＜1 D．不能确定【解答】解：若，则sinα﹣cosα＞0，sinαcosα＜0，∵（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα＞1，∴sinα﹣cosα＞1，故选：A．7．（5分）函数f（x）=3x﹣4x3，（x∈[0，1]）的最大值是（）A．B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：函数f（x）=3x﹣4x3的导数为f′（x）=3﹣12x2=3（1﹣4x2），由f′（x）=0，可得x=（﹣舍去）f（x）在[0，）递增，（，1）递减，可得f（x）在x=处取得极大值，且为最大值1．故选：D．8．（5分）甲、乙、丙三人中只有一人去过陈家祠，当他们被问到谁去过时，甲说：“丙没有去”；乙说：“我去过”；丙说：“甲说的是真话”．若三人中只有一人说的是假话，那么去过陈家祠的人是（）A．甲B．乙C．丙D．不能确定【解答】解：假设甲说的是假话，即丙去过，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙去过，又丙没有去过，故甲去过；故选：A．9．（5分）某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为（）A．2千米B．千米C．2mn千米D．mn千米【解答】解：∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则近地点A距地心为a﹣c，远地点B距地心为a+c．∴a﹣c=m+r，a+c=n+r，∴a=+r，c=．又∵b2=a2﹣c2=（+r）2﹣（）2=mn+（m+n）r+r2=（m+r）（n+r）∴b=，∴短轴长为2b=2千米，故选A10．（5分）函数f（x）=x3﹣ax在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0【解答】解：f′（x）=x2﹣a，若f（x）在R递增，则x2﹣a≥0在R恒成立，即a≤x2在R恒成立，故a≤0，故选：B．11．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（0，）【解答】解：法一：联立，消去y2，得=（）2﹣b2，∵椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，∴0＜x2＜a2，∴0＜＜c2，∴0＜（）2﹣b2＜c2，∴b＜＜a，∴，∴，∴，∴，且0＜e＜1，解得．故选：C．法二：∵椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，椭圆与圆的中心都是原点，∴圆的半径满足，由，得2c＞b，再平方得4c2＞b2，在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，∴e=，由，得b+2c＜2a，再平方，得：b2+4c2+4bc＜4a2，∴3c2+4bc＜3c2，∴4bc＜3b2，∴4c＜3b，∴16c2＜9b2，∴16c2＜9a2﹣9c2，∴9a2＞25c2，∴，∴e＜．综上，椭圆的离心率e的取值范围是（，）．故选：C．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）=0，当x＞0时有，则不等式x2•f（x）＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（﹣2，2）∪（2，+∞）【解答】解：因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒所以在（0，+∞）内单调递减．因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．所以答案为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）=x3+ax2+x+b在x=1时取得极值，则实数a=﹣2．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+x+b，f′（x）=3x2+2ax+1，又∵f（x）在x=1时取得极值，∴f′（1）=3+2a+1=0，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m的值为3．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，故答案为：315．（5分）代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得=3．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，6+═m2，即6+m=m2，解得，m=3（﹣2舍去）．故答案为：3．16．（5分）如图，F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a∴|AF1|=2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|=2a∴2m﹣2a﹣m=2a∴m=4a在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2•6a•4a•∴c=a∴=故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4．由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=．∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2．18．（12分）国家实施二孩放开政策后，为了了解人们对此政策持支持态度是否与年龄有关，计生部门将已婚且育有一孩的居民分成中老年组（45岁以上，含45岁）和中青年组（45岁以下，不含45岁）两个组别，每组各随机调查了50人，对各组中持支持态度和不支持态度的人所占的频率绘制成等高条形图，如图所示：（1）根据以上信息完成2×2列联表；（2）是否有99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度与年龄有关？附：．【解答】解：（1）由等高条形图可知：中老年组中，持支持态度的有50×0.2=10人，持不支持态度的有50﹣10=40人；中青年组中，持支持态度的有50×0.5=25人，持不支持态度的有50﹣25=25人．故2×2列联表为：…（4分）（2）；∴有99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度支持与年龄有关…（10分）19．（12分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．20．（12分）如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图②）（Ⅰ）求证AP∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．【解答】解：（Ⅰ）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理∴平面EFG∥平面PAB，又PA⊂面PAB，∴AP∥平面EFG…（6分）（Ⅱ）由题设可知BC⊥平面PDC，G是BC的中点，BC=2，所以GC=1，又，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣2=0与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C上一动点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）将直线x﹣y﹣2=0代入中，消去y得，x2﹣3x=0．解得x=0或x=3．…（5分）∴点A（0，﹣2），B（3，1），∴|AB|==3．…（6分）在椭圆C上求一点P，使△PAB的面积最大，则点P到直线l的距离最大．设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b．…（7分）将y=x+b代入，整理得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0．…（8分）令△=（6b）2﹣4×4×3（b2﹣4）=0，解得b=±4．…（9分）将b=±4代入方程4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，解得x=±3．由题意知当点P的坐标为（﹣3，1）时，△PAB的面积最大．…（10分）且点P（﹣3，1）到直线l的距离为d==3．…（11分）△PAB的最大面积为S==9．…（12分）22．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b）为常数且a≠0）在x=1处取得极值．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．【解答】解：（I）因为f（x）=lnx+ax2+bx所以f′（x）=+2ax+b，…（2分）因为函数f（x）=lnx+ax2+bx在x=1处取得极值f′（1）=1+2a+b=0…（3分）当a=1时，b=﹣3，f′（x）=，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：，…（5分）所以f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞）单调递减区间为（，1）…（6分）（II）因为f′（x）=令f′（x）=0，x1=1，x2=…（7分）因为f（x）在x=1处取得极值，所以x2=≠x1=1，当＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减所以f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），令f（1）=1，解得a=﹣2…（9分）当a＞0，x2=＞0当＜1时，f（x）在（0，）上单调递增，（，1）上单调递减，（1，e）上单调递增所以最大值1可能在x=或x=e处取得而f（）=ln+a（）2﹣（2a+1）=ln﹣＜0所以f（e）=lne+ae2﹣（2a+1）e=1，解得a=…（11分）当1≤＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，）上单调递减，（，e）上单调递增所以最大值1可能在x=1或x=e处取得而f（1）=ln1+a﹣（2a+1）＜0所以f（e）=lne+ae2﹣（2a+1）e=1，解得a=，与1＜x2=＜e矛盾…（12分）当x2=≥e时，f（X）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）单调递减，所以最大值1可能在x=1处取得，而f（1）=ln1+a﹣（2a+1）＜0，矛盾综上所述，a=或a=﹣2．…（13分）。

2016-2017学年广东省广州市荔湾区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若z•i＝1﹣2i（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．﹣2﹣i B．2﹣i C．2+i D．﹣2+i2．（5分）抛物线x2＝﹣4y的焦点到准线的距离为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）“p且q是真命题”是“非p为假命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也木必要条件4．（5分）用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数z＝2+3i 的实部是2，所以复数z的虚部是3i”．对于这段推理，下列说法正确的是（）A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．推理没有问题，结论正确5．（5分）函数f（x）＝e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y＝2e（x﹣1）B．y＝ex﹣1C．y＝e（x﹣1）D．y＝x﹣e6．（5分）若，则sinα﹣cosα的值与1的大小关系是（）A．sinα﹣cosα＞1B．sinα﹣cosα＝1C．sinα﹣cosα＜1D．不能确定7．（5分）函数f（x）＝3x﹣4x3，（x∈[0，1]）的最大值是（）A．B．﹣1C．0D．18．（5分）甲、乙、丙三人中只有一人去过陈家祠，当他们被问到谁去过时，甲说：“丙没有去”；乙说：“我去过”；丙说：“甲说的是真话”．若三人中只有一人说的是假话，那么去过陈家祠的人是（）A．甲B．乙C．丙D．不能确定9．（5分）某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为（）A．2千米B．千米C．2mn千米D．mn千米10．（5分）函数f（x）＝x3﹣ax在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≤0C．a＞0D．a＜011．（5分）若椭圆+＝1（a＞b＞0）和圆x2+y2＝（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（0，）12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）＝0，当x＞0时有，则不等式x2•f（x）＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，2）∪（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）＝x3+ax2+x+b在x＝1时取得极值，则实数a＝．14．（5分）下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，那么表中m的值为．15．（5分）代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式＝t，则1+＝t，则t2﹣t﹣1＝0，取正值得t＝，用类似方法可得＝．16．（5分）如图，F1、F2是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．18．（12分）国家实施二孩放开政策后，为了了解人们对此政策持支持态度是否与年龄有关，计生部门将已婚且育有一孩的居民分成中老年组（45岁以上，含45岁）和中青年组（45岁以下，不含45岁）两个组别，每组各随机调查了50人，对各组中持支持态度和不支持态度的人所占的频率绘制成等高条形图，如图所示：（1）根据以上信息完成2×2列联表；（2）是否有99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度与年龄有关？附：．19．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．20．（12分）如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图②）（Ⅰ）求证AP∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣2＝0与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C上一动点，当△P AB的面积最大时，求点P的坐标及△P AB的最大面积．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax2+bx（其中a，b）为常数且a≠0）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．2016-2017学年广东省广州市荔湾区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：由z•i＝1﹣2i，的，∴，故选：D．2．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为x2＝﹣4y，其焦点坐标为（0，﹣1），准线方程为y＝1，焦点到准线的距离为2；故选：B．3．【解答】解：由p且q是真命题知，p和q均为真命题，所以非p为假命题，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的充分条件；由非p为假命题知，p为真命题，但q真假不知，故无法判断p且q真假，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的不必要条件．故选：A．4．【解答】解：复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，这个说法是错误的，大前提是错误的，∴得到的结论是错误的，∴在以上三段论推理中，大前提错误．故选：A．5．【解答】解：函数f（x）＝e x lnx的导数为f′（x）＝e x lnx+e x，∴切线的斜率k＝f′（1）＝e，令f（x）＝e x lnx中x＝1，得f（1）＝0，∴切点坐标为（1，0），∴切线方程为y﹣0＝e（x﹣1），即y＝e（x﹣1）．故选：C．6．【解答】解：若，则sinα﹣cosα＞0，sinαcosα＜0，∵（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＞1，∴sinα﹣cosα＞1，故选：A．7．【解答】解：函数f（x）＝3x﹣4x3的导数为f′（x）＝3﹣12x2＝3（1﹣4x2），由f′（x）＝0，可得x＝（﹣舍去）f（x）在[0，）递增，（，1）递减，可得f（x）在x＝处取得极大值，且为最大值1．故选：D．8．【解答】解：假设甲说的是假话，即丙去过，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙去过，又丙没有去过，故甲去过；故选：A．9．【解答】解：∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则近地点A距地心为a﹣c，远地点B距地心为a+c．∴a﹣c＝m+r，a+c＝n+r，∴a＝+r，c＝．又∵b2＝a2﹣c2＝（+r）2﹣（）2＝mn+（m+n）r+r2＝（m+r）（n+r）∴b＝，∴短轴长为2b＝2千米，故选：A．10．【解答】解：f′（x）＝x2﹣a，若f（x）在R递增，则x2﹣a≥0在R恒成立，即a≤x2在R恒成立，故a≤0，故选：B．11．【解答】解：法一：联立，消去y2，得＝（）2﹣b2，∵椭圆+＝1（a＞b＞0）和圆x2+y2＝（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，∴0＜x2＜a2，∴0＜＜c2，∴0＜（）2﹣b2＜c2，∴b＜＜a，∴，∴，∴，∴，且0＜e＜1，解得．故选：C．法二：∵椭圆+＝1（a＞b＞0）和圆x2+y2＝（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，椭圆与圆的中心都是原点，∴圆的半径满足，由，得2c＞b，再平方得4c2＞b2，在椭圆中，a2＝b2+c2＜5c2，∴e＝，由，得b+2c＜2a，再平方，得：b2+4c2+4bc＜4a2，∴3c2+4bc＜3c2，∴4bc＜3b2，∴4c＜3b，∴16c2＜9b2，∴16c2＜9a2﹣9c2，∴9a2＞25c2，∴，∴e＜．综上，椭圆的离心率e的取值范围是（，）．故选：C．12．【解答】解：因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，所以在（0，+∞）内单调递减．因为f（2）＝0，所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．所以答案为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+x+b，f′（x）＝3x2+2ax+1，又∵f（x）在x＝1时取得极值，∴f′（1）＝3+2a+1＝0，∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．14．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴＝0.7×4.5+0.35，∴m＝3，故答案为：315．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令＝m（m＞0），则两边平方得，6+═m2，即6+m＝m2，解得，m＝3（﹣2舍去）．故答案为：3．16．【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|＝m﹣2a ∴|AF1|＝2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|＝2a∴2m﹣2a﹣m＝2a∴m＝4a在△AF1F2中，|AF1|＝6a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，∠F1AF2＝60°∴由余弦定理可得4c2＝（6a）2+（4a）2﹣2•6a•4a•∴c＝a∴＝故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a＝0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2＝16；（2）圆心C（0，0），半径r＝4．由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d＝．∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2．18．【解答】解：（1）由等高条形图可知：中老年组中，持支持态度的有50×0.2＝10人，持不支持态度的有50﹣10＝40人；中青年组中，持支持态度的有50×0.5＝25人，持不支持态度的有50﹣25＝25人．故2×2列联表为：…（4分）（2）；∴有99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度支持与年龄有关…（10分）19．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC＝，∴sin∠ADC＝＝＝＝，则sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣∠B）＝sin∠ADC•cos B﹣cos∠ADC•sin B＝×﹣＝．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+CB2﹣2AB•BC cos B＝82+52﹣2×8×＝49，即AC＝7．20．【解答】解：（Ⅰ）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理∴平面EFG∥平面P AB，又P A⊂面P AB，∴AP∥平面EFG…（6分）（Ⅱ）由题设可知BC⊥平面PDC，G是BC的中点，BC＝2，所以GC＝1，又，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1），∴，解得a2＝12，b2＝4，∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）将直线x﹣y﹣2＝0代入中，消去y得，x2﹣3x＝0．解得x＝0或x＝3．…（5分）∴点A（0，﹣2），B（3，1），∴|AB|＝＝3．…（6分）在椭圆C上求一点P，使△P AB的面积最大，则点P到直线l的距离最大．设过点P且与直线l平行的直线方程为y＝x+b．…（7分）将y＝x+b代入，整理得4x2+6bx+3（b2﹣4）＝0．…（8分）令△＝（6b）2﹣4×4×3（b2﹣4）＝0，解得b＝±4．…（9分）将b＝±4代入方程4x2+6bx+3（b2﹣4）＝0，解得x＝±3．由题意知当点P的坐标为（﹣3，1）时，△P AB的面积最大．…（10分）且点P（﹣3，1）到直线l的距离为d＝＝3．…（11分）△P AB的最大面积为S＝＝9．…（12分）22．【解答】解：（I）因为f（x）＝lnx+ax2+bx所以f′（x）＝+2ax+b，…（2分）因为函数f（x）＝lnx+ax2+bx在x＝1处取得极值f′（1）＝1+2a+b＝0…（3分）当a＝1时，b＝﹣3，f′（x）＝，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：）…（5分）所以f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞）单调递减区间为（，1）…（6分）（II）因为f′（x）＝令f′（x）＝0，x1＝1，x2＝…（7分）因为f（x）在x＝1处取得极值，所以x2＝≠x1＝1，当＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减所以f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），令f（1）＝1，解得a＝﹣2…（9分）当a＞0，x2＝＞0当＜1时，f（x）在（0，）上单调递增，（，1）上单调递减，（1，e）上单调递增所以最大值1可能在x＝或x＝e处取得而f（）＝ln+a（）2﹣（2a+1）＝ln﹣＜0所以f（e）＝lne+ae2﹣（2a+1）e＝1，解得a＝…（11分）当1≤＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，）上单调递减，（，e）上单调递增所以最大值1可能在x＝1或x＝e处取得而f（1）＝ln1+a﹣（2a+1）＜0所以f（e）＝lne+ae2﹣（2a+1）e＝1，解得a＝，与1＜x2＝＜e矛盾…（12分）当x2＝≥e时，f（X）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）单调递减，所以最大值1可能在x＝1处取得，而f（1）＝ln1+a﹣（2a+1）＜0，矛盾综上所述，a＝或a＝﹣2．…（13分）。

2016-2017学年第二学期期末质量监测试题高一数学本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 与60-角的终边相同的角是A. 300B. 240C. 120D. 602. 不等式240x y -+>表示的区域在直线240x y -+=的A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方 3. 已知角α的终边经过点(3,4)P --，则cos α的值是A. 45-B. 43C. 35-D. 354. 不等式23100x x -->的解集是A ．{}|25x x -≤≤B ．{}|5,2x x x ≥≤-或C ．{}|25x x -<<D ．{}|5,2x x x ><-或 5. 若3sin ,5αα=-是第四象限角，则cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值是Ａ．45B ．10Ｃ．10Ｄ．176. 若,a b ∈R ，下列命题正确的是A ．若||a b >，则22a b >B ．若||a b >，则22a b >C ．若||a b ≠，则22a b ≠D ．若a b >，则0a b -<7. 要得到函数3sin(2)5y x π=+图象，只需把函数3sin 2y x =图象A ．向左平移5π个单位 B ．向右平移5π个单位C ．向左平移10π个单位 D ．向右平移10π个单位 8. 已知M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，P 为平面ABCD 内任意—点，则PA PB PC PD +++等于A. 4PMB. 3PMC. 2PMD. PM 9. 若3cos 25α=，则44sin cos αα+的值是 A.1725 B ．45Ｃ．65 D ． 332510. 已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是 A. 4B. C. 2D.11. 已知点(),n n a 在函数213y x =-的图象上，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值为A ．36B ．36-C ．6D ．6-12. 若钝角ABC ∆的内角,,A B C 成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是A ．1,2（）B ．2+∞（，）C ．[3,)+∞D ．(3,)+∞第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 把答案填在答题卡上. 13. 若向量(4,2),(8,),//x ==a b a b ，则x 的值为 ．14. 若关于x 的方程20x mx m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是 ．15. 设实数,x y 满足,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是 ．16.设2()sin cos f x x x x =+，则()f x 的单调递减区间是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q (1)q ≠，证明：1(1)1n n a q S q-=-．DA18．（本小题满分12分）已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ．（1）若a 与b 的夹角120θ=，求||+a b 的值； （2）若()()k k +⊥-a b a b ，求实数k 的值.19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin c a B b A =+． （1）求A ；（2）若2a =，b c =，求ABC ∆的面积．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=(1,2,3,)n =． （1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设2112n n n n b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21.(本小题满分12分)某电力部门需在A 、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、B 两地距离.km 的C 、D 两地（假设A 、B 、C 、D 在同一平面上）测得∠75ACB =，45BCD ∠=，30ADC ∠=，45ADB ∠=（如图），假如考虑电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A 、B 应该准备多长的电线？22.(本小题满分12分)已知,,A B C 为锐角ABC △的内角，sin ,sin sin A B C =（）a ，(1,2)=-b ，⊥a b . （1）tan B ，tan tan B C ，tan C 能否构成等差数列？并证明你的结论； （2）求tan tan tan A B C 的最小值.2016-2017学年第二学期期末质量监测高一数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题13. 4 14. (0,4) 15. 3 16. ()7+,1212k k k ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q (1)q ≠，证明：1(1)1n n a q S q-=-．证法1：（错位相减法）因为11n n a a q -=， …………………………………2分所以1111n n S a a q a q -=+++ (4)分211111n n n qS a q a q a q a q -=++++ …………………………………6分所以11(1)nn q S a a q -=- (8)分当1q ≠时，有1(1)1n n a q S q-=-． (10)分证法2：（叠加法）因为}{n a 是公比为q 的等比数列，所以21a a q =，32a a q =，1,n n a a q +=L …………………………………2分所以112)1(a q a a -=-，223)1(a q a a -=-，…，n n n a q a a )1(1-=-+，…………………………………6分相加得n n S q a a )1(11-=-+. …………………………………8分所以当q ≠1时，111(1)11n n n a a a q S q q+--==--. …………………………………10分证法3：（拆项法）当q ≠1时，11111111a a q qa a q q q-=⋅=----， …………………………………2分 211211111a q a q q a a q q q q-=⋅=----，……，11111111n nn n a q a q q a a q q q q---=⋅=----， …………………………………8分以上n 个式子相加得qq a q q a q a S n n n --=---=1)1(11111. …………………………………10分18．（本小题满分12分）已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ．（1）若a 与b 的夹角120θ=，求||+a b 的值； （2）若()()k k +⊥-a b a b ，求实数k 的值. 题根：《数学4》2.4.1例1、例2、例4．（综合变式）解：（1）1|||cos1201212⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭a b =|a b ，…………………………………2分 22||()+=+a b a b 222=++a a b b …………………………………3分22|2|=++a |a b b | …………………………………4分 又||1=a ，||2=b ，所以2||+a b 22|2|1243=++=-+=a |a b b |，…………………………………5分所以||+=a b …………………………………6分（2）因为()()k k +⊥-a b a b ，所以()()0k k +-=a b a b ， …………………………………7分 即2220k -=a b …………………………………9分 因为||1=a ，||2=b ，所以240k -=， …………………………………11分 即2k =±. …………………………………12分19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin c a B b A =+． （1）求A ；（2）若2a =，b c =，求ABC ∆的面积．（根据2013课标卷Ⅱ理数17改编，正弦、余弦定理及三角变换的综合问题） 解：（1）解法1：由cos sin c a B b A =+及正弦定理可得sin sin cos sin sin C A B B A =+. …………………………………2分在ABC ∆中，CA B π=--，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+. …………………………………4分由以上两式得sin cos A A =，即tan 1A =， …………………………………5分 又(0,)A π∈，所以4A π=． …………………………………6分解法2：由cos sin c a B b A =+及余弦定理可得222sin 2a c b c a b A ac+-=⨯+， …………………………………2分即2222sin b c a bc A +-=， …………………………………3分 由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=由以上两式得sin cos A A =，即tan 1A =， …………………………………5分 又(0,)A π∈，所以4A π=． …………………………………6分（2）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==， …………………………………7分 由2a =，及余弦定理得222242cos b c bc B b c =+-=+-， …………………………………8分因为b c =，所以2242b =，即24b ==+， …………………………………10分故ABC ∆的面积21S ===． ………………………………12分20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=(1,2,3,)n =． （1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设2112n n n n b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．题根：《数学5》2.2习题B 组第4题. （变式题）解：（1）因为，11n n n a S S ++=-， …………………………………1分又12n n n a S n++=， 所以1(2)()n n n n S n S S ++=-， …………………………………2分 即12(1)n n nS n S +=+， 所以12()1n n S Sn n n *+=⋅∈+N ．…………………………………4分 故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列． …………………………………6分 （2）由（1）得2n nS n=，即2n n S n =． …………………………………8分 所以21211122111=2(1)2(1)1n n n n n n n b S S n n n n n n ++++===-+++，……………………10分 故数列{}n b 的前n 项和11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． …………………12分 21.(本小题满分12分)DA某电力部门需在A 、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、B 两地距离.km 的C 、D 两地（假设A 、B 、C 、D 在同一平面上）测得∠75ACB =，45BCD ∠=，30ADC ∠=，45ADB ∠=（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A 、B位应该准备多长的电线？题根：《数学5》1.2例2. （改编题）解：在ACD ∆中，由已知得30CAD ∠=，又30ADC ∠=,所以AC CD ==． ……………………………………………………2分在BCD ∆中，由已知可得60CBD ∠=，由正弦定理得753sin 45+306BC +===（）.…………………………………6分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AC BC ACBC BCA=+-⋅∠2()cos75522++=+-⋅=， ………………………9分 所以，AB = ……………………………………………………10分故施工单位应该准备电线长为5km . ………………………………………………12分22.(本小题满分12分)已知,,A B C 为锐角ABC △的内角，sin ,sin sin A B C =（）a ，(1,2)=-b ，⊥a b . （1）tan B ，tan tan B C ，tan C 能否构成等差数列？并证明你的结论； （2）求tan tan tan A B C 的最小值.（据2016年江苏卷第14题改编，三角变换、平面向量、数列及基本不等式的综合问题） 解：（1）依题意有sin 2sin sin A B C =. ……………………………………………2分 在ABC △中，A B C π=--，所以sin sin +=sin cos cos sin A B C B C B C =+（），………………………………3分 所以2sin sin =sin cos cos sin B C B C B C +. …………………………………4分 因为ABC △为锐角三角形，所以cos 0,cos 0B C >>，所以tan tan 2tan tan B C B C +=， ……………………………………………5分所以tan B ，tan tan B C ，tan C 成等差数列. ……………………………………6分（2）法一：在锐角ABC △中，tan tan tan tan()tan()1tan tan B CA B C B C B Cπ+=--=-+=--，……………………7分即tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++， ……………………………………8分 由（1）知tan tan 2tan tan B C B C +=，于是tan tan tan tan 2tan tan A B C A B C =+≥ …………10分整理得tan tan tan 8A B C ≥， …………………………………………11分 当且仅当tan 4A =时取等号，故tan tan tan A B C 的最小值为8. …………………………………………12分 法二：由法一知tan tan tan 1tan tan B CA B C+=--， ………………………………………7分由（1）知tan tan 2tan tan B C B C +=，于是2tan tan 2(tan tan )tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan B C B C A B C B C B C B C+=-⨯=---， ……8分令tan tan (1)B C x x =>，则222tan tan tan 2(1)4811x A B C x x x ==-++≥--，……………………………11分 当且仅当2x =，即tan 4A =时取等号，故tan tan tan A B C 的最小值为8. …………………………………………12分。

高一下学期期末学业水平考试数学试题一、选择题1．设全集U R =，集合{|13}A x x =-<<， {|1}B x x =<，则()U A C B ⋂=（ ）A. {|13}x x <<B. {|13}x x ≤<C. {|13}x x <≤D. {|13}x x ≤≤ 【答案】B【解析】 由题意得， {|1}U C B x x =≥，所以(){|13}U A C B x x ⋂=≤<，故选B ．2．若lg lg 0a b +=且a b ≠，则函数()x f x a =与()x g x b =的图像（ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y x =对称 【答案】B【解析】 由lg lg 01a b ab +=⇒=，即1b a=， 则根据指数函数的图象与性质可知，函数()xf x a =与()1xg x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 对称，故选B ．3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是 A. 月接待游客逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】2014年8月到9月接待游客下降，所以A 错；年接待游客量逐年增加；各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，所以选A. 4．运行右图所示框图的相应程序,若输入,a b 的值分别为2log 3和3log 2,则输出M 的值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. －1 【答案】C【解析】试题分析：因为2log 31>， 3log 21<，所以23log 3log 2>，由算法框图可知，运行后输出M 的值为23log 3log 21112M =⋅+=+=． 【考点】算法框图．5．已知空间两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，以下能推出“αβ⊥”的是（ ） A. m n ⊥， //m α， //n β B. //m n ， m α⊥， n β⊥ C. m n ⊥， m α⊥， n αβ⋂= D. //m n ， m α⊥， n β⊂ 【答案】D【解析】 有图有跌，对于A 中，平面,αβ可能平行或相交但是不一定垂直，所以是错误的；对于B 中，由于//,m n m α⊥得到n α⊥，又n β⊥，所以//αβ，得不到αβ⊥，所以是错误的；对于C 中， ,,m n m n ααβ⊥⊥⋂=，由此无法得到m 与β的位置关系，因此,αβ不一定垂直，所以是错误的；对于D 中，由于//,m n m α⊥，得到n α⊥，又n β⊂是正确的，故选D ． 6．直线20mx y m +-+=恒经过定点（ ）A. ()1,1-B. ()1,2C. ()1,2-D. ()1,1 【答案】C【解析】 由题意得，直线可化()21y m x +=--，根据直线的点斜式可得，直线过定点()1,2-，故选C ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.12π+ B. 32π+ C.312π+ D. 332π+ 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为半圆锥与三棱锥的组合体（如图所示）则其体积为2111113213123322V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+ ，选A8．函数()223,0{2,0x x x f x lnx x +-≤=-+>的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】试题分析：由()0f x =得23,x x e =-=所以零点个数为2，选C ． 【考点】函数零点9．直线2340x y --=与直线()110mx m y +++=互相垂直，则实数m =（ ） A. 2 B. 25- C. 35- D. -3 【答案】D【解析】 由题意得，根据两直线垂直可得()2310m m -+=，解得3m =-，故选D ．10．设函数()cos f θθθ=+，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点12P ⎛ ⎝⎭，则()f θ=（ ）A. 2B.C. 1D.【答案】A【解析】 由角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点12P ⎛ ⎝⎭，可得1sin 22θθ==，所以()1cos 22f θθθ=+=+=，故选A ． 11．已知函数()21log 1f x x x=+-，若()11,2x ∈， ()22,x ∈+∞，则（ ） A. ()10f x <， ()20f x < B. ()10f x <， ()20f x > C. ()10f x >， ()20f x < D. ()10f x >， ()20f x > 【答案】B【解析】 函数()21log 1f x x x=+-在()1,+∞是增函数，（根据复合函数的单调性）， 而()20f =，因为()()121,2,2,x x ∈∈+∞，所以()()120,0f x f x ，故选B ．点睛：本题主要考查了函数的单调性的应用，本题的解答中根据函数的解析式，利用复合函数的单调性的判定方法，得到函数的单调性是解答的关键，同时熟记函数的单调性是解答的重要一环．12．菱形ABCD 中， 60BAD ∠=，点E 满足2DE EC = ，若17•2AE BE = ，则该菱形的面积为（ ）A.92 B. C. 6 D. 【答案】B【解析】 由已知菱形ABCD 中， 060BAD ∠=，点E 满足2DE EC =，若172AE BE ⋅= ，设菱形的边长为3x ，所以()()AE BE AD DE BC CE AD BC AD CE DE BC DE CE ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅2222231717932222x x x x x =-+-==，解得1x =，所以菱形的边长为3，所以菱形的面积为033sin60⨯⨯=，故选B ． 点睛：本题主要考查了平面向量的线性运算，本题的解答中根据向量的三角形法则和向量的平行四边形法则和向量的数量积的运算，得出关于菱形边长的方程，在利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积，其中熟记向量的运算法则和数量积的运算公式是解答的关键．二、填空题 13．（2014•濮阳县一模）如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 _________ ．【答案】．【解析】试题分析：根据题意，计算出扇形区域ADE 和扇形CBF 的面积之和为，结合矩形ABCD 的面积为2，可得在矩形ABCD 内且没有信号的区域面积为，再利用几何概型计算公式即可得出所求的概率．首先，因为扇形ADE 的半径为1，圆心角等于，所以扇形ADE 的面积为．同理可得，扇形CBF 的面积也为；然后又因为长方形ABCD 的面积，再根据几何概型的计算公式得，在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是．【考点】几何概型．14．某实验室一天的温度（单位： 0C ）随时间t （单位： h ）的变化近似满足函数关系： ()102sin 123f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， [)0,24t ∈，该实验室这一天的最大温差为__________．【答案】4【解析】 因为()102sin 123f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以731233t ππππ<+<，当31232t πππ+=时，即14t =时，函数()f t 取得最大值为10212+=， 当1232t πππ+=时，即2t =时，函数()f t 取得最小值为1028-=，所以一天的最大温差为1284-=．15．已知幂函数a y x =的图像经过点()2,8，且与圆222x y +=交于,A B 两点，则AB =__________．【答案】【解析】 以为幂函数y x α=的图象经过点()2,8，即823αα=⇒=，即幂函数3y x = 联立方程组2232{x y y x+==，解得1x =±，即3y x =与222x y +=的交点为()()1,1,,1,1A B --，所以AB =点睛：本题主要考查了幂函数的性质和圆的标准方程问题，本题的解答中根据幂函数的性质得到α的值，得到幂函数的解析式，联立方程组求解点,A B 的坐标，即可求解弦AB 的长，其中正确求解是解答的关键． 16．已知0sin104m =，则用含m 的式子表示0cos7为__________．【解析】 由题意的()000020sin104sin 9014cos142cos 71m =+==-=，所以201cos 72m +=，即0cos7= 点睛：本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的应用，本题的解答中根据诱导公式得到202cos 71m -=，即可求解0cos7的值，其中熟记三角恒等变换的公式是解得关键．三、解答题17．已知函数()sin 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， x R ∈.（1）求()f x 的最小正周期；（2）将()y f x =图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图像，求函数()y g x =的单调递增区间.【答案】（1）π；（2）7,1212k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换的公式化简得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求解函数的最小正周期；（2）根据图象的变换得到()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质，即可求解函数()g x 的单调递增区间． 试题解析：（1）()sin 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin2coscos2sincos2cossin2sin3366x x x x ππππ=+++sin2x x =2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期22T ππ==； 【法二：由于22632x x πππ-=+-，故cos 2sin 263x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin 2cos 22sin 2363f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 的最小正周期为π】（2）()22sin 263g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由2222232k x k πππππ-+≤+≤+，解得71212k x k ππππ-+≤≤-+ 故()g x 的单调递增区间为7,1212k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．18．已知函数()221f x ax x a =-++. （1）若()()11f x f x -=+，求实数a 的值； （2）当0a >时，求()f x 在区间[]0,2上的最大值. 【答案】（1）1a =；（2）()max 53,1{1,01a a f x a a -≥=+<<【解析】试题分析：（1）因为()()11f x f x -=+，得()f x 的图像关于直线1x =对称，即可求解实数a 的值；（2）由于0a >，根据二次函数的性质，分11a ≤和112a <<、11a≥三种请讨论，即可求解函数在[]0,2上的最值． 试题解析：（1）因为()()11f x f x -=+，故()f x 的图像关于直线1x =对称， 故0a ≠且11a=，解得1a =； 【法二：直接把()()11f x f x -=+代入展开，比较两边系数，可得1a =】 （2）由于0a >， ()f x 的图像开口向上，对称轴10x a=>， 当11a≤，即1a ≥时， ()f x 在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，且()()02f f ≤，故()f x 在[]0,2上的最大值为()253f a =-； 当112a <<，即112a <<时， ()f x 在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，且()()02f f >，()f x 在[]0,2上的最大值为()01f a =+； 当11a≥，即102a <≤时， ()f x 在[]0,2上递减，最大值为()01f a =+；综上所述， ()max 53,1{1,01a a f x a a -≥=+<<19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； （Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 【答案】（1）0.4（2）20（3）3:2 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案． 试题解析：(1)由频率分布直方图知，分数在[)70,80的频率为0.04100.4⨯=， 分数在[)80,90的频率为0.02100.2⨯=，则分数小于70的频率为10.40.20.4--=，故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4. (2)由频率分布直方图知，样本中分数在区间[]50,90的人数为()0.010.020.040.021010090+++⨯⨯= (人)，已知样本中分数小于40的学生有5人，所以样本中分数在区间[)40,50内的人数为1009055--= (人)， 设总体中分数在区间[)40,50内的人数为x ， 则5100400x =，得20x =， 所以总体中分数在区间[)40,50内的人数为20人. (3)由频率分布直方图知，分数不小于70的人数为()0.040.021010060+⨯⨯= (人)，已知分数不小于70的男女生人数相等， 故分数不小于70分的男生人数为30人， 又因为样本中有一半男生的分数不小于70， 故男生的频率为： 0.6， 即女生的频率为： 0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为： 3:2.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中， //AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===， 90APD ∠= ，求直线PB 与平面ABCD 所成的角的大小.【答案】（1）见解析；（2）30 ．【解析】试题分析：（1）根据题设条件证得AB ⊥平面PAD ，再根据面面垂直的判定定理，即可得到平面PAB ⊥平面PAD ； （2）取AD 的中点O ，连PO 、BO ，根据线面角的定义得到PBO ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，在等腰Rt PAD ∆和等腰Rt PAB ∆中，即可直线PB 与平面ABCD 所成的角． 试题解析：（1）//AB CD ， CD PD ⊥，故AB PD ⊥，又AB PA ⊥， PA PD P ⋂=，可得AB ⊥平面PAD ，AB ⊂ 平面PAB ，故平面PAB ⊥平面PAD ； （2）取AD 的中点O ，连PO 、BO ， 由于PA PD =，故PO ⊥ AD ，结合平面PAB ⊥平面PAD ，知PO ⊥平面ABCD ， 故PBO ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，在等腰Rt PAD ∆和等腰Rt PAB ∆中， PO PA =， PB =， 于是1sin 2PO PBO PB ∠==，即直线PB 与平面ABCD 所成的角为30 ．21．长为2a 的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动. （1）求线段AB 的中点的轨迹Γ的方程；（2）当2a =时，曲线Γ与x 轴交于,C D 两点，点G 在线段CD 上，过G 作x 轴的垂线交曲线Γ于不同的两点,E F ，点H 在线段DF 上，满足GH 与CE 的斜率之积为-2，试求DGH ∆与DGF ∆的面积之比.【答案】（1）222x y a +=（2）23．【解析】试题分析：（1）设线段AB 的中点为(),x y ，根据平面上两点间的距离公式，即可求解线段AB 的中点的轨迹Γ的方程；（2）当2a =时，直线GH 和直线DF 的方程，联立方程组，求得点H 的坐标，即可得打结果． 试题解析：设线段AB 的中点为(),x y ，则()2,0A x ， ()0,2B y ，故2AB a =，化简得222x y a +=，此即线段AB 的中点的轨迹Γ的方程；【法二：当A 、O 重合或B 、O 重合时， AB 中点到原点距离为a ； 当A 、B 、O 不共线时，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，知AB 中点到原点距离也恒为a ，故线段AB 的中点的轨迹Γ的方程为222x y a +=】（2）当2a =时，曲线Γ的方程为224x y +=，它与x 轴的交点为()2,0C -、()2,0D ，设()0,0G x ， ()00,E x y ， ()00,F x y -， 直线CE 的斜率002CE y k x =+，故直线GH 的斜率()0022GH x k y -+=， 直线GH 的方程是()()00022x y x x y -+=-，而直线DF 的方程是0022y x y x -=--，即()0022y y x x =--- 联立()()()000022{22x y x x y y y x x -+=-=---，解得()00213{23x x y y +==-，此即点H 的坐标， 故23DGH H DGF F S y S y ∆∆==． 点睛：本题主要考查了轨迹方程的求解和两条直线的位置关系的应用，其中解答中涉及到平面上两点间的距离公式的应用，直线与圆的位置关系等知识点的综合考查，本题的解答中确定直线GH 和直线DF 的方程，联立方程组，求得点H 的坐标是解得关键． 22．已知函数()•,x x f x e a e x R -=+∈. （1）当1a =时，证明： ()f x 为偶函数；（2）若()f x 在[)0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =，求实数m 的取值范围，使()()221m f x f x ⎡⎤+≥+⎣⎦在R 上恒成立.【答案】（1）见解析；（2）1a ≤；（3）34m ≥． 【解析】试题分析：（1）代入1a =，根据函数奇偶性的定义，即可判定()f x 为偶函数；（2）利用函数单调性的定义，求得函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，进而得到12x x a e +<对任意的120x x ≤<恒成立，即可求解实数a 的取值范围； （3）由（1）、（2）知函数()f x 的最小值()02f =，进而得()()222x xf x e e -=+-，设x x t e e -=+，得不等式()()221m f x f x ⎡⎤⋅+≥+⎣⎦恒成立，等价于21m t t ⋅≥+，进而21t m t +≥恒成立，利用二次函数的性质即可求解实数m 的取值范围．试题解析：（1）当1a =时， ()x x f x e e -=+，定义域(),-∞+∞关于原点对称， 而()()x x f x e e f x --=+=，说明()f x 为偶函数； （2）在[)0,+∞上任取1x 、2x ，且12x x <， 则()()()()()121211221212x x x x x x x x x x e e eaf x f x e ae e ae e +--+---=+-+=，因为12x x <，函数x y e =为增函数，得12x x e e <， 120x x e e -<， 而()f x 在[)0,+∞上单调递增，得()()12f x f x <， ()()120f x f x -<， 于是必须120x x e a +->恒成立， 即12x x a e +<对任意的120x x ≤<恒成立，1a ∴≤；（3）由（1）、（2）知函数()f x 在(],0-∞上递减，在[)0,+∞上递增， 其最小值()02f =，且()()22222x x x x f x e e e e --=+=+-， 设x x t e e -=+，则[)2,t ∈+∞，110,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是不等式()()221m f x f x ⎡⎤⋅+≥+⎣⎦恒成立，等价于21m t t ⋅≥+， 即21t m t +≥恒成立， 而22211111124t t t t t +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，仅当112t =，即2t =时取最大值34，故34m ≥点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性的定义及判定、函数的奇偶性性的判定与证明，以及函数的单调性与奇偶性的应用、二次函数的最值等知识点的综合考查，其中熟记函数的单调性的定义、奇偶性的定义和熟练应用是解答的关键．同时着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．。

2016-2017学年广东省广州市荔湾区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数（+i）2所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx＞0 B．∃x∈R，sinx=1 C．∀x∈R，x2＞0 D．∀x∈R，2x＞0 3．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C． D．ln24．（5分）已知A是B的充分不必要条件，C是B是必要不充分条件，￢A是D 的充分不必要条件，则C是￢D的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．若X～N（5，1），则P（6＜X＜7）等于（）A．0.3413 B．0.4772 C．0.1359 D．0.81856．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA 上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣7．（5分）直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积是（）A．2 B．3 C．πD．2π8．（5分）从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有（）A．80种B．100种C．120种D．126种9．（5分）抛物线y2=2px的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切（O为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．810．（5分）以下命题正确的个数为（）（1）存在无数个α，β∈R，使得等式sin（α﹣β）=sinαcosβ+cosαsinβ成立；（2）在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的充要条件；（3）命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”的逆否命题是真命题；（4）命题“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”．A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．9 B．5 C．D．312．（5分）已知函数F的导函数为f′（x），且f′（x）＞f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）A．f（1）＜ef（0），f（2）＜e2f（0）B．f（1）＞ef（0），f（2）＜e2f（0）C．f（1）＜ef（0），f（2）＞e2f（0）D．f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点恰好与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为．14．（5分）代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得=．15．（5分）用总长为24m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器底面为正方形，则这个容器体积的最大值为．16．（5分）在（2+x）6（x+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，4）+f（5，3）=．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2﹣（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值，猜想出数列的通项公式a n；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．18．（12分）已知函数f（x）=ax+（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x﹣8．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．19．（12分）如图四边形ABCD为边长为2的菱形，G为AC与BD交点，平面BED ⊥平面ABCD，BE=2，AE=2．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若∠ABC=120°，求直线EG与平面EDC所成角的正弦值．20．（12分）某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求x的分布列和数学期望．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣2=0与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C上一动点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．22．（12分）已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为实数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2f（x2）﹣x1＞0．2016-2017学年广东省广州市荔湾区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数（+i）2所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数（+i）2=+i=+i对应的点（，）位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx＞0 B．∃x∈R，sinx=1 C．∀x∈R，x2＞0 D．∀x∈R，2x＞0【分析】根据对数函数，正弦函数及指数函数的性质，分别判断，A，B，D为真命题，由当x=0时，x2=0，故C为假命题．【解答】解：对于A：当x＞1时，lgx＞0，故∃x∈R，lgx＞0为真命题；对于B：当x=2kπ+，k∈Z时，sinx=1，则∃x∈R，sinx=1，为真命题；对于C：当x=0时，x2=0，故∀x∈R，x2＞0，为假命题，对于D，由指数函数的性质可知：∀x∈R，2x＞0，故为真命题，故选：C．【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正弦函数的性质，属容易题．3．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C． D．ln2【分析】求函数的导数，解导数方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B．【点评】本题主要考查导数的计算，比较基础．4．（5分）已知A是B的充分不必要条件，C是B是必要不充分条件，￢A是D 的充分不必要条件，则C是￢D的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的递推关系进行递推即可．【解答】解：∵￢A是D的充分不必要条件，∴￢D是A的充分不必要条件，则￢D⇒A∵C是B是必要不充分条件，∴B是C是充分不必要条件，B⇒C∵A是B的充分不必要条件，∴A⇒B，则￢D⇒A⇒B⇒C，反之不成立，即C是￢D的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义进行递推是解决本题的关键．5．（5分）已知Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．若X～N（5，1），则P（6＜X＜7）等于（）A．0.3413 B．0.4772 C．0.1359 D．0.8185【分析】计算P（4＜X＜6），P（3＜X＜7），于是P（6＜X＜7）=（P（3＜X＜7）﹣P（4＜X＜6））．【解答】解：P（4＜X＜6）=0.6826，P（3＜X＜7）=0.9544，∴P（6＜X＜7）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359．故选：C．【点评】本题考查了正态分布的对称性特点，属于基础题．6．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA 上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．7．（5分）直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积是（）A．2 B．3 C．πD．2π【分析】直接利用定积分公式求解即可．【解答】解：直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积S=（﹣cosx）dx=﹣sinx|=2，故选：A．【点评】本题考查定积分的应用，考查计算能力．8．（5分）从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有（）A．80种B．100种C．120种D．126种【分析】根据题意，先计算从9人中选出4人的选法数目，再排除其中“只有男生没有女生的选法”和“只有女生没有男生的选法”，即可得答案．【解答】解：根据题意，从5名男生和4名女生共9人中选出4人去参加辩论比赛，有C94=126种选法，其中只有男生没有女生的选法有C54=5种，只有女生没有男生的选法有C44=1种，则4人中既有男生又有女生的不同选法共有126﹣5﹣1=120种；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，可以使用间接法分析，避免分类讨论．9．（5分）抛物线y2=2px的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切（O为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3，∴p=4．故选B．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）以下命题正确的个数为（）（1）存在无数个α，β∈R，使得等式sin（α﹣β）=sinαcosβ+cosαsinβ成立；（2）在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的充要条件；（3）命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”的逆否命题是真命题；（4）命题“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】（1），利用正弦的和差公式验证即可．（2），A＞30°得不出sinA＞，比如A=160°，若sinA＞，根据正弦函数在（0，π）上的图象可得：30°＜A＜150°，能得到A＞30°；（3），命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”是真命题，其逆否命题是真命题；（4），利用原命题与其否命题的关系判定．【解答】解：对于（1），sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣sinβcosα=sinαcosβ+cosαsinβ．可得sinβcosα=0，所以只要β=kπ，α任意，或者α=2kπ+，β任意．故正确．对于（2），A＞30°得不出sinA＞，比如A=160°，若sinA＞，∵sin30°=sin150°=，∴根据正弦函数在（0，π）上的图象可得：30°＜A＜150°，∴能得到A＞30°；得A＞30°是sinA＞的必要不充分条件，故错；对于（3），命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”是真命题，其逆否命题是真命题，故正确对于（4），命题“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，正确．故选：C．【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了三角、命题的否命题等基础知识，属于中档题．11．（5分）如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．9 B．5 C．D．3【分析】由已知，|OA|=a=，设OA所在渐近线的方程为y=kx（k＞0），则A（，），AB的一个三分点坐标为（，），由该点在椭圆C1上，求出=2，从而c==3a，由此能求出离心率．【解答】解：由已知，|OA|=a=，设OA所在渐近线的方程为y=kx（k＞0），∴A点坐标可表示为A（x0，kx0）（x0＞0）∴=，即A（，），∴AB的一个三分点坐标为（，），该点在椭圆C1上，∴，即=1，得k=2，即=2，∴c==3a，∴离心率e=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查椭圆性质、双曲线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．12．（5分）已知函数F的导函数为f′（x），且f′（x）＞f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）A．f（1）＜ef（0），f（2）＜e2f（0）B．f（1）＞ef（0），f（2）＜e2f（0）C．f（1）＜ef（0），f（2）＞e2f（0）D．f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0）【分析】令g（x）=，求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而求出答案．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=＞0，故g（x）在R递增，故g（1）＞g（0），g（2）＞g（0），即f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0），故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、导数的应用，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点恰好与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【分析】根据题意，由抛物线的标准方程求出其焦点坐标，即可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得a2+3=4，解可得a=1，即可得双曲线的标准方程，由双曲线的渐近线方程即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），其双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点也为（2，0），则有a2+3=4，解可得a=1，故双曲线的方程为：x2﹣=1，则双曲线的渐近线方程为：y=±x；故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线、抛物线的标准方程，注意分析双曲线的焦点坐标．14．（5分）代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得=3．【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，6+═m2，即6+m=m2，解得，m=3（﹣2舍去）．故答案为：3．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．15．（5分）用总长为24m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器底面为正方形，则这个容器体积的最大值为8m3．【分析】根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，由题意可得8x+4y=24，即2x+y=6，用x、y表示长方体的体积可得V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x），由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，则有8x+4y=24，即2x+y=6，其体积V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x）≤[]3=8m3，当且仅当x=2时，等号成立；即这个容器体积的最大值8m3；故答案为：8m3．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是用x、y表示容器的体积．16．（5分）在（2+x）6（x+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，4）+f（5，3）=400．（用数字作答）【分析】（2+x）6（x+y）4的展开式的通项为C6r26﹣r C4k x4+r﹣k y k，分别代入计算即可得到．【解答】解：（2+x）6（x+y）4的展开式的通项为C6r26﹣r x r C4k x4﹣k y k=C6r26﹣r C4k x4+r﹣k y k，∵x m y n项的系数为f（m，n），当k=4时，4+r﹣4=3，即r=3．∴f（3，4）=C6326﹣3C44=160，当k=3时，4+r﹣3=5，即r=4．∴f（5，3）=C6426﹣4C43=240，∴f（3，4）+f（5，3）=160+240=400，故答案为：400【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2﹣（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值，猜想出数列的通项公式a n；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．【分析】（I）根据递推公式计算并猜想通项公式；（II）先验证n=1时猜想成立，再假设n=k猜想成立，推导n=k+1的情况，得出结论．【解答】解：（I）a2=2﹣=；a3=2﹣=；a4=2﹣=；猜想：a n=．（II）当n=1时，猜想显然成立；假设n=k（k≥1）时猜想成立，即a k=，则a k=2﹣=2﹣==，+1∴当n=k+1时，猜想成立．∴a n=对任意正整数恒成立．【点评】本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．18．（12分）已知函数f（x）=ax+（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x﹣8．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【分析】（Ⅰ），依题意列式计算得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=得函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递减，在（﹣2，0），（0，2）递增，f（x）极小值=f（﹣2），f（x）极大值=f（2）【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax+（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x﹣8．∴，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=当x∈（﹣∞，﹣2），（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣2，0），（0，2）时，f′（x）＞0．即函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递减，在（﹣2，0），（0，2）递增，∴f（x）=f（﹣2）=4；极小值f（x）极大值=f（2）=﹣4．【点评】本题考查了导数的几何意义，函数的单调性与极值，属于中档题，19．（12分）如图四边形ABCD为边长为2的菱形，G为AC与BD交点，平面BED ⊥平面ABCD，BE=2，AE=2．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若∠ABC=120°，求直线EG与平面EDC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由AC⊥DB，平面BED⊥平面ABCD，得AC⊥平面BED，即AC⊥BE．又AE2=AB2+BE2，得BE⊥AB，即可得BE⊥平面ABCD．（Ⅱ）由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B为原点，建立空间直角坐标系，则E（0，0，2），D（1，，0），G（，，0），C（2，0，0），利用向量法求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥DB又因为平面BED⊥平面ABCD，平面BED∩平面ABCD=DB，AC⊂平面ABCD．∴AC⊥平面BED，即AC⊥BE．又BE=2，AE=2，AB=2，∴AE2=AB2+BE2，∴BE⊥AB，且AB∩BD=B，∴BE⊥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中点H，连接BH．∵四边形ABCD为边长为2的菱形，∠ABC=120°，∴BH⊥AD，且BH=．由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B为原点，建立空间直角坐标系（如图）则E（0，0，2），D（1，，0），G（，，0），C（2，0，0）设面EDC的法向量为，，由，可取cos==﹣直线EG与平面EDC所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，向量法求线面角，属于中档题．20．（12分）某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求x的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图先求出每条海鱼平均重量，由此能估计这批海鱼有多少条．（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10=0.4，则X～B（3，0.4），由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得每条海鱼平均重量为：=150×0.016×10+160×0.040×10+170×0.032×10+180×0.012×10=164（g），∵经销商购进这批海鱼100千克，∴估计这批海鱼有：（100×1000）÷164≈610（条）．（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10=0.4，则X～B（3，0.4），P（X=0）==0.216，P（X=1）==0.432，P（X=2）==0.288，P（X=3）==0.064，∴X的分布列为：∴E（X）=3×0.4=1.2．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣2=0与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C上一动点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）将直线x﹣y﹣2=0代入中，得，x2﹣3x=0．求出点A（0，﹣2），B（3，1），从而|AB|=3，在椭圆C上求一点P，使△PAB的面积最大，则点P 到直线l的距离最大．设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b．将y=x+b代入，得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，由根的判别式求出点P（﹣3，1）时，△PAB的面积最大，由此能求出△PAB的最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）将直线x﹣y﹣2=0代入中，消去y得，x2﹣3x=0．解得x=0或x=3．…（5分）∴点A（0，﹣2），B（3，1），∴|AB|==3．…（6分）在椭圆C上求一点P，使△PAB的面积最大，则点P到直线l的距离最大．设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b．…（7分）将y=x+b代入，整理得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0．…（8分）令△=（6b）2﹣4×4×3（b2﹣4）=0，解得b=±4．…（9分）将b=±4代入方程4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，解得x=±3．由题意知当点P的坐标为（﹣3，1）时，△PAB的面积最大．…（10分）且点P（﹣3，1）到直线l的距离为d==3．…（11分）△PAB的最大面积为S==9．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的求法，考查椭圆、直线方程、两点间距离公式、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．22．（12分）已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为实数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2f（x2）﹣x1＞0．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负研究函数f（x）的单调性；（Ⅱ）所证问题转化为（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣x，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），=．①当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，，故f（x）在（﹣1，﹣）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；③当a＜0时，由f'（x）=0得x1=，x2=﹣（舍）f（x）在（﹣1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则0＜a ＜1，，，∴x1+x2=0，x1x2=a﹣1且x2∈（0，1），要证2f（x2）﹣x1＞0⇔f（x2）+x2＞0⇔aln（x2+1）+﹣x2＞0⇔（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣x，x∈（0，1），∵g′（x）=ln（x+1）+＞0，∴g（x）在（0，1）递增，∴g（x）＞g（0）=0，∴命题得证．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的构造与运用，转化思想．属于中档题。

2016-2017学年下学期期末三校联考高一（理科）数学一、选择题1．设集合{}2|M x x x ==，{}|lg 0N x x =≤，则M N = （ ）．A ．[]0,1B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞【答案】A【解析】本题主要考查集合的运算． 由题意可得，{|0M x x ==或1}x =，{}|01N x x =<≤，所以[]0,1M N = ．故本题正确答案为A ．2．下列函数中，在区间(,0)-∞上是整函数的是（ ）．A ．248y x x =-+B ．|1|y x =-C ．111y x =-- D ．y 【答案】C【解析】解：选项A ，图象为开口向上的抛物线，对称轴为2x =，函数在(,2)-∞上单调递减，故不满足题意，错误；选项B ，1,1|1|1,1x x y x x x -⎧=-=⎨-<⎩≥故函数在(,1)-∞上单调递减，当然在(,0)-∞上单调递减，故错误； 选项C ，111y x =--在(,1)-∞和(1,)+∞均单调递增，显然满足在(,0)-∞上单调递增，故正确；选项D ，y =(,1]-∞单调递减，故不满足题意．所以C 选项是正确的．3．等差数列的前4项之和为30，前8项之和为100，则它的前12项之和为（ ）． A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】∵等差数列中，4S ，84S S -，128S S -成等差数列， 又430S =，8100S =，∴30，70，12100S -成等差数列， ∴1227030100S ⨯=+-， 计算得出12210S =． 所以C 选项是正确的．4．已知点(1,1)A ，(4,2)B 和向量(2,)a λ= ，若a AB∥，则实数λ的值为（ ）．A ．23-B ．32C ．23D ．32-【答案】C【解析】本题主要考查平面向量基本定理． (3,1)AB = ，由向量共线定理可得：312λ=⋅，解得23λ=．故本题正确答案为C ．5．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且68139122a a a a +=，则2122220log log log a a a +++= （ ）．A ．50B ．60C ．100D ．120【答案】A【解析】因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且68139122a a a a +=， 所以6101122a a =， 所以510112a a =，所以2122220log log log a a a +++21220log ()a a a =1021011log ()a a =2101110log ()a a =5210log 2= 10550=⨯=．故选A ．6．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30︒，45︒，且A 、B 两点间的距离为60m ，则树的高度为（ ）．A．(30+B．(30+C．(15+D．(15+【答案】A【解析】解：在PAB △，30PAB ∠=︒，15APB ∠=︒，60AB =， sin15sin(4530)︒=︒-︒ sin 45cos30cos 45sin 30=︒︒-︒︒12． 由正弦定理得：sin30sin45PB AB=︒︒，∴160PB ⨯==，∴树的高度为sin 45(30PB ︒==+，答：树的高度为(30+．所以A 选项是正确的．7．将函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ）．A ．在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】B【解析】本题主要考查三角函数的性质． 向右平移π2个单位长度时，函数解析式变为： ππ2π3sin 23sin 2233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．令π2ππ2π22π()232k x k k --+∈Z ≤≤，解得：π7πππ()1212k x k k ++∈Z ≤≤，故函数()f x 的单调递增区间为π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，令0k =，解得单调递增区间为π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故B 项正确．故本题正确答案为B ． 8．已知点(1,3)A ，(2,1)B --，若直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 没有交点，则k 的取值范围是（ ）．A ．12k >B ．12k <C ．12k >或2k <-D ．122k -<<【答案】C【解析】由已知可得31212PA k -==--，111222PB k --==--， 由此已知直线l 若与直线AB 有交点，则斜率k 满足的条件是102k ≤≤或2k -≥，因此若直线l 若与直线AB ，没有交点，则斜率k 满足的条件是12k >或2k <-，故选C ．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）．A ．1603B ．160C．64+ D ．60【答案】A【解析】本题主要考查三视图．由三视图可以画出该几何体如下图，所以体积等于一个三棱柱的体积减去一个三棱锥的体积，即1111604484442323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=．故本题正确答案为A ．10．已知点(,)P x y 满足约束条件1122x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤，O 为坐标原点，则22x y +的最小值为__________．【答案】12【解析】将约束条件1122x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤中任意俩条件进行联立，若想满足三个不等式，则解出12y =，将y 值带入不等式，解出1524x ≤≤，所以22x y +的最小值为22111222⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．11．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）． A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11.33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A俯视图侧左()视图844【解析】解法一：由21()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数，且在[0,)+∞是增函数， 所以1()(21)(||)(|21|)|||21|13f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<<，故选A ．解法二：把1x =代入()(21)f x f x >-，得(1)(1)f f >，这显然不成立，所以1x =不满足()(21)f x f x >-， 由此可排除D ；又(0)1f =-，1(1)ln 22f -=-，(0)(1)f f <-，所以0x =不满足()(21)f x f x >-，由此可排除B ，C ，故选A ．12．已知函数24,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+⎩≥，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）．A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[]4,1-D ．[]4,0-【答案】D【解析】由题意作出函数|()|y f x =和y ax =的图像，由图象得，函数y ax =在图象为经过原点的直线，当直线y ax =介于直线l 和x 轴之间时与题意相符，直线l 为曲线的切线，且此时|()|y f x =在第二象限的解析式为24y x x =-，导数为24y x =-，因为0x ≤，所以4y -≤，故直线l 的斜率为4-，所以只需直线y ax =的斜率a 介于4-与0之间即可，即40a -≤≤； 故选D ．二、填空题13．已知函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,5]-∞上为减函数，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】4a -≤【解析】∵函数22(1)2y x a x =+-+的图象是开口方向朝上，以1x a =-为对称轴的抛物线， 若函数22(1)2y x a x =+-+在区间(,5]-∞上是减函数， 则51a -≤， 即4a -≤．14．已知πsin 6θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πcos 2=3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭__________．【答案】13【解析】πsin 6θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，ππcos 2cos 233θθ⎛⎫⎡⎤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πcos 26θ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π12sin 6θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭212=-⎝⎭13=．15．ABC△中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知60A∠=︒，a b x=若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是__________．【答案】【解析】由正弦定理得：sin sina xA B=sinsin2x xBB=⇒=，由题意得：当(60,120)B∈︒︒时，满足条件的VABC有两个，122xx<<⇒<，则a的取值范围是．16．设正实数x，y，z满足2240x xy y z-+-=，则当zxy取得最小值时，236x y z+-的最大值为__________．【答案】4【解析】由已知224z x xy y=-+得2244113z x xy y x yxy xy y x-+==+-=≥，当且仅当4x yy x=，即2x y=时等号成立，则26z y=，222362364126x y z y y y y y⎛⎫+-=+-=- ⎪⎝⎭，当12y=时，取最大值4．三、解答题17.在三角形ABC，已知|||AB AC AB AC+-，||=||=3AB AC．（Ⅰ）求AB AC⋅．（Ⅱ）已知AB AC-与(1)t AB AC t+≠-成钝角，求实数t的取值范围．【答案】见解析【解析】CBA解：（Ⅰ）|||AB AC AB AC +-平方有 222223(2)AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅ ，代入22||9AB AB == ，22||9AC AC == 有91823(182)2AB AC AB AC AB AC +⋅=-⋅⇒⋅= ，（Ⅱ）22()()(1)AB AC t AB AC t AB AC t AB AC -+=-+-⋅999(1)2t t =-+-99022t =-<． ∴1t <，又1t ≠-，∴t 的取值范围为(,1)(1,1)-∞-- ．18．设函数2()2sin cos cos sin sin (0π)2f x x x x ϕϕϕ=+-<<在πx =处取最小值．（1）求ϕ的值，并化简()f x ．（2）在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知1a =，b ()f A =，求角C ． 【答案】见解析 【解析】（1）依题意得1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=⋅+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++- sin cos cos sin x x ϕϕ=+ sin()x ϕ=+．因为函数()f x 在πx =处取得最小值，所以sin(π)1ϕ+=-． 由诱导公式知sin 1ϕ=，因为0πϕ<<，所以π2ϕ=． 所以π()sin cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．（2）由（1）知π()sin cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为()cos f A A =，且A 为ABC △的内角，所以π6A =．又因为1a =，b sin sin a bA B=，即sin 1sin 2b A B a ===， 因为b a >，所以π4B =或3π4B =．当π4B =时，ππ7ππ6412C =--=．当3π4B =时，π3πππ6412C =--=． 综上，7π12C =或π12C =．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB ⊥侧面11BB C C ，1AB BC ==，12BB =，1π3BCC ∠=．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ． （2）求点1B 到平面11ACC A 的距离． 【答案】见解析【解析】解：（1）因为测面11AB BB C C ⊥，1BC ⊂侧面11BB C C ， 故1AB BC ⊥， 在1BCC △中，1BC =，112CC BB ==，1π3BCC ∠=， 由余弦定理得：2221π12212cos 33BC =+-⨯⨯⨯=，所以1BC =22211BC BC CC +=，所以1BC BC ⊥， 而BC AB B = ，所以1BC ⊥平面ABC ． （2）点1B 转化为点B，1C ABC V -=1ACC S △． 又111C ABC B ACC V V --=，所以点1B 到平面11ACC A．20．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2a ，5a ，14a 构成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式． （2）若数列{}n b 满足1212112n n n b b b a a a +++=- ，*n ∈N ，求{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =-．A 1B 1C 1CB A（2）2332n nn T +=-． 【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，由2a ，5a ，14a 构成等比数列关于d 的方程，解出d 后利用等差数列的通项公式可得n a ； （2）由条件可知，2n ≥时，111111222n n n n n b a -⎛⎫=---= ⎪⎝⎭， 再由（1）可求得n b ，注意验证1n =的情形，利用错位相减法可求得n T ．试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，由2a ，5a ，14a 构成等比数列，有25214a a a =， 即2(14)(12)(113)d d d +=++，解得0d =（舍去），或2d =， ∴1(1)221n a n n =+-⨯=-．（2）由已知1212112n n n b b b a a a +++=- ，当1n =时，1112b a =． 当2n ≥时，1121121112n n n b b b a a a ---+++=- ，相减得111111222n n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当1n =时，上式也成立，所以*1()2n n n b n a =∈N ， 又由（1），知21n a n =-，∴*21()2n n n b n -=∈N ， 由23135212222n n n T -=++++ ，23113232222n n n T -=+++ ，相减得2311111222213121222222222n n n n n n n T --+--⎛⎫=++++-=-- ⎪⎝⎭ ，∴2332n nn T +=-．21．在直角坐标系中（O 为坐标原点），已知两点(60)A ，，(08)B ，，且三角形OAB 的内切圆为圆C ，从圆C 外一点(,)P a b 向圆引切线PT ，T 为切点。

广东省广州市荔湾区2016-2017学年高二（下）期末试卷（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若z•i=1﹣2i（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．﹣2﹣i B．2﹣i C．2+i D．﹣2+i2．（5分）抛物线x2=﹣4y的焦点到准线的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）“p且q是真命题”是“非p为假命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也木必要条件4．（5分）用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数z=2+3i 的实部是2，所以复数z的虚部是3i”．对于这段推理，下列说法正确的是（）A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．推理没有问题，结论正确5．（5分）函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2e（x﹣1） B．y=ex﹣1 C．y=e（x﹣1）D．y=x﹣e6．（5分）若，则sinα﹣cosα的值与1的大小关系是（）A．sinα﹣cosα＞1 B．sinα﹣cosα=1C．sinα﹣cosα＜1 D．不能确定7．（5分）函数f（x）=3x﹣4x3，（x∈[0，1]）的最大值是（）A．B．﹣1 C．0 D．18．（5分）甲、乙、丙三人中只有一人去过陈家祠，当他们被问到谁去过时，甲说：“丙没有去”；乙说：“我去过”；丙说：“甲说的是真话”．若三人中只有一人说的是假话，那么去过陈家祠的人是（）A．甲B．乙C．丙D．不能确定9．（5分）某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为（）A．2千米B．千米C．2mn千米 D．mn千米10．（5分）函数f（x）=x3﹣ax在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≤0C．a＞0 D．a＜011．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（0，）12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）=0，当x＞0时有，则不等式x2•f（x）＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，2）∪（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）=x3+ax2+x+b在x=1时取得极值，则实数a=．14．（5分）下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为．x 3 4 5 6y 2.5 m 4 4.515．（5分）代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得=．16．（5分）如图，F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．18．（12分）国家实施二孩放开政策后，为了了解人们对此政策持支持态度是否与年龄有关，计生部门将已婚且育有一孩的居民分成中老年组（45岁以上，含45岁）和中青年组（45岁以下，不含45岁）两个组别，每组各随机调查了50人，对各组中持支持态度和不支持态度的人所占的频率绘制成等高条形图，如图所示：支持不支持合计中老年组50中青年组50合计100（1）根据以上信息完成2×2列联表；（2）是否有99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度与年龄有关？P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828附：．19．（12分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．20．（12分）如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图②）（Ⅰ）求证AP∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣2=0与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C上一动点，当△PAB 的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b）为常数且a≠0）在x=1处取得极值．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】由z•i=1﹣2i，的，∴，故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．B【分析】根据题意，由抛物线的标准方程计算可得抛物线的焦点坐标和准线方程，计算即可得答案．【解析】根据题意，抛物线的方程为x2=﹣4y，其焦点坐标为（0，﹣1），准线方程为y=1，焦点到准线的距离为2；故选：B．【点评】本题考查抛物线的标准方程，关键是掌握抛物线的标准方程．3．A【分析】本题考查判断充要条件的方法，可以根据充要条件的定义判断，本题关键是复合命题真假的判断．【解析】由p且q是真命题知，p和q均为真命题，所以非p为假命题，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的充分条件；由非p为假命题知，p为真命题，但q真假不知，故无法判断p且q真假，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的不必要条件．故选A【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4．A【分析】复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，这个说法是错误的，即大前提是错误的．【解析】复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，这个说法是错误的，大前提是错误的，∴得到的结论是错误的，∴在以上三段论推理中，大前提错误．故选：A．【点评】本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的．5．C【分析】先求出函数f（x）=e x lnx的导数，再利用导数求出切线的斜率，再求出切点坐标，最后用点斜式方程即可得出答案．【解析】函数f（x）=e x lnx的导数为f′（x）=e x lnx+e x，∴切线的斜率k=f′（1）=e，令f（x）=e x lnx中x=1，得f（1）=0，∴切点坐标为（1，0），∴切线方程为y﹣0=e（x﹣1），即y=e（x﹣1）．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．6．A【分析】由题意可得sinα﹣cosα＞0，sinαcosα＜0，再根据（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα＞1，可得sinα﹣cosα的值与1的大小关系．【解析】若，则sinα﹣cosα＞0，sinαcosα＜0，∵（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα＞1，∴sinα﹣cosα＞1，故选：A．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．7．D【分析】求出函数的导数，求得极值点和单调区间，可得极大值且为最大值，计算即可得到所求值．【解析】函数f（x）=3x﹣4x3的导数为f′（x）=3﹣12x2=3（1﹣4x2），由f′（x）=0，可得x=（﹣舍去）f（x）在[0，）递增，（，1）递减，可得f（x）在x=处取得极大值，且为最大值1．故选：D．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求得单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于基础题．8．A【分析】利用反证法，即可得出结论．【解析】假设甲说的是假话，即丙去过，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙去过，又丙没有去过，故甲去过；故选：A【点评】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9．A【分析】宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，所以近地点距地心为a﹣c，远地点距地心为a+c．就可求出a，c的值，再根据椭圆中b2=a2﹣c2求出b，就可得到短轴长．【解析】∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则近地点A距地心为a﹣c，远地点B距地心为a+c．∴a﹣c=m+r，a+c=n+r，∴a=+r，c=．又∵b2=a2﹣c2=（+r）2﹣（）2=mn+（m+n）r+r2=（m+r）（n+r）∴b=，∴短轴长为2b=2千米，故选A【点评】本题考查了椭圆的标准方程，主要在实际问题中考查a，b，c之间的关系，易错点是没有考虑地球的半径，属于中档题．10．B【分析】求出函数的导数，问题转化为即a≤x2在R恒成立，从而求出a的范围即可．【解析】f′（x）=x2﹣a，若f（x）在R递增，则x2﹣a≥0在R恒成立，即a≤x2在R恒成立，故a≤0，故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题．11．C【分析】法一：联立，得=（）2﹣b2，推导出，从而，且0＜e＜1，由此能出椭圆的离心率e的取值范围．法二：圆的半径满足，由，得2c＞b，再平方得4c2＞b2，在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，从而e=，由，得b+2c＜2a，推导出e＜．由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．故选：C．【解析】法一：联立，消去y2，得=（）2﹣b2，∵椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，∴0＜x2＜a2，∴0＜＜c2，∴0＜（）2﹣b2＜c2，∴b＜＜a，∴，∴，∴，∴，且0＜e＜1，解得．故选：C．法二：∵椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，椭圆与圆的中心都是原点，∴圆的半径满足，由，得2c＞b，再平方得4c2＞b2，在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，∴e=，由，得b+2c＜2a，再平方，得：b2+4c2+4bc＜4a2，∴3c2+4bc＜3c2，∴4bc＜3b2，∴4c＜3b，∴16c2＜9b2，∴16c2＜9a2﹣9c2，∴9a2＞25c2，∴，∴e＜．综上，椭圆的离心率e的取值范围是（，）．故选：C．【点评】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查椭圆性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．12．B【分析】首先根据商函数求导法则，把化为[]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则x2f（x）＞0⇔f（x）＞0的解集即可求得．【解析】因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，所以在（0，+∞）内单调递减．因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．所以答案为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选B．【点评】本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．﹣2【分析】根据题意，可知f′（1）=0，求解方程，即可得到实数a的值．【解析】∵f（x）=x3+ax2+x+b，f′（x）=3x2+2ax+1，又∵f（x）在x=1时取得极值，∴f′（1）=3+2a+1=0，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了函数在某点取得极值的条件，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点．求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．属于基础题．14．3【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．【解析】∵根据所给的表格可以求出，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故答案为：3【点评】本题考查线性回归方程的应用，是一个基础题，题目的运算量不大，解题的关键是理解样本中心点在线性回归直线上．15．3【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，6+═m2，即6+m=m2，解得，m=3（﹣2舍去）．故答案为：3．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．16．【分析】设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，△ABF2为等边三角形，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得结论．【解析】设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a∴|AF1|=2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|=2a∴2m﹣2a﹣m=2a∴m=4a在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2•6a•4a•∴c= a∴=故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查余弦定理的运用，属于中档题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【分析】（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出．解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4．由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=．∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2．【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．18．【分析】（1）根据等高条形图求出满足条件的每一组的人数，填出2×2列联表即可；（2）根据2×2列联表计算K2的值，从而判断结论即可．解：（1）由等高条形图可知：中老年组中，持支持态度的有50×0.2=10人，持不支持态度的有50﹣10=40人；中青年组中，持支持态度的有50×0.5=25人，持不支持态度的有50﹣25=25人．故2×2列联表为：支持不支持合计中老年组10 40 50中青年组25 25 50合计35 65 100…（4分）（2）；∴有99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度支持与年龄有关…（10分）【点评】本题考查了2×2列联表，考查独立性检验问题，是一道中档题．19．【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．20．【分析】（Ⅰ）由题目条件，结合面面平行的判定定理，即可证得结论；（Ⅱ）得出GC=1，结合棱锥的体积公式，即可得出答案．解：（Ⅰ）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理∴平面EFG∥平面PAB，又PA⊂面PAB，∴AP∥平面EFG…（6分）（Ⅱ）由题设可知BC⊥平面PDC，G是BC的中点，BC=2，所以GC=1，又，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查学生的推理论证的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．21．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）将直线x﹣y﹣2=0代入中，得，x2﹣3x=0．求出点A（0，﹣2），B（3，1），从而|AB|=3，在椭圆C上求一点P，使△PAB的面积最大，则点P到直线l的距离最大．设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b．将y=x+b代入，得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，由根的判别式求出点P（﹣3，1）时，△PAB的面积最大，由此能求出△PAB 的最大面积．解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）将直线x﹣y﹣2=0代入中，消去y得，x2﹣3x=0．解得x=0或x=3．…（5分）∴点A（0，﹣2），B（3，1），∴|AB|==3．…（6分）在椭圆C上求一点P，使△PAB的面积最大，则点P到直线l的距离最大．设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b．…（7分）将y=x+b代入，整理得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0．…（8分）令△=（6b）2﹣4×4×3（b2﹣4）=0，解得b=±4．…（9分）将b=±4代入方程4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，解得x=±3．由题意知当点P的坐标为（﹣3，1）时，△PAB的面积最大．…（10分）且点P（﹣3，1）到直线l的距离为d==3．…（11分）△PAB的最大面积为S==9．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的求法，考查椭圆、直线方程、两点间距离公式、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．22．【分析】（I）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据x=1是f（x）的一个极值点f′（1）=0，可构造关于a，b的方程，根据a=1求出b值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x的范围，可得函数f（x）的单调区间；（II）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a的方程求得结果．解：（I）因为f（x）=lnx+ax2+bx所以f′（x）=+2ax+b，…（2分）因为函数f（x）=lnx+ax2+bx在x=1处取得极值f′（1）=1+2a+b=0…（3分）当a=1时，b=﹣3，f′（x）=，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，）（，1） 1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增极大值减极小值增…（5分）所以f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞）单调递减区间为（，1）…（6分）（II）因为f′（x）=令f′（x）=0，x1=1，x2=…（7分）因为f（x）在x=1处取得极值，所以x2=≠x1=1，当＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减所以f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），令f（1）=1，解得a=﹣2…（9分）当a＞0，x2=＞0当＜1时，f（x）在（0，）上单调递增，（，1）上单调递减，（1，e）上单调递增所以最大值1可能在x=或x=e处取得而f（）=ln+a（）2﹣（2a+1）=ln﹣＜0所以f（e）=lne+ae2﹣（2a+1）e=1，解得a=…（11分）当1≤＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，）上单调递减，（，e）上单调递增所以最大值1可能在x=1或x=e处取得而f（1）=ln1+a﹣（2a+1）＜0所以f（e）=lne+ae2﹣（2a+1）e=1，解得a=，与1＜x2=＜e矛盾…（12分）当x2=≥e时，f（X）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）单调递减，所以最大值1可能在x=1处取得，而f（1）=ln1+a﹣（2a+1）＜0，矛盾综上所述，a=或a=﹣2．…（13分）【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，其中根据已知条件确定a，b值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键．属于中档题．。

新桥中学、肇庆实中2016-2017学年第二学期高一年级期末考试数 学命题人：赵连好 审核人：李丽冰说明：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

3.选择题选出答案后，用黑色2B 铅笔在答题卡上涂黑，不能答在试卷上。

4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

5.考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，只交回答题卷及选择题答题卡。

一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. sin300°等于( )A ．－12 B ．12C. －2D. 22. 已知向量()3,1=-a ,向量()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ） A ．15 B ． 14 C. 5 D. -53. 角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，已知终边上()1,2P 点，则c o s2θ=（ ）。

A ．45- B ．35- C. 5 D. 35{}36471. +=36+=18= n b b b b b b 4已知等比数列中，，，则（） A ．12B ． 44. 5 C.64 D. 1285 .△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =3b =，2cos 3A =则c=（ ） A ．36.设变量,x y 满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则yx 的最大值为（ ）A ．3B ．95C ． 6D ．1 7.将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移12个最小正周期后，所得图像对应的函数为( )A.5sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B.7sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8.设向量b a,满足10||=+b a ，22a b -=，则=⋅b a （ ）A ．12B ． 2 C. 1 D. 29.函数2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数10.公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，318S =，且已知1a 、4a 的等比中项是6，求10S =( )A ．145B ．165 C. 240 D.60011. 设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）。